Dạy học giải quyết vấn đề trong giảng dạy các phương pháp giải quyết vấn đề của trí tuệ nhân tạo

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE 2012, Vol. 57, No. 5, pp. 21-31 DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG GIẢNG DẠY CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CỦA TRÍ TUỆ NHÂN TẠO Nguyễn Tân Ân Trường Đại học Sư phạm Hà Nội E-mail: nguyentanan@yahoo.com Tóm tắt. Bài báo này trình bày trường hợp áp dụng dạy học giải quyết vấn đề khi giảng dạy các phương pháp giải quyết vấn đề của môn Trí tuệ nhân tạo. Phương pháp dạy học sẽ làm cho quá trình học tập được tự nhiên và hiệu quả. Học tập các phương pháp giải quyết vấn đề của Trí truệ nhân tạo sẽ làm cho việc dạy và học hiệu quả hơn. Từ khóa: Dạy học giải quyết vấn đề, phương pháp giảng dạy, trí tuệ nhân tạo. 1. Mở đầu Dạy học giải quyết vấn đề (DH GQVĐ) là quá trình đưa người học tiếp cận tri thức mới theo chiến lược luôn luôn đặt họ vào tình huống có vấn đề cần nhận thức để họ nảy sinh nhu cầu tìm hiểu vấn đề, phát hiện giải pháp và giải quyết vấn đề đó. Quá trình diễn ra với sự dẫn dắt, hỗ trợ của thầy cho đến khi vấn đề được giải quyết xong, người học thoát khỏi tình huống có vấn đề và lĩnh hội hoàn toàn tri thức mới. Đối tượng của môn học Trí tuệ nhân tạo là nghiên cứu cơ chế của các hành vi thông minh ở người và ở máy, trên cơ sở đó nghiên cứu thiết kế, chế tạo ra những máy thông minh. Từ đó ta thấy hành vi thông minh ở người là cơ sở, là điểm tựa cho các hành vi thông minh ở máy. Tuy nhiên mặc dù chịu nhiều ảnh hưởng của hành vi thông minh ở người nhưng không phải bao giờ hành vi thông minh ở máy cũng hoàn toàn dập khuôn những hành vi thông minh ở người. Trong thực tế một số phương pháp không theo kiểu con người được cài vào máy lại cho kết quả tốt hơn những phương pháp theo kiểu con người. Ví dụ một số hệ chuyên gia mặc dù sử dụng rất nhiều tri thức của con người nhưng khi giải quyết vấn đề (GQVĐ) lại không cố gắng bắt chước quá trình hoạt động trí tuệ của con người. Nghiên cứu hành vi thông minh ở máy cũng giúp con người nhìn lại hành vi trí tuệ của mình từ đó điều chỉnh làm cho các hành vi trí tuệ của mình bớt rườm rà hơn, chính xác hơn. Dạy các phương pháp GQVĐ ở máy theo quan điểm DH GQVĐ ta sẽ gặp trường hợp nội dung dạy học (các bước GQVĐ ở máy) và quá trình dạy học (các bước giải quyết vấn đề trong DH GQVĐ) có nhiều điểm tương đồng. Sự tương đồng này làm cho quá trình dạy học diễn ra một cách tự nhiên, có nhiều thuận lợi, người học dễ nắm vững 21 Nguyễn Tân Ân kiến thức đồng thời từ cách GQVĐ ở máy nhìn lại các bước GQVĐ trong DH GQVĐ ta cũng rút ra được nhiều bài học lý thú và bổ ích. Trong Trí tuệ nhân tạo, biểu diễn vấn đề và giải quyết vấn đề là hai nội dung đi liền với nhau. Để tập trung vào các phương pháp GQVĐ, bài báo này sẽ hạn chế nội dung bàn luận trong trường hợp giải quyết vấn đề trong không gian trạng thái. Bài toán GQVĐ trong không gian trạng thái được phát biểu như sau: Cho không gian tìm kiếm, đó là không gian các trạng thái có thể vô hạn hoặc hữu hạn, trong đó có một trạng thái được gọi là trạng thái đầu và một tập các trạng thái được gọi là tập các trạng thái đích. Cho tập các toán tử biến đổi các trạng thái, đó là tập các ánh xạ từ không gian trạng thái vào không gian trạng