Dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh khá giỏi trung học phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol. 58, pp. 28-35 This paper is available online at DẠY HỌC NGUYÊN LÍ DIRICHLET CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Nguyễn Thị Ngọc Ánh Trường THPT Chuyên - Thái Nguyên E-mail: anhtoan416@gmail.com Tóm tắt. Nguyên lí Dirichlet chứa đựng nội dung đơn giản nhưng có ứng dụng sâu sắc và hiệu quả trong các bài toán chứng minh, đặc biệt là trong các chứng minh về sự tồn tại của một đối tượng thỏa mãn tính chất nào đó. Ở nước ta hiện nay, nguyên lí Dirichlet chưa có vị trí chính thức trong chương trình Toán dành cho học sinh phổ thông. Chúng tôi nghiên cứu đưa nội dung này vào dạy học trong trường trung học phổ thông (THPT) với ba nhiệm vụ: điều tra thực trạng dạy học nguyên lí Dirichlet trong nhà trường phổ thông ở Việt Nam, xác định mục đích của việc dạy học nguyên lí này cho học sinh khá giỏi THPT và đề xuất nội dung, cách thức tổ chức việc dạy học nguyên lí Dirichlet cho đối tượng học sinh nêu trên. Từ khóa: Nguyên lí Dirichlet, phương pháp giảng dạy Toán. 1. Mở đầu Nguyên lí Dirichlet mang tên nhà toán học người Đức: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859). Nguyên lí này còn có tên gọi là nguyên lí chuồng chim bồ câu (The Pigeonhole principle) hay nguyên lí sắp xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer principle). Nguyên lí được Dirichlet phát biểu lần đầu tiên vào năm 1834 với nội dung dễ hiểu nhưng có ứng dụng rất sâu sắc và hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Tuy nhiên, nguyên lí này chưa có vị trí chính thức trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông nước ta. Do đó, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu nhằm đưa nguyên lí Dirichlet vào giảng dạy trong trường phổ thông Việt Nam, trước tiên là với đối tượng học sinh THPT khá giỏi. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Thực trạng dạy học nguyên lí Dirichlet ở trường phổ thông nước ta hiện nay Qua tìm hiểu chương trình môn Toán, nội dung sách giáo khoa (SGK) và sách tham khảo môn Toán chúng tôi có nhận xét: 28 Dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh khá giỏi Trung học Phổ thông - SGK THPT theo chương trình cơ bản và nâng cao không có một mục nào chính thức đề cập đến nguyên lí Dirichlet. Tài liệu giáo khoa chuyên toán có viết về nguyên lí này nhưng chỉ là một chuyên đề nhỏ. Chúng tôi tìm thấy nội dung nguyên lí Dirichlet bằng tiếng Việt trong một số tài liệu về Toán rời rạc dành cho bậc đại học, cao đẳng, trong một số ít sách tham khảo dành cho học sinh và giáo viên THPT. GS.TSKH. Hà Huy Khoái, nguyên Viện trưởng Viện Toán học Việt Nam, Viện sĩ Viện Hàn lâm khoa học các nước thế giới thứ ba, trong đợt tập huấn chuyên môn môn Toán dành cho các giáo viên cốt cán cả nước tháng 8/2012, đã nhận định rằng Toán rời rạc vẫn còn là điểm yếu của học sinh chúng ta trong các trong các kì thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO). Ví dụ, xét hai kì thi IMO gần đây nhất, năm 2011 trong đề thi có hai bài Toán rời rạc là bài 2 và bài 4, năm 2012 có một bài là bài 3. Tổng số điểm của cả 6 học sinh thuộc đội tuyển IMO một số nước cho mỗi bài được nêu trong Bảng 1: Bảng 1. Kết quả bài thi phần Toán rời rạc của đội tuyển IMO một số nước các năm 2011, 2012 Nước Năm 2011 Năm 2012 Bài 2 Bài 4 Bài 3 Trung Quốc 12 42 14 Mỹ 18 42 33 Singapo 27 42 11 Nga 10 40 21 Thái Lan 11 42 4 Đức 11 36 8 Nhật 15 41 4 Việt Nam 1 29 4 Trong đợt tập huấn chuyên môn nói trên, chúng tôi đã tiến hành điều tra theo hình thức trả lời phiếu thăm dò ý kiến với 70 giáo viên, cán bộ chuyên môn các trường THPT Chuyên, Sở Giáo dục và Đào tạo của tỉnh Phú Thọ, Vĩnh Phúc, Bắc Kạn, Thái