Công thức của vận may

Công thức của vận may "Công thức của vận may" là một trong những cuốn sách hấp dẫn nhất của William Poundstone (tác giả cuốn sách bán chạy tại Việt Nam "Làm thế nào dịch chuyển núi Phú Sĩ?"). Tác giả tiết lộ bí mật về một công thức toán học - được gọi là "Công thức Kelly" giúp bạn nắm bắt được vận may tại sòng bạc và sàn chứng khoán. Một cuốn sách kết hợp giữa cờ bạc, cá ngựa, đầu tư chứng khoán và sự chính xác của toán học, một cuốn cẩm nang cho những người muốn áp dụng công thức Kelly để làm giàu. ENTROPY Claude Shannon Cuộc đời là một trò đỏ đen. Trên thế giới này có rất ít những điều chắc chắn, và trong việc tuyển mộ mang tính chuyên môn và cạnh tranh cao thì còn hiếm hoi hơn nữa. Claude Shannon là một người đáp ứng được những yêu cầu khắt khe cần thiết trong môi trường đó. Đây là lý do vì sao Viện công nghệ Massachusetts (Massachusttes Institute of Technology – MIT) đang chuẩn bị mọi thứ cần thiết để lôi kéo bằng được Shannon từ Phòng thí nghiệm Bell (Bell Labs) của AT&T và vì sao họ rất vui mừng khi Shannon bắt đầu công việc của một giáo sư thỉnh giảng tại MIT vào năm 1956. Shannon đã làm những việc mà trên thực tế chưa một ai từng nghĩ đến kể từ sau thời kỳ Phục Hưng. Một mình ông đã phát minh ra môn khoa học mới rất quan trọng. Lý thuyết về thông tin của Shannon là một môn khoa học trừu tượng về sự giao tiếp qua máy tính, mạng Internet và tất cả các phương tiện truyền thông kỹ thuật số khác. Toby Berger thuộc trường Đại học Cornell đã nhận xét về phát minh này như sau: “Người ta nói đó là một trong số ít lần trong lịch sử mà cùng lúc một người vừa tìm ra lĩnh vực mới, đặt ra những câu hỏi cần thiết, tìm ra cách chứng minh và trả lời được tất cả những câu hỏi đó.” “Ngay khi gặp Shannon, tôi đã biết ông ấy là chuẩn mực của những gì mà một nhà khoa học cần có.” Marvin Minsky của Viện công nghệ MIT nói. “Bất kể có chuyện gì xảy ra, ông ấy cũng vui vẻ đón nhận và đương đầu với nó bằng sự khéo léo đáng kinh ngạc – phẩm chất có thể được coi là một khái niệm chuyên môn mới – hoặc bằng một cái búa rồi đứng nhìn những mảnh gỗ của nó.” Có rất nhiều người ở Bell Labs và MIT so sánh trí tuệ của Shannon với Enstein. Một số người khác còn cho rằng so sánh như vậy là bất công – bất công với Shannon. Những phát minh của Enstein hầu như chẳng có tác dụng gì đối với cuộc sống của những con người bình thường. Còn những phát minh của Shannon thì được ứng dụng từ những năm 1950. Trong thời đại kỹ thuật số của chúng ta, ý nghĩa của những thành tựu mà Shannon đạt được đôi khi không thể diễn đạt bằng lời. “Nó cũng giống như khi nói bảng chữ cái có tác dụng như thế nào đối với văn chương vậy” – Giáo sư Solomon W.Golomb thuộc trường Đại học Southern California quả quyết. Shannon đã đưa ra ý tưởng rằng các máy tính nên sử dụng các con số nhị phân quen thuộc 0 và 1. Ông miêu tả cách thức những số nhị phân này có thể được biểu diễn trong các mạch điện. Dòng điện mức cao biểu diễn số 1, dòng điện mức thấp biểu diễn số 0. Bộ mã nhỏ nhất này có thể chuyển tải được từ ngữ, hình ảnh, tiếng động, đoạn phim hay bất kỳ dạng thông tin nào khác. Shannon là một trong số hai hay ba nhà phát minh đầu tiên nghĩ ra máy tính số điện tử. Nhưng đây chưa phải là thành tựu lớn nhất của