Dạng tín hiệu trong truyền dẫn vô tuyến số

Chương 2 DẠNG TÍN HIỆU TRONG TRUYỀN DẪN VÔ TUYẾN SỐ 2.1. GIỚI THIỆU CHUNG 2.1.1. Các chủ đề được trình bầy trong chương Các dạng hàm tín hiệu Hàm tương quan và mật độ phổ công suất Các kiểu tín hiệu ngẫu nhiên Các tín hiệu nhị phân băng gốc và băng thông Ảnh hưởng của hạn chế băng thông và định lý Nyquist Ảnh hưởng của đặc tính đường truyền 2.1.2. Hướng dẫn Học kỹ các tư liệu đựơc trình bầy trong chương Tham khảo thêm [1],[2], [7] 2.1.3. Mục đích chương Hiểu được cách sử dụng các hàm để biểu diễn tín hiệu trong truyền dẫn vô tuyến số Hiểu được ảnh hưởng của kênh truyền lên chất lượng truyền dẫn vô tuyến số 2.2. CÁC DẠNG HÀM TÍN HIỆU Các hàm tín hiệu có thể chia thành các lọai hàm trên cơ sở sau: 1) thay đổi các giá trị theo thời gian 2) mức độ có thể mô tả hoặc dự đoán tính cách của hàm 3) thời gian tồn tại hàm 4) các hàm có kiểu năng lượng hay kiểu công suất Loại một được chia thành các hàm sau: Tương tự: là môt hàm liên tục nhận các giá trị dương, không hoặc âm. Thay đổi xẩy ra từ từ và tốc độ thay đổi hữu hạn. Số: là môt hàm nhận một tập hữu hạn các giá trị dương, không hay âm. Thay đổi giá trị tức thì và tốc độ thay đổi vô hạn ở thời điểm thay đổi, còn ở các thời điểm khác bằng không. Hàm số thường được sử dụng trong viễn thông là hàm nhị phận: chỉ có hai trạng thái: 1 và 0. Loại hai được chia theo mức độ rõ ràng thể hiện tính cách của hàm: Tất định: ở mọi thời điểm hàm xác định thể hiện giá trị (gồm cả không) liên quan đến các thời điểm lân cận ở mức độ rõ ràng để có thể biểu diễn giá trị này một cách chính xác. Xác suất: hàm có giá trị tương lai được mô tả ở các thuật ngữ thống kê. Đối với hàm này, khi ta biết trước một tập gía trị của nó trong quá khứ, ta vẫn không thể biết chắc chắn giá trị của nó ở một thời điểm nhất định trong tương lai cũng như cho trước môt giá trị nào đó ta không thể nói chắc chắn thời điểm tương lai sẽ xẩy ra giá trị này. Các giá trị tương lai chỉ được ước tính bằng thống kê liên quan đến các giá trị quá khứ và với giả thiết rằng tính cách tương lai của nó có liên hệ với quá khứ. Một nhóm quan trọng của các hàm xác suất là các hàm ngẫu nhiên. Ngẫu nhiên: là hàm xác suất có các giá trị giới hạn ở một giải cho trước. Trong một khoảng thời gian dài mỗi giá trị trong giải này sẽ xẩy ra nhiều hơn các giá trị khác. Loại ba được phân chia theo thời gian tồn tại của hàm: Quá độ: hàm chỉ tồn tại trong một khoảng thời gian hữu hạn Vô tận: hàm tồn tại ở mọi thời điểm. Để mô tả hoạt động của một hệ thống thông tin trong trạng thái ổn định. Một nhóm của hàm này là hàm tuần hoàn. Tuần hoàn: hàm vô tận có các giá trị được lặp ở các khoảng quy định. Loại bốn được phân chia thành hàm kiểu năng lượng và kiểu công suất: Để tiện xét các hàm này ta sẽ coi rằng hàm s(t) được đo bằng các đơn vị tín hiệu (dòng điện hoặc điện áp) ở điện