Đại số tuyến tính Chương 1: Ma trận

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh Bộ môn Toán ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Chöông 1: Ma traän • Giaûng vieân: Ts. Ñaëng Vaên Vinh (9/2007) dangvvinh@hcmut.edu.vn NOÄI DUNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I. Ñònh nghóa ma traän vaø ví duï III. Caùc pheùp toaùn ñoái vôùi ma traän II. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp IV. Haïng cuûa ma traän V. Ma traän nghòch ñaûo I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa ma trận Ma trận cở mxn là bảng số (thực hoặc phức) hình chử nhật có m hàng và n cột . Ma trậnA cở mxn                  mnmjm iniji nj aaa aaa aaa A ...... ...... ...... 1 1 1111   Hàng i Cột j I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 1. 32502 143        A Đây là ma trận thực cở 2x3. Ma trận A có 2 hàng và 3 cột. 5;0;2;1;4;3 232221131211  aaaaaaPhần tử của A: Ví dụ 2 223 21           ii i A Tập hợp tất cả các ma trận cở mxn trên trường K được ký hiệu là Mmxn[K] Ma trận A có m hàng và n cột thường được ký hiệu bởi   nmij aA   I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. --------------------------------------------------------- Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận không, ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j). Định nghĩa ma trận không        000 000 A I. Caùc khaùi nieäm cô baûn vaø ví duï --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa ma trận dạng bậc thang 1. Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng 2. Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên. Phần tử khác không đầu tiên của một hàng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của hàng đó. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------             5000 3000 2112 B Không là ma trận bậc thang Ví dụ 5400000 52140 62700 23012                A Không là ma trận bậc thang I. Các khái niệm và ví dụ cơ bản. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Là ma trận dạng bậc thang Ví dụ 5400000 52000 41700 22031                A Là ma trận dạng bậc thang             7000 3100 2021 B 2393 01 42            TA 32904 312         A I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ ---------------------------------------------------------- Chuyển vị của là ma trận cở nXm thu được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột.   mnij T aA   Định nghĩa ma trận chuyển vị   nmij aA   Ví dụ I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. ---------------------------------------------------------- Nếu số hàng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A được gọi là ma trận vuông cấp n. Định nghĩa ma trận vuông 2223 12         A Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số K được ký hiệu bởi [K]nM I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. ---------------------------------------------------------- 2 3 1 1 3 4 0 5 2 1 3 7 2 1 6 8            Các phần tử a11, a22,…,ann tạo nên đường chéo chính của ma trận vuông A. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. ---------------------------------------------------------- Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác trên nếu Định nghĩa ma trận tam giác trên              200 630 312 A  ij n nA a  ij 0, a i j   Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác dưới nếu Định nghĩa ma trận tam giác dưới 2 0 0 4 1 0 5 7 2 A          ij n nA a  ij 0,   a i j I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. --------------------------------------------------------------- Ma trận vuông A được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo đều bằng không, có nghĩa là (aij = 0, i ≠ j). Định nghĩa ma trận chéo             200 030 002 D Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j; và aii = 1 với mọi i). Định nghĩa ma trận đơn vị            100 010 001 I I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. --------------------------------------------------------------- Ma trận ba đường chéo là ma trận các phần tử nằm ngoài ba đường chéo (đường chéo chính, trên nó một đường, dưới nó một đường) đều bằng không. Định nghĩa ma trận ba đường chéo.                9500 1840 0713 0021 A I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. --------------------------------------------------------------- Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với mọi i = 1,….n và j =1,…,n được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT) Định nghĩa ma trận đối xứng thực              073 741 312 A Ma trận vuông A thỏa aij = - aji với mọi i và j (tức là A = -AT) được gọi là ma trận phản đối xứng. Định nghĩa ma trận phản đối xứng 1 3 1 7 3 7 0 0 0 A           II. Các phép biến đổi sơ cấp. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng i jh h3. Đổi chổ hai hàng tùy ý ; 0  i ih h1. Nhân một hàng tùy ý với một số khác không ;   i i jh h h 2. Cộng vào một hàng một hàng khác đã được nhân với một số tùy ý Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp đối với cột. Chú ý: các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi cơ bản, thường dùng nhất!!! II. Các phép biến đổi sơ cấp. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Định lý 1 Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau Chú ý II. Các phép biến đổi sơ cấp. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận sau đây về ma trận dạng bậc thang. 1 1 1 2 1 2 3 1 4 5 3 2 3 7 4 1 1 2 3 1            Ví dụ Bước 1. Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên từ bên trái. Chọn phần tử khác không tùy ý làm phần tử cơ sở. 1 1 1 2 1 2 3 1 4 5 3 2 3 7 4 1 1 2 3 1            1 1 1 2 1 0 1 1 0 3 0 1 0 1 1 0 2 1 1 2            4 4 1   h h h 2 2 12 h h h 3 3 13 h h h 4 4 3 1 1 1 2 1 0 1 1 0 3 0 0 1 1 4 0 0 0 0 0               h h h Bước 2. Dùng bđsc đối với hàng, khử tất cả các phần tử còn lại của cột. II. Các phép biến đổi sơ cấp. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 1 2 1 2 3 1 4 5 3 2 3 7 4 1 1 2 3 1 A            Bước . Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử cơ sở và những hàng trên nó. Áp dụng bước 1 và 2 cho ma trận còn lại 3 3 2 4 4 22 1 1 1 2 1 0 1 1 0 3 0 0 1 1 4 0 0 1 1 4                  h h h h h h II. Các phép biến đổi sơ cấp. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nếu dùng các biến đổi sơ cấp đưa A về ma trận bậc thang U, thì U được gọi là dạng bậc thang của A. Định nghĩa Cột của ma trận bậc thang A được gọi là cột cơ sở nếu cột đó chứa phần tử cơ sở Định nghĩa 1 2 0 2 0 0 1 3 0 0 0 7 A          III. Các phép toán đối với ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cở; 2) các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau (aij = bij với mọi i và j). Sự bằng nhau của hai ma trận TổngA + B: Cùng cở Các phần tử tương ứng cộng lại Phép cộng hai ma trận               741 623 ; 503 421 BA        1244 1002 BA Ví dụ III. Các phép toán đối với ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phép nhân ma trận với một số. Nhân ma trận với một số, ta lấy số đó nhân với tất cả các phần tử của ma trận.        503 421 A        1006 842 2 A Ví dụ Tính chất: a) A + B = B + A; b) (A + B) + C = A + ( B + C); c) A + 0 = A; d) k(A + B) = kA + kB; e) k (mA) = (km) A; f) (k + m)A = kA + mA; III. Các phép toán đối với ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phép nhân hai ma trận với nhau ( ) ; ( )pij m i pj nA a B b   nmijcCAB  )( với pjipjijiij bababac  ...2211 1 2 1 2 * * * ... ... ... * j j i i ip pj ij b b AB a a a b c                                11 12 13 21 22 23 1 2 2 2 1 4 3 0 1 4 1 0 2 4 3 c c c A B c c c                       III. Các phép toán đối với ma trận ---------------------------------------------------                    342 103 221 ; 014 412 BA Ví dụ Tính AB 11c   2 1 4 1 3 2          2 1 ( 1) 3 4 2 7        12 13 21 22 23 7 c c c c c       III. Các phép toán đối với ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1 1 ; 4 1 3              A B Ví dụ Tìm ma trận X, thỏa AX = B. Xác định cở của ma trận X là 2x1. AX=B a X b        Đặt 2 1 1 4 1 3 a b                 2 1 4 3 a b a b             2 1 4 3 a b a b       2 1, 3 3 a b   2/ 3Vaäy 1/ 3 X       III. Các phép toán đối với ma trận --------------------------------------------------- a. A(BC) = (AB)C; b. A(B + C) = AB + AC; e. k (AB) = (kA)B = A(kB). d. ImA = A = AIm Tính chất của phép nhân hai ma trận c. (B + C)A = BA + CA; Chú ý: 1. Nói chung BAAB  2. ACAB  CB  0AB 00  BA3. III. Các phép toán đối với ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- nnij n n n n aAaxaxaxaxf     )(;...)( 01 1 1 Nâng ma trận lên lũy thừa. n n A A A A A   0Qui öôùc: A I 1 1 1 0( ) ... . n n n nf A a A a A a IA a       2A A A  3A A A A   III. Các phép toán đối với ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22 1 ; ( ) 2 4 3 3 4 A f x x x          Ví dụ Tính f(A). 2( ) 2 4 3f A A IA   2 1 2 1 2 1 1 0 ( ) 2 4 3 3 4 3 4 3 4 0 1 f A                          1 6 8 4 3 0 ( ) 2 18 13 12 16 0 3 f A                      3 8 ( ) 24 13 f A         III. Các phép toán đối với ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 3 . 0 1 A       Ví dụ Tính A2; A3, từ đó suy ra A200 2 1 3 1 3 0 1 0 1 A A A            1 1 6 0        3 2 1 6 1 3 0 1 0 1 A A A            1 1 9 0        200 1 0 1 200 3 A         III. Các phép toán đối với ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 3 . 0 2        A Ví dụ Tính A200 2 3 1 3/ 2 2 0 2 0 1 A              1 2 0 1 a       1 1 Ta coù: 0 1 0 1 na na            200200 200 200 3002 2 0 2 A          III. Các phép toán đối với ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 . 