Cường độ kéo tách và phát triển vết nứt của đá đồng nhất theo lớp trong thí nghiệm brazilian

Hội nghị Khoa học kỷ niệm 50 năm ngày thành lập Viện KHCN Xây dựng CƯỜNG ĐỘ KÉO TÁCH VÀ PHÁT TRIỂN VẾT NỨT CỦA ĐÁ ĐỒNG NHẤT THEO LỚP TRONG THÍ NGHIỆM BRAZILIAN Đinh Quốc Dân* TÓM TẮT: Cường độ kéo tách và phát triển vết nứt của đá đồng nhất theo lớp được nghiên cứu bằng thí nghiệm Brazilian trên đá gneiss và slate, 2 mẫu đá đặc trưng có tính dị hướng theo lớp của đá. Với 332 mẫu thí nghiệm tương ứng với ma trận {7x7} các trường hợp khác nhau thể hiện tính dị hướng thông qua thế nằm của mặt yếu và phương của tải trọng tác dụng. Kết hợp mô phỏng số các trường hợp đã cho kết quả ảnh hưởng của tính dị hướng tới kết quả cường độ kéo tách và sự hình thành phát triển vết nứt của đá trong không gian 3 chiều. Đồng thời, kết quả mô phỏng số đã làm sáng tỏ tính phức tạp của cơ chế phá hoại trong từng mẫu đá, sự phát triển vết nứt trong mẫu tương ứng với mức độ thay đổi đặc trưng tính dị hướng của đá. TỪ KHOÁ: thí nghiệm Brazilian; cường độ kéo tách; đá dị hướng; mặt phân lớp; hệ số dị hướng 1 GIỚI THIỆU Thí nghiệm Brazilian hay còn gọi thí nghiệm kéo tách là phương pháp gián tiếp xác định cường độ kéo cho đá và các vật liệu dòn khác. Thí nghiệm này được sử dụng rộng rãi trong cơ học đá nhờ việc chuẩn bị mẫu đơn giản, thiết bị thí nghiệm trên máy chuyên dụng hoặc đơn giản trên máy nén một trục sử dụng mẫu đĩa tròn hay trụ tròn chịu nén xuyên tâm. Dưới lực nén đối xứng phân bố đều trên 2 cung tròn của ngàm gia tải, theo lý thuyết, mẫu thí nghiệm bị phá hoại theo trạng thái ứng suất 2 trục (nén theo phương thẳng đứng và kéo theo phương ngang) phát triển từ tâm mẫu. Cường độ kéo lớn nhất khi phá hoại xảy ra tại tâm mẫu và kết quả mẫu bị tách thành 2 nửa [1]. Thí nghiệm Brazilian được phát triển từ năm 1943 [2]. Những nghiên cứu liên quan đến cường độ kéo cho đá đồng nhất đã được nghiên cứu nhiều, tuy nhiên những nghiên cứu trên đá dị hướng cho đến giờ còn hạn chế [3-5]. Việc diễn giải kết quả thí nghiệm cho đá dị hướng còn giới hạn do phương trình đầy đủ trường ứng suất-biến dạng và cơ chế phá hoại cơ học chưa thoả đáng [1, 6-12]. Rất ít những nghiên cứu có tính hệ thống kể đến ảnh hưởng của cấu trúc phân lớp (thế nằm, mặt yếu) đến cường độ kéo cho tới thời điểm hiện nay [5, 7, 13]. Kết quả nghiên cứu thực nghiệm bằng thí nghiệm Brazilian cho các mẫu có hướng khác nhau theo mặt yếu và hướng tải trọng tác dụng lại càng giới hạn, dẫn đến diễn giải kết quả thí nghiệm cường độ kéo trong nhiều trường hợp chưa chính xác. * Đinh Quốc Dân, Viện CN Địa kỹ thuật – Viện KHCN Xây dựng, dinhdan@yahoo.com (a) Mô hình thí nghiệm (b) Mẫu cát kết bị tách thành 2 nửa Hình 1. Thí nghiệm Brazilian theo đề xuất của ISRM [14]. 