trở 1 W, công suất được đo bằng Watt còn năng lượng bằng Joule. Hàm kiểu năng lượng: Hàm tín hiệu xác định s(t) được coi là một hàm tín hiệu kiểu năng lượng nếu năng lượng của nó hữu hạn, nghĩa là: (2.1) Hàm kiểu công suất: hàm tín hiệu s(t) được gọi là hàm tín hiệu công suất nếu năng lượng của nó vô hạn nhưng công suất trung bình hữu hạn, nghĩa là: (2.2) Như vậy hàm tín hiệu kiểu năng lượng sẽ có công suất bằng không. Đối với tín hiệu tuần hoàn sp(t), việc lấy trung bình trên một chu kỳ (T1) cũng giống như lấy trung bình trên toàn bộ thời gian nên: (2.3) Lưu ý rằng mọi tín hiệu tuần hoàn đều là tín hiệu công suất. Chẳng hạn tín hiệu U(t)-U(t-10) trong đó U(t)=0 khi t<0 và U(t)=1 khi t≥0 và e-2tU(t) là tín hiệu năng lượng. Các sóng hàm sin, chữ nhật và các tín hiệu không đổi là các tín hiệu công suất. Một số tín hiệu như etU(t) và tU(t) không phải là tín hiệu năng lượng cũng như tín hiệu công suất. 2.3. HÀM TỰ TƯƠNG QUAN VÀ MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT Đối với một tín hiệu tất định kiểu công suất s(t), hàm tự tương quan (ACF: Autocorrelation Function) chuẩn hóa được xác định như sau: (2.4) trong đó s*(t) ký hiệu cho phiên bản phức liên hợp của s(t) Về ý nghĩa hàm tự tương quan đánh giá mức độ giống nhau giữa tín hiệu và phiên bản dịch thời gian của chính nó: t+t. Nếu s(t) là một hàm phức thì biểu thức dưới tích phân trong phương trình (2.4) đựơc thay bằng s(t)s*(t+t), trong đó s((t) biểu thị phức liên hợp của s(t). Mục đích của ta là xét tín hiệu thực tế vì thế tín hiệu giá trị thực được sử dụng. Nếu s(t) là một hàm tuần hoàn có chu kỳ là T thì ta có thể thực hiện lấy trung bình phương trình (2.4) trên một chu kỳ, ta được: (2.5) trong đó a là một hằng số bất kỳ. Lưu ý rằng hàm f(t) trong phương trình trên cũng là một hàm tuần hoàn. Mật đổ phổ công suất (PSD:Power spectral Density) của s(t) được định nghĩa như biến đôi Fourier của hàm tự tương quan như sau: (2.6) Vì thế hàm tự tương quan của biến đổi Fourier ngược của PSD sẽ là: (2.7) Cặp phương trình (2.6) và (2.7) được gọi là tương quan Wiener-Khichine. PSD cho ta biết công suất trung bình của tín hiệu ở vùng tần số. Công suất của một băng tần được xác định bởi diện tích của PSD ở băng tần này. Chẳng hạn công suất trung bình trong băng tần từ f1 đến f2 là: (trong vùng tần số được trình bầy cho cả giá trị dương lẫn âm). Nếu s(t) là một hàm tuần hoàn có chu kỳ T, thì F(f) chỉ chứa các hàm xung kim (Dirac) ở các tần số 0, , , …, nghĩa là công suất trung bình chỉ xuất hiện tại các thành phần một chiều và các thành phần hài. Công suất trung bình của một tín hiệu bằng giá trị trung bình hàm tự tương quan của tín hiệu này tại t=0. Cũng có thể nhận được công suất này bằng cách lấy tích phân PSD: (2.8) Đối với các tín hiệu năng lượng tất định ta có thể định nghĩa hàm tự tương quan như sau: (2.9) Bình phương biến đổi