Shannon. Thành công lớn nhất của Shannon là lý thuyết thông tin. Đây là lý thuyết hoàn chỉnh nhất, tổng hợp tất cả những vấn đề mà những người đi trước đã đưa ra. Trong suốt những năm 1960, 1970 và 1980, hiếm có năm nào trôi qua mà không bị ảnh hưởng bởi bởi “xu hướng” kỹ thuật số khiến tầm ảnh hưởng của Claude Shannon trở nên rộng hơn bao giờ hết. Máy thu thanh bán dẫn, mạch tích hợp, các máy tính trung ương, hệ thống liên lạc vệ tinh, máy tính cá nhân, sợi quang, truyền hình có độ phân giải cao (HDTV), điện thoại di động, thực tế ảo, chuỗi DNA… Về chi tiết thì Shannon hầu như không đóng góp gì vào việc tạo nên những phát minh này. Nhưng nếu nói trên một phạm vi rộng hơn thì toàn bộ thế giới điện tử hữu tuyến và vô tuyến đều kế thừa những thành tựu của Shannon. Rất nhiều nhà báo và chuyên gia lúc bấy giờ đang cố gắng tạo nên thời đại của kỹ thuật số. Tên tuổi của Shannon cứ thế tăng lên. Trong công trình nghiên cứu lý thuyết thông tin được đăng năm 1948, Shannon đã liệt kê những học vị danh dự cho phần còn lại của cuộc đời. Tuy thế ông vẫn giữ thói quen treo áo khoác tô ga** lên cái giá để máy giặt khô ở nhà. Shannon là vị anh hùng trong thời đại vũ trụ cũng như thế giới của những câu chuyện viễn tưởng về máy tính. Cuộc cách mạng kỹ thuật số đã đưa “bit” và “byte” – những đơn vị đo lường khó hiểu trong lĩnh vực điện tử của Shannon – trở nên quen thuộc và phổ biến hơn với mọi gia đình như “watt” và “calori” vậy. Nhưng nếu như có một nhà báo hay một vị khách hỏi gần đây Shannon đang làm gì thì câu trả lời thường mang tính lảng tránh. Robert Fano, một người bạn lâu năm của Shannon đang làm cho MIT giải thích: “Khi cầm bút, anh ấy viết những bài báo thật hay. Khi nói, anh ấy có những bài phát biểu thú vị. Nhưng Shannon ghét những việc ấy”. Năm 1958, Shannon đồng ý làm việc lâu dài cho MIT trên cương vị một giáo sư chuyên ngành khoa học viễn thông và toán học. Hầu như ngay khi đến đây làm việc, “Shannon ít xuất hiện hơn. Ông cũng ít đưa ra những kết quả nghiên cứu mới”, nhà kinh tế học nổi tiếng Paul Samuelson của MIT nhớ lại. Trên thực tế, Shannon chỉ làm việc cho MIT trong một vài kỳ mà thôi. Theo nhà nghiên cứu lý thuyết thông tin Peter Elias cũng thuộc MIT thì “nhiệm vụ của Claude là đưa ra một chuỗi bài giảng nghiên cứu về những lĩnh vực mà chẳng ai biết về chúng. Thế nhưng, công việc này đòi hỏi rất khắt khe về tốc độ, trên thực tế, mỗi tuần ông ấy phải hoàn thành một bài nghiên cứu.” Vì thế, chỉ sau một vài kỳ, Shannon đã cho MIT biết rằng ông không muốn tiếp tục giảng dạy ở viện này nữa. Và đối với MIT thì điều đó cũng không thành vấn đề. MIT chỉ là một trong số nhiều viện nghiên cứu lớn trên thế giới mà thôi. Tuy nhiên, Shannon cũng không cho công bố nhiều bài nghiên cứu nữa. Trong khi đồng nghiệp của ông ở Bell Labs là John Nash có một trí tuệ khá tuyệt vời thì Shannon lại “có một lối suy nghĩ khá kì dị”, David Slepian nói. Tài năng thiên bẩm của Shannon cũng tựa như của Leonardo, thường “nhảy cóc” từ đề tài nay qua đề tài khác, kết quả là có rất ít những đề tài hoàn chỉnh. Shannon là một người cầu toàn, ông không thích công bố bất kỳ vấn đề gì khi mà tất cả những khúc mắc còn chưa được trả lời, ngay cả câu văn cũng phải thật hoàn thiện. Trước khi chuyển đến