Dạy học mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa ở Lớp 12 trung học phổ thông (Ban nâng cao) theo quan điểm của lý thuyết tình huống

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE 2012, Vol. 57, No. 10, pp. 8-13 DẠY HỌCMỞ RỘNG KHÁI NIỆM SỐMŨ CỦA LŨY THỪA Ở LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BAN NÂNG CAO) THEO QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT TÌNH HUỐNG Nguyễn Mạnh Cảng Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Email: nguyenmanhcangdhsp@yahoo.com Tóm tắt. Từ sự phân tích các mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa về các mặt Toán học, Lịch sử Toán học và Lý luận Dạy học Toán, trên cơ sở những tri thức, những phương pháp của Lịch sử Toán học, Lý luận Dạy học Toán, bài báo xây dựng một tình huống tương thích để dạy học mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa với hy vọng trong tình huống như vậy, học sinh là chủ thể xây dựng tri thức cần học. Từ khóa: Số mũ, Lý luận Dạy học Toán, lý thuyết tình huống. 1. Mở đầu Học sinh lớp 12 (ban nâng cao) khi học: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ đã gặp các định nghĩa sau: “Với a 6= 0, n = 0 hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là số an xác định bởi a0 = 1, an = 1 a−n ”, và “Cho a là một số thực dương và r là một số hữu tỉ. Giả sử r = m n trong đó m là một số nguyên, còn n là một số nguyên dương. Khi đó, lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi ar = a m n = n √ am ” [4]. Học sinh đã gặp an là một tích của n thừa số bằng a: an = a.a. . . a (n thừa số), với n nguyên dương, đến nay, khi gặp a0, a−3, a 2 3 , a − 1 3 . . . học sinh không khỏi lạ lẫm và đột ngột. Các em tiếp thu các định nghĩa trên có phần khiên cưỡng vì chưa hiểu được ý nghĩa của chúng. Về phía người dạy, mặc dù muốn nói về ý nghĩa của các định nghĩa nói trên nhưng cũng gặp khó khăn khi phải giải thích ở ngay thời điểm này, mà cho rằng học sinh sẽ hiểu các định nghĩa này trong quá trình học hàm số mũ về sau. Đây là một thực trạng mà hiện vẫn phải chấp nhận. Vấn đề đặt ra là, có thể khắc phục thực trạng này không? Câu trả lời là có thể! 2. Nội dung nghiên cứu Về mặt toán học, ở đây ta gặp bài toán về mở rộng miền xác định của hàm số mũ y = ax(a > 0, a 6= 1) từ chỗ hàm số này có tập xác định là tập các số nguyên dương, tới 8 Dạy học mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa ở lớp 12... chỗ có tập xác định lần lượt là tập các số nguyên, rồi tập hợp các số hữu tỉ và tới tập số thực,. . . Việc mở rộng này phải thỏa mãn các yêu cầu nhất định được quy định bởi mục đích nghiên cứu và các định nghĩa tưởng chừng như có phần khiên cưỡng nêu trên, chính là kết quả tất yếu của việc giải bài toán này. Trong Lịch sử Toán học [2], việc mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa đã được quan tâm từ rất lâu, với mục đích tìm tòi phương pháp và các công cụ tính toán. Để đưa một phép toán về một phép toán đơn giản hơn, chỉ cần lập bảng đối chiếu dãy các lũy thừa của các số với dãy các số mũ của chúng. Điều này dẫn đến việc so sánh hai cấp số: cấp số cộng và cấp số nhân, mở rộng cho đầy đủ khái niệm lũy thừa. Xuất phát từ quan điểm trên, khi đưa phân số xen kẽ các số tự nhiên vào trong cấp số cộng, Ô-rét đã đến với các lũy thừa với số mũ phân, tiếp đó Sti-phen đã đến với lũy thừa với số mũ phân và âm [2]. Về mặt lý luận dạy học [1,3], để dạy một tri thức Toán học, lý thuyết tình huống cho rằng cần phải để học sinh sống trong hoàn cảnh mà tri thức đó được nẩy sinh, do vậy để dạy một tri thức và muốn lột tả được ý nghĩa