Fourier của tín hiệu s(t) được gọi là mật độ phổ năng lượng (ESD: Energy spectral density) và được ký hiệu là |S(f)|2, trong đó S(f) là biến đổi Fourier của s(t). Biến đổi Fourier của hàm tự tương quan cũng là mật độ phổ năng lượng của tín hiệu s(t). Mật độ phổ năng lượng cho ta biết năng lượng của một tín hiệu được phân bố ở vùng tần số như thế nào. Năng lượng của một tín hiệu bằng tích phân của mật độ phổ năng lượng: (2.10) 2.4. CÁC TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN Một tín hiệu ngẫu nhiên ((quá trình ngẫu nhiên) X(t) là tập hợp các biến ngẫu nhiên được đánh chỉ số theo t. Nếu ta cố định t, chằẳng hạn t=t1, thì X(t1) chính là một biến ngẫu nhiên. Sự thể hiện thông kê của các biến ngẫu nhiên có thể được trình bầy bằng hàm mật độ xác suất (pdf: Probability density function) liên hợp của chúng vadà sự thể hiện của một quá trình ngẫu nhiên có thể được trình bầy bằng các hàm mật độ xác suất (pdff) liên hợp tại các thời điểm khác nhau. Tuy nhiên trong thực tế ta không cần biết pdf liên hợp mà chỉ cần biết thống kê bậc 1 (trung bình) và thôống kê bậc 2 (hàm tự tương quan là đủ. Trung bình của một quá trình ngẫu nhiên X(t) là kỳ vọng (trung bình tập hợp) của X(t): (2.11) trong đó pX(t)(x) là pdf của X(t) tại thời điểm t. Có thể định nghĩa hàm tự tương quan của một tín hiệu ngẫu nhiên giống như trường hợp của một tín hiệu được xác định ở phần trước nếu thay thế lấy trung bình bằng kỳ vọng. Khi này hàm tưự tương quan cuả một quá trình ngẫu nhiên sẽ là: fX(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)] (2.12) trong đó E[.] biểu thị kỳ vọng và pX(t)X(t+t)(x1,x2) là pdf liên hợp của X(t) và X(t+t). Nếu trung bình mX(t) và hàm tự tương quan fX(t,t+t) không phụ thuộc thời gian thì ta nói rằng X(t) là một quá trìngh dừng nghĩa rộng (WSS: ƯWide sense stationary). Trong trường hợp này ta csoó thể bỏ qua biến ngẫu nhiên t và sử dụng fX(t) chôo hàm ngẫu nhiên. Đối với quá trình WSS, PSD (ký hiệu là FX(f)) được xác định như là biến đổi Fourier cuả fX(t) theo Winner-Khichine, nghĩa là: (2.13) (2.14) và công suất trung bình là: (2.15) Đối với một tín hiệu có thành phần một chiều và các thành phần tuàần hoàn thì PSD có hàm Dirac tại tần số không (một chiều) và các tần số tương ứng với các thành phần tuần hoàn. Hàm Dirac hay hàm xung kim đơn vị tại thời điểm t0 có thể được xác định theo hai điều kiên sau: d(t-t0)=0, nếu t¹t0 và nếu a<t0<b (2.16) Lưu ý rằng biến đổi Fourier Ad(t-t0) là Ae-2pfto và biến đổi Fourier A là Ad(t). Đê làm thí duụ ta xét PSD chứa các hàm Dirac sau đây: FX(f)=e-|f|+0,2. d(f)+0,3d(f-fc)+0,3d(f+fc), W/Hz Giá trị trung bình thành phần một chiều của X(t) là diện tích của hàm Dirac tại tần số f=0 là 0,2W. Công suất trung bình cuảu các thành phần fc là 2´0,3=0,6W. Thành phần e-|f| tương ứng với thnành phần khgông tuần hoàn của X(t). Công suất tổng trung bình