Cơ học công trình xây dựng - Chương 2: Ứng lực trong các hệ phẳng tĩnh định

www.nuce.edu.vn 1National University of Civil Engineering CƠ HỌC CÔNG TRÌNH XÂY DỰNG Trần Minh Tú Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng DD & CN Trƣờng Đại học Xây dựng www.nuce.edu.vn 2National University of Civil Engineering CƠ HỌC CÔNG TRÌNH XÂY DỰNG CHƢƠNG 2 ỨNG LỰC TRONG CÁC HỆ PHẲNG TĨNH ĐỊNH www.nuce.edu.vn 3National University of Civil Engineering Chương 2. Ứng lực trong các hệ phẳng tĩnh định NỘI DUNG 2.1. Xác định ứng lực trong hệ dàn tĩnh định 2.2. Xác định ứng lực trong thanh tĩnh định 2.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, lực cắt và tải trọng phân bố 2.4. Phương pháp vẽ biểu đồ ứng lực theo điểm đặc biệt 2.5. Biểu đồ nội lực của khung phẳng www.nuce.edu.vn 4National University of Civil Engineering 2.1. Xác định ứng lực trong dàn tĩnh định 2.1.1. Mở đầu: • Giới hạn: Tải trọng tĩnh, bất động • Ứng lực trong các hệ tĩnh định chỉ phụ thuộc vào sơ đồ hình học, sơ đồ tải trọng mà không phụ thuộc vào vật liệu và kích thước mặt cắt ngang • Để xác định các ứng lực chỉ cần dùng các điều kiện cân bằng tĩnh học • Dùng PP MẶT CẮT để xác định các ứng lực – Thực hiện các mặt cắt qua tiết diện cần xác định ứng lực, mỗi mặt cắt phải phân chia hệ thành hai phần độc lập – Khảo sát một phần hệ, thay thế tác dụng của phần bị loại bỏ bằng các ứng lực trên tiết diện – Thiết lập các điều kiện cân bằng tĩnh học cho phần hệ khảo sát => Rút ra các ứng lực trên tiết diện www.nuce.edu.vn 5National University of Civil Engineering 2.1. Xác định ứng lực trong dàn tĩnh định • Định nghĩa: Dàn là một hệ gồm nhiều thanh thẳng được nối với nhau bằng các liên kết khớp lý tưởng ở hai đầu thanh www.nuce.edu.vn 6National University of Civil Engineering 2.1. Xác định ứng lực trong dàn tĩnh định www.nuce.edu.vn 7National University of Civil Engineering 2.1. Xác định ứng lực trong dàn tĩnh định • Cấu tạo của dàn – Khoảng cách giữa hai gối tựa – nhịp dàn – Các khớp của dàn – Mắt dàn – Các thanh trên biên dàn – Thanh biên – Các thanh phía trong biên – thanh bụng – Khoảng cách giữa hai mắt thuộc cùng một đường biên – đốt dàn www.nuce.edu.vn 8National University of Civil Engineering 2.1. Xác định ứng lực trong dàn tĩnh định • Các giả thiết tính toán – Mắt dàn phải nằm tại giao điểm các trục của thanh, và là khớp lý tưởng (quay tự do, không ma sát) – Tải trọng chỉ đặt tại các mắt dàn – Bỏ qua trọng lượng bản thân của các thanh dàn  Các thanh trong dàn chị chịu kéo hoặc nén, trên các tiết diện chỉ tồn tại lực dọc N • Các phƣơng pháp xác định lực dọc trong các thanh www.nuce.edu.vn 9National University of Civil Engineering 2.1. Xác định ứng lực trong dàn tĩnh định 2.1.2. Phƣơng pháp tách mắt – Khảo sát sự cân bằng của từng mắt khi tách ra khỏi dàn – Lần lượt tách các mắt ra khỏi dàn bằng các mặt cắt bao quanh mắt – Thay thế tác dụng của thanh dàn bị cắt bằng lực dọc trong thanh đó. Giả thiết chiều lực dọc theo chiều dươg (hướng ra ngoài mắt) – Khảo sát sự cân bằng từng mắt, là hệ lực đồng qui nên viết 2 phương trình cân bằng hình chiếu lên 2 phương không song song với nhau 0; 0;U V   www.nuce.edu.vn 10National University of Civil Engineering 2.1. Xác định ứng lực trong dàn tĩnh