Đảm bảo vai trò của khái niệm và tích cực hóa hoạt động của học sinh trong dạy học môn Toán

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2014, Vol. 59, No. 2, pp. 48-56 This paper is available online at ĐẢM BẢO VAI TRÒ CỦA KHÁI NIỆM VÀ TÍCH CỰC HÓA HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌCMÔN TOÁN Chu Cẩm Thơ Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt. Khái niệm là một hình thức cơ bản của tư duy trừu tượng. Tạo thành một hệ thống nền tảng vững chắc các khái niệm được coi là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất trong giảng dạy môn Toán học. Thông qua học các khái niệm, học sinh được trang bị các kiến thức, cách khám phá, rèn luyện tư duy, thực hành, áp dụng kiến thức. Bài viết này cung cấp các khuyến nghị, minh họa thông qua việc giảng dạy các khái niệm có thể tích cực hóa hoạt động của học sinh. Từ khóa: Phương pháp dạy học toán, dạy học khái niệm, dạy học tích cực. 1. Mở đầu Thực tiễn giáo dục đã chứng minh vai trò quan trọng của môn Toán trong quá trình học tập của mỗi con người. Tuy nhiên, có rất nhiều quan điểm khác nhau xung quanh mục đích, nội dung, đặc biệt là phương pháp dạy học môn Toán. Trên thế giới hiện có phổ biến hai khuynh hướng giáo dục Toán học. Thứ nhất, coi Toán học là công cụ để tiếp thu tri thức, nghiên cứu các khoa học khác. Thứ hai, coi Toán học mà đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu của nó là điển hình để kích thích hứng thú, khơi dậy niềm say mê khám phá, qua đó truyền đạt phương pháp học tập, nghiên cứu, rèn luyện và phát triển tư duy người học. Do đó, trong dạy học môn Toán người ta cố gắng thông qua dạy tri thức Toán học để dạy cách phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy cách suy nghĩ, rèn luyện nhân cách. Khái niệm là hình thức cơ bản của tư duy trừu tượng. Mọi quá trình tư duy đều mang đặc trưng tư duy bằng khái niệm [4; 48]. Trong khái niệm, một là thuộc tính bản chất của các sự vật, hiện tượng được phản ánh; hai là, sự vật hay lớp sự vật, hiện tượng được nổi bật trên cơ sở của các dấu hiệu khác biệt cơ bản. Trong phạm vi dạy học môn Toán, định nghĩa khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm Ngày nhận bài: 15/4/2013. Ngày nhận đăng: 15/7/2013 Liên hệ: Chu Cẩm Thơ, e-mail: chucamtho1911@gmail.com 48 Đảm bảo vai trò của khái niệm và tích cực hóa hoạt động của học sinh... đó [1; 361]. Mỗi khái niệm có nhiều cách định nghĩa, bởi có nhiều thuộc tính đặc trưng cho đối tượng được nói đến trong khái niệm đó. Việc hình thành một cách vững chắc cho học sinh (HS) hệ thống khái niệm được coi là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất trong việc dạy học môn Toán. Bởi thực tế cho thấy, để giúp học sinh đạt được mục tiêu nắm được tri thức một cách bền vững thì không gì hơn là học sinh phải tự kiến tạo tri thức ấy. Do đó, nếu dạy học khái niệm được thực hiện hợp lí, thì không những giải quyết được việc trang bị tri thức, mà còn giúp học sinh rèn luyện tư duy, rèn luyện cách khám phá, cách sử dụng tri thức. Với khái niệm, người ta có thể dùng phán đoán, dùng suy luận, dùng thực nghiệm để kiến tạo, phát minh nhiều tri thức mới. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Đảm bảo vai trò của dạy học khái niệm Theo [1; 364], cần xác định vai trò quan trọng của dạy học khái niệm, đó là: - Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm. Điều này cho phép người học dễ dàng lựa chọn cách định nghĩa thích hợp, chẳng hạn với khái niệm hình chữ nhật, người ta có thể định nghĩa nó dựa trên đặc trưng một hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau hoặc là một hình tứ giác có bốn góc vuông. Nghĩa là, nếu đã có một hình bình hành, thì việc tiếp cận khái niệm hình chữ nhật sẽ được tiến hành suy diễn, thêm nội hàm, ngoại diên bị thu hẹp, còn đối với HS mới học hình học, ta có thể giúp họ tiếp cận khái niệm này một cách trực quan (con đường quy nạp) từ những hình quen thuộc (cái cửa, quyển sách,. . . ), trừu tượng hóa để thấy đặc trưng bốn góc vuông. - Biết nhận dạng, thể hiện khái niệm; biết phát biểu rõ ràng chính xác một số khái niệm; biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể; biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong cùng một hệ thống. Hình 1 đưa ra hai cách phân chia sau đây liên quan đến khái niệm hình lăng trụ. Hình 1. Sơ đồ nhánh mô tả phân chia khái niệm hình lăng trụ 49 Chu Cẩm Thơ Hình 2. Sơ đồ Ven mô tả quan hệ giữa các hình: lăng trụ, lăng trụ đứng, hộp chữ nhật, lập phương Cách 1: Mô tả phân chia khái niệm hình lăng trụ trong quan hệ khái niệm xuất phát là hình lăng trụ theo sơ đồ rẽ nhánh (Hình 1). Theo cách phân chia này, ta phân biệt được thuộc tính giữa các hình (theo tiêu chí góc giữa cạnh bên và mặt đáy, hình dạng của đáy). Cách 2: Mô tả bằng sơ đồ Ven (Hình 2). Theo cách phân chia thứ hai, các khái niệm bên trong được xây dựng bằng thu hẹp ngoại diên, thêm nội hàm. 2.2. Chú ý nguồn gốc, ý nghĩa của khái niệm Trong dạy học môn Toán, nếu người học biết được nguồn gốc của khái niệm thì họ không những được học tri thức toán, mà còn được gợi động cơ khám phá và ứng dụng nó. Các thực nghiệm trong [5] cũng đã chứng minh, khơi dậy hứng thú học tập từ việc giúp học sinh hiểu được “bài học này từ đâu”, “để làm gì” là việc làm thật sự hiệu quả. Chẳng hạn, “nếu giáo viên giúp học sinh hiểu được giá trị tuyệt đối của số a chính là “khoảng cách từ điểm biểu diễn a trên tia số đến gốc tọa độ”, giá trị tuyệt đối chính là “chuẩn” trong không gian R, là khái niệm cơ sở để xây dựng nên “độ đo”, khoảng cách đó đại diện cho “độ đo”; người ta cần “độ đo” như một công cụ khám phá, nghiên cứu thế giới vật chất (đo khoảng cách bằng độ dài, đo diện tích, đo thời gian,. . . ) thì người học sinh đó đã hiểu môn Toán để làm gì” (trích phát biểu của một phụ huynh tại hội thảo về giáo dục Toán do TGM Việt Nam tổ chức, tháng 2 năm 2013 - nguồn công ty TGM Việt Nam cung cấp). Ta xét tình huống dạy học khái niệm tích phân. Trong chương trình hiện nay, khái niệm tích phân thực tế được định nghĩa thông qua công thức “Newton - Lepnit”. Vì vậy, hầu hết học sinh không nắm được khái niệm này vì sao sinh ra và được dùng để làm gì. Học sinh thấy khó hiểu và rất sợ. Các em chỉ muốn áp dụng các công thức tính sau khi nhận dạng thay vì khám phá (vì bản thân từ tích phân là một từ Hán Việt, một thuật ngữ khó). Những hoạt động sau đây sẽ mô tả việc dạy học khái niệm này bằng con đường kiến thiết (khi thực hiện các hoạt động này, có thể cần cân đối lại sự phân bố thời gian), giúp người học biết ý nghĩa và vai trò của “tích phân” [2]. 50 Đảm bảo vai trò của khái niệm và tích cực hóa hoạt động của học sinh... HĐ (Hoạt động) 1- Gợi mở vấn đề. Hình 3. Mô phỏng mặt một hồ nước GV (giáo viên): Ta đã biết cách tính diện tích của hình chữ nhật, hình thang,. . . Tuy nhiên trong thực tế ta thường gặp những hình phẳng giới hạn bởi các đường cong như cánh cửa vòm, mặt hồ nước (chẳng hạn như hình vẽ dưới), liệu ta có cách nào tính được diện tích của những hình chứa đường cong như thế không? HĐ 2: Tiếp cận khái niệm GV: Xét ví dụ: Cho hình thang vuông T (xem hình vẽ 4) được giới hạn bởi đường thẳng y = f(x) = 