là: 0,2+0,6+=2,8W 2.5. CÁC TÍN HIỆU NHỊ PHÂN BĂNG GỐC Luồng số cần truyền trong các đường truyền dẫn cuả mạng viễn thông thường được trình bầy ở dạng nhị phân bằng chuỗi nhị phân nhận hai giá trị A và -A. Đây là chuỗi bit ngẫu nhiên với xác suất sxuất suất hiện bit A và -A là bằng nhau và bằng 1/2. Chuỗi bit này được gọi là chuỗi nhị phân ngẫu nhiên băng gốc. Để truyền được vào không gian chuỗi nhị phân băng gốc phải đơựơc điều chế. Tín hiệu nhiị phân sau điều chế đựơc gọi là tín hiệu nhị phân băng thông. Ta có thể biểu diễn tín hiệu nhị phân ngẫu nhiên băng gốc ở dạng sau: (2.17) trong đó T là độ rộng một bit, Ak là các biến độc độc lập được phân bố đềuồng dạng (i.i.d: indipendent identically distributed) nhận các giá trị ±A và có xác suất như nhau (bằng 1/2), g là một biến ngẫu nhiên được phân bố đều từ 0 đến T. Biến ngẫu nhiên g này làm cho tín hiệu ngẫu nhiên X(t) trở thành WSS. pT(t) là hàm xung chữ nhật đơn vị đựơc xác định như sau: (2.18) Biến đổi Fourier của pT(t) là TSinc(fT).e-jpfT trong đó Sinc(tx)= sin(ptx)/(ptx). Lưu ý rằng diện tích dưới hàm Sinc(tx) cũng như diện tích dưới hàm Sinc2(tx) đều bằng một, nghĩa là: (2.19) Một thực hiện hay đường mẫu của tín hiệu X(t) được cho trên hình 2.1. Hình 2.1. Một thực hiện của tín hiệu nhị phân ngẫu nhiên băng gốc X(t) Có thể xác định hàm tương quan của X(t) như sau: (2.20) trong đó LT(t) có biến đổi Fourier là TSinc2(fT). Lưu ý rằng X(t) là một tín hiệu ngẫu nhiên có giá trị thực nên fX(t) đối xứng so với t. Phương trình (2.19) cho thấy rằng X(t) và X(t+t) có mức độ giống nhau nhất khi t=0; chúng có mức độ giống nhau nhất định khi 0T, vì tại mọi thời điểm giá trị của X(t) độc lập với X(t+t) do chúng ở các đoạn bit khác nhau. Thực hiện biến đổi Fourier phương trình (2.20) ta được PSD: (2.21) Hàm tự tương quan và PSD của X(t) được cho trên hình 2.2. Hình 2.2. Hàm tự tương quan và PSD của tín hiệu ngẫu nhiên nhị phân X(t) Lưu ý rằng các giá trị bằng không đầu tiên xẩy ra tại f=±1/T và cực đại là A2T tại f=0. Không phụ thuộc vào T, là công suất trung bình của X(t). PSD nhận được cho thấy rằng công suất trung bình trải rộng trên băng tần nếu T nhỏ (tương ứng với tốc độ bit cao của tín hiệu X(t)); nó tập trung trên một băng tần hẹp nếu T lớn (tương ứng với tốc độ bit thấp của tín hiệu X(t)). 2.6. TÍN HIỆU BĂNG THÔNG Bây giờ ta đi xét phiên bản điều chế của tín hiệu ngẫu nhiên nhị phân X(t) nói trên, đẻể vậy ta nhân X(t) với một hàm sin như sau: Y(t)=X(t)cos(2pfct+q) (2.22) trong đó fc được gọi là tần số sóng mang và q là góc pha ngẫu nhiên có phân bố đều trong dải [0,2p] và không phụ thuộc vào X(t). Pha ngẫu nhiên q cần thiết để biến Y(t) thành WSS. Ta có thể biểu diễn hàm tự tương quan và PSD của Y(t) như sau: (2.23) (2.24) Khi X(t) là biễn nhị phân ngẫu nhiên được cho bởi phương trình (2.18), ta được: (2.25) (2.26) Dạng của các hàm trên