định – Từ các phương trình cân bằng rút ra lực dọc cần tìm. Nếu kết quả mang dấu dương thì lực dọc là chiều giả thiết (lực kéo), nếu mang dấu âm thì lực dọc ngược chiều giả thiết (lực nén) – Tách mắt theo thứ tự sao cho tại mỗi mắt tách chỉ chứa hai lực dọc chưa biết – Tại mỗi mắt khi tìm lực dọc trong thanh chưa biết thứ nhất, ta lập phương trình cân bằng hình chiếu lên phương vuông góc với thanh thứ hai www.nuce.edu.vn 11National University of Civil Engineering 2.1. Xác định ứng lực trong dàn tĩnh định Ví dụ: Xác định lực dọc trong các thanh của hệ dàn • Xác định phản lực • Tách mắt 1 VA VB 1,5A BV V P  www.nuce.edu.vn 12National University of Civil Engineering 2.1. Xác định ứng lực trong dàn tĩnh định • Nhận xét – Nếu tại một mắt có hai thanh không thẳng hàng và không có lực tác dụng thì lực dọc trong hai thanh đó bằng không – Nếu tại một mắt có ba thanh trong đó hai thanh thẳng hàng và tại mắt không có tải trọng tác dụng thì nội lực trong thanh koong thẳng hàng bằng không, và nội lực trong hai thanh thẳng hàng bằng nhau  Ứng dụng: phát hiện các thanh không làm việc để loại => đơn giản hơn www.nuce.edu.vn 13National University of Civil Engineering 2.1. Xác định ứng lực trong dàn tĩnh định  Ví dụ: Xác định lực dọc trong các thanh của hệ dàn  Loại bỏ các thanh không làm việc: (6-5), (6-10), (10-9), (10-5), (9-8), (9-5), (5-4) và (5-2), ta được hệ mới - Tách mắt số 4 www.nuce.edu.vn 14National University of Civil Engineering 2.1. Xác định ứng lực trong dàn tĩnh định 2.1.3. Phƣơng pháp mặt cắt đơn giản: Thực hiện mặt cắt tách đôi dàn, đi qua không quá 3 thanh chưa biết lực dọc – Thực hiện mặt cắt đi qua các thanh dàn chưa biết lực dọc, chia dàn thành hai phần độc lập, giữ lại và xét cân bằng một phần bất kỳ. – Thay thế tác dụng của các thanh dàn bị cắt bằng các lực dọc (giả thiết chiều dương) – Viết điều kiện cân bằng cho phần thanh giữ lại – Giải hệ 3 phương trình cân bằng để xác định lực dọc trong 3 thanh. www.nuce.edu.vn 15National University of Civil Engineering 2.1. Xác định ứng lực trong dàn tĩnh định 1 1  Ví dụ: Xác định lực dọc trong các thanh dàn - Thực hiện mặt cắt đơn giản 1-1 đi qua 3 thanh 2-3, 2-8, 7-8, giữ lại phần trái VA VB - Xác định phản lực: 1,5A BV V P  VA N2-3 N2-8 N7-8  Xác định N2-3  Xác định N2-8 8 www.nuce.edu.vn 16National University of Civil Engineering • Trong phần này chỉ nói về thanh tĩnh định, đơn giản: gồm một thanh thẳng đƣợc nối với đất bằng ba liên kết tƣơng đƣơng loại 1 2.2. Xác định ứng lực trong thanh tĩnh định www.nuce.edu.vn 17National University of Civil Engineering 2.2. Xác định ứng lực trong thanh tĩnh định 2.2.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang • Trong trường hợp tổng quát trên mặt cắt ngang của thanh chịu tác dụng của ngoại lực có 6 thành phần ứng lực: y z xMx My Mz Qx NZ Qy www.nuce.edu.vn 18National University of Civil Engineering • Bài toán phẳng: Ngoại lực nằm trong mặt phẳng đi qua trục z (yOz) => Chỉ tồn tại các thành phần ứng lực trong mặt phẳng này: Nz, Mx, Qy • Nz - lực dọc; Qy - lực cắt; Mx – mô men uốn y z xMx NZ Qy 2.2. Xác định ứng lực trong thanh tĩnh định www.nuce.edu.vn 19National University of Civil Engineering • Qui ƣớc dấu các thành phần ứng lực > Lực dọc: N>0 khi có chiều