MIT, Shannon đã xuất bản được 78 bài báo nghiên cứu khoa học. Thế nhưng từ năm 1958 đến 1974, ông chỉ xuất bản được 9 bài. Trong thập kỷ tiếp theo, trước khi căn bệnh Alzhmeimer đặt dấu chấm hết cho sự nghiệp của Claude Shannon, tổng số tác phẩm nghiên cứu khoa mà ông cho xuất bản chỉ là một bài báo về trò tung hứng. Shannon cũng có một bài nghiên cứu nữa về khối Rubic nhưng không bao giờ được xuất bản. Có một bí mật mà ở MIT ai cũng biết, đó là sau khi ngừng công việc nghiên cứu, một trong những bộ óc vĩ đại nhất thế kỷ 20 ấy dành tất cả thời gian để chơi đồ chơi. Paul Samuelson nói: “Một vài người tự hỏi không biết có phải ông ấy bị suy nhược thần kinh hay không. Vài người khác thì cho rằng đó chỉ là một phần trong tính cách bị ảnh hưởng bởi căn bệnh thích lánh mình.” Shannon là một người khá dè dặt và nhã nhặn, dường như không biết đến đố kỵ, thù hận hay tham vọng. Hầu hết những ai biết Shannon đều thấy quý mến con người này. Ông cao gần 1m6, dáng người mảnh khảnh, thư sinh, ăn mặc gọn gàng. Ở tuổi trung niên, ông bắt đầu để râu quai nón và chăm sóc nó khá cẩn thận, khiến ông trông càng đạo mạo hơn. Shannon thích nghe nhạc của vùng phía Nam nước Mỹ. Ông có thể tung hứng với 4 quả bóng một lúc và tiếc là bàn tay mình hơi nhỏ hơn bình thường, nếu không ông đã có thể tung 5 quả một lúc. Shannon tự miêu tả mình là một người vô thần và phi chính trị. Bằng chứng duy nhất về thái độ của ông đối với chính trị mà tôi tìm thấy trong những bài báo của ông là một bài thơ hài hước mà ông viết về vụ Watergate. Phần lớn thời gian trong cuộc đời Shannon gắn với cây bút chì. Ông viết lên giấy những phương trình toán học, sơ đồ mạch điện, bản nháp những bài phát biểu mà ông sắp diễn thuyết hay những bài viết không bao giờ được xuất bản, phổ nhạc cho những bài thơ vui nhộn và những điều ghi nhớ kì quặc cho mình. Một trong những ghi chú đó là danh sách “Những niềm đam mê một thời”, bao gồm cờ vua, xe đạp một bánh, tung hứng, thị trường chứng khoán, phả hệ học, chạy bộ, các nhạc cụ, nhạc jazz, và “Tham gia vào giới giang hồ”. Sở thích cuối cùng này quả là một sự khó hiểu đầy khiêu khích. Trong một cuộc phỏng vấn, Shannon đã kể một cách “đầy trìu mến” về lần đi xem những vũ công ở một sân khấu kịch tục tĩu như một gã trai trẻ. Ở Bell Labs, Shannon nổi tiếng với trò đi xe đạp một bánh dọc các hành lang. Với tính cách của mình, chỉ lái chiếc xe đó thôi là chưa đủ, ông phải tìm mọi cách “giải phẫu” nó để tìm ra nguyên lý hoạt động và điều khiển nó. Ông tự hỏi chiếc xe đạp một bánh có thể nhỏ đến mức nào mà vẫn có thể lái được. Để giải đáp thắc mắc của mình, ông dựng một chuỗi những chiếc xe đạp một bánh theo thứ tự nhỏ dần. Chiếc nhỏ nhất cao 45,72 cm. Không ai có thể điều khiển được nó. Ông dựng tiếp một chiếc khác, bánh xe của nó được ông cố ý chế tạo không cân đối nhằm gây thêm khó khăn cho người lái. Cuối cùng, Shannon nói với một vẻ hài lòng về thành tích của mình, đó là vừa lái một chiếc xe một bánh xuống phòng họp của Bell Labs vừa tung hứng. Shannon sinh ngày 30-4-1916 ở Petoskey, bang Michigan. Ông lớn lên ở Gaylord, một thị trấn với 3000 dân thuộc phía trên Michigan, có diện tích nhỏ đến mức chỉ cần đi bộ qua vài khu nhà là hết thị trấn. Cha của Shannon, cũng tên là Claude Elwood