Cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên và ứng dụng trong khí tượng thủy văn

CƠ SỞ Lí THUYẾT HÀM NGẪU NHIấN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN 6 Lời nói đầu Trong hai chục năm gần đây ng−ời ta thấy rằng các công cụ toán học về lý thuyết hμm ngẫu nhiên đ−ợc sử dụng rộng rãi trong khí t−ợng học vμ thuỷ văn học. Cơ sở của điều nμy lμ ý t−ởng xem xét các giá trị tức thời ghi đ−ợc của các quá trình vμ các tr−ờng không gian khí t−ợng thuỷ văn nh− những thể hiện riêng biệt của một quá trình ngẫu nhiên hay một tr−ờng ngẫu nhiên nμo đó. Cách tiếp cận nh− vậy cho phép không cần xét những đặc điểm của các giá trị tức thời riêng rẽ của tr−ờng khí t−ợng thuỷ văn với mối phụ thuộc vμo toạ độ không gian vμ biến trình thời gian rất phức tạp vμ không rõ nét vμ chuyển sang nghiên cứu một số tính chất trung bình của tập hợp thống kê các thể hiện ứng với một tập các điều kiện bên ngoμi cụ thể nμo đó. Quan điểm lý thuyết xác suất nghiên cứu các hiện t−ợng trong khí t−ợng vμ thuỷ văn học có sử dụng công cụ lý thuyết hμm ngẫu nhiên tỏ ra rất hiệu quả trong các lĩnh vực: lý thuyết rối, khi xây dựng các ph−ơng pháp dự báo thời tiết hạn dμi, phân tích khách quan các tr−ờng khí t−ợng, đánh giá tính đại diện của số liệu quan trắc, độ chính xác của các dụng cụ đo, giải quyết các vấn đề hợp lý hoá sự phân bố mạng l−ới trạm khí t−ợng, xây dựng các ph−ơng pháp dự báo dòng chảy sông vμ các đặc tr−ng khí t−ợng thuỷ văn, cũng nh− trong nhiều vấn đề khác. Đóng góp to lớn vμo h−ớng nμy lμ các công trình đặt nền móng của A.N. Kolmogorov cũng nh− các kết quả nghiên cứu của A.M. Obukhov, A.S. Monin, A.M. Iaglom, M.I. Iuđin, L.S. Ganđin, N.A. Bagrov, O.A. Đrozđov, E.P. Borisenkov, N.A. Kartvelishvili, I.M. Alekhin vμ các nhμ khoa học khí t−ợng thuỷ văn hμng đầu của n−ớc ta. Từ đó dẫn đến phải mở rộng giáo trình lý thuyết xác suất trong các tr−ờng khí t−ợng thuỷ văn vμ đ−a ra những khoá chuyên đề về cơ sở lý thuyết các hμm ngẫu nhiên vμ điều nμy đ−ợc thực hiện lần đầu tiên vμo năm 1961 tại Tr−ờng khí t−ợng thuỷ văn Leningrat. Cuốn sách nμy đ−ợc viết trên cơ sở giáo trình về lý thuyết hμm ngẫu nhiên mμ tác giả đã giảng dạy trong nhiều năm cho sinh viên chuyên ngμnh dự báo thời tiết bằng ph−ơng pháp số trị của Tr−ờng khí t−ợng thuỷ văn Leningrat, vμ lμ giáo trình học tập cho sinh viên vμ nghiên cứu sinh các tr−ờng đại học khí t−ợng thuỷ văn vμ các khoa t−ơng ứng trong các tr−ờng đại học tổng hợp cũng nh− cho rộng rãi các chuyên gia khí t−ợng thuỷ văn. Cuốn sách cũng có thể đ−ợc sử dụng nh− lμ tμi liệu học tập cho sinh viên vμ kỹ s− các chuyên ngμnh khác quan tâm đến lý thuyết hμm ngẫu nhiên vμ ứng dụng của nó. Lý do biên soạn một cuốn sách nh− vậy xuất phát từ chỗ hiện nay ch−a có các tμi liệu giáo khoa về lý thuyết hμm ngẫu nhiên đáp ứng một cách đầy đủ nhu cầu của các chuyên gia vμ sinh viên ngμnh khí t−ợng thuỷ văn. Hơn nữa, sự thâm