của nó, giáo viên phải hoàn cảnh hóa tri thức sách giáo khoa, để trong hoàn cảnh đó, học sinh tạo ra kiến thức mới mà ta mong muốn. Dưới đây là quá trình xây dựng một tình huống tương thích để dạy học khái niệm lũy thừa với hy vọng, trong tình huống như vậy, học sinh là chủ thể xây dựng tri thức cần học, và thực trạng nêu ở phần đầu bài viết này sẽ được khắc phục. Hình 1. Đồ thị hàm số y = 2x trên tập xác định {1,2,3} Hoạt động 1: Cho 2 dãy số: 1, 2, 3, 4, . . . . (1) 2, 4, 8, 16, . . . . (2) Học sinh: - Nhận dạng hai dãy số này. Kêt quả: (1) là một cấp số cộng U1 = 1, d = 1, còn (2) là một cấp số nhân V1 = 2, q = 2. - Tìm ra một cách cho tương ứng mỗi số hạng của dãy số (1) với một số hạng duy nhất của dãy số (2). Kết quả: 1, 2, 3, 4, ... n ... ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 21 22 23 24 2n Giáo viên: Như vậy chúng ta đã có được một hàm số trên tập xác định là tập hợp các số nguyên dương, hàm số này được ký hiệu là: y = 2x với x ∈ N+ và được gọi là hàm số mũ trên tập hợp các số nguyên dương. Học sinh: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x trên tập xác định {1,2,3} (Hình 1). Đồ thị này gồm 3 9 Nguyễn Mạnh Cảng điểm {(1, 2); (2, 4); (3,8)}. Hoạt động 2: Giáo viên: Ta mở rộng dãy số (1) bằng cách viết tiếp lần lượt các số hạng 0, -1, -2, -3,. . . từ phải sang trái (0 liền kề 1) ta được một cấp số cộng mở rộng vô hạn cả về hai phía, ký hiệu là (1’). . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. . . (1’) Học sinh:Mở rộng cấp số nhân (2) để có một cấp số nhân mở rộng (2’) bằng cách cho tương ứng mỗi số hạng của dãy (1’) với một số hạng duy nhất của (2’), tức là phải điền số thích hợp vào vị trí dấu ?: . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. . . (1’) . . . , ?, ?, ?, ?, 21, 22, 23. . . Cấp số nhân mở rộng này có công bội bằng 2, nó có dạng sau: . . . , 1 8 , 1 4 , 1 2 , 1, 2, 4, 8, . . . và có thể viết dưới dạng . . . , 1 23 , 1 22 , 1 21 , 1, 21, 22, 23,. . . (2’) Giáo viên: Ta có sự tương ứng giữa các số hạng của (1’) và (2’) như sau: Hình 2. Đồ thị hàm số y = 2x trên tập xác định {-3, -2, -1, 0, 1, 2} ... −3→ 1 23 −2→ 1 22 −1→ 1 21 0→ 1 0→ 21 0→ 22 0→ 23 ... Như vậy là chúng ta đã có được một hàm số xác định trên tập hợp số nguyên ký hiệu là y = 2x với x ∈ Z được gọi là hàm số mũ trên tập hợp số nguyên: y = 2x =   2m = 2.2...2︸ ︷︷ ︸ m nếu x = m nguyên dương 1 nếu x = 0 1 2m nếu x = -m Học sinh: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x trên tập xác định -3, -2, -1, 0, 1, 2 (Hình 2). 10 Dạy học mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa ở lớp 12... Đồ thị cần vẽ đi qua 6 điểm sau: { (−3, 1 8 ); (−2, 1 4 ); (−1, 1 2 ); (0, 1); (1, 2); (2, 4) } Hoạt động 3: Giáo viên: Ta mở rộng cấp số cộng (1’) bằng cách viết xen vào giữa hai số hạng liên tiếp của nó một số hạng mới sao cho cấp số cộng mới có công sai bằng 1 2 , ký hiệu là (1”). ...,−3,−5 2 ,−2,−3 2 ,−1,−1 2 , 0, 1 2 , 1, 3 2 , 2, 5 2 , 3, ... (1”) Học sinh: Hãy mở rộng cấp số nhận (2’) để có một cấp số nhận mở rộng bằng cách cho tương ứng mỗi số hạng của (1”) với một số hạng duy nhất của (2”), tức là phải điền số thích hợp vào vị trí dấu? −3,−5 2 ,−2,−3 2 ,−1,−1 2 , 0, 1 2 , 1, 3 2 , 2, 5 2 , 3 . . . (1”) −1 8 , ?, 1 4 , ?, 1 2 , ?, 1, ?, 2, ?, 4, ?, 8. . . Cấp số nhân mở rộng này có công bội bằng √ 2, nó có dạng sau: . . . , 1√ 24 , 1√ 23 , 1√ 22 , 1√ 21 , 1, √ 21, √ 22, √ 23, √ 24, ... (2”) Giáo viên: Ta có sự tương ứng giữa các số hạng của (1”) và (2”) như sau: ... −3 2 → 1√ 23( −2 2 ) → 1√ 22 −1 2 → 1√ 21 0→ 1 1→ √ 22 3 2 → √ 23 ... Ở đây chúng ta đã có hàm số mũ y = 2x xác định trên tập hợp gồm các số hữu tỉ dạng ±m 2 vớim ∈ Z. Hoạt động 4: Giáo viên: Nếu ta mở rộng cấp số cộng (1”) bằng cách viết xen vào giữa hai số hạng liên tiếp một số các số hạng mới sao cho cấp số cộng mở rộng có công sai bằng 1 n (n nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2) thì cấp số nhân mở rộng tương ứng sẽ có công bội bằng n √ 2. Lúc này sự tương ứng giữa các số hạng của hai ấp số nói trên sẽ là: ... 