Shannon, đã từng làm nhân viên bán hàng, nhà cung cấp đồ nội thất, nhân viên mai táng trước khi trở thành thẩm phán phụ trách những vụ liên quan đến di chúc. Ông cũng kinh doanh bất động sản, xây tòa nhà “Shannon Block” để cho thuê làm văn phòng trên phố Gaylord’s Main. Năm 1909, ông kết hôn cùng Mabel Wolf, hiệu trưởng trường trung học của thị trấn. Con trai của thẩm phán Shannon ra đời khi ông đã bước sang tuổi 54. Ông là một người cha khá thờ ơ, thường để con trai ngồi chơi với mấy bộ lắp ráp và mô hình đài radio. Trong dòng máu của gia đình Shannon có sẵn truyền thống sáng tạo. Thomas Edison là bà con họ xa với gia đình. Ông của Shannon là người đã tự thiết kế một chiếc máy giặt tự động. Từ nhỏ đến lớn, Claude đều tự mày mò ra mọi thứ, mà hầu hết là do hoàn cảnh bắt buộc. Ví dụ một lần, khi còn bé, Shannon đã tự tạo ra một cái máy điện báo để nhắn tin cho một cậu bạn. Nhà cậu bé này cách nhà Shannon nửa dặm, Shannon không đủ tiền để mua dây điện. Một hôm Shannon nhận thấy hàng rào ngăn cách giữa các nhà được làm từ dây thép gai. Và thế là cậu gắn những manip vào cuối mỗi hàng rào. Ý tưởng này đã đem lại kết quả. Tìm ra những giải pháp mạch lạc và ổn thỏa cho những vấn đề phức tạp là một khả năng đặc biệt của Shannon. Shannon kiếm tiền bằng cách làm chân giao nhận cho Western Union. Năm 1936, ông hoàn thành bằng Cử nhân khoa học tại trường Đại học Michigan. Lúc này, ông hầu như không có chút khái niệm gì về việc muốn làm gì tiếp theo. Một lần ông bất chợt nhìn thấy một tấm bưu ảnh đính trên tường nói về việc Viện công nghệ Massachusetts đang cần một người làm công việc bảo dưỡng những chiếc máy phân tích vi phân mới. Shannon đã nộp đơn xin việc. Ông gặp Vannevar Bush - người đã thiết kế ra chiếc máy, kỹ sư trưởng của MIT, một người đàn ông biết nhìn xa trông rộng, đeo kính và không bao giờ thiếu cái tẩu thuốc trên môi. Bush hay đưa ra những lời khuyên cho các vị chủ tịch công ty về tương lai rực rỡ huy hoàng của ngành công nghệ. Một trong những câu nói hài hước mà ông ưa thích là “mọi thứ sớm hơn bạn tưởng”. Lúc bấy giờ, chiếc máy phân tích vi phân của Bush là chiếc máy tính nổi tiếng nhất. Kích thước của nó bằng khoảng 2 cái ga-ra ô tô cộng lại, hoạt động bằng điện, về cơ bản theo nguyên lý cơ học, có rất nhiều bánh răng, động cơ mô tô và cần trục. Vị trí của những bánh răng và cần trục thể hiện các con số. Bất cứ khi nào có sự cố, các liên kết cơ học đều phải ngừng lại và phải sửa chữa bằng tay. Các bánh răng phải liên tục được bôi trơn, tỉ lệ giữa các bánh răng tương ứng với tỷ lệ của các con số. Đây là công việc của Shannon. Phải mất vài ngày hoạt động thì chiếc máy này mới có thể đưa ra một phương trình, sau đó muốn nó giải phương trình thì phải cung cấp thêm thông tin. Sau khi hoàn thành, chiếc máy vẽ một đồ thị bằng cách di chuyển cây bút trên tờ giấy được cố định trên một chiếc bảng. Shannon hiểu rằng chiếc máy phân tích vi phân thực chất là hai cỗ máy. Một máy tính cơ học được điều khiển bằng một máy tính điện năng. Suy nghĩ về chiếc máy này, Shannon nhận thấy các mạch điện có thể tính toán hiệu quả hơn so với những liên kết cơ học. Ông hình dung ra một chiếc máy lý tưởng với những con số có thể được biểu thị bằng trạng thái của những mạch điện. Sẽ không có