được vẽ trên hình 2.3. Hình 2.3. Hàm tự tương quan và PSD của tín hiệu nhi phân X(t) được điều chế Như thấy trên hình vẽ, Phổ được tập trung tại các tần số . Nếu sử dụng độ rộng băng tần là độ rộng giới hạn tại hai giá trị không đầu tiên của PSD thì độ rộng phổ của Y(t) bằng 2/T (lưu ý độ rộng băng tần trong vi ba số thường được sử dụng là độ rộng băng Nyquist, trong trường hợp này độ rộng băng Nyquist bằng 1/T). Công suất trung bình của Y(t) là và bằng một nửa công suất trung bình của X(T). Trên hình 2.3 ta sử dụng fc=4/T. 2.7. ẢNH HƯƠNG CỦA HẠN CHẾ BĂNG THÔNG VÀ ĐỊNH LÝ NYQUIST Như ta đã xét ở 2.4, Các dẫy xung nhị phân ngẫu nhiên với độ rộng T và biên độ ±A (lưỡng cực) có vô hạn các thành phần tần số. Tuy nhiên trong các đường truyền dẫn thực tế băng tần bị hạn chế, vì thế xung thu được có dạng mở rộng ở đáy. Phần mở rộng này chồng lấn lên các xung phía trước và phía sau gây ảnh hưởng cho việc phân biệt các xung. Ảnh hưởng này được gọi là nhiễu giữa các ký hiệu (ISI: Intersymbol Interference). Có thể trình bầy sự hạn chễ băng tần bằng hàm truyền đạt của bộ lọc thông thấp lý tưởng như ở hình 2.4. Nếu ta đưa một xung kim d(t) vào bộ lọc này thì phổ của tín hiệu nhận được ở đầu ra sẽ có dạng hàm chữ nhật sau: H(f) = (2.27) trong đó f0 là tần số cắt. Biến đổi Fourier ngược cho biểu thức trên ta được đáp ứng đầu ra: h(t) = 2f0Sinc(2f0t) (2.28) Hình 2.4 b cho ta thấy dạng của đáp ứng này. Ngọai trừ giá trị đỉnh tại trung tâm, các điểm không xuất hiện ở mọi thời điểm kT0 =k , trong đó k là số nguyên dương khác không. Khoảng cách T0 được gọi là khoảng Nyquist. Nếu ta phát đi một dẫy xung kim cách nhau dT(t) cách nhau một khoảng Nyquist, thì có thể tránh được nhiễu giao thoa giữa các ký hiệu (nếu tiến hành phân biệt các xung này tại các thời điểm kT0 của các xung thu) (hình 2.4c). Nếu khoảng cách giữa các xung kim T nhỏ hơn khoảng cách Nyquist T0, thì sự chồng lấn của các xung này làm ta không thể phân biệt được chúng. Nói một cách khác độ rộng băng tần cần thiết để phân biệt các xung (các ký hiệu) có tốc độ ký hiệu Rs bằng 1/T phải bằng 2f0=, nghĩa là: f0= 1/2T=Rs/2 (giới hạn độ rộng băng tần Nyquist) (2.29) Định lý Nyquist thứ nhất Trong thực tế rất khó thực hiện được bộ lọc thông thấp lý tưởng như nói ở trên. Vì vậy để đạt được điều kiện cần thiết của bộ lọc trong đường truyền dẫn thực tế, ta áp dụng định lý Nyquist thứ nhất sau đây: Ngay cả khi xếp chồng đặc tính đối xứng kiểu hàm lẻ ứng với tần số cắt f0 với đặc tính của bộ lọc thông thấp lý tưởng thì điểm cắt (điểm 0) với trục của đáp ứng xung kim vẫn không thay đổi. Các đặc tính của bộ lọc thoả mãn định lý thứ nhất của Nyquist thường được sử dụng có dạng như ở hình 2.5 đựơc gọi là hàm phổ dốc (Roll off) và có thể được biểu thị bằng hàm truyền đạt Roll(f) sau đây: Roll(f)= (2.30) trong đó a được gọi là hệ số độ dốc (Roll-off factor). Hình 