2x+ 1, trục hoành và các đường thẳng x = 1, x = t với 1  t  5 a/ Tính diện tích S của hình T khi t = 5. b/ Tính diện tích S(t) theo t của hình T . c/ Chứng minh rằng (CMR): S(t) là nguyên hàm của: f(t) = 2t+ 1vS = S(5) S(1). HS: Trình bày lời giải Hình 4. a/ Tính S. Hình thang T (Hình 4) chính là hình thang vuông ABCD có hai đáy là AD = 3 và BC = 11, đường cao là AB = 4. Do đó diện tích S = (AD +BC)AB 2 = (11 + 3) 4 2 = 28 (đơn vị diện tích). b/ Tính S(t) Hình thang T (Hình 4) chính là hình thang vuông ABCD có hai đáy là AD = 3 và BC = 2t+1, đường cao là AB = t1. Do đó diện tích S(t) = (AD +BC)AB 2 = (3 + 2t+ 1) (t 1) 2 = t2 + t 2. c/ CMR: S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t+ 1 và S = S(5) S(1) Ta có S ′(t) = 2t+ 1 = f(t) nên S(t) là một nguyên hàm của f(t) Ngoài ra S(5) S(1) = (52 + 5 2) (12 + 1 2) = 28 0 = 28 = S GV: Ở đây, nếu ta thay t bởi x thì ta có diện tích của hình thang là S(x) và S(x) chính là nguyên hàm của f(x) trên [1; 5] và S = S(5) S(1). Nếu thay đường thẳng f(x) = 2x + 1 bởi đường cong y = f(x) thì ta thấy một cánh của hình thang cong, ta gọi là hình thang cong. 51 Chu Cẩm Thơ Hình 5. GV: Một cách tổng quát ta có bài toán tính diện tích hình thang cong sau đây: Cho hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b) với f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Tính diện tích S của hình thang cong đó. HS: Dự đoán S = S(b) S(a), với S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. - Ta kí hiệu T [a; b] (Hình 5) là hình thang cong giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hoành, x = a, x = b. - Với x 2 [a; b] ta kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong T [a; x]. - Xét điểm x′ thuộc [a; b] sao cho x < x′. Tiến hành so sánh diện tích hình thang cong T [x;x′] và diện tích 2 hình chữ nhật có chung ba cạnh với nó, trong trường hợp này, hàm f(x) là hàm đồng biến. Kết quả là: f(x)(x′ x) < S(x′) S(x) < f(x′)(x′ x) Suy ra: f(x) < S(x′) S(x) x′ x < f(x ′). Suy ra: lim x′→x S(x′) S(x) x′ x = f(x)() (Trường hợp x′ < x ta cũng có kết quả (*)) Suy ra S ′(x) = f(x) nên S(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b], ta có S(x) = F (x) + C, Do S(a) = 0 nên F (a) + C = 0) C = F (a) Diện tích T [a; b] là S(b) = F (b) + C = F (b) F (a) Vậy S = F (b) F (a). Nếu ta kí hiệu: b∫ a f(x)dx = F (x)  ba = F (b) F (a) thì diện tích hình thang T [a; b] là S = b∫ a f(x)dx. HĐ 3: Phát biểu khái niệm tích phân. Định nghĩa tích phân Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. 52 Đảm bảo vai trò của khái niệm và tích cực hóa hoạt động của học sinh... Hiệu số F (b) F (a) được gọi là tích phân đi từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là b∫ a f(x)dx Vậy b∫ a f(x)dx = F (x)  ba = F (b) F (a) với F (x) là nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. Quy ước: a∫ a f(x)dx = 0; b∫ a f(x)dx = a∫ b f(x)dx (với a > b); Chú ý: Nếu f(x) liên tục và không âm trên [a; b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a, x = b là: S = b∫ a f(x)dx HĐ 4: Củng cố khái niệm GV- Xét ví dụ: (1) Tính tích phân 2∫ 1 3x2dx (2) Tính tích phân e∫ 1 1 u du (3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 3x2, y = 0, x = 1, x = 2 HS: (1) 2∫ 1 3x2dx = x3  21 = 23 13 = 8 1 = 7. Vậy 2∫1 3x2dx = 7 (2) e∫ 1 1 u du = ln juj  e1 = ln jej ln j1j = 1 0 = 1. Vậy e∫1 1udu = 1 (3) S = 2∫ 1 3x2dx = 7(đvdt). Trở lại bài toán tính diện tích Hình 3, HS sẽ có động cơ “tính diện tích một hình bất kì bằng cách chia nó thành các hình thang, hình thang cong, tìm phương trình của đường cong tạo ra hình đó”,. . . Tuy