2 LỰA CHỌN MẪU THÍ NGHIỆM Mẫu đá được lựa chọn có đặc trưng mức độ đồng nhất khoáng vật và tính dị hướng của cấu trúc khác nhau phụ thuộc vào mức độ phong hoá của đá và nguồn gốc thành tạo từ macma, trầm tích hay biến chất. Mức độ dị hướng của một loại đá cụ thể được định nghĩa bởi sự hiện diện của cấu trúc phần tử về mặt tổng thể như là thế nằm, mức độ phân tầng, phân lớp, nhỏ hơn là cấu trúc phân phiến, khe nứt, dứt gẫy hay rạn nứt hoặc liên kết. Đồng nhất theo lớp cũng là đặc trưng phổ biến được biết đến trong khối đá biến chất theo lớp như đá phiến sét (slate), gneiss, filit (phyllites) hoặc đá phiến (schists). Điểm đáng chú ý của các đá này là đã trải qua quá trình thành tạo có thể đã bộ lộ tính dị hướng theo một hay nhiều hướng như trong mặt phân lớp và thế nằm như đá phiến sét. Những hướng này nhiều khi không song song với nhau dẫn đến đặc trưng tuyến tính theo lớp có thể không trùng với đặc trưng phân lớp. Do tính đặc trưng dị hướng riêng biệt nên đá biến chất được lựa chọn nghiên cứu, cụ thể: mẫu đá Leubsdorfer Gneiss (Le.Gs) lấy từ mỏ đá thung lũng Flöha (Germany) and Mosel Slate (My.Sc) lấy từ vùng Mayen-Koblenz (Germany). Các đá biến chất này có tính dị hướng đặc trưng bởi tầng, lớp hoặc thế nằm giống như đá phiến dầu (shales), cát kết, sét kết, đá vôi hoặc than đá. Trong những loại đá này, đặc trưng dị hướng là kết quả kết hợp phức tạp của quá trình lý hoá kết hợp với sự chuyển dời, ngưng tụ, nén chặt, xi măng hoá.... Ứng xử cơ học của đá theo trạng thái cấu trúc phân tử thường được biết đến như thế nằm, phân tầng, phân lớp thể hiện tính dị hướng của đá [3, 17]. Thí nghiệm trong phòng và mô phỏng từng trường hợp thí nghiệm được tiến hành trên vật liệu đá đồng nhất theo lớp Le.Gs Gneiss và My.Sc Slate được tiến hành bởi Dinh [15] bao gồm cả các thí nghiệm xác định thông số vật liệu khác của 2 loại mẫu đá này như kết quả thí nghiệm nén 1, 3 trục, thí nghiệm âm học sử dụng vận tốc truyền sống xác định khối lượng thể tích theo các hướng chính của vật liệu. Kết quả mô phỏng số cho các trường hợp của từng loại mẫu được so sánh với kết quả thu được từ các thí nghiệm trong phòng tương ứng cho phép diễn giải và đánh giá cường độ kéo theo tính dị hướng của 2 loại vật liệu trên. 3 QUY TRÌNH THÍ NGHIỆM Thí nghiệm Brazilian được tiến hành theo đề xuất phương pháp thử của ISRM và DGGT [14, 18]. Đĩa tròn được nén tới khi phá hoại theo phương pháp tốc độ gia tải không đổi 200 N/s. Các mẫu trụ tròn đường kính D = 50 mm, với tỉ lệ chiều cao trên đường kính h/D = 0,5. Ban đầu, khối đá lấy từ mỏ được khoan lõi trụ đường kính 50 mm và đảm bảo chính xác góc giữa trục của lõi khoan và mặt phân lớp định trước các góc: ψ = 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75° và 90°. Lõi khoan sau đó được cắt thành các mẫu thí nghiệm có chiều dài phù hợp và đảm bảo vuông góc với trục lõi. Mặt mẫu được mài và đánh bóng. Mẫu được kiểm tra kích thước và độ thẳng trục thoả mãn các quy định chặt chẽ trong tiêu chuẩn và được lưu giữ trong môi trường ẩm với nhiệt độ trong phòng. Hình 2. Thiết bị thí nghiệm MTS 20/M (*). Thí nghiệm được thực hiện trên máy MTS 20/M với lực nén tối đa ±100 kN và độ chính xác 0,01%. Sử dụng phầm mềm TestWorks4-System cho phép điểu kiển tự động quá trình gia tải và lưu số liệu. Tải trọng nén được đo bằng cảm biến lực, chuyển dịch được đo bởi cảm biến chuyển dịch vi sai tuyến tính (LVDT) và biến dạng đo bởi giãn kế với độ chính xác tới 0,0002%. Quy trình thí nghiệm được thể hiện trong Hình 3 tương ứng với việc sắp xếp mẫu thí nghiệm theo các góc khác nhau của mặt phân lớp và tải trọng tác dụng. Mặt phân lớp thường là mặt yếu do cường độ kéo và lực dính trên mặt này giảm. Theo quy trình này 2 giá trị góc được định nghĩa, góc phân lớp (ψ) là góc giữa trục mẫu và mặt cấu trúc phân lớp; góc gia tải (β) là góc hợp bởi hướng gia tải và mặt cấu trúc phân lớp. Các góc ψ và β được xoay từ 0° đến 90°, điều này tương ứng với việc xoay mẫu theo 2 phương trực giao. Kết hợp với tính chất đối xứng theo trục của mẫu trụ tròn cho phép hình thành không gian khảo sát 3 chiều cho toàn bộ mẫu. Với mô hình này, lần đầu tiên mẫu thí nghiệm được nghiên cứu một cách hệ thống trong không gian 3D. Các giá trị góc ψ và β được thay đổi với khoảng tăng 15° tạo ra ma trận góc kết hợp {7 × 7} bao trùm tất cả các tập hợp có thể của hướng cấu trúc mặt yếu và hướng gia tải. (*) Thiết bị thí nghiệm tại phòng thí nghiệm cơ học đá, Viện Địa kỹ thuật, TU Bergakademie Freiberg Hình 3. Quy trình thí nghiệm 4 KẾT QUẢ THÍ NGHIỆM ψ β Le.Gs My.Sc ψ 1,000 -0,053 0,602 0,792 β 0,053 1,00 0,286 0,046 Le.Gs 0,602 0,2 6 1,000 0,663 My.Sc 0,792 0,046 0,663 1,000 Tổng số 332 thí nghiệm đã được tiến hành trên 2 loại mẫu đá gồm 160 mẫu Le.Gs Gneiss và 172 mẫu My.Sc slate với các nhóm gồm 3 đến 5 mẫu ứng với mỗi tổ hợp góc ψ và β. Kết quả thí nghiệm cho các mẫu đá được trình bày dưới đây: Loại đá Le.Gs My.Sc Số lượng mẫu 160 172 Giá trị trung bình 16,244 9,408 Độ lệch chuẩn 4,231 5,692 Khoảng lệch 17,905 32,401 Sai số chuẩn 0,335 0,434 Hệ số phân tán 26 % 61 % Bảng 1. Giá trị thống kê cường độ kéo Bảng 2. Hệ số tương quan cường độ kéo Kết quả (Bảng 1) cho thấy đá phiến sét My.Sc có mực độ ảnh hưởng của dị hướng lớn thông qua giá trị hệ số phân tán cao (61 %). Có thể thấy với các đá có tính phân lớp mạnh cường độ kéo khi phá hoại phụ thuộc rất lớn vào góc phân lớp ψ và góc gia tải β. Hệ số tương quan cường độ kéo (Bảng 2) tương ứng với góc ψ và β lần lượt là 0,602 và 0,286 cho Le.Gs (gneiss); 0,792 và 0,046 cho My.Sc (slate) thấy rõ ảnh hưởng của góc phân lớp (ψ) đến cường độ kéo lớn hơn ảnh hưởng của góc gia tải (β) lên giá trị cường độ kéo tách. Hình 4. Kết quả cường độ kéo trung bình của Le.Gs trong toạ độ cực Hình 6. Kết quả cường độ kéo trung bình của My.Sc trong toạ độ cực Hình 5. Kết quả cường độ kéo của Le.Gs với mặt hồi quy đa biến Hình 7. Kết quả cường