thái. Yêu cầu cần tìm một đường đi từ trạng thái đầu tới một trong những trạng thái đích. Con đường giải bài toán loại này là con đường luôn luôn gặp và gải quyết những vấn đề mới cho đến khi toàn bộ bài toán được giải xong hoặc phát hiện ra bế tắc để kết luận bài toán không giải được. Trong khi đó, cấu trúc của quá trình GQVĐ trong DH GQVĐ được mô tả như Sơ đồ 1. Sơ đồ 1. Cấu trúc quá trình GQVĐ trong DH GQVĐ Các bước GQVĐ bắt đầu từ trạng thái xuất phát tìm các giải pháp vượt qua các cản trở để đến trạng thái đích. Từ bài toán GQVĐ trong không gian trạng thái và sơ đồ quá trình GQVĐ trong DH GQVĐ nêu trên ta thấy việc GQVĐ trong không gian trạng thái và việc GQVĐ trong DH GQVĐ có sự tương đồng: - Cùng xuất phát từ vấn đề ban đầu đi tìm con đường để đi tới đích. - Cùng phải lựa chọn các phương án giải quyết vấn đề hiện tại - Cùng phải theo phương án lựa chọn giải quyết vấn đề đặt ra để đến kết quả. Từ đó có thể nói giảng dạy cách GQVĐ trong không gian trạng thái không gì thích hợp hơn là dạy theo quan điểm DH GQVĐ. Bài báo này sẽ phân tích quá trình dạy học theo tinh thần DH GQVĐ trong trường hợp nội dung giảng dạy cũng là GQVĐ và những bài học khi so sánh các phương pháp GQVĐ trong nội dung dạy học với quá trình giải quyết vấn đề trong DH GQVĐ. Bài báo gồm 3 phần: Phần 1: giới thiệu; Phần 2: Nhắc lại một số điều về phương pháp DH GQVĐ; Phần 3: DH GQVĐ khi giảng dạy các phương pháp GQVĐ qua ví dụ giảng dạy phương pháp thỏa mãn ràng buộc, một nội dung của môn học Trí tuệ nhân tạo; Phần 4: Những kết luận rút ra khi so sánh giải quyết vấn đề là nội dung dạy học với giải quyết vấn đề trong DH GQVĐ; Phần 5: Kết luận. 22 Dạy học giải quyết vấn đề trong giảng dạy các phương pháp giải quyết vấn đề... 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Nhắc lại một số vấn đề về dạy học giải quyết vấn đề 2.1.1. Dạy học giải quyết vấn đề Có rất nhiều tác giả khác nhau đưa ra định nghĩa DH GQVĐ. Theo chúng tôi: DH GQVĐ là quá trình dạy học trong đó người thầy luôn luôn đặt người học vào tình huống có vấn đề về nhận thức để họ nảy sinh nhu cầu tìm hiểu vấn đề, tìm kiếm giải pháp giải quyết và giải quyết vấn đề đó. Quá trình diễn ra với sự dẫn dắt, hỗ trợ của thầy cho đến khi vấn đề được giải quyết xong, người học thoát khỏi tình huống có vấn đề và nắm vững hoàn toàn tri thức mới. DH GQVĐ là một quan điểm, một tư tưởng trong dạy học. Tất cả các phương pháp nhằm thực hiện quan điểm này đều thuộc nhóm các phương pháp dạy học GQVĐ và ngược lại quan điểm này có thể được vận dụng trong hầu hết các phương pháp dạy học kể cả phương pháp truyền thống là thuyết trình. Có nhiều tên gọi khác nhau đối với DH GQVĐ, ví dụ: dạy học nêu vấn đề, dạy học nhận biết và giải quyết vấn đề, dạy học giải quyết vấn đề, v.v... Do mục tiêu cơ bản của quá trình DH GQVĐ là rèn luyện khả năng nhận biết, phát hiện và giải quyết vấn đề cho người học, trong đó khả năng giải quyết vấn đề là quan trọng hơn cả nên nhiều người cho rằng tên gọi thích hợp cho quan điểm dạy học này là DH GQVĐ. Trong DH GQVĐ ta thấy có hai khái niệm liên quan đó là “vấn đề” và “tình huống có vấn đề”. - Có nhiều cách hiểu thuật ngữ “vấn đề”. GS. Nguyễn Bá Kim cho rằng vấn đề là bài toán mà chủ thể chưa biết ít nhất một phần tử của khách thể, mong muốn tìm phần tử chưa biết