đi ra khỏi mặt cắt > Lực cắt: Q>0 khi có chiều đi vòng quanh phần thanh đang xét theo chiều kim đồng hồ > Mô men uốn: M>0 khi làm căng các thớ dưới N N Để xác định các thành phần ứng lực: PP MẶT CẮT 2.2. Xác định ứng lực trong thanh tĩnh định www.nuce.edu.vn 20National University of Civil Engineering N Q Q M M 1 1 2.2. Xác định ứng lực trong thanh tĩnh định www.nuce.edu.vn 21National University of Civil Engineering • Cách xác định các thành phần ứng lực – Giả thiết chiều các thành phần M, N, Q theo chiều dương qui ước – Thiết lập phương trình hình chiếu lên các trục z, y và phương trình cân bằng mô men với trọng tâm O của mặt cắt ngang 0 => N = ...Z  0 => Q = ...Y  0 => M = ...OM  2.2. Xác định ứng lực trong thanh tĩnh định www.nuce.edu.vn 22National University of Civil Engineering • Biểu thức quan hệ ứng lực - ứng suất  Vì là bài toán phẳng nên chỉ tồn tại các thành phần ứng suất trong mặt phẳng zOy => ký hiệu  Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang  dA(x,y) là phân tố diện tích của dt mặt cắt ngang A ,z zy  ( , )  ( )A N dA  ( )A Q dA  ( )A M y dA  ydA x y z  x 2.2. Xác định ứng lực trong thanh tĩnh định www.nuce.edu.vn 23National University of Civil Engineering 2.2.3. Biểu đồ ứng lực của thanh • Khi tính toán => cần tìm vị trí mặt cắt ngang có trị số ứng lực lớn nhất => biểu đồ • Biểu đồ ứng lực - là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của các thành phần ứng lực theo toạ độ mặt cắt ngang • Các bƣớc vẽ biểu đồ ứng lực – Phƣơng pháp mặt cắt biến thiên 2.2. Xác định ứng lực trong thanh tĩnh định www.nuce.edu.vn 24National University of Civil Engineering a. Xác định phản lực tại các liên kết b. Phân đoạn thanh sao cho biểu thức của các thành phần ứng lực trên từng đoạn là liên tục c. Viết biểu thức xác định các thành phần ứng lực N, Q, M theo toạ độ mặt cắt ngang bằng phƣơng pháp mặt cắt d. Vẽ biểu đồ cho từng đoạn căn cứ vào phƣơng trình nhận đƣợc từ bƣớc (c) e. Kiểm tra biểu đồ nhờ vào các nhận xét mang tính trực quan, tính kinh nghiệm. 2.2. Xác định ứng lực trong thanh tĩnh định www.nuce.edu.vn 25National University of Civil Engineering • Biểu đồ lực dọc, lực cắt vẽ theo qui ƣớc và mang dấu • Biểu đồ mô men luôn vẽ về phía thớ căng N, Q z M z 2.2. Xác định ứng lực trong thanh tĩnh định www.nuce.edu.vn 26National University of Civil Engineering Ví dụ 2.1 (1) Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực trên các mặt cắt ngang của thanh chịu tải trọng như hình vẽ GIẢI: 1. Xác định phản lực VA VB F a b C   0A BM V a b Fa      0B AM V a b Fb     B Fa V a b     A Fb V a b    Thử lại: 0Y  www.nuce.edu.vn 27National University of Civil Engineering Ví dụ 2.1 (2) F a b VA VB C 1 1 Mặt cắt 1 – 1: VA z1 Q M N 0N  10 z a    0A A Fb Y Q V Q V a b         Mặt cắt 2 – 2:   1 0 1 10A A Fbz M M V z M V z a b         0N  20 z b    0B B Fa Y Q V Q V a b             2 0 2 20B B Faz M M V z M V z a b         2 2 VB z2 Q M N Đoạn AC Đoạn BC A B www.nuce.edu.vn 28National University of Civil Engineering Ví dụ 2.1 (3) Nhận xét 1 Tại mặt cắt có lực tập trung => biểu đồ lực cắt có bước nhảy, độ lơn bước nhảy bằng giá trị lực tập trung, xét từ trái qua phải, chiều bước nhảy cùng chiều lực tập trung F a b VA VB Fb a+b a+b Fa + N M Q Fab a+b F C   : Fb AC Q a b     : Fa BC Q a b      1: Fbz AC M a b     2: Faz BC M a b   www.nuce.edu.vn 29National University of Civil Engineering Ví dụ 2.2 (1) L q VA VB Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực trên các mặt cắt ngang của thanh chịu tải trọng như hình vẽ GIẢI 1. Xác định các phản lực liên kết 2 . 