độ kéo của My.Sc với mặt hồi quy đa biến (a) Le.Gs Gneiss (b) My.Sc Slate Hình 8. Tương quan kết quả thí nghiệm cường độ kéo xác định hệ số mức độ dị hướng Kết quả cường độ chuẩn hoá (Hình 8) lấy giá trị cường độ kéo ứng với ψ = 0° và β = 0° là 1 để xây dựng hệ số dị hướng dựa trên độ lệch cường độ kéo. Ở đây, khái niệm cường độ kéo được hiểu là giá trị cường độ lớn nhất theo lý thuyết tại tâm mẫu khi phá hoại. Thực tế, cơ chế phá hoại trong mẫu không hoàn toàn giống như lý thuyết với trạng thái biến dạng 2 trục kéo-nén dọc theo đường kính đi qua tâm mẫu. Cơ chế phá hoại chiếm ưu thế gây ra vùng biến dạng dẻo quyết định mô hình phá hoại. Mô hình phá hoại trong mẫu thường phức tạp giao thoa giữa cơ chế phá hoại nén-kéo-cắt phụ thuộc vào góc ψ và β. Hệ số dị hướng xác định tương ứng với độ lệch của cường độ đỉnh có thể đạt lần lượt tới 2,65 và 5,24 lần đối với đá gneiss và đá phiến sét. Giá trị này tương ứng với mức độ biến động kết quả thí nghiệm cường độ kéo lên tới 2,65 và 5,24 lần trong đá dị hướng khi xét đến ảnh hưởng của mặt phân lớp và thế nằm. 5 MÔ PHỎNG MÔ HÌNH SỐ Thiết lập mô hình số: Phần mềm chuyên dụng FLAC3D (Fast Lagrangian Analysis of Continua in Three Dimensions) với các hàm FISH thiết lập mô hình thí nghiệm Brazilian bằng hệ lưới dạng khối tứ diện với mật độ cao đặc biệt tại những khu vực tập trung ứng suất trên mẫu mô phỏng. Trình tự mô phỏng thực hiện đúng trình tự thí nghiệm mẫu trong phòng có kể đến tác động của ma sát mặt tiếp xúc giữa mẫu và ngàm nén. Mô hình cho phép mô phỏng quá trình truyền tải trọng thực và ứng xử xẩy ra trong mẫu sát thực nhất có thể so với thí nghiệm thực tế. Hình 9. Mô phỏng mặt tiếp xúc giữa ngàm nén và mặt mẫu Mô hình vật liệu liên tục: Đối với việc mô phỏng thí nghiệm Brazilian cho đá dị hướng sử dụng mô hình bilinear strain-softening ubiquitous-joint [19]. Đây là mô hình cho phép mô phỏng ma trận hoá mềm và hoá cứng của cường độ đá cũng như sự hình thành mặt yếu ngẫu nhiên thông qua các hàm biến thiên của thuộc tính vật liệu như lực dính, góc ma sát, giãn nở, cường độ kéo cắt (cohesion, friction, dilation, tensile “cut-off” strength) như là hàm của tổng biến dạng cắt và biến dạng kéo. Thông qua mô hình thể hiện tác động dị hướng đến cường độ một cách chính xác và chi tiết, tiềm năng dị hướng trong độ cứng được bỏ qua. Mô hình ubiquitous-joint: Mô hình cho phép tự sinh mô hình dẻo dị hướng chứa mặt yếu theo thế nằm trong khối vật liệu Mohr-Coulomb. Trong mô hình phi tuyến, đường phá hoại của mặt chính và mặt yếu được kết hợp bởi 2 tiêu chuẩn phá hoại Mohr-Coulomb do cắt = 0 và = 0 cho đoạn A-B và B-C và do kéo = 0 cho đoạn C-D kết hợp với cường độ kéo “cut-off” cho phép phù hợp với ứng xử cứng hoá hoặc mềm hoá của vật liệu. Sự hình thành dòng cắt-dẻo và kéo-dẻo được áp dụng tuần tự với quy luật dòng không kết hợp (non-associated flow rule) và dòng kết