đó dựa vào những phần tử biết trước nhưng lại chưa có trong tay thuật giải. Đây là định nghĩa đầy đủ vì theo GS. Nguyễn Bá Kim, khi GQVĐ, không những ta phải tìm phần tử chưa biết mà phải tìm cả cách tìm phần tử chưa biết đó (giải thuật). Vấn đề ở đây vừa là phạm trù của logic học biện chứng, vừa là phạm trù của tâm lý học. Theo logic biện chứng, vấn đề là hình thức chủ quan của sự biểu thị tất yếu của sự phát triển nhận thức khoa học. Nó phản ánh mâu thuẫn giữa điều đã biết và điều chưa biết nảy sinh một cách khách quan trong quá trình phát triển xã hội, phát triển tự nhiên. Theo tâm lý học, vấn đề là sự mâu thuẫn trong quá trình nhận thức khách thể của chủ thể, nghĩa là mâu thuẫn trong tư duy. Như vậy, trong tâm lý học, vấn đề là hiện tượng chủ quan và tồn tại trong ý thức người học, trong ý nghĩ cũng như trong bất kỳ phán đoán nào khi nó chưa được hoàn tất về mặt logic và được biểu thị trong những âm thanh của ngôn ngữ hoặc trong chữ viết. Vấn đề học tập là sự phản ánh mâu thuẫn logic, tâm lý của quá trình lĩnh hội. Mâu thuẫn này quyết định phương hướng tìm tòi về mặt trí tuệ, làm khơi gợi hứng thú nghiên cứu, giải thích bản chất điều chưa biết, dẫn tới sự lĩnh hội khái niệm mới hoặc cách thức hành động mới. Vấn đề học tập là điều kiện cơ bản của tình huống có vấn đề (tình huống 23 Nguyễn Tân Ân nhận thức). Để có vấn đề học tập cần có 3 yếu tố: điều chưa biết; điều đã biết hoặc đã cho; mối liên hệ giữa điều đã biết với chưa biết và chủ thể nhận thức (người học). Như vậy, vấn đề phải chứa đựng mâu thuẫn nhận thức: Mâu thuẫn giữa trình độ kiến thức, kĩ năng đã có với yêu cầu tiếp thu kiến thức, kĩ năng mới. Lúc đầu mâu thuẫn mang tính khách quan, khi học sinh ý thức được thì nó trở thành mâu thuẫn nội tại của chính học sinh. Để mâu thuẫn khách quan trở thành mâu thuẫn chủ quan của học sinh thì phải tổ chức các tình huống, đưa chủ thể vào mối quan hệ giữa cái đã biết và cái cần đạt tới, tình huống đó là tình huống có vấn đề. - Tình huống có vấn đề là trạng thái tâm lý, xuất hiện khi con người gặp phải tình huống gợi ra những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc bằng tri thức đã có, bằng cách thức đã biết mà đòi hỏi phải lĩnh hội tri thức mới và cách thức hành động mới, phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có. Phát sinh tình huống có vấn khi có các yếu tố sau: Tồn tại một vấn đề; người học có nhu cầu nhận thức và có niềm tin vấn đề đó sẽ được giải quyết. Tình huống có vấn đề phải phù hợp với trình độ hiểu biết của học sinh. Nếu một tình huống tuy có vấn đề và học sinh có nhu cầu giải quyết vấn đề, nhưng họ cảm thấy vấn đề quá khó so với khả năng giải quyết của họ, họ sẽ cảm thấy bế tắc, hoang mang, không sẵn sàng tham gia giải quyết vấn đề; ngược lại nếu vấn đề đặt ra quá dễ, người học không cần suy nghĩ cũng giải quyết được tức là họ coi tình huống đó không có vấn đề. Tính “có vấn đề” được phản ánh trong mối quan hệ biện chứng giữa chủ thể cá nhân học sinh với tình huống phải giải quyết và nó mang tính tương đối (phụ thuộc vào từng đối tượng học sinh). Tình huống cần khơi dậy ở học sinh cảm nghĩ là tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số tri thức, kĩ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hi vọng giải quyết được vấn đề đó. Với niềm tin