gì cần phải bôi trơn hàng ngày, cũng không có gì để lo bị gãy. Shannon đã học toán tử logic, một môn học mới lạ đối với các kỹ sư. Toán tử logic quan tâm đến những khái niệm đơn giản như TRUE (Đúng) hay FALSE (Sai) và những quan hệ logic như AND, OR, NOT, IF. Những quan hệ logic này có thể được kết hợp với nhau. Shannon nghiên cứu vất vả nhằm mã hóa từng khái niệm logic này vào một mạch điện. Khi thành công ông vô cùng thích thú. Trên thực tế, ông đã chứng minh được rằng một chiếc máy tính điện kỹ thuật số có thể tính toán được bất cứ phép tính nào. Ngay lập tức, Shannon công bố ý tưởng này vào năm 1937 (trong vài năm sau đó, ông không vội vã công bố bất kỳ điều gì nữa) và được đánh giá là ý tưởng quan trọng nhất mọi thời đại. Vannevar Bush bị ấn tượng mạnh mẽ đến nỗi ông nhất quyết yêu cầu khoa toán phải chấp nhận Shannon tiến hành làm luận án tiến sĩ – một điều rất cần thiết nếu muốn trở thành một kỹ sư điện giỏi. Một đồng nghiệp của Bush là Norbert Wiener cũng có ấn tượng mạnh mẽ với Shannon. (Khi Wiener có ấn tượng không tốt với ai đó, mà chuyện này thường xảy ra, ông có thói quen viết một câu chuyện châm biếm về họ vào một quyển truyện của mình và không bao giờ xuất bản. Bush cũng có mặt trong quyển truyện này.) Wiener nhận thấy sự ưu việt ở cách tính kỹ thuật số của Shannon so với máy tính tương tự của Bush. Với sự ủng hộ của hai nhà khoa học nổi tiếng này, Shannon bắt đầu nổi tiếng trong giới trí thức ở tuổi 21. Tuy nhiên, Bush cũng bày tỏ sự lo ngại về Shannon. Ông cảnh báo với một đồng nghiệp như đã viết năm 1939: “Dường như Shannon là một thiên tài, rõ ràng không giống với những thanh niên bình thường. Anh ta quá dè dặt, quá kín đáo, quá nhã nhặn. Kiểu người như thế sẽ bị loại ra khỏi đường đua một cách dễ dàng.” Bush tin Shannon là một tài năng bậc nhất trên thế giới, một tài năng có thể đi theo bất kì chiều hướng nào. Bush sợ rằng Shannon sẽ không thể tự định hướng trong công việc. Có đôi chút mỉa mai trong lời nhận xét này, vì đối với Bush, cháu của một thuyền trưởng, việc phải tuân theo lời chỉ bảo của bất cứ ai thật không dễ dàng gì. Bush tự bổ nhiệm mình làm thầy hướng dẫn của Shannon. Quyết định đầu tiên và duy nhất mà ông đưa ra cho sự nghiệp của Shannon là một lời khuyên hơi khác thường. Ông gợi ý Shannon nên làm luận án tiến sĩ về di truyền học. Ngày nay, đây có thể không phải là một ý tưởng quá kì cục vì “DNA là một chuỗi thông tin” đang là câu cửa miệng của tất cả mọi người. Thế nhưng lúc bấy giờ không một ai nghĩ đến điều này. Cấu trúc chuỗi DNA vẫn còn là một bí ẩn. Chính xác hơn thì Shannon chẳng biết gì về di truyền học cả. Shannon đọc một ít sách rồi nhanh chóng tự mình hoàn thành một bản luận án nháp. Bush chuyển bản nháp này cho một vài nhà di truyền học mà không cho Shannon biết. Tất cả những nhà khoa học này đều đồng ý đây là một bước tiến bộ lớn. Vấn đề đã được quyết định. Bush giúp Shannon thiết lập mối quan hệ với Barab Burks, người điều hành Văn phòng nghiên cứu thuyết ưu sinh (The Eugenics Record Office) ở Phòng thí nghiệm Cold Spring Harbor, Long Island. Văn phòng này là một trong những nơi cuối cùng còn nghiên cứu về thuyết ưu sinh đang “hấp hối”. Điều quan trọng đối với Shannon là ở đây có những ghi chép có quy mô lớn nhất thế