hợp (associated flow rule). Hình 10. FLAC3D – Tiêu chuẩn phá hoại phi tuyến mặt chính và mặt yếu [19] Ứng xử mềm hoá trên mặt chính và dọc theo mặt yếu được quy định liên quan đến 4 thông số cứng hoá độc lập (hai cho mặt chính và hai cho mặt yếu) được xác định bằng tổng biến dạng cắt- dẻo và kéo-kéo. Trong mô hình, phá hoại đầu tiên được phát hiện ứng với vòng chạy liên quan việc tạo ra điểm dẻo, trạng thái ứng suất mới được phân tích trên mặt yếu và sau đó cập nhật cho phù hợp. Các thông số cứng hoá được tăng lên nơi dòng dẻo xuất hiện và các thông số lực dính, góc ma sát, độ giãn nở và cường độ kéo được điều chỉnh cho mặt chính và mặt yếu. 6 KẾT QUẢ MÔ PHỎNG MÔ HÌNH SỐ FLAC3D sử dụng mô hình liên tục, dựa trên mẫu của việc hình thành các điểm dẻo biểu diễn cơ chế phá hoại. Theo từng bước chạy của mô hình vị trí xuất hiện vết nứt ban đầu và miền phá hoại với đặc trưng cơ chế phá hoại được quan sát. Trên nguyên tắc, 4 cơ chế phá hoại cơ bản có thể phân biệt gồm: phá hoại cắt, kéo thuần tuý trên mặt chính và dọng theo mặt yếu. Trong Hình 11 và Hình 12 chỉ ra các phần tử hiện đang trên mặt chảy (-n) và các phần tử đã bị phá hoại trong quá khứ (-p) khi đã vượt qua mặt chảy do việc phân bố lại ứng suất. Kết quả mô phỏng kết hợp với hình ảnh mẫu khi phá hoại đặc trưng vết nứt và ứng suất trên 2 mẫu có hướng mặt yếu khác nhau của cùng loại đá Le.Gs Gneiss sau khi đạt tới giá trị cường độ lớn nhất. Kiểu phá hoại đặc trưng từ thí nghiệm được so sánh với kết quả mô phỏng số có thể tham khảo thêm trong [15]. Hình 11. Kiểu vết nứt và thành phần ứng suất ngang [MPa] của mẫu Le.Gs Gneiss (ψ = 0°, β = 0°) ngay khi đạt giá trị cường độ lớn nhất Trường hợp β = 0°, miền dẻo phát triển dọc theo đường trục của mẫu trên mặt yếu. Trường hợp này cơ chế phá hoại phát triển nứt do kéo thuần tuý. Hình 12. Kiểu vết nứt và thành phần ứng suất ngang [MPa] của mẫu Le.Gs Gneiss (ψ = 0°, β = 90°) ngay khi đạt giá trị cường độ lớn nhất Trường hợp β = 90°, miền dẻo đầu tiên xuất hiện tại rìa của mẫu dọc theo mặt yếu, sau đó phát triển phía dưới ngàm nén và cuối cùng chuyển dịch theo hướng vuông góc với mặt yếu dọc theo đường trục mẫu. Kết quả cho thấy phá hoại kéo xẩy ra trêm mặt chính ngự trị nhưng kiểu phá hoại phức tạp hơn trong trường hợp này. (a) Phát triển vùng biến dạng dẻo (b) Phát triển ứng suất chính (c) Phát triển biến dạng thể tích (d) Phát triển ứng suất theo phương thẳng đứng (e) Phát triển ứng suất theo phương ngang (f) Phát tiển cường độ kéo tách tại tâm mẫu Hình 13. Phát triển ứng suất-biến dạng trong mẫu Le.Gs.0.0 Nhìn chung, kết quả mô phỏng sử dụng giá trị khác nhau của thế nằm của mặt yếu (ψ) và góc tải trọng tác dụng so với mặt yếu (β) cho thấy cường độ kéo phụ thuộc rất lớn vào hướng của mặt yếu và phụ thuộc tương đối vào hướng của lực tác dụng. Hình 14 đưa ra phân loại của 3 kiểu phá hoại cơ bản được quan sát từ thí nghiệm trong phòng cũng như mô phỏng. Phụ thuộc cơ chế phá hoại cụ thể có thể phân ra kiểu phá hoại kéo thuần tuý và kiểu phá hoại hỗn hợp. Hình 14. Cơ chế phá hoại của mẫu (xem thêm Dinh, Konietzky and Herbst [20]. 