nhập ngμy cμng tăng của lý thuyết hμm ngẫu nhiên vμo khí t−ợng học vμ thuỷ văn học đòi hỏi các chuyên gia khí t−ợng, thuỷ văn phải nhanh chóng vμ chủ động chiếm lĩnh nó. Lý thuyết các hμm ngẫu nhiên, một bộ phận của lý thuyết xác suất, đã phát triển nhanh chóng trong mấy thập niên gần đây vμ đ−ợc ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học vμ kỹ thuật. Tr−ớc hết phải kể đến các ứng dụng của lý thuyết hμm ngẫu nhiên trong kỹ thuật vô tuyến, đặc biệt trong lý thuyết điều khiển tự động mμ các nhu cầu của chúng, đến l−ợt mình, lại thúc đẩy sự phát triển của chính lý thuyết nμy. Sự ứng dụng rộng rãi của lý thuyết hμm ngẫu nhiên trong khí t−ợng thuỷ văn muộn hơn 7 một chút. Do đó hiện nay có hai loại giáo trình về lý thuyết hμm ngẫu nhiên. Tμi liệu loại thứ nhất trình bμy chặt chẽ lý thuyết quá trình xác suất dựa trên nền toán học ở trình độ cao (thí dụ nh− J. Dub "Các quá trình xác suất", I. A. Rozanov "Các quá trình ngẫu nhiên dừng"). Những cuốn sách nμy dùng cho các chuyên gia về toán nên rất khó đối với sinh viên các tr−ờng khí t−ợng thuỷ văn cũng nh− đối với các kỹ s− ch−a đ−ợc trang bị toán học đầy đủ. Loại thứ hai lμ các chuyên khảo vμ sách giáo khoa trong đó trình bμy cơ sở lý thuyết hμm ngẫu nhiên t−ơng ứng với nhu cầu của lý thuyết điều khiển tự động vμ kỹ thuật vô tuyến. Việc sử dụng các sách loại nμy đối với các chuyên gia khí t−ợng thuỷ văn bị khó khăn vì trong đó lý thuyết hμm ngẫu nhiên vμ các ph−ơng pháp của lý thuyết điều khiển tự động hay kỹ thuật vô tuyến gắn chặt với nhau, khó tách biệt ra đ−ợc. Ngoμi ra, ở đây ch−a phản ánh đ−ợc những khía cạnh hết sức quan trọng khi ứng dụng lý thuyết nμy vμo khí t−ợng thuỷ văn học. Cuốn sách nμy nhằm những độc giả với kiến thức toán đ−ợc trang bị ở mức giáo trình toán cao cấp dμnh các tr−ờng đại học chuyên ngμnh khí t−ợng thuỷ văn. Trong khi trình bμy, nếu buộc phải dùng đến những ph−ơng pháp vμ khái niệm ít quen thuộc, thì chúng sẽ đ−ợc diễn giải một cách ngắn gọn (ví dụ, một số dẫn liệu từ lý thuyết các ph−ơng trình tích phân, một vμi khái niệm của đại số tuyến tính, hμm đelta v.v...). Vì một số chuyên gia khí t−ợng thuỷ văn ch−a có đủ kiến thức về lý thuyết xác suất, trong ch−ơng 1 sẽ khái quát những một số kiến thức cơ bản từ lý thuyết xác suất mμ sau nμy dùng đến khi trình bμy lý thuyết hμm ngẫu nhiên. Việc trình bμy chi tiết các vấn đề nμy đã có trong các sách giáo khoa về lý thuyết xác suất, chẳng hạn trong cuốn giáo trình nổi tiếng của E.S. Ventxel [4]. Độc giả nμo đã quen với lý thuyết xác suất có thể bỏ qua ch−ơng nμy. Nội dung trình bμy trong sách không nhằm bao quát đầy đủ lý thuyết hμm ngẫu nhiên, mμ chủ yếu chỉ xét những khía cạnh nμo của lý thuyết có ứng dụng rộng rãi trong khí t−ợng thuỷ văn học. Ngoμi ra, tác giả chủ yếu tập trung trình bμy sao cho đơn giản vμ dễ hiểu, không bị gò bó bởi yêu cầu về sự chặt chẽ toμn diện về mặt toán học. Cuốn sách gồm