rằng, HS chưa triệt để giải quyết bài toán, nhưng cách kiến tạo tri thức đã tạo ra niềm tin, phương pháp gợi ý HS cách giải. 2.3. Khai thác khái niệm vào xây dựng công thức, tính chất Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học. Vấn đề đặt ra, từ việc tiếp cận khái niệm tập hợp, có thể thiết kế các hoạt động học tập, giúp HS khám phá ra các tính chất, các quy tắc thực hiện phép toán về tập hợp hay không? Sau đây là một phương án dạy khái niệm Tập hợp - Toán 6 như vậy: Hoạt động 1: Tiếp cận cách biểu diễn tập hợp, thiết lập tập hợp qua trò chơi. 53 Chu Cẩm Thơ Mục tiêu: Thông qua hoạt động này HS biết được cách viết tập hợp, biết chỉ ra đặc trưng của tập hợp, biểu diễn tập hợp. Nội dung trò chơi: - Cho các chữ: “o”, “e”, “c”, “b”. Từ các kí tự này, hãy sắp xếp các từ có nghĩa. (Trong khoảng 3 phút HS có thể chơi cá nhân, hoặc có thể chơi theo các nhóm; có thể viết ra giấy, hoặc viết lên bảng/bảng phụ thì càng hấp dẫn). - GV cùng HS sắp xếp lại, với quy ước: tập C: những từ có chữ “o”, tập D: những từ có chữ “e”, ..., tậpM : tất cả các từ vừa viết được. - GV giới thiệu cách đặt tên một tập hợp, lấy ví dụ cụ thể và hướng dẫn học sinh cách đặt tên và cách viết các phần tử của tập hợp; gọi A là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5, B là tập hợp các chữ cái a, b, c, d. Ta viết: A = f0; 1; 2; 3; 4g B = fa; b; c; dg . + Nhận xét: số 1 thuộc tập hợp A nhưng số 6 không thuộc tập A ( GV có thể đưa ra câu hỏi “số 6 có thuộc A không”), trong toán học, để biểu diễn một phần tử thuộc hay không thuộc một tập hợp nào đó người ta dùng kí hiệu 2, /2. + Yêu cầu hai học sinh lên bảng: tìm một phần tử thuộc tập hợpB và biểu diễn bằng kí hiệu, một phần tử không thuộc tập hợp A khác ví dụ vừa nêu và biểu diễn bằng kí hiệu. Tương tự với các tập hợp được nói tới trong trò chơi ban đầu. + Nêu chú ý trong sách giáo khoa: các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc nhọn, cách nhau bởi dấu “;”( nếu có phần từ số) hoặc dấu”,”. Mỗi phần tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê tùy ý. + Ta còn minh họa tập hợp bằng một vòng kín như hình vẽ sau, trong đó mỗi phần tử là một dấu chấm bên trong đường tròn. + Đây gọi là phương pháp dùng sơ đồ Ven, các em có thể hiểu đơn giản là hình “quả trứng”, vậy một bạn lên viết cho cô tập hợp các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Việt và minh họa tập hợp này bằng “hình quả trứng” (HS sẽ thấy khó khăn trong việc biểu diễn vì số lượng phần tử quá nhiều). Vậy ngoài cách viết liệt kê các phần tử của tập hợp, ta còn có thể viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó. Chẳng hạn tập B là các số tự nhiên nhỏ hơn 100, ta gặp khó khăn trong việc sử dụng phương pháp liệt kê. Ta có thể viết: B = fx 2 N jx < 100g. Hoạt động 2: Tiếp cận xây dựng quan hệ giữa hai tập hợp. Mục tiêu: Hoạt động này nhằm giúp HS kiến tạo cách xác định quan hệ bao hàm, chứa trong giữa hai tập hợp. Hoạt động này kết nối với trò chơi ở hoạt động 1, tạo hứng 54 Đảm bảo vai trò của khái niệm và tích cực hóa hoạt động của học sinh... thú xuyên suốt cho HS. - Cho hai tập hợp E = fa, bg, F = fa, b, c, dg . Ta thấy mọi phần tử của E đều thuộc tập hợp F , ta gọi tập hợp E là con của tập hợp F . Ta có thể mô tả quan hệ giữa hai tập hợp bằng sơ đồ bên. - Xem lại kết quả trò chơi trên, nhận xét những điều thú vị: +) Từ “eo” có mặt ở cả tập C và tậpD, tậpM (tương tự những tập khác, những từ khác). +) Những từ có mặt ở tập B, thì chắc chắn có mặt ở tập M (tương tự như vậy với tập C). Vậy có thể rút ra: B M,C M . Vậy, tập B chứa