7 HỆ SỐ CƯỜNG ĐỘ KÉO DỊ HƯỚNG Để có thể đánh giá được ảnh hưởng của yếu tố dị hướng đến cường độ kéo của đá phiến sét, mà cụ thể là gneiss hoặc slate, kết quả mô phỏng thí nghiệm trong phòng thông qua hướng gia tải và phương của mặt yếu của đá phiến sét được làm chuẩn hoá. Giá trị cường độ kéo trong trường hợp ψ = 0° và β = 0° được lấy bằng 1. Hệ số cường độ kéo dị hướng có thể giao động lần lượt tới giá trị 2,75 và 4,50 cho gneiss và slate. 90 Foliation-loading angle β (o) 75 60 45 30 1.50 15 1.25 0  1.75  2.25 2.00  2.25  2.75 2.50  3.50 2.75 2.50 2.25 2.00 1.75 1.50 Foliation-loading angle β (o) 1.25 1.00 90 75 60 45 30 1.50 15 0  2.00  2.50  3.00 3.50  4.00  4.50  4.50 4.25 4.00 3.75 3.50 3.25 3.00 2.75 2.50 2.25 2.00 1.75 1.50 1.25 1.00 0 15 30 45 60 75 90 Orientation angle ψ (o) 0 15 30 45 60 75 90 Orientation angle ψ (o) (a) Le.Gs Gneiss (b) My.Sc Slate Hình 15. Hệ số cường độ kéo dị hướng Trong Hình 15(b) cho thấy hệ số cường độ kéo dị hướng cho My.Sc slate biến động trong biên độ lớn 4,5 lần và khi ψ > 45° cường độ kéo dường như không phụ thuộc vào phương gia tải. Khuynh hướng này cũng thấy trong Le.Gs Gneiss. 8 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ¾ Cường độ kéo tách trong thí nghiệm Brazilian ảnh hưởng rất lớn bởi đặc tính phân lớp của đá dị hướng nhưng ít ảnh hưởng đối với vật liệu gần đồng nhất. ¾ Cấu trúc mặt phân lớp ảnh hưởng lớn đến cường độ kéo tách hơn thế nằm đối với đá phiến sét. ¾ Trong thí nghiệm Brazilian vết nứt xuất hiện đầu tiên có thể ngay dưới ngàm nén do tập trung ứng suất, có nghĩa là vết nứt đầu tiên có thể phát triển tại khu vực này thay vì tại tâm mẫu như lý thuyết. Điều này cũng được xác nhận bởi nhiều tác giả khác [21-23]. ¾ Đặc trưng di hướng và hướng gia tải ảnh hưởng mạnh đến cơ chế phá hoại của mẫu. Phá hoại do cắt thuần tuý dọc theo mặt yếu chỉ xẩy ra với ψ ≤ 15° cho Gneiss và ψ ≤ 30° cho Slate. Trong các trường hợp khác, miền phá hoại dẻo đặc trưng bởi giao thao giữa cơ chế phá hoại hỗn hợp do ứng suất cắt-kéo. Khái niệm “cường độ kéo tách” nên được dùng cận trọng đối với đánh giá thí nghiệm Brazilian do sự hình thành và phát triển ứng suất cắt có thể chi phối đến quá trình phát triển vết nứt. ¾ Khác biệt trong kết quả thí nghiệm cường độ kéo cho đá dị hướng có thể lên tới 2,65 đến 5,24 lần đối với đá gneiss và đá phiến sét phụ thuộc vào cấu trúc phân lớp và thế nằm. ¾ Từ kết quả nghiên cứu khuyến nghị tiến hành thí nghiệm Brazilian cho các mẫu đá có tính dị hướng cao cần lưu ý đến cấu trúc phân lớp và thế nằm thực tế của mẫu đá. Từ đó có thể diễn giải kết quả thí nghiệm chính xác. Thông qua biểu đồ tương quan hệ số mức độ dị hướng cho phép xây dựng hệ số chuẩn dùng làm tham chiếu đối với các kết quả ở các góc phân lớp và góc gia tải khác từ kết quả thí nghiệm đối với các góc cơ bản thường theo phương trực giao hay song song. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Fairhurst C., "On the validity of the 'Brazilian' test for brittle materials", International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geomechanics, 1964, 1:535-46. 2. Carneiro F., "Une novelle methode d’sssai pour determiner la resistance a la traction du beton", Paris: Reunion des Laboratoires d’ Essai de Materiaux, 1947. 3. Amadei B., "Importance of anisotropy when estimating and measuring in situ stresses in rock", International Journal of Rock Mechanics and Mining Science & Geomechanics, 1996, 33:293-325. 4. Tavallali A., Vervoort A., "Effect of layer orientation on the failure of layered sandstone under Brazilian test conditions", International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2010, 47:313- 22. 5. Kwaśniewski M., "Testing and modeling of the anisotropy of tensile strength of rocks", Proceedings of the International Conference on Rock Joints and Jointed Rock Masses, Tucson, Arizona, USA, 2009. 6. Hondros G., "The evaluation of poisson's ratio and the modulus of materials of a low tensile resistance by the Brazilian (indirect tensile) test with particular reference to concrete", G Aust J appl Sci. 1959, 3:243-68. 7. Hobbs DW., "The tensile strength of rocks", International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geomechanics, 1964, 1:385-8. 8. Barla G, Innaurato N., "Indirect tensile testing of anisotropic rocks", Rock Mech, 1973, 5:215-30. 9. Andreev GE., "A review of the Brazilian test for rock tensile strength determination", Part II: contact conditions, Mining Science and Technology, 1991, 13:457-65. 10. Chen C, Pan E, Amadei B., "Evaluation of properties of anisotropic rocks using Brazilian tests", Proc 2nd NAMS, Montreal, 1996. 11. Ma C, Hung K., "Exact full-field analysis of strain and displacement for circular disks subjected to partially distributed compressions", International Journal of Mechanical Sciences, 2008, 50:275-92. 12. Andreev GE., "A review of the Brazilian test for rock tensile strength determination", Part I: calculation formula, Mining Science and Technology, 1991, 13:445-56. 13. Karakul H, Ulusay R, Isik NS., "Empirical models and numerical analysis for assessing strength anisotropy based on block punch index and uniaxial compression tests", International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2010, 47:657-65. 14. ISRM., "Suggested methods for determining tensile strength of rock materials", International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geomechanics, 1978, p. 99-103. 15. Dinh QD., "Brazilian Test on Anisotropic Rocks – Laboratory Experiment, Numerica