1 1        A Ví dụ Tính A200 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 A                1 1 2 2 1 1 A      1Suy ra: A 2n n A 199 199 200 199 199 2 2 2 2 A         IV. Hạng của ma trận ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa hạng của ma trận Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác không của ma trận bậc thang r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E Giải. 1 2 1 1 2 4 2 2 3 6 3 4          A 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1          2 3 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0          h h IV. Hạng của ma trận ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm hạng của ma trận sau 1 2 1 1 2 4 2 2 3 6 3 4 A          ( ) 2r A  2 2 1 3 3 1 2 3     h h h h h h IV. Hạng của ma trận ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Sử dụng biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận sau 1 2 3 3 2 4 6 9 2 6 7 6 A          Ví dụ Tìm hạng của ma trận sau 2 3 1 4 3 4 2 9 2 0 1 3 A           IV. Hạng của ma trận ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm tất cả các giá trị thực m sao cho r(A) =3 1 1 1 2 2 3 4 1 3 2 1         A m m 1 1 1 2 1 1 1 2 2 3 4 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 3 5                       A m m m m 1 1 1 2 0 1 2 3 0 0 1 8         m m r(A) = 3 với mọi giá trị m. IV. Hạng của ma trận ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm tất cả các giá trị thực m sao cho r(A) =2 1 1 1 m m A m m m m          Ví dụ Tìm tất cả các giá trị thực của m để cho r(A) = 3. 1 1 1 1 2 3 1 4 3 3 1 A m m         IV. Hạng của ma trận ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính chất của hạng ma trận 1. r (A) = 0 A = 0 2. A = (aij)mxn r(A) min{m, n} BĐSC3. Nếu A B, thì r (B) = r (A) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A                   2 2 2 0 0 0 0 0 0 ( ) 1.r A  V. Ma trận nghịch đảo ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận I sao cho AB = I =BA. Khi đó B được gọi là nghịch đảo của A và ký hiệu là A-1. 2 2 2 1 5 3 A         2 2 3 1 5 2 B        Giả sử 2 1 3 1 1 0 5 3 5 2 0 1 AB I                 3 1 2 1 1 0 5 2 5 3 0 1 BA I                 1 3 1 5 2 A B        V. Ma trận nghịch đảo ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch. Có rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch. Chú ý Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến Định nghĩa Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến V. Ma trận nghịch đảo ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho ma trận vuông A, các mệnh đề sau đây tương đương Sự tồn tại của ma trận khả nghịch. 1. Tồn tại A-1 (A không suy biến) 2. r(A) = n 3. AX = 0 suy ra X = 0. 4. A ITương đương hàng V. Ma trận nghịch đảo ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ma trận thu được từ I bằng đúng 1 phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp. Định nghĩa ma trận sơ cấp Ví dụ 2 2 12 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 0 0 1 h h hI E                      3 33 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 3 h hI E                     V. Ma trận nghịch đảo ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên tráiA với ma trận sơ cấp tương ứng. 3 1 3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 h hI E                     Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng. V. Ma trận nghịch đảo ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 1 2 1 1 3 2 1 1 1 0 1 1 0 3 2 1 2 1 1 h hA B                    3 2 1 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 1 1 0 0 3 2 1                       V. Ma trận nghịch đảo ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 bñsc haøng ...n nA I I E E E A   1 1 1...n nA E E E I    1 ôû treânbñsc haøngI A  V. Ma trận nghịch đảo ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Cách tìm A-1 [ A|I ] [ I|A-1 ]Bđsc đối với hàng Ví dụ Tìm nghịch đảo (nếu có) của ma trận            321 221 111 A                        101 011 001 210 110 111 100 010 001 321 221 111 ]|[ IA V. Ma trận nghịch đảo -----------------------------------------------------------------------------------------------------                           110 121 111 100 010 011 110 011 001 100 110 111 ]|[ 110 121 012 100 010 001 1               AI               110 121 012 1A V. Ma trận nghịch đảo ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính bằng các phép sơ cấp đối với hàng của ma trận [ A|I ] ta cần sử dụng Độ phức tạp của thuật toán tìm A-1 n3 phép nhân hoặc chia n3 – 2n2 + n phép cộng hoặc trừ 1 nnA Đối với hai ma trận khả nghịch A và B, các khẳng định sau đây đúng. Tính chất của ma trận nghịch đảo (A-1)-1 = A Tích AB là hai ma trận khả nghịch. (AB)-1 = B-1A-1 (AT)-1 = (A-1)T IV. Ma trận nghịch đảo ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm tất cả các giá trị thực m để ma trận sau khả nghịch 1 1 2 2 1 3 2 1          A m Ví dụ Tìm tất cả các giá trị thực của m để cho A khả nghịch. 1 1 1 1 2 3 1 4 3 3 1 A m m         VI. Kết luận ------------------------------------------------ Hạng của ma trận là gì? Ma trận là gì? Ma trận vuông ? Ma trận bậc thang Ma trận không? Ma trận chéo? Ma trận chuyển vị? Ma trận đơn vị? Ma trận đối xứng? Làm thế nào để tìm hạng của một ma trận cho trước? Ma trận khả nghịch là gì? Làm thế nào