đó, học sinh sẽ huy động tri thức và kĩ năng sẵn có để giải quyết hoặc tham gia giải quyết vấn đề, dễ dàng vượt qua thách thức vừa sức bằng nỗ lực của bản thân. Tạo cho học sinh niềm tin vào khả năng của chính mình là một trong những yêu cầu quan trọng của tình huống có vấn đề. Đưa người học vào tình huống có vấn đề thật không đơn giản. Đây chính là một khâu rất quan trọng ảnh hưởng lớn tới hiệu quả của DH GQVĐ. 2.1.2. Cấu trúc của Dạy học giải quyết vấn đề - Bước 1: Xác định nhiệm vụ nhận thức, từ nhiệm vụ đó phát hiện vấn đề và đưa người học vào tình huống có vấn đề. - Bước 2: Dẫn dắt người học tìm giải pháp giải quyết vấn đề. Trong bước này người thầy cần khéo léo kích thích hoạt động tư duy độc lập của học sinh trong việc tìm kiếm giải pháp cho bài tập nhận thức. Nếu không tìm được giải pháp nào phải quay lại bước 1 xem vấn đề được phát hiện có đúng không. Nếu có nhiều giải pháp được phát hiện cần 24 Dạy học giải quyết vấn đề trong giảng dạy các phương pháp giải quyết vấn đề... đánh giá, sắp xếp từ đó chọn một giải pháp tốt nhất. - Bước 3: Dẫn dắt người học giải quyết vấn đề theo giải pháp tìm được ở bước trên qua đó mở rộng, đào sâu và làm vững chắc kiến thức mới. Nếu không giải quyết được vấn đề cần quay lại bước 2 để chọn giải pháp khác. - Bước 4: Vấn đề được giải quyết xong, người học thoát khỏi tình huống có vấn đề và nắm vững kiến thức mới. 2.1.3. Đặc điểm của Dạy học giải quyết vấn đề Khác với các quan điểm dạy học khác, DH GQVĐ có những đặc điểm sau đây: - Học sinh được đặt vào một tình huống có vấn đề chứ không phải là được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn; - Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động; - Mục đích dạy học không phải chỉ làm cho học sinh lĩnh hội được kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy. Nói cách khác, học sinh được học bản thân việc học. 2.1.4. Mức độ tự lực của người học tham gia vào Dạy học giải quyết vấn đề Mức độ thấp nhất: Ở mức độ này người dạy thuyết trình kết hợp vấn đáp, người học nghe và trả lời những câu hỏi khi cần thiết. Câu hỏi của thầy thường là câu hỏi nêu vấn đề. Cả 3 giai đoạn: trình bày vấn đề, tìm phương án giải quyết và giải quyết vấn đề đều do người thầy thực hiện, người học tiếp thu tương đối thụ động. Mức độ cao hơn: Người thầy vẫn đưa ra những câu hỏi một cách có hệ thống. Theo đó, người học tham gia vào từng phần vào từng giai đoạn nói trên nhưng ở mức độ sâu hơn. Người học đã bắt đầu chủ động giải quyết các vấn đề. Mức độ cao nhất: Theo sự hướng dẫn của thầy, người học chủ động thực hiện nhiệm vụ ở cả 3 giai đoạn trên. Ở các mức độ cao và tùy thuộc nội dung của bài học mà người thầy cần phối hợp nhiều PPDH sao cho phù hợp đối tượng học, điều kiện học,... 2.2. Dạy học giải quyết vấn đề trong giảng dạy các phương pháp giải quyết vấn đề của trí tuệ nhân tạo 2.2.1. Các bước thực hiện bài giảng Dễ thấy dạy các phương pháp GQVĐ trong Trí tuệ nhân tạo theo quan điểm DH GQVĐ sẽ được thực hiện một cách tự nhiên. Phát biểu vấn đề cần giải quyết của Trí tuệ nhân tạo cũng chính là nêu vấn đề trong quá trình dạy học. Do vậy người thầy không mất công lắm khi tìm kiếm câu hỏi khơi gợi, đưa học sinh vào tình huống có vấn đề và tiếp theo là chọn phương án giải quyết vấn đề. Kết quả cuối cùng (tìm được giải pháp