giới về những kế thừa sinh học. Ví dụ, trong nhiều năm, tổ chức này đã gửi cộng tác viên đến các rạp xiếc để phỏng vấn những chú lùn và phác họa lại dòng giống của họ. Văn phòng này đã ghi chép và miêu tả lại những di truyền về các thuộc tính như màu tóc, bệnh máu không đông, sự kém thông minh và tình yêu với biển ở những người lùn. Trong thời gian ở phòng thí nghiệm Cold Spring Harbor, Shannon nhận thấy sự liên quan về mặt toán học giữa thuyết di truyền học của Melden và thuyết tương đối của Einstein (!). Phát hiện đáng ngạc nhiên này đã trở thành nền tảng cho luận án của ông, có tựa là “Đại số học dành cho thuyết di truyền”. Hầu như tất cả những ai được đọc luận văn này đều nghĩ rằng đây là một bài luận xuất sắc. Thực ra hiếm có người nào đọc nó một cách thực sự. Sau khi lấy được bằng tiến sĩ, theo thói quen không tốt của mình, Shanon từ bỏ ngành sinh học. Các kết quả nghiên cứu của ông không bao giờ được công bố trên báo chí, bất chấp ý muốn của ông và Bush muốn làm điều đó. Thành tựu quan trọng nhất của Shannon trong lĩnh vực này chỉ được các nhà di truyền học khám phá ra trong khoảng 5 đến 10 năm sau đó. Tháng 10 năm 1939, Shannon gặp Norma Levor, nữ sinh trường Radcliffe trong một bữa tiệc của MIT. Levor luôn nhớ đến Shannon như một chàng trai “rất dễ thương” đứng ở cửa ra vào, trông có vẻ xa cách lạ thường. Cô thu hút sự chú ý của Shannon bằng cách ném một túi bỏng ngô cho chàng trai. Họ nói chuyện, rồi hẹn hò. Norma khi ấy 19 tuổi và rất xinh đẹp, là con gái của một gia đình thuần Do Thái giàu có ở New York. Những nữ sinh trường Radcliffe không được phép cho bạn trai vào phòng mình, vì thế họ phải hẹn nhau ở phòng để máy phân tích vi phân – một nơi không ai nghĩ tới. 10-1-1940, Norma và Claude làm lễ cưới ở Boston và hưởng tuần trăng mật ở New Hampshire. Khi Shannon đến đặt phòng ở một khách sạn, người ta nói với ông: “Ở đây hai người sẽ không được vui vẻ đâu.” Shannon có những nét giống Đức chúa, Norma nhớ lại, điều này hẳn đã khiến người quản lý nghĩ ông là người Do Thái. Họ đi đến một nơi khác. Tháng Ba, Shannon mới viết thư cho Bush thông báo về lễ cưới. Ông nói hai người đã chuyển đến một ngôi nhà ở Cambridge và cuộc sống vẫn chưa thực sự ổn định. Trong thư Shannon cũng nói với Bush về ý tưởng mới mà mình đang nghiên cứu: tìm ra cách tốt hơn để thiết kế kính hiển vi. “Thầy có nghĩ ý tưởng này đáng để bỏ công sức ra nghiên cứu không?” Shannon hỏi Bush. Ông lưu ý là Thornton Fry của Bell Labs đã ngỏ ý mời ông đến làm việc. Shannon viết: “Em không chắc là công việc đó sẽ hấp dẫn với em, vì có vài hạn chế ở một tổ chức công nghiệp như thế, ví dụ như việc phân loại những lĩnh vực nghiên cứu chẳng hạn.” AT&T đang chuyển phần lớn những phòng nghiên cứu từ Manhattan đến một khu ngoại ô rộng lớn ở Murray Hill, New Jersey. Shannon trải qua một mùa hè làm việc ở khu Greenwich Village của Bell Labs. Norma nhớ đó là khoảng thời gian hạnh phúc nhất trong cuộc hôn nhân ngắn ngủi của họ. Cô và Claude thường xuyên đến các quán nhạc jazz. Điểm đến tiếp theo của họ là Viện Nghiên cứu Cao cấp (Institute for Advanced Study) ở Princeton. Nơi đây là quê nhà của Einstein, Godel và von Neumann. Shannon làm việc dưới quyền của Hermann Weyl, nhà vật lý và toán học. Ông nghiên cứu về