Nguyên, Tuyên Quang, Bắc Giang, Hòa Bình, Lai Châu, Sơn La, Hưng Yên, Hà Nội, Thái Bình, Nam Định, Nghệ An, Đà Nẵng, Quảng Trị, Tây Ninh, Vũng Tàu, TP Hồ Chí Minh, Đồng Tháp, Ninh Thuận, Đăk Lăk, Tiền Giang, Kiên Giang, Long An, Trà Vinh, Sóc Trăng, Bình Dương, Đồng Nai, Lâm Đồng, Bạc Liêu. Kết quả thu được như sau: + 100% ý kiến cho rằng cần đưa nguyên lí Dirichlet vào chương trình dành cho học sinh THPT khá giỏi. + Đa số ý kiến cho rằng nên dạy nguyên lí ngay sau khi học xong Nguyên lí cộng, Nguyên lí nhân và Nhị thức Niutơn. + Số tiết học nguyên lí này là từ 4 đến 20 tiết, tùy theo từng đối tượng học sinh. 29 Nguyễn Thị Ngọc Ánh 2.2. Mục tiêu của việc dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh khá giỏi THPT + Bổ sung những nội dung toán học gắn liền với thực tiễn vào chương trình môn Toán dành cho học sinh khá giỏi THPT. + Quá trình dạy học nguyên lí này giúp học sinh phát triển tốt khả năng tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo. Kích thích sự say mê toán học của các em. + Bồi dưỡng và phát triển tri thức Toán rời rạc của học sinh khá giỏi THPT Việt Nam. Phấn đấu bắt kịp trình độ học sinh các nước tiên tiến trên thế giới về lĩnh vực này. Đồng thời, trang bị kiến thức chuẩn bị cho các em có thể tiếp cận được với khoa học kỹ thuật hiện đại của thế giới. 2.3. Đề xuất những nội dung sẽ dạy về nguyên lí Dirichlet trong chương trình dành cho học sinh khá giỏi THPT 2.3.1. Nguyên lí Dirichlet dạng đơn giản Nếu nhốt hết n + 1 (n là số nguyên dương) con thỏ vào n chuồng thì có ít nhất 1 chuồng có từ 2 con trở lên. Ví dụ 1. Trong tập hợp 13 người bất kì, luôn tồn tại 2 người có cùng tháng sinh. 2.3.2. Nguyên lí Dirichlet dạng tổng quát Nếu nhốt hết n.m + r (m,n, r là các số nguyên dương) con thỏ vào n chuồng thì phải có ít nhất một chuồng chứa từm+ 1 con trở lên. Ví dụ 2. Trong tập hợp 30 người bất kì, có ít nhất 3 người trùng tháng sinh. 2.3.3. Bài tập vận dụng Dạng 1: Áp dụng vào giải bài toán hình học Bài 1: Trong tam giác đều có cạnh bằng 4cm hãy lấy 17 điểm phân biệt. Chứng minh rằng trong 17 điểm có ít nhất 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 1 cm. Bài 2: Trong hình tròn có diện tích bằng 1 ta lấy 17 điểm bất kì, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh có ít nhất 3 điểm hợp thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng 1 8 . Bài 3: Trong mặt phẳng có 2013 điểm sao cho cứ 3 điểm bất kì có ít nhất 2 điểm cách nhau một khoảng nhỏ hơn 1 cm. Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có 1007 điểm nằm trong một hình tròn bán kính bằng 1 cm. Bài 4:Mỗi đỉnh của một đa giác đều có 9 cạnh được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại hai tam giác đồng dạng mà các đỉnh của cả hai tam giác này cùng màu xanh hoặc cùng màu đỏ. 30 Dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh khá giỏi Trung học Phổ thông Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đa giác lồi có số cạnh lớn hơn hoặc bằng 5 và tất cả các đỉnh có tọa độ nguyên (ta gọi chúng là các điểm nguyên). Chứng minh rằng ở bên trong hoặc trên cạnh của đa giác đó có ít nhất một điểm nguyên khác nữa. Dạng 2: Áp dụng vào giải bài toán số học Bài 6: Cho X = {0, 1, 2, ..., 10}. S là tập con bất kì của X có 7 phần tử. Chứng minh rằng tồn tại 2 phần tử của S mà tổng của chúng bằng 10. Bài 7: Chứng minh có số dạng 20152015...2015 (gồm các số 2015 viết liên tiếp) chia hết cho 2013. Bài 8: Cho tập hợpX gồm n số nguyên bất kì. Chứng minhX luôn có một tập con mà tổng của các số nguyên có trong tập hợp đó chia hết cho n. Bài 9: Chứng minh rằng trong n+1 số nguyên dương không vượt quá 2n, có ít nhất 1 số chia hết cho 1 số khác (theo [4]). Bài 10: Giả sử a1, a2, ..., an là các số thực cho trước. Chứng minh luôn có một số thực x sao cho tất cả các số a1 + x, a2 + x, ..., an + x đều là số vô tỷ. Dạng 3: Áp dụng vào các bài toán thực tế Bài 11: Có n đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn tính điểm. Biết rằng đội nào cũng có ít nhất một trận thắng (cả giải không có trận hòa nào). Chứng minh tồn tại 2 đội có cùng số trận thắng. Bài 12:Một tủ chứa 20 chiếc áo trong đó có 4 chiếc màu đỏ, 7 chiếc màu trắng và 9 chiếc màu xanh. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc áo (khi lấy không nhìn thấy màu sắc của chiếc áo mình sẽ lấy ra) để có được: a). Năm chiếc áo cùng màu. b). Chín chiếc áo cùng màu. (theo [5]) Bài 13: Trong một cuộc thi có 20 thí sinh. Mỗi người phải thi 2 vòng. Điểm của mỗi vòng thi được cho là một số tự nhiên từ 1 đến 10. Người ta so sánh điểm của từng vòng thi tương ứng (vòng 1, vòng 2) giữa các thí sinh. Người A gọi là so sánh được với người B nếu điểm mỗi vòng thi của A không nhỏ hơn điểm mỗi vòng thi tương ứng của B. Biết rằng không có hai thí sinh nào có cùng cặp điểm số tương ứng. Chứng minh rằng có thể chọn được ba thí sinh A,B,C sao cho A so sánh được với B và B so sánh được với C. Bài 14: Trên sân trường có một hình ngũ giác lồi ABCDE, độ dài mỗi cạnh và độ dài các đường chéo AC,AD không vượt quá 2 mét. Giả sử có 2013 con kiến nằm trong ngũ giác đó. Chứng minh rằng có một hình tròn bán kính 1 mét, tâm nằm trên cạnh của ngũ giác, chứa ít nhất 504 con kiến. Bài 15: Có 65 người đến từ hai tỉnh, mỗi người làm một trong 4 nghề. Biết rằng cứ 5 người cùng nghề thì có hai người cùng tuổi. Chứng minh rằng có ít nhất 3 người cùng tuổi, làm cùng một nghề và cùng đến từ một tỉnh (theo [5]). 31 Nguyễn Thị Ngọc Ánh 2.4. Phương pháp và hình thức tổ chức dạy học Chúng tôi xin đề xuất hình thức tổ chức dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh khá giỏi THPT gồm hai mức độ: Mức độ 1: Mức độ cơ bản Giáo viên dành 3 đến 4 tiết trên lớp để giúp học sinh nắm được hai dạng của nguyên lí Dirichlet và giải được các bài 1, 2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 13 nêu trên. Theo chúng tôi, ở mức độ này thầy (cô) hướng dẫn các em giải một số bài toán bằng cách sử dụng nguyên lí Dirichlet theo hai bước sau: Bước 1: Tìm hiểu đề bài, xác định hai đối tượng “chuồng” và “thỏ” trong bài toán. Tập hợp “thỏ” luôn có số lượng phần tử lớn hơn tập hợp “chuồng”. Bước 2: Áp dụng nguyên lí Dirichlet đưa ra lời giải của bài toán. Sau đó, giáo viên chia lớp thành ba nhóm tương ứng với ba dạng bài tập đã nêu. Yêu cầu các em về nhà tìm thêm các bài toán khác theo nội dung của nhóm mình. Ngoài ra, có thể chọn một số bài toán hay, độc đáo có lời giải sử dụng nguyên lí Dirichlet. Thầy (cô) dành 2 tiết cho các em báo cáo kết quả hoạt động nhóm và tổng kết kinh nghiệm khi giải một số bài toán sử dụng nguyên lí vừa học. Mức độ 2: Mức độ nâng cao Ngoài yêu cầu như mức độ cơ bản, ở mức độ này giáo viên giúp học sinh hình thành bốn phương pháp thường dùng để xây dựng yếu tố “chuồng” hoặc “thỏ” trong các bài toán [3]. Sau đó, hướng dẫn các em hoàn thành hết các bài tập còn lại trong mục 2. Cuối cùng, chia lớp thành 4 nhóm tương ứng 4 phương pháp được học. Yêu cầu các em ngoài giờ lên lớp hãy cùng nhau phân loại các bài tập đã nêu, tìm tòi thêm các bài toán khác theo nội dung phương pháp giải của nhóm mình. Ngoài ra, các em có thể đề xuất thêm những bài toán có lời giải hay, độc đáo bằng cách vận dụng nguyên lí đã học. Thầy (cô) dành 2 đến 3 tiết trên lớp cho các em báo cáo kết quả. Yêu cầu của giai đoạn này là kích thích khả năng tự học, khả năng làm việc theo nhóm của học sinh. Giúp các em tổng kết, khắc sâu lại các kiến thức cần ghi nhớ, hình thành kỹ năng vận dụng nguyên lí đã học vào giải toán. Qua đó, tập hợp được một tài liệu bổ ích về