hoặc 25 Nguyễn Tân Ân không có giải pháp), người học thoát khỏi tình huống có vấn đề và nắm được cách giải (tri thức mới). Cụ thể ở các bước như sau: - Bước 1: Việc phát hiện vấn đề và đưa người học vào tình huống có vấn đề được thực hiện một cách tự nhiên. Vấn đề cần tìm phương án giải quyết là nội dung dạy học cũng là vấn đề nhận thức trong DH GQVĐ. Việc đưa người học vào tình huống có vấn đề là nêu nội dung bài toán để người học nảy sinh mong muốn tìm cách giải bài toán đó. - Bước 2:Dẫn dắt người học tìm giải pháp giải quyết vấn đề. Sẽ có trường hợp nhiều hơn một giải pháp được đưa ra. Phương pháp là nội dung bài giảng đang được thực hiện là giải pháp được chọn. - Bước 3: Dẫn dắt người học giải quyết vấn đề theo giải pháp đã chọn. Từ đó mở rộng, đào sâu và làm vững chắc những hiểu biết về cách giải. - Bước 4: Vấn đề được giải quyết xong, người học thoát khỏi tình huống có vấn đề và lĩnh hội được cách giải. 2.2.2. Ví dụ giảng dạy phương pháp thỏa mãn ràng buộc - Phương pháp thỏa mãn ràng buộc tìm lời giải trong không gian trạng thái [6]. Khi tìm kiếm trong không gian trạng thái, trong cây tìm kiếm, mỗi nút biểu diễn một trạng thái. Ký hiệu N là tập các nút. Trong đó nút n0 ∈ N là nút gốc của cây. Nút gốc là nút biểu diễn hình trạng ban đầu của bài toán, đó chính là trạng thái đầu tiên của bài toán. Giả sử tại nút n ∈ N, tồn tại một số ràng buộc ký hiệu là constr(n). Chính các ràng buộc này sẽ điều khiển quá trình tìm kiếm. Quá trình tìm kiếm lời giải được chia thành 2 pha: Thứ nhất, tìm kiếm trong không gian các ràng buộc Thứ hai, tìm kiếm trong không gian trạng thái. Giả sử các ràng buộc áp đặt lên nút n này là constr(n). Từ các ràng buộc này, tùy theo cách thỏa mãn một phần của nó sẽ dẫn đến một số ràng buộc tiếp theo. Dựa trên các ràng buộc tiếp theo đó ta có các trạng thái tiếp theo tương ứng. Trong các trạng thái mới này nếu phát hiện trạng thái nào có mâu thuẫn ta sẽ dừng ngay không phát triển tiếp nữa. Nếu gặp trạng thái mà ở đó các ràng buộc đã được thỏa mãn hết thì đó chính là lời giải. Còn không quá trình sẽ tiếp tục như trên với các trạng thái tiếp theo đó. Trong tiến trình giải quyết vấn đề, các vấn đề nhận thức và tình huống có vấn đề là tại trạng thái đang xét (nút đang xét) có những ràng buộc nào? Có bao nhiêu cách thỏa mãn các ràng buộc đó? Theo mỗi cách sẽ có một trạng thái mới. Đó là trạng thái nào? Trạng thái mới có chứa đựng mâu thuẫn không (chứng minh)?... cho đến khi tìm thấy một hoặc nhiều trạng thái mà ở đó các ràng buộc đã được thỏa mãn hết (trường hợp có một hoặc nhiều nghiệm) hoặc chưa tìm thấy nhưng không còn trạng thái nào (nút nào) có thể phát triển tiếp do chúng đều có mâu thuẫn (trường hợp vô nghiệm) thì dừng. 26 Dạy học giải quyết vấn đề trong giảng dạy các phương pháp giải quyết vấn đề... Người học luôn luôn được đặt trong tình huống có vấn đề và mỗi lần vượt qua vấn đề người học càng đi dần tới đích. Quá trình học tập thực sự là quá trình được rèn luyện giải quyết vấn đề. - Ví dụ: Phương pháp thỏa mãn ràng buộc giải bài toán thay chữ bằng số. Bài toán: Trong hình dưới đây, hãy thay các chữ bởi các số có một chữ số sao cho các chữ khác nhau phải được thay bởi (nhận) các số khác nhau và việc tính toán phải tuân theo các qui tắc của phép cộng có nhớ thông thường. S