trong tậpM , hãy mô tả quan hệ giữa các tập hợp đó bằng sơ đồ. GV có thể yêu cầu học sinh chỉ ra các tập con khác củaM . GV bình luận, giới thiệu những tập đặc biệt (tập rỗng - không có phần tử nào, là tập con của mọi tập hợp), tập bằng nhau (có các phần tử giống hệt nhau). Hoạt động 3: Củng cố. Mục tiêu: Hoạt động này nhằm giúp HS vận dụng các kiến thức vừa thu được từ hai hoạt động trên trong các tình huống điển hình về tập hợp (phân loại, xem xét quan hệ, thiết lập quan hệ, thiết lập tập hợp,. . . ) Ví dụ 1: Cho ba tập hợpM = f1; 3g, N = f1; 3; 6g, P = f6; 1; 3g, dùng kí hiệu  để thể hiện quan hệ giữa hai trong ba tập hợp nói trên. Ví dụ 2: Hãy phân loại các biển báo giao thông trong hình bên. Ví dụ 3: Các số sau được viết bởi những chữ số nào: a) 14376 b) 2299386 Ví dụ 4: Cho hai tập hợp A = f70; 10g, B = f5; 14g. Viết tập hợp các giá trị của các biểu thức: a) x+ y với x thuộc A, y thuộc B. b) x y với x thuộc A, y thuộc B. c) x y với x thuộc A, y thuộc B. d) x : y với x thuộc A, y thuộc B. Ví dụ 5: Em hãy phân chia các số tự nhiên từ 10 đến 30 thành: Tập hợp A: các số chẵn, Tâp hợp B: các số lẻ, Tâp hợp C: các số chia hết cho 2, Tập hợp D: các số chia hết cho 5, 55 Chu Cẩm Thơ Tập hợp E: các số chia hết cho 10. Biểu diễn quan hệ giữa các tập hợp trên (nếu có) Ví dụ 6: Cho các tập hợp A = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10g; B = f1; 3; 5; 7; 9; 11g a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B. b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A. Tình huống vừa nêu cũng cho thấy đây là một kịch bản tốt cho việc tích cực hóa hoạt động của học sinh. Mỗi học sinh thông qua giải quyết một “yêu cầu”, thực hiện một “hoạt động” đã thực sự trở thành chủ thể của việc học. Cũng có thể dùng gợi ý này để dạy nhiều khái niệm quan trọng qua đó cung cấp “tri thức phương pháp” [1; 134] như: Cấp số cộng, sự liên tục của hàm số, khoảng cách,. . . 3. Kết luận Những ví dụ được dẫn ra trên đây để minh chứng rằng chúng ta có thể khắc phục những trở ngại mà dạy học khái niệm thường gặp trong thực tiễn dạy học. Từ khẳng định đó, bài báo chỉ ra rằng: chìa khóa của vấn đề chính là làm thật tốt mục tiêu môn học và hướng đến tích cực hóa hoạt động của người học. Chúng ta có thể làm được như thế nếu xác định việc dạy học không phải nhồi nhét kiến thức mà là giúp học sinh tự kiến tạo và nắm chắc kiến thức để vận dụng. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim, 2006. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm. [2] Nguyễn Thanh Hải, 2011. Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học nguyên hàm tích phân ở lớp 12 trung học phổ thông. Luận văn Thạc sĩ khoa học giáo dục, chuyên ngành Lí luận và dạy học môn Toán, Trường ĐHSP HN. [3] Bùi Văn Nghị, 2008. Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm. [4] Lê Doãn Tá (chủ biên), 2004. Giáo trình Logic học. Nxb Chính trị Quốc gia. [5] Chu Cẩm Thơ, 2010. Vận dụng phương pháp kích thích tư duy của học sinh trong dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông. Luận án Tiến sĩ giáo dục học, chuyên ngành Lí luận và dạy học môn Toán, Trường ĐHSP HN. ABSTRACT Concepts and the presentation of positive activities to students who are studying mathematics Concepts are a kind of abstract thinking and instilling a solid conceptual foundation is thought to be highly important when teaching mathematics. When learning concepts, students learn to explore, think, practice and make use of what is learned. The paper recommends teaching concepts that would positively affect teaching activities. 56