hai phần. Phần thứ nhất trình bμy cơ sở lý thuyết hμm ngẫu nhiên, trong đó bên cạnh việc xét các quá trình ngẫu nhiên một chiều, đã chú ý nhiều đến các tr−ờng ngẫu nhiên không gian. Phần thứ hai xét một số bμi toán khí t−ợng, thuỷ văn đ−ợc giải bằng các ph−ơng pháp của lý thuyết hμm ngẫu nhiên. Tuy nhiên hoμn toμn không đặt ra mục tiêu tổng quan hệ thống tất cả những công trình nghiên cứu giải đã quyết các bμi toán khí t−ợng thuỷ văn bằng ph−ơng pháp lý thuyết hμm ngẫu nhiên. Những tổng quan nh− vậy về ứng dụng lý thuyết hμm ngẫu nhiên trong khí t−ợng thuỷ văn có thể tìm thấy trong nhiều công trình của các tác giả trong vμ ngoμi n−ớc [5,18,20, 14,45,9,57...]. Trong cuốn sách nμy chỉ lựa chọn một số bμi toán khí t−ợng vμ thuỷ văn tiêu biểu cho phép minh hoạ sự ứng dụng các ph−ơng pháp cơ bản của lý thuyết hμm ngẫu nhiên đã trình bμy trong phần đầu của cuốn sách. Vμ ở đây tập trung chủ yếu vμo các vấn đề ph−ơng pháp luận. Tác giả hy vọng cuốn sách sẽ giúp đông đảo các nhμ khí t−ợng thuỷ văn lĩnh hội những ý t−ởng vμ ph−ơng pháp cơ bản của lý thuyết các hμm ngẫu nhiên vμ ứng dụng chúng vμo thực tiễn của khí t−ợng thủy văn học. Tác giả xin bμy tỏ lòng biết ơn tới N.A. Bagrov, O.A. Đrozđov vμ M.I. Iuđin đã có những góp ý quý giá về nội dung vμ cấu trúc cuốn sách. Tác giả đặc biệt cảm ơn L.S. Ganđin đã đọc toμn văn bản thảo vμ nêu ra nhiều nhận xét giúp tác giả l−u ý khi chuẩn bị xuất bản. 8 Phần 1 - Cơ sở lý thuyết hμm ngẫu nhiên Ch−ơng 1: Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất 1.1. Đại l−ợng ngẫu nhiên vμ luật phân bố Đại l−ợng ngẫu nhiên lμ đại l−ợng mμ khi tiến hμnh một loạt phép thử trong cùng một điều kiện nh− nhau có thể mỗi lần nhận đ−ợc giá trị nμy hoặc giá trị khác hoμn toμn không biết tr−ớc đ−ợc. Ng−ời ta chia đại l−ợng ngẫu nhiên thμnh hai dạng lμ đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc vμ đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục. Đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc lμ đại l−ợng ngẫu nhiên mμ mọi giá trị có thể của nó có thể liệt kê ra đ−ợc, tức lμ có thể đánh số thứ tự bằng tập số tự nhiên. Còn đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục lμ đại l−ợng ngẫu nhiên mμ mọi giá trị có thể của nó phủ đầy một đoạn của trục số, vμ do đó không thể đánh số đ−ợc. Ví dụ về đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc lμ số điểm khi gieo con xúc xắc. Đại l−ợng ngẫu nhiên nμy với mỗi lần thí nghiệm có thể nhận một trong sáu giá trị: 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6. Đại l−ợng ngẫu nhiên sẽ đ−ợc xem lμ rời rạc nếu nó có thể nhận hoặc chỉ các số nguyên, hoặc chỉ các số hữu tỷ. Khi đó tập các giá trị có thể của đại l−ợng ngẫu nhiên lμ vô hạn. Đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục lμ đại l−ợng ngẫu nhiên mμ trong kết quả thí nghiệm có thể nhận bất kỳ giá trị số thực nμo trên một khoảng hoặc một vμi khoảng nμo