E N D + M O R E M O N E Y Để tiện diễn đạt các qui tắc của phép cộng có nhớ, ta ký hiệu các c1, c2, c3, c4 là các giá trị phải nhớ. Cụ thể vị trí của các ci như sau: c4 c3 c2 c1 S E N D + M O R E M O N E Y Tìm hiểu bài toán: Vấn đề cần gải quyết trong trường hợp này là bài toán đã cho. Hình trạng ban đầu của bài toán đã biết. Các ràng buộc ban đầu được biểu diễn như sau: Ký hiệu trạng thái ban đầu này là n0, trên cây tìm kiếm đây là nút n0. Các ràng buộc ban đầu (ứng với nút này) là Constr0, ta có Constr0 gồm: ∀x, y ∈ {S,E,N,D,M,O, Y }, x 6= y ⇒ V (x) 6= V (Y ) (2.1) //Ràng buộc (2.1) thể hiện các chữ khác nhau phải nhận các số khác nhau. V (x) là giá trị của x V (D) + V (E) = 10 ∗ c1 + V (Y ) (2.2) // là số cần nhớ khi V (N) + V (R) + c1 = 10 ∗ c2 + V (E) (2.3) V (E) + V (O) + c2 = 10 ∗ c3 + V (N) (2.4) V (S) + V (M) + c3 = 10 ∗ c4 + V (O) (2.5) 27 Nguyễn Tân Ân V (M) = c4 (2.6) // Từ (2.2) đến (2.5) diễn tả quá trình tính toán phải tuân theo qui tắc của phép cộng có nhớ thông thường. V (M) 6= 0 (2.7) // (2.7) Nếu V (M) = 0 thì đầu bài có thể bỏ chữ M đi bởi số 0 ở đầu không có ý nghĩa gì. Các vấn đề trong DH GQVĐ ở đây là các câu hỏi về hình trạng ban đầu và các ràng buộc ban đầu, đích cuối cùng cần đến. Tiếp theo là quá trình thỏa mãn ràng buộc và tìm các trạng thái mới. Cụ thể: Từ nút ban đầu n0 với các ràng buộc ban đầu Constr0 = {(2.1); (2.2); (2.3); (2.4); (2.5); (2.6); (2.7)} quá trình bắt đầu: Từ V (M) = c4 nên V (M) chỉ có thể là 0 hay 1. (Phép cộng hai số có một chữ số không thể cho nhớ đến (2.2) Ta có hai nhánh: Nhánh thứ nhất tương ứng với c4 = 0 do đó V (M) = 0 Nhánh thứ 2 tương ứng với c4 = 1 do đó V (M) = 1. Hình trạng của bài toán cũng tương ứng như đầu bài với 2 trường hợp V (M) = 0 và và V (M) = 0. Nhánh thứ 1 ta có các ràng buộc mới là Constr01 = {(2.1); (2.2); (2.3); (2.4); (2.5); (2.7); (2.8)} trong đó V (M) = 0 (2.8) Ràng buộc (2.6) được thỏa mãn trở thành ràng buộc (2.8). Nút ứng với nhánh này là n01. Hình trạng của n01là hình trạng ban đầu, trong đó vị trí củaM được thay bằng số 0, vị trí của c4 được thay bởi 0. Nhánh thứ 2 ta có các ràng buộc mới là 28 Dạy học giải quyết vấn đề trong giảng dạy các phương pháp giải quyết vấn đề... Constr02 = {(2.1); (2.2); (2.3); (2.4); (2.5); (2.9)} trong đó V (M) = 1 (2.9) Ràng buộc (2.6) được thỏa mãn trở thành (2.9). Nút ứng với nhánh này là n02. Hình trạng của n02 là hình trạng ban đầu, trong đó vị trí củaM được thay bằng số 1, vị trí của c4 được thay bởi 0. Ràng buộc (2.7) bị bỏ đi vì V (M) = 1 đã hàm ý V (M) 6= 01. Nhánh thứ nhất n01 chứa mâu thuẫn giữa ràng buộc (2.8) và (2.7) nên bị bỏ. Hình 1. Thỏa mãn Constr0 ta được 2 nhánh. Nhánh n01 bị bỏ vì chứa mâu thuẫn và nhánh n02 ở vị trí củaM là con số 1 Đến đây kết quả là ta đã tìm được V (M) = 1 Các vấn đề trong DH GQVĐ với nội dung trên là các vấn đề về chọn giải pháp và thực hiện các giải pháp đó, tức là chọn các khả năng thỏa mãn ràng buộc và từ mỗi khả năng đó ta có các hình trạng mới của bài toán. Đồng thời chỉ ra khả năng nào không thể phát triển tiếp để bỏ đi. Trường hợp trên chỉ có một nút có thể phát triển tiếp nhưng nếu có nhiều hơn một nút có thể phát triển tiếp ta phát triển tất cả các nút đó. Bước tiếp theo ta thỏa Constr02 = {(2.1); (2.2); (2.3); (2.4); (2.5); (2.9)} để ph