2.4. Hàm truyền đạt của bộ lọc thông thấp lý tưởng và các đáp ứng đầu ra của nó khi đầu vào là một xung kim đơn hay một dẫy xung kim chu kỳ T Phần nghiêng của Roll(f) có thể chuyển thành các đặc tính Cosin bình phương như sau: Roll (f) = (2.31) Do vậy Roll(f) cũng được gọi là đặc tính dốc cosin. Ngoài ra ta cũng có thể trình bầy phần nghiêng nói trên ở dạng hàm cosin tăng sau đây: Roll(f) = (2.32) Vì thế Roll (f) cũng còn được gọi là đặc tính dốc cosin tăng. Đáp ứng xung kim h(t) của bộ lọc có đặc tính dốc cosin có thể được biểu diễn bằng biến đổi Fourier ngược sau đây: h(t) = (2.34) Có thể biểu diễn Roll(f) và h(t) như ở hình 2.5. Trong đó a được sử dụng như là một thông số và được gọi là thừa số dốc. . Hình 2.5. Các dặc tính của bộ lọc dốc cosin. a) Đặc tính dốc cosin, b) Đáp ứng xung kim Khi này băng thông tối thiểu cần hiết để phân biệt các xung hay băng thông Nyquist trong đường truyền dẫn băng gốc được xác định theo công thức sau: BN = f0(1+a) = Rs(1+a)/2 (2.35) Đối với đường truyền dẫn băng thông ( vô tuyến chẳng hạn), băng thông Nyquist được xác định theo công thức sau: BN = f0(1+a) = Rs(1+a) (2.36) trong đó Rs là tốc độ truyền dẫn hay tốc độ ký hiệu được định nghĩa là số trạng thái hay số ký hiệu được truyền trên đường truyền dẫn trong thời gian môt giây. Tùy thuộc vào hệ thống truyền dẫn, mỗi trạng thái hay ký hiệu này có thể truyền đồng thời nhiều bit. Quan hệ giữa tốc độ ký hiệu và tốc độ bit được xác định như sau: Rs=Rb/k trong đó k là số bit trên một ký hiệu. 2.8. ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC ĐẶC TÍNH ĐƯỜNG TRUYỀN 2.8. 1. Nhiễu, tạp âm, tỷ số tín hiệu trên tạp âm và tỷ số bit lỗi Ở các đường truyền dẫn thực tế, các bản tin thường bị nhiễu và tạp âm đi kèm vì thế ở đầu ra của máy thu tín hiệu bị méo so với tín hiệu ở đầu vào máy phát. 1. Các nguồn nhiễu và tạp âm Các nguồn nhiễu bao gồm: * Các tín hiệu thu được ở máy thu như: - sóng điều chế khác gây nhiễu với tín hiệu hữu ích - các tín hiệu do các hiện tượng thiên nhiên hoặc xung tạo ra như: tia chớp, hay các nguồn xung nhân tạo như các hệ thống đánh tia lửa điện của ô tô - truyền sóng nhiều tia ở vi ba số * Các tín hiệu thể hiện xử lý bị lỗi hay xấp xỉ hoá như: - các tín hiệu sinh ra khi xử lý tín hiệu để truyền dẫn dẫn đến phát đi một tín hiệu khác với tín hiệu mà người phát định phát - các tín hiệu sinh ra khi tách sóng và kết cấu lại tín hiệu ở phía thu. Các nguồn tạp âm bao gồm - chuyển động ngẫu nhiên của các điện tử, ion, hay các lỗ trong các vật liệu cấu thành thiết bị thu - phát xạ ngân hà 2. Tỷ số tín hiệu trên tạp âm Tỷ số tín hiệu trên tạp âm (SNR: Signal to noise ratio) là tỷ số giữa công suất của tín hiệu bản tin với công suất của tín hiệu tạp âm, nghĩa là: SNR = Công suất tín hiêu(S) Công suất tạp âm (N) Do dải giá trị của SNR rất rộng, nên thường log10 của tỷ số này được sử