0 2 A B ql M V l   . 2 A q l V  2 . 0 2 B A ql M V l   . 2 B q l V  Bài toán đối xứng: . 2 A B q l V V   Hoặc: 2. Biểu thức nội lực Xét mặt cắt 1-1 (0 ≤ z  L) . 2 ql Q q z   2. . 2 2 ql q M z z   1 1 Q zVA M N q 0AY Q qz V    2 0 0 2 A qz M M V z    www.nuce.edu.vn 30National University of Civil Engineering Ví dụ 2.2 (2)  Nhận xét 2 Tại mặt cắt có lực cắt bằng 0, biểu đồ mô men đạt cực trị L q VA VBqL/2 qL/2 + Q L/2 qL2/8 M . 2 ql Q q z  2. . 2 2 ql q M z z  0 2 A qL z Q   2 B qL z L Q    0 0Az M   0Bz L M   2 qL M ' qz  0 2 L M ' z   0M'' q     2 2 8 max z L/ qL M M     www.nuce.edu.vn 31National University of Civil Engineering Ví dụ 2.3 (1) 1. Xác định phản lực: .( ) 0A BM V a b M    .( ) 0B AM V a b M    B M V a b    A M V a b    2. Lập các biểu thức ứng lực: AC: Xét mặt cắt 1-1 ( 0 ≤ z1  a) y A M Q V a b      VA VB a b C M .x AM V z  Q VA M z1 VB M Q z2 1 1 2 2 Xét mặt cắt 2-2 ( 0 ≤ z2  b) y A M Q V a b      2 .x BM V z www.nuce.edu.vn 32National University of Civil Engineering Ví dụ 2.3 (2) a b VA VB M (a+b) M (a+b)Ma (a+b) Mb (a+b) M Q M C M y A M Q V a b      1.x AM V z  AC: ( 0 ≤ z1  a) y A M Q V a b      BC: ( 0 ≤ z2  b) 2.x BM V z Nhận xét 3 Tại mặt cắt có mô men tập trung, biểu đồ mô men có bƣớc nhảy, độ lớn bƣớc nhảy bằng giá trị mô men tập trung, xét từ trái qua phải, mômen tập trung quay thuận chiều kim đồng hồ thì bƣớc nhảy đi xuống www.nuce.edu.vn 33National University of Civil Engineering 2.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, lực cắt và tải trọng ngang phân bố (1) • Xét dầm chịu tải phân bố q(z)>0: hƣớng lên Tách đoạn thanh có chiều dài dz giới hạn bởi 2 mặt cắt ngang 1-1 và 2-2 q(z) 1 1 2 2dz Q Q+dQ M M+dM dz Đạo hàm bậc hai của mô men uốn bằng đạo hàm bậc nhất của lực cắt và bằng cường độ tải trọng ngang phân bố ( ) 0Y Q dQ Q q z dz     ( ) dQ q z dz   ( ) 0 2 2 dz dz M M dM M Q dQ Q       dM Q dz   2 2 ( ) d M dQ q z dz dz   www.nuce.edu.vn 34National University of Civil Engineering 2.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, lực cắt và tải trọng ngang phân bố (2) • Ứng dụng – Nhận dạng các biểu đồ Q, M khi biết qui luật phân bố của tải trọng q(z). Nếu trên một đoạn thanh biểu thức của q(z) bậc n thì biểu thức lực cắt Q bậc (n+1), biểu thức mô men M bậc (n+2) – Tại mặt cắt có Q=0 => M cực trị – Tính các thành phần Q, M tại mặt cắt bắt kỳ khi biết giá trị của chúng tại mặt cắt xác định • Qphải = Qtrái + Sq ( Sq – Dtích biểu đồ q) • Mphải = Mtrái + SQ ( SQ – Dtích biểu đồ Q) www.nuce.edu.vn 35National University of Civil Engineering q z q(z) A B ( ) B B A A dQ q z dz  B A qQ Q S  Sq Q z Q(z) A B SQ ( ) B B A A dM Q z dz  B A QM M S  2.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, lực cắt và tải trọng ngang phân bố (3) www.nuce.edu.vn 36National University of Civil Engineering 2.