đó. Ví dụ nhiệt độ không khí, áp suất không khí hoặc độ lệch của chúng so với trung bình chuẩn nhiều năm, các thμnh phần của vectơ vận tốc gió có thể coi lμ đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục. Sai số của các dụng cụ đo có thể xem lμ đại l−ợng ngẫu nhiên. Thông th−ờng, các sai số nμy sẽ lμ đại l−ợng ngẫu nhiên dạng liên tục. Ta qui −ớc ký hiệu các đại l−ợng ngẫu nhiên bằng các chữ hoa: A, B, C, X, Y... còn các giá trị có thể của chúng lμ các chữ in th−ờng t−ơng ứng: a, b, c, x, y... Giả sử đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận các giá trị x1, x2,..., xn với xác suất p1, p2,..., pn. Khi đã liệt kê đ−ợc mọi giá trị mμ đại l−ợng ngẫu nhiên có thể có vμ cho tr−ớc xác suất mμ mỗi giá trị của nó nhận, ta hoμn toμn xác định đ−ợc đại l−ợng ngẫu nhiên đó. Hệ thức xác lập mối liên hệ giữa các giá trị có thể của đại l−ợng ngẫu nhiên vμ xác suất t−ơng ứng của chúng gọi lμ luật phân bố của đại l−ợng ngẫu nhiên. Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc, luật phân bố có thể cho d−ới dạng bảng mμ một hμng lμ các giá trị có thể có của đại l−ợng ngẫu nhiên xi, vμ một hμng khác lμ xác suất t−ơng ứng pi. 9 x1x2x3...xn p1p2p3...pn Khi đó số l−ợng các giá trị có thể của đại l−ợng ngẫu nhiên có thể lμ hữu hạn hoặc vô hạn, còn tổng các xác suất ở hμng thứ hai của bảng, giống nh− tổng các xác suất của nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc, bằng 1. pi = 1. Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục không thể lập bảng t−ơng tự nh− vậy, vì không thể liệt kê đ−ợc các giá trị của nó. Ngoμi ra, nh− chúng ta có thể thấy sau nμy, xác suất để cho đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục nhận một giá trị cụ thể bằng không, mặc dù khi đó xác suất mμ nó nhận một giá trị bất kỳ trong khoảng vô cùng bé xung quanh giá trị đó khác không. Để đặc tr−ng đầy đủ cho đại l−ợng ngẫu nhiên, cả loại rời rạc lẫn loại liên tục, ng−ời ta sử dụng luật phân bố tích phân, cũng còn gọi lμ hμm phân bố. Luật phân bố tích phân F(x) của đại l−ợng ngẫu nhiên X đ−ợc định nghĩa lμ xác suất để cho đại l−ợng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn một số x nμo đó: F(x) = P(X<x), (1.1.1) ở đây P(X<x) lμ ký hiệu xác suất của sự kiện X<x. Nếu xem đại l−ợng ngẫu nhiên X nh− lμ vị trí của điểm trên trục số, thì giá trị của hμm F(x) có nghĩa lμ xác suất để điểm nμy nằm bên trái điểm x. Sự lý giải hình học nh− vậy lμm rõ các tính chất sau đây của hμm phân bố: 1) F(x) lμ hμm không giảm theo đối số, có nghĩa với x2>x1 thì F(x2)≥F(x1); 2) F(−∞) = 0 nh− lμ xác suất của sự kiện bất khả; 3) F(+∞) = 1 nh− lμ xác suất của sự kiện tất yếu. Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc giá trị hμm phân bố F(x) lμ tổng xác suất pi của mọi giá trị có thể xi nhỏ hơn x, tức lμ: F x P X xi x xi ( ) ( )= = <  (1.1.2) Hình 1.1 0 α β x F(x) Hình 1.2 Từ đó thấy rằng, đồ thị hμm phân bố của đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc lμ đ−ờng bậc thang có các điểm gián đoạn tại xi, vμ giá trị đột biến ở các điểm đó bằng pi = P(X=xi). Trên hình 1.1 dẫn đồ thị hμm phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên lμ số điểm xuất hiện khi gieo con xúc xắc. Trong tr−ờng hợp nμy mỗi một giá trị trong số các giá trị từ 1 đến 6 10 t−ơng ứng với cùng xác suất p=1/6. Đồ thị hμm phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục mμ các giá trị có thể của nó lấp đầy một khoảng [a, b] nμo đó th−ờng lμ một đ−ờng cong liên tục tăng từ 0 đến 1 (hình 1.2). Tuy nhiên, có thể đ−a ra những ví dụ về đại l−ợng ngẫu nhiên mμ giá trị có thể của nó lấp đầy hoμn toμn một khoảng nμo đó, nh−ng đồ thị hμm phân bố lại có điểm gián đoạn. Đại l−ợng ngẫu nhiên nh− vậy gọi lμ đại l−ợng ngẫu nhiên dạng hỗn hợp. Đại l−ợng ngẫu nhiên dạng hỗn hợp trên thực tế hiếm khi gặp. Sau nμy ta sẽ gọi đại l−ợng ngẫu nhiên mμ hμm phân bố của nó liên tục vμ khả vi lμ đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục. Khi đã biết hμm phân bố có thể xác định đ−ợc xác suất để đại l−ợng ngẫu nhiên nhận giá trị trong khoảng cho tr−ớc. Ta hãy xác định xác suất P(a ≤ X <b) lμ xác suất mμ đại l−ợng ngẫu nhiên X nhận giá trị lớn hơn hoặc bằng a vμ nhỏ hơn b. Xác suất P(X<b) để cho đại l−ợng ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ hơn b có thể coi nh− tổng xác suất của hai sự kiện xung khắc P(X<b) = P(X<a) + P(a ≤ X <b). (1.1.3 Từ đó: P(a ≤ X ≤b) = P(X<b) − P(X<a) = F(b) − F(a). (1.1.4) Nh− vậy, xác suất mμ đại l−ợng ngẫu nhiên nhận giá trị trong khoảng cho tr−ớc, hoặc nh− ng−ời ta th−ờng nói lμ đại l−ợng ngẫu nhiên rơi vμo khoảng cho tr−ớc, bằng số gia hμm phân bố trên khoảng đó. Bây giờ ta xét đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục X vμ thu hẹp khoảng, cho b tiến đến a. Khi đó do tính liên tục của hμm phân bố, F(b) sẽ tiến đến F(a). Nh− vậy, khi lấy giới hạn đẳng thức (1.1.4) vế trái cho xác suất đại l−ợng ngẫu nhiên X nhận giá trị a, còn vế phải dần đến 0. Rõ rμng, đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục xác suất nhận một giá trị cụ thể bất kỳ nμo đó bằng 0. Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục có thể viết công thức (1.1.4) để tính xác suất rơi vμo một khoảng của đại l−ợng ngẫu nhiên d−ới dạng P(a < X <b) = F(a) − F(b) (1.1.5) Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục, hμm phân bố của nó liên tục vμ khả vi, nên có thể sử dụng đạo hμm của hμm phân bố với t− cách lμ luật phân bố, đ−ợc ký hiệu bằng f(x) x )x(F)xx(Flim)x('F)x(f 0x Δ −Δ+ == →Δ (1.1.6) vμ gọi đ−ợc lμ luật phân bố vi phân hay lμ mật độ phân bố. Mật độ phân bố lμ đạo hμm của hμm không giảm F(x) nên nó lμ hμm không âm, tức lμ f(x) ≥ 0 với mọi x. Biểu diễn hμm phân bố F(x) qua mật độ phân bố f(x) rồi lấy tích phân đẳng thức (1.1.6) trong khoảng từ −∞ đến x, ta nhận đ−ợc 11  ∞− x dx)x(f = F(x) − F(−∞) (1.1.7) Vì F(−∞)= 