dụng. Đơn vị được sử dụng khi này được gọi là Bel (B). Thông thường để tiện lợi người ta sử dụng deciBel hay Bel´10-1, nên: (SNR)dB = 10log10(S/N) dB (deciBel) (2.37) Có thể mở rộng khái niệm tỷ số tín hiệu trên tạp âm cho các tỷ số được biểu thị ở đơn vị tín hiệu. 3. Tạp âm trắng Khi không thể xét riêng các nguồn tạp âm, ta có thể coi rằng chúng tạo ra một tín hiệu ngẫu nhiên duy nhất với phân bố đều công suất ở mọi tần số. Tương tự như ánh sáng trắng (chứa tất cả các tần số nhìn thấy được), tín hiệu này được gọi là tạp âm trắng. Tạp âm trắng là một hàm mẫu n(t) của một quá trình ngẫu nhiên dừng nghĩa rộng N(t) với mật độ phổ công suất [FN((f)] bằng N0/2 W/Hz, nghĩa là: FN((f) = N0/2 (2.38) và hàm tự tương quan [fX(t)] là: fN(t) = (2.39) Đồ thị biểu diễn các đại lượng trên được cho ở nửa trên của hình 2.6. Tạp âm trắng có thuộc tính là các mẫu khác nhau không tương quan với nhau và nếu hàm mật độ xác suất của phổ biên độ là Gauss (chuẩn) thì chúng độc lập thống kê với nhau. Do mật độ phổ không đổi ở tất cả các tần số, tín hiệu này có công suất vô hạn, nghĩa là: = =¥ (2.40) Vậy tạp âm trắng là một tín hiệu không thể thực hiện được. Tuy nhiên tất cả các hệ thống thực tế đều là thông thấp hay băng thông và ta chỉ cần xét tạp âm trong dải tần hoạt động của các tín hiệu này. Vì thế tạp âm băng hạn chế là khái niệm hữu dụng hơn. Tạp âm băng hạn chế:là tạp âm có mật độ công suất không đổi ở dải tần hạn chế, nghĩa là: (2.41) Hình 2.6. Các hàm tự tương quan và mật độ phổ công suất của tạp âm trắng và tạp âm băng thông hạn chế Khi này: fN(t) = N0WSinc(2Wt) (2.42) nghĩa là, hàm tự tương quan là một hàm Sincx= [sin(px)]/(px). Đồ thị biểu diễn các đại lượng trên được cho nửa dưới của ở hình 2.6. 4. Tạp âm trắng Gauss cộng (AWGN) Ta có thể trình bầy tạp âm nhiệt như là một quá trình ngẫu nhiên Gauss trung bình không. Một quá trình ngẫu nhiên Gauss X(t) là hàm thống kê phụ thuộc vào thời gian có giá trị x tại mọi thời điểm t được đặc trưng thống kê bởi hàm mật độ xác suất (PDF: Probability Density Function) sau: (2.43) trong đó X là biến ngẫu nhiên có giá trị trung bình mX=0, x là giá trị mẫu của biến ngẫu nhiên và s là lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X bằng . Tạp âm xẩy ra ở nhiều hệ thống thông tin có thể mô hình như là tạp âm trắng có phân bố Gauss. Vì mẫu của các tạp âm này không tương quan và hoàn toàn độc lập với nhau, nên chúng thường được gọi là tạp âm Gauss trắng cộng (AWGN: Additive Gaussian Noise). Từ "cộng" có nghiã là tạp âm ảnh hưởng độc lập lên từng ký hiệu được truyền hay đơn giản tạp âm được xếp chồng hay cộng với tín hiệu bản tin. Hàm phân bố xác suất FX(x) cho ta xác suất điện áp tạp âm thấp hơn mức x: (2.44) trong đó erf là hàm lỗi được xác định như sau: ; z = (2.45) Các hàm mật độ và phân bố xác suất của tạp âm Gauss được vẽ ở hình 2.7. Hình 2.7. Hàm phân bố