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, lực cắt và tải trọng ngang phân bố (3) www.nuce.edu.vn 37National University of Civil Engineering 2.4. Vẽ biểu đồ ứng lực theo điểm đặc biệt (1) • Cơ sở: Dựa vào mối liên hệ vi phân giữa Q, M và q(z) • Biết tải trọng phân bố =>nhận xét dạng biểu đồ Q, M => xác định số điểm cần thiết để vẽ đƣợc biểu đồ – q=0 => Q=const => QA=? (hoặc QB) M bậc 1 => MA=? và MB=? – q=const => Q bậc 1 => QA=? QB=? M bậc 2 => MA=?; MB=?; cực trị? tính lồi, lõm,..? www.nuce.edu.vn 38National University of Civil Engineering 2.4. Vẽ biểu đồ ứng lực theo điểm đặc biệt (2) • Các giá trị QA, QB, MA, MB, cực trị - là giá trị các điểm đặc biệt. Đƣợc xác định bởi: – Quan hệ bước nhảy của biểu đồ – Phương pháp mặt cắt – Qphải = Qtrái + Sq (Sq - Dtích biểu đồ q) – Mphải = Mtrái + SQ (SQ - Dtích biểu đồ Q) • Ví dụ www.nuce.edu.vn 39National University of Civil Engineering Ví dụ 2.4 (1) • Xác định phản lực q F=qa VA VB .3 2 .2 . 0B AM V a qa a F a    5 3 AV qa  .3 2 . .2 0A BM V a qa a F a    4 3 BV qa  Xét đoạn AC: 2a a C q=const Q bậc 1 QA=VA QC=VA+Sq=5qa/3-2qa=-qa/3 M bậc 2: MA=0 MC=MA+SQ=4qa 2/3; Mmax=25qa2/18 5 3 qa 1 3 qa + 5a/3 Mmax=25qa 2/18 4qa2/3 www.nuce.edu.vn 40National University of Civil Engineering Ví dụ 2.4 (2) 2a a VA VB C 5 3 qa 4 3 qa 1 3 qa + 5a/3 Mmax=25qa 2/18 4qa2/3 Xét đoạn BC: q F=qa q= 0 Q = const QB= - VB M bậc 1: MB=0 MC=MB-SQ=4qa 2/3 Q M www.nuce.edu.vn 41National University of Civil Engineering 2.5. Biểu đồ ứng lực khung phẳng • Khung phẳng là hệ phẳng gồm những thanh nối nhau bằng các liên kết cứng (là liên kết mà góc giữa các thanh tại điểm liên kết không thay đổi khi khung chịu lực) • (Khung phẳng là thanh gãy khúc nối với đất bằng các liên kết tƣơng đƣơng ba liên kết loại 1) www.nuce.edu.vn 42National University of Civil Engineering 2.5. Biểu đồ ứng lực khung phẳng • Đối với các đoạn khung nằm ngang, biểu đồ các thành phần ứng lực vẽ như qui ước với thanh thẳng • Đối với các đoạn khung thẳng đứng, biểu đồ N, Q vẽ về phía tùy ý và mang dấu. Biểu đồ mô men vẽ về phía thớ căng • Để kiểm tra biểu đồ ta cần kiểm tra điều kiện cân bằng các mắt khung: Tại mắt khung, nội lực và ngoại lực thoả mãn điều kiện cân bằng tĩnh học. www.nuce.edu.vn 43National University of Civil Engineering Ví dụ 2.5 VD VA HA a a a F q A D B C Ví dụ 2.5: Vẽ biểu đồ khung phẳng sau: Biết q=8kN/m, F=5kN, a=1m Bài giải: 1. Xác định các phản lực: x y 0 5( )AX H F kN    1 .1 .1. .1 0 2 A DM V q F    9( )DV kN  1 .1 .1. .1 .2 0 2 D A AM V q F H     1( )DV kN  2. Biểu đồ lực dọc N  AB: 1AB AN V kN   BC: 1BC AN V kN   CD: 0CDN  www.nuce.edu.vn 44National University of Civil Engineering 1 1 1 + + N kN 3. Biểu đồ lực cắt Q và mô men uốn M  AB: q=0 Q const  5A AQ H kN   5 5 +  M bậc nhất: 0AM  0 5.1 5B A QM M S kNm      5 Q kN M kNm Ví dụ 2.5 www.nuce.edu.vn 45National University of Civil Engineering  BC: q=0 Q const  0BQ   M bậc nhất: 5BM kNm  5 0 5C B QM M S kNm      1 1 1 + + N kN 5 5 + 5 Q kN M kNm 5  CD: q=const 9D DQ V kN      M bậc hai: 0DM  0 ( 1 9).1/ 2 5C D QM M S kNm         Q bậc nhất: 9 ( 8.1) 1C D qQ Q S kN         9 1 - 5 1kN  Cân bằng mắt 5kNm 1kN 5kNm Ví dụ 2.5 www.nuce.edu.vn 46National University of Civil Engineering Câu hỏi??? www.nuce.edu.vn 47National University of Civil Engineering 47(52) E- mail: tpnt2002@yahoo.com