0, nên:  ∞− = x dx)x(f)x(F (1.1.8) Từ các công thức (1.1.6) vμ (1.1.8) ta thấy rằng hμm phân bố vμ mật độ phân bố biểu diễn đ−ợc qua nhau vμ do đó đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục chỉ cần một trong hai hμm phân bố hoặc hμm mật độ lμ đủ để đặc tr−ng cho nó. Ta hãy biểu diễn xác suất rơi của đại l−ợng ngẫu nhiên vμo khoảng cho tr−ớc (a,b) qua mật độ phân bố. Sử dụng (1.1.5) vμ (1.1.8), ta đ−ợc:    ∞− ∞− =−=−=<< b a b a dx)x(fdx)x(fdx)x(f)a(F)b(F)bXa(P . (1.1.9) Từ đó thấy rằng, xác suất rơi của đại l−ợng ngẫu nhiên trong khoảng (a,b) cho tr−ớc bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hμm f(x) (đ−ợc gọi lμ đ−ờng cong phân bố), trục 0x vμ các đ−ờng thẳng x=a, x=b (hình 1.3). Giả sử trong (1.1.9) đặt a = −∞ vμ b = +∞, ta nhận đ−ợc:  ∞ ∞− ==+∞<<−∞ dx)x(f1)X(P , (1.1.10) tức lμ tổng diện tích nằm d−ới đ−ờng cong phân bố bằng 1. Hình 1.3 Để tích phân xác định trong (1.1.10) hội tụ, điều kiện cần lμ lim x→−∞ f(x) = 0 vμ lim x→+∞ f(x) = 0, có nghĩa lμ trong tr−ờng hợp đại l−ợng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị trong khoảng vô hạn thì trục 0x phải lμ tiệm cận của đ−ờng cong phân bố về cả hai h−ớng. 12 Ta lấy một điểm x tuỳ ý vμ một đoạn phần tử dx kế cận nó (xem hình 1.3). Đại l−ợng f(x)dx gọi lμ xác suất phần tử, với độ chính xác đến vô cùng bé bậc cao hơn, nó xác định xác suất rơi của đại l−ợng ngẫu nhiên trên đoạn phần tử đó. 1.2. Các đặc tr−ng số của đại l−ợng ngẫu nhiên Luật phân bố của đại l−ợng ngẫu nhiên lμ đặc tr−ng đầy đủ nhất của nó. Tuy nhiên, không phải lúc nμo cũng có thể xác định đ−ợc luật phân bố, thông th−ờng ng−ời ta chỉ sử dụng một số đặc tr−ng số biểu thị những nét cơ bản của đ−ờng cong phân bố của đại l−ợng ngẫu nhiên. Đó lμ các mômen phân bố với bậc khác nhau. Mômen gốc bậc k mk[X] của đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc X lμ tổng dạng: i i k ik px]X[m = (1.2.1) với xi lμ các giá trị có thể của đại l−ợng ngẫu nhiên, còn pi lμ xác suất t−ơng ứng của chúng. Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục phép lấy tổng theo các giá trị rời rạc xi đ−ợc thay bằng phép lấy tích phân theo toμn bộ các giá trị của đối số liên tục x. Khi đó xác suất pi đ−ợc thay bằng xác suất phần tử f(x)dx. Nh− vậy, đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục: dx)x(fx]X[m kk  ∞ ∞− = (1.2.2) Mômen gốc bậc nhất m1[X] lμ kỳ vọng toán học của đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ đ−ợc ký hiệu lμ M[X] hoặc mx. Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc: i i ipx]X[M = (1.2.3) Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục: dx)x(fx]X[M  ∞ ∞− = (1.2.4) Mômen gốc bậc k lμ kỳ vọng toán học của đại l−ợng ngẫu nhiên luỹ thừa k, tức lμ: mk[X] = M[X k] (1.2.5) Độ lệch của đại l−ợng ngẫu nhiên X khỏi kỳ vọng toán học của nó đ−ợc gọi lμ đại l−ợng ngẫu nhiên qui tâm vμ ký hiệu bởi X o X o =X−mx (1.2.6) Mômen trung tâm bậc k μk[X] của đại l−ợng ngẫu nhiên X lμ mômen gốc bậc k của đại l−ợng ngẫu nhiên qui tâm: μk[X] = mk[ X o ] = M[ X o k] = M[(X−mx) k]. (1.2.7) Mômen trung tâm bậc k lμ kỳ vọng toán học của đại l−ợng ngẫu nhiên qui tâm luỹ 13 thừa k. Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc: i k x i i p)mx(]X[M −= (1.2.8) Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục: dx)x(f)mx(]X[ kxk  ∞ ∞− −=μ (1.2.9) Mômen trung tâm bậc nhất luôn luôn bằng không. Thật vậy, đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục: =−=−=μ  ∞ ∞− dx)x(f)mx(]mX[M]X[ xx1 0mmdx)x(fmdx)x(xf xxx =−=−=  ∞ ∞− ∞ ∞− Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc: 0mmpmpxp)mx(]X[ xx i ix i ii i ixi1 =−=−=−=μ  Các mômen gốc lμ các mômen của đ−ờng cong phân bố so với trục tung. Mômen trung tâm lμ mômen của đ−ờng cong phân bố so với trục đi qua trọng tâm của đ−ờng cong đó. Mômen trung tâm bậc hai đ−ợc gọi lμ ph−ơng sai của đại l−ợng ngẫu nhiên vμ ký hiệu lμ D[X] hay Dx. Dx = μ2[X] = M[(X−mx)2] (1.2.10) Ph−ơng sai lμ kỳ vọng toán học của bình ph−ơng độ lệch của đại l−ợng ngẫu nhiên khỏi kỳ vọng toán học của nó. Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc: i 2 x i i p)mx(]X[D −=  (1.2.11) Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục: dx)x(f)mx(]X[D 2x ∞ ∞− −= (1.2.12) Ph−ơng sai của đại l−ợng ngẫu nhiên lμ đặc tr−ng cho sự phân tán, tản mạn của đại l−ợng ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học. Ph−ơng sai có thứ nguyên lμ bình ph−ơng thứ nguyên của đại l−ợng ngẫu nhiên. Để có đ−ợc đặc tr−ng phân tán cùng thứ nguyên với đại l−ợng ngẫu nhiên ng−ời ta sử dụng độ lệch bình ph−ơng trung bình, bằng căn bậc hai của ph−ơng sai vμ đ−ợc ký hiệu lμ σ[ ]X hoặc σx, xx D=σ . Mômen trung tâm bậc ba dùng để đặc tr−ng cho tính bất đối xứng của phân bố. Nếu đ−ờng cong phân bố lμ đối xứng đối với kỳ vọng toán học thì mọi mômen trung tâm 14 bậc lẻ bằng không. Thực vậy, ví dụ đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục, từ (1.2.9) ta có: dx)x(f)mx(]X[ 1k2x1k2  ∞ ∞− + + −=μ . Thay biến y = x − mx trong tích phân, khi đó: =+=μ  ∞ ∞− + dy)my(yf]X[ x1k2 dy)my(yfdy)my(yf 0 x 0 x  ∞ ∞− +++ . Trong tích phân đầu tiên, khi thay y = −z, ta đ−ợc: dy)my(yfdz)zm(zf]X[ 0 x 0 x1k2  ∞∞ + ++−−=μ = 0dx)mx(xfdx)xm(xf 0 x 0 x =++−−=  ∞∞ vì hμm f(x) đối xứng đối với mx: f(mx+x) = f(mx−x) Để đặc tr−ng cho tính bất đối xứng, ng−ời ta chọn một mômen đầu tiên trong số những mômen trung tâm bậc lẻ khác không, tức lμ μ3. Ngoμi ra, để có một đại l−ợng vô thứ nguyên đặc tr−ng cho tính bất đối xứng của phân bố, ng−ời ta dùng đại l−ợng: 3 3S σ μ = , (1.2.13) gọi lμ hệ số bất đối xứng. Mômen trung tâm bậc bốn đặc tr−ng cho sự nhọn của đỉnh, sự dốc đứng của đ−ờng cong phân bố, đặc tr−ng đó gọi lμ độ nhọn vμ đ−ợc xác định theo công thức: 3E 4 4 − σ μ = . (1.2.14) Đối với loại phân bố th−ờng gặp lμ phân bố chuẩn, nh− sẽ thấy trong mục 1.5, μ4/σ4 = 3, có nghĩa lμ E=0.