Dạy giải toán hình cho học sinh năng khiếu bậc tiểu học

1 A/ Kiến thức khái quát: Đối với tiểu học kiến thức hình học chỉ dừng lại ở mức độ kiến thức mở đầu. Bước đầu cung cấp các công thức cơ bản về các hình: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình tròn, hình tam giác, hình lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập phương. Chưa có và chưa sử dụng các công thức phát triển và các định lý, các quy tắc biểu diễn trong hình. Do vậy, khi giải các bài toán hình ở tiểu học, đặc biệt là các bài toán hình nâng cao trong các kỳ thi học sinh năng khiếu Toán thì cẩm nang duy nhất chỉ có là các công thức cơ bản của các hình. Bên cạnh cẩm nang này để giải được các bài toán hình phức tạp rất cần ở đội ngũ giáo viên cũng như ở học sinh một nhanh nhạy trong việc xem xét, đánh giá mối liên quan giữa các yếu tố đã cho trong bài. Song song với đó là yêu cầu cao ở người giải toán một trí thông minh, một tư duy liên tưởng sáng tạo. Điều cần có trước hết là ở sự say mê hứng thú giải toán hình. Sau mỗi bài giải ta nhận được ở chính nội dung bài đó một niềm vui học toán, một kết quả của tư duy liên tưởng sáng tạo. Điều quan trọng mang tính chất mở đầu và cốt lõi là cần vẽ đúng hình với đầy đủ các điều kiện của đề toán. Tiếp theo là suy nghĩ thiết lập hướng giải toán có thể vận dụng 3 phương pháp thông thường trong giải toán hình ở tiểu học. Đó là: + Phương pháp lật hình + Phương pháp kẻ thêm đường thẳng + Phương pháp dịch chuyển hình (Riêng nội dung này sẽ nói kỹ hơn ở phần sau) Tóm lại: Việc giải toán hình tiểu học đòi hỏi một sự lao động trí thức nghiêm túc và nhiệt tình cộng với hứng thú học tập. Sau đây là một số kiến thức cơ bản về một số hình thông thường bậc tiểu học. 1/ Hình thang: b 2 Hình thang là một hình tứ giác có 2 cạnh đáy song song với nhau. Chiều cao là đoạn thẳng vuông góc với 2 đáy hình thang. Như vậy, hình thang có vô số đường cao. * Công thức tính: S = 2 )( ba  x h; h = (S x 2) : (a + b); a + b = (S x 2) : h Trong đó: S - Diện tích; h - Chiều cao; a- Đáy lớn; b - Đáy nhỏ Khi giải các bài tập về hình thang ta thường áp dụng tính chất kẻ thêm đường cao hoặc phát triển trên nền cơ sở là cắt ghép hình đẳng lập. * Có các loại hình thang đặc biệt: + Hình thang vuông: Là hình thang có 1 cạnh bên vuông góc với 2 đáy. Khi đó chiều cao của hình thang chính là cạnh bên vuông góc của hình thang. + Hình thang cân: Là hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau. * Nâng cao: Hai hình thang có tổng 2 đáy bằng nhau, chiều cao bằng nhau thì có S bằng nhau. Hai hình thang có tổng 2 đáy bằng nhau hình thang nào có chiều cao gấp 2, 3, 4…. lần thì có S gấp 2, 3, 4…. lần và ngược lại. Hai hình thang có tổng 2 đáy bằng nhau hình nào có S gấp 2, 3, 4…. lần thì có chiều cao gấp 2, 3, 4… lần và ngược lại. A B CD H h a 3 2/ Hình tam giác: Hình tam giác có 3 đáy, 3 đỉnh, 3 cạnh, 3 đường cao. Ở bậc tiểu học các yếu tố trong tam giác chỉ sử dụng nhiều đến đường cao và đáy, còn các yếu tố khác như: Góc, đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực thì ít dùng và không thông dụng. * Lưu ý: Tổng các góc trong của một tam giác là 1800 Trong tam giác vuông thì tổng 2 góc còn lại là 900 * Có các loại tam giác đặc biệt: + Tam giác cân: Tam giác có 2 cạnh bằng nhau, 2 góc cùng đáy bằng nhau. + Tam giác đều: Tam giác có 3 cạnh, 3 đáy bằng nhau. + Tam giác vuông: Tam giác có 1 góc vuông. + Tam giác vuông cân: Tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau. * Công thức tính: S = (a x h) : 2; a = (S x 2) : h ; h = (S x 2) : a Trong đó: S – Diện tích; h – Chiều cao; a - Đáy tương ứng * Nâng cao: Trong tam giác tổng 2 cạnh bao giờ cũng lớn hơn 1 cạnh. Hai tam giác có đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) và có chiều cao bằng nhau (hoặc chung chiều cao) thì S của 2 tam giác đó bằng nhau. Hai tam giác có 2 đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) thì tam giác nào có chiều cao gấp 2, 3, 4…. lần thì có S cũng gấp 2, 3, 4….. lần và ngược lại. Hai tam giác có 2 đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) tam giác nào có S gấp 2, 3, 4… lần thì có chiều cao cũng gấp 2, 3, 4… lần và ngược lại. Hai tam giác có diện tích bằng nhau, nếu chúng có 1 phần chung thì các phần còn lại của 2 tam giác đó bằng nhau. A B C H h a 4 3/ Hình chữ nhật: Hình chữ nhật là một hình thang đặc biệt có 2 cạnh bên bằng nhau và vuông góc với 2 đáy. * Các công thức tính: + Tính chu vi: P = (a + b) : 2 + Tính diện tích: S = a x b. a = (P : 2) – b; b = (P : 2) – a; a = S : b; b = S : a. Trong đó: S – Diện tích; P – Chu vi; a – chiều dài; b – Chiều rộng * Nâng cao: Hai HCN có diện tích bằng nhau. Nếu chiều dài của chúng bằng nhau thì có chiều rộng bằng nhau, và ngược lại. Hai HCN có chiều rộng (hoặc chiều dài) bằng nhau hình nào có diện tích gấp 2, 3, 4 … lần thì có chiều dài (hoặc chiều rộng) gấp 2, 3, 4… lần và ngược lại. Khi diện tích không thay đổi thì chiều dài và chiều rộng là 2 đại lượng tỷ lệ nghịch. 4/ Hình vuông: Hình vuông là một hình chữ nhật đặc biệt có chiều dài bằng chiều rộng. Chu vi hình vuông: P = a x 4 Diện tích hình vuông: S = a x a B C D b a A 5 Trong một số trường hợp, khi biết được diện tích ta có thể biết ngay được cạnh của nó. Đó là các trường hợp S hìng vuông là bình phương của 1 số. Cắt đôi hình vuông từ trung điểm của 2 cạnh ta được hai hình chữ nhật có chu vi và diện tích bằng nhau. Cắt đôi hình vuông bằng đường chéo ta được 2 hình tam giác vuông cân bằng nhau. 4/ Hình tròn: Các yếu tố trong hình tròn: Đường kính: d; Bán kính: r; Chu vi: C; Diện tích: S Số= 3,14. Công thức tính: C = d x 3,14; S = r x r 3,14 = r x 2 x 3,14; d = C : 3,14; r = d : 2 = r x 2 = C : 2 : 3,14 B/ Các phương pháp cơ bản khi giải toán hình ở tiểu học: Như phần trên đã trình bày việc giải toán hình ở tiểu học đòi hỏi người thầy, người trò và nói chung là những người giải toán cần có một sự tinh tế và nhạy bén với các yếu tố mà đề bài cho, làm sao đưa được các yếu tố đó về sự lôgíc trong toán học. Song đều dựa trên các nguyên