Đầu tư chứng khoán - Wiener process và Itô lemma

 Wiener Process và Itô LemmaChương 12Các loại phân tích số liệu theo phương pháp ngẫu nhiên (Stochastic)Thời gian rời rạc; Biến rời rạcThời gian rời rạc; Biến liên tụcThời gian liên tục; Biến rời rạcThời gian liên tục; Biến liên tụcLập mô hình giá cổ phiếuChúng ta có thể sử dụng bất kỳ loại nào trong 4 loại phân tích số liệu theo phương pháp ngẫu nhiên kể trên để lập mô hình giá cổ phiếu.Phương pháp thời gian liên tục, biến liên tục sẽ chứng minh là phương pháp hữu ích nhất đối với mục đích định giá các sản phẩm phái sinh. Phương pháp Markov (Xem trang 263-64)Trong phương pháp Markov những biến động tương lai trong một biến chỉ phụ thuộc vào việc chúng ta đang ở đâu chứ không phải việc làm thế nào chúng ta đến được nơi chúng ta đang đứng.Chúng ta giả định rằng giá cổ phiếu tuân theo phương pháp MarkovThị trường hiệu quả dạng yếuThị trường hiệu quả dạng yếu khẳng định rằng không thể đạt được mức sinh lợi cao bất thường nếu giao dịch chỉ dựa trên lịch sử giá cổ phiếu trong quá khứ. Nói cách khác, phân tích kỹ thuật là không có tác dụng. Phương pháp Markov về giá cổ phiếu rõ ràng phù hợp với thị trường hiệu quả dạng yếu. Ví dụ về một mô hình có thời gian rời rạc, biến liên tụcGiá cổ phiếu hiện nay là $40Sau một năm, giá cổ phiếu sẽ có phân phối xác suất f(40,10) với f(m,s) là một phân phối chuẩn với trung bình là m và độ lệch chuẩn là s.Câu hỏiPhân phối xác suất của giá cổ phiếu vào cuối năm 2 sẽ là phân phối gì?½ năm? ¼ năm? Dt năm? với giới hạn chúng ta đã quy định là theo phương pháp thời gian liên tục, biến liên tụcPhương sai và độ lệch chuẩnTrong phương pháp Markov những thay đổi trong những giai đoạn sau là độc lập với nhauĐiều này có nghĩa phương sai là được cộng thêm vàoĐộ lệch chuẩn không được cộng thêm vàoPhương sai và độ lệch chuẩn (tiếp theo)Trong ví dụ của chúng ta, nói rằng phương sai là 100 một năm là đúngNói rằng độ lệch chuẩn là 10 một năm là hoàn toàn sai.Wiener Process (Xem trang 265-67)Chúng ta xét biến z là biến có giá trị thay đổi liên tục Thay đổi trong một khoảng thời gian nhỏ Dt là Dz Biến này sẽ tuân theo Wiener process nếu 1. 2. Giá trị Dz của hai giai đoạn bất kỳ khác nhau (không trùng nhau) là độc lập với nhauVới e là f (o,1)Các đặc tính của Process WienerTrung bình của [z (T ) – z (0)] là 0Phương sai của [z (T ) – z (0)] là TĐộ lệch chuẩn của [z (T ) – z (0)] làGiới hạn. . .Một biểu thức liên quan đến dz và dt có ý nghĩa gì?Nó có ý nghĩa là biểu thức tương ứng liên quan đến Dz và Dt là đúng khi Dt có xu hướng tiến về 0.Ở khía cạnh này, phép tính ngẫu nhiên (stochastic) cho kết quả giống với phép tính bình thường.Wiener Process tổng quát (Xem trang 267-69)Wiener Process có một tỷ lệ dịch chuyển (drift rate) (cụ thể là thay đổi trung bình trên một đơn vị thời gian) giữa 0 và tỷ lệ biến thiên 1.Trong Wiener Process tổng quát, tỷ lệ dịch chuyển và tỷ lệ biến thiên có thể được chọn cho bằng một con số cố định nào đó. Wiener Process tổng quát (tiếp theo) Biến x sẽ tuân theo Wiener Process tổng quát có tỷ lệ dịch chuyển a và tỷ lệ biến thiên b2 nếu dx=a dt+b dz Wiener Process tổng quát (Tiếp theo)Thay đổi trung bình của x tại thời điểm T là aTPhương sai của thay đổi của x tại thời điểm T là b2TĐộ lệch chuẩn của thay đổi của x tại thời điểm T là Xem lại ví dụMột cổ phiếu có giá ban đầu là 40 và phân phối xác xuất f(40,10) vào cuối nămNếu chúng ta giả định rằng phương pháp phân tích số liệu ngẫu nhiên là Markov nhưng không có tỷ lệ dịch chuyển thì phương pháp này sẽ làdS = 10dz Nếu kỳ vọng giá cổ phiếu sẽ tăng trung bình thêm $8 trong năm, thì phân phối xác suất vào cuối năm sẽ là f(48,10), lúc đó phương pháp này sẽ làdS = 8dt + 10dz Phương pháp Itô (Xem trang 269)Trong phương pháp Itô tỷ lệ dịch chuyển và tỷ lệ biến thiên là hàm số theo thời gian dx=a(x,t) dt+b(x,t) dz Tương đương thời gian rời rạc chỉ đúng khi Dt có xu hướng tiến về 0 Tại sao Wiener Process tổng quát lại không phù hợp với cổ phiếuĐối với giá cổ phiếu trong ngắn hạn, chúng ta có thể cho rằng giá cổ phiếu kỳ vọng có thể thay đổi giá trị tuyệt đối mà không thay đổi tỷ lệ phần trăm.Chúng ta cũng không thể chắc rằng mức biến động giá cổ phiếu trong tương lai sẽ tỷ lệ thuận với mức giá cổ phiếu. Phương pháp Ito đối với giá cổ phiếu(Xem trang 269-71) với m là lợi nhuận kỳ vọng s là độ biến động. Tương đương thời gian rời rạc làMô phỏng Monte CarloChúng ta có thể thử các chuỗi giá cổ phiếu ngẫu nhiên bằng cách chọn mẫu các giá trị eGiả sử m= 0.14, s= 0.20, và Dt = 0.01, thìMô phỏng Monte Carlo – Một chuỗi giá (One Path) (Xem Bảng 12.1, trang 272) Itô Lemma (Xem các trang 273-274)Nếu chúng ta biết phương pháp phân tích ngẫu nhiên (stochastic) tính theo x, thì Itô Lemma cho biết phương pháp ngẫu nhiên theo hàm G (x, t ) bất kỳVì chứng khoán phái sinh là một hàm phụ thuộc vào thời gian và giá của sản phẩm cơ sở, nên bổ đề Itô đóng một phần quan trọng trong phân tích chứng khoán phái sinh.Khai triển chuỗi TaylorKhai triển chuỗi Taylor của hàm G(x, t) cho Bỏ qua các điều kiện về bậc cao hơn DtTheo cách tính bình thường chúng ta cóTheo cách tính ngẫu nhiên thì kết quả làBởi vì có một thành phần có bậc Thay thế DxGiả sử Để Sau đó bỏ qua điều kiện về bậc cao hơn DtĐiều kiện e2Dt Biến thiên của Dt tỷ lệ với Dt2 và có thể bỏ qua. Do vậyGiới hạnGiới hạnChúng ta cóĐây là Ito LemmaThayÁp dụng Ito Lemma cho phương pháp giá cổ phiếuPhương pháp giá cổ phiếu làĐối với hàm G theo S và tVí dụGiá kỳ hạn của một cổ phiếu có thời gian đáo hạn hợp đồng là T