11 Nguyễn Mạnh Cảng −m n → 1 n √ 2m ... −2 n → 1 n √ 22 −1 n → 1 n √ 21 0→ 1 1 n → n √ 21 2 n → n √ 22 ... m n → n√2m ... Đến đây chúng ta đã có hàm số mũ với tập xác định của nó là tập hợp số hữu tỉ Q, được gọi là hàm số mũ y = 2x trên tập hợp số hữu tỉ: y = 2x (x∈Q) =   2.2...2︸ ︷︷ ︸ m nếu x = m nguyên dương 1 nếu x = 0 1 2m n √ 2m nếu x = m n , n nguyên dương, n ≥ 2 1 n √ 2m nếu x = −m n Học sinh: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x trên tập xác định {−1,−1 2 , 0, 1 2 , 1, 3 2 , 2} Đồ thị cần vẽ đi qua 7 điểm sau:{ (−1, 1 2 ); (−1 2 , 1√ 2 ); (0, 1); ( 1 2 , √ 2); (1, 2); ( 3 2 , √ 23); (2, 4) } Hoạt động 5: Giáo viên: - Chúng ta đã xuất phát từ hàm số mũ y = 2x với tập xác định là tập các số nguyên dương N+, ta đã lần lượt mở rộng các miền xác định của nó để tương ứng có hàm số y = 2x trên tập số nguyên, rồi trên tập hợp số hữu tỉ. Hàm số mở rộng sẽ trùng với hàm số cũ khi xét nó trên miền xác định ban đầu của nó. Việc làm này gọi là thác triển một hàm số. Cùng với việc thác triển này, những sự tương quan mới giữa các số thuộc miền xác định và miền giá trị của hàm số được xác lập: các ký hiệu trước đây vô nghĩa, nay đã có nghĩa xác định, điều này được gọi là sự mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa. - Việc thác triển hàm số mũ y = ax(a > 0, a 6= 1) tiến hành tương tự như với y = 2x. 12 Dạy học mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa ở lớp 12... - Việc thác triển hàm số mũ y = ax(a > 0, a 6= 1) sẽ đồng hành với việc phát triển khái niệm số. Trong phạm vi chương trình lớp 12, ta đã có khái niệm về hàm số mũ y = ax(a > 0, a 6= 1) trên tập xác định của nó là tập hợp số thực R. Việc xây dựng hàm số này gắn liền với việc mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa khi số mũ là số vô tỉ. Học sinh: Tự đọc hiểu hai nội dung [4;53-54]: - Lũy thừa với số mũ vô tỉ. - Tích chất lũy thừa với số mũ thực. 3. Kết luận Bài báo đã chỉ ra những nét còn khiên cưỡng khi học sinh được trang bị những kiến thức về hàm số mũ. Bài báo đã thiết kế được tình huống dạy học khái niệm hàm số mũ dựa trên phương diện Toán học, Lịch sử Toán học và Lý luận dạy học môn Toán có thể khắc phục những khiên cưỡng đó. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Brousseau G., 1986. Fondements et methodes de la didactique des mathématiques. RDM Vol. 72. [2] K. A Rưp-ni-côp, 1967. Lịch sử Toán học. (Vũ Tuấn dịch), Nxb Giáo dục, Hà Nội. [3] Nguyễn Mạnh Cảng, 1999. Xây dựng tình huống dạy học định lý Talét. Thông báo Khoa học - Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đại học Sư phạm số 3. [4] Giải tích 12 (nâng cao). Nxb Giáo dục Việt Nam, 2011. ABSTRACT Creating teaching situations in which exponential functions can be taught to grade 12 high school students This article proposes several means of teaching exponential functions which make use of an analysis of mathematical, historical and methodological aspects of exponen- tial functions and current knowledge, methods of mathematical history and mathematical methodology in order to teach students to learn the concepts by themselves. 13