tắc hay phương pháp cơ bản nhất định. Từ thực tế trực tiếng giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi toán nay là r 6 học sinh năng khiếu toán tiểu học tôi rút ra được 3 phương pháp giải toán hình thông thường ở tiểu học như sau: 1/ Phương pháp thứ nhất: Phương pháp lật hình Phương pháp này dùng để giải quyết các bài toán hình có nội dung mở rộng hình về 1 phía, 2 phía, 3 phía đối với các hình: Tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông… Khi giải các bài toán này ta lật hình để đưa được về dạng các hình cơ bản: Hình chữ nhật, hình vuông, hình tam giác… đối với các phần mở thêm. * Ví dụ 1: Một thửa ruộng hình vuông nếu tăng số đo cạnh thêm 3m thì diện tích tăng thêm 99m2. Tính diện tích của thửa ruộng đó? Bài giải Ta lật hình chữ nhật (phần mở thêm chiều ngang) ghép vào phần mở thêm chiều dọc ta được hình chữ nhật có diện tích 99m2 (như hình vẽ) Thấy: Hình chữ nhật có chiều rộng là 3m. Chiều dài là 2 lần cạnh hình vuông và 3m. Ta có: Chiều dài hình chữ nhật là: 99 : 3 = 33 (m) Cạnh của hình vuông là: (33 – 3) : 2 = 15 (m) Diện tích hình vuông là: 15 x 15 = 225 (m2) Đ/s: 225m2 * Ví dụ 2: Một thửa ruộng hình thang có diện tích 460m2. Trên các cạnh AB; BC; DA; CD người ta lấy các điểm chính giữa M; N; P; Q. Nối M với N; N với P; P với Q. Tính diện tích MNPQ? 3 3 7 Bài giải (Hình vẽ trang bên) Kéo dài MQ cắt CD tại F (như hình vẽ) Kéo dài MN cắt DC tại E (như hình vẽ) Lúc này SABCD = SMEF. Nối MP ta có: SMNP = SNEP (Vì 2 tam giác này có MN = NE và chung đường cao hạ từ P) Tương tự ta có: SMPQ = SQPF Từ đó có: SMNP = SMPQ = SNEP = SQPF = 2 1 SMPF = 2 1 SMPE SMPQ + SQPF = SMNP + SNPE = SMPF = SMPE = 2 1 SMEF = 2 1 SABCD Mà SMNP + SMPQ = SMNPQ Vậy ta có: SMNPQ = 2 1 SABCD = 460 : 2 = 230 (m2) Đ/s: 230m2 2/ Phương pháp thứ hai: Phương pháp dịch chuyển hình. Phương pháp này giải các bài toán có dạng “Hòn đảo” hoặc xuất hiện “phần dư” trong hình. Khi giải toán ta tưởng tượng ra và dịch chuyển “hòn đảo” hoặc “phần dư” đó vào 1 góc hoặc 1 cạnh để tiện ích cho việc giải toán áp dụng công thức của các hình cơ bản. C D P Q N F E A M B 8 * Ví dụ 1: Người ta đào 1 cái ao hình vuông trong một khu đất cũng hình vuông. Tổng chu vi của cái ao và khu đất là 144m. Diện tích khu đất lớn hơn diện tích cái ao là: 1008m2. Tìm cạnh của ao và khu đất? Bài giải Ta giả sử cái ao hình vuông đó được đào sát vào 1 góc của khu đất. Đã được dịch chuyển hình vuông đó vào 1 góc của khu đất (như hình vẽ). Ta thấy: Có 2 cạnh trùng với cạnh của khu đất, thì phần diện tích khu đất lớn hơn diện tích cái ao được chia thành 2 phần bằng nhau. Đó là 2 hình thang mà mỗi hình có tổng 2 đáy chính là tổng 2 cạnh của cái ao và khu đất. Vậy có: Tổng 2 đáy của hình thang là: 144 : 4 = 36 (m) Diện tích một hình thang là: 1008 : 2 = 504 (m2) Chiều cao của mỗi hình thang là: (504 x 2) : 36 = 28 (m) 28m chính là hiệu của cạnh khu đất và cạnh ao. Vậy cạnh ao là: (36 – 28) : 2 = 4 (m) Cạnh khu đất là: 28 + 4 = 32 (m) Đ/s: 32m. 3/ Phương pháp thứ 3: Phương pháp kẻ thêm đoạn thẳng. Do hình học ở tiểu học chưa có các định lý và các quy tắc bổ trợ nên ta rất cần có sự tương quan giữa các yếu tố đã cho trong đề bài. Muốn vậy ta cần kẻ thêm một số đường thẳng ngoài các yếu tố mà đề bài đã cho. Nhưng kẻ thêm như 1 2 9 thế nào thì ta phải xem xét và thiết lập được sự tương quan giữa các yếu tố của đề toán. * Ví dụ: Cho hình tam giác ABC. Có BE = EC; AD = 3 2 AB; AF = 5 2 AC. Hãy so sánh SADEF với SABC. Bài giải Nối AE. Ta thấy: SABE = SAEC = 2 1 SABC (Vì có: BE = EC và chung đường cao hạ từ A) SAEF = 5 2 SAEC (Vì có: AF = 2/5 AC, có chung đường cao hạ từ E xuống) Do đó: SAEF = 5 1 SABC Tương tự ta có: SADE = 3 2 SABE (Vì có: AD = 2/3 AC; chung đường cao hạ từ đỉnh E) Do đó: SADE = 3 1 SABC Mà SADEF = SADE + SAEF . Nên có: SADEF = 3 1 SABC + 5 1 SABC = 15 8 SABC Đ/s: 15 8 SABC C/ Bài tập vận dụng: 1/ Bài 1: Sân trường là một HCN có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nay mở rộng sân về 3 phía, mỗi phía rộng thêm 4m. Phần mở rộng đã lát gạch hình vuộng, A C B E D F E 10 cạnh 0,2m hết 4.410 viên. Diện tích trát vữa hết 3,6m2. Tính diện tích sân trường trước khi mở rộng? (Đ/s: 164,28m2) 2/ Bài 2: Cho hình vuông ABCD có chu vi là 32 cm. M, N là trung điểm của AB, BC. Các đường thẳng AN bà BM cắt nhau tại K. Tính SAMK? (Đ/s: 5 16 cm2) 3/ Bài 3: Cho hình thang ABCD có S = 1.000cm2. Đoạn thẳng BE chia hình thang thành 2 phần. a) Tính SABED và SBEC.. Biết: SBEC - SABED = 80cm2. b) Trên BE lấy điểm M sao cho EM = 1/3 EB. Từ M kẻ đường thẳng song song với EC cắt BC tại N. Biết Mn dài 36 cm. Tính tổng 2 đáy hình thang ABCD? (Đ/s: a) 540cm2; b) 100cm) 4/ Bài 4: người ta làm một cái vườn ha hình vuông chính giữa một cái sân cũng hình vuônca. Tổng chu vi của của cái sân và vường hoa là 128m, diện tích vườn hoa kém diện tích sân là 512m2. Tính cạnh của vườn hoa và cạnh của sân/ (Đ/s: 8m; 24m) 5/ Bài 5: Một thửa ruộng hình thang có TBC 2 đáy là 30,15m. Nếu tăng đáy lớn thêm 5,6m thì diện tích thửa ruộng sẽ tăng thêm 33,6m2. Hãy tính diện tích của thửa ruộng đó? (Đ/s: 361,8m2) 6/ Bài 6: Cho tam giác vuông ABC vuông ở A. Có cạnh AB = 28m; AC = 24m. Trên AC lấy điểm E, trên BC lấy điểm D sao cho khi nối E với D ta được hình thang vuông ABDE có chiều cao AE = 6m. Tính đoạn ED? (Đ/s: 21m) 7/ Bài 7: Một thửa ruộng hình thang vuông ABCD có đáy bé AB = 20m, đáy lớn CD = 40m và chiều cao AD = 32m. Nay vì mở rộng đường nên bị cắt mất 1 hình thang có đáy lớn là CD và chiều cao là 8m. Tính diện tích còn lại? (Đ/s: 660m2) 11 8/ Bài 8: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 31,5m. Khu vườn đó được mở thêm theo chiều rộng làm cho chiều rộng so với trường tăng gấp 1,5 lần và do đó diện tích tăng thêm 252m2. Tính chiều rộng và diện tích khu vườn mở thêm? (Đ/s: 24m; 756m2) 9/ Bài 9: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên BC sao cho BC gấp 5 lần BM. Điểm N nằm trên AC sao cho AN = 4 3 AC. Điểm P nằm trên MN sao cho NP = 3 2 MN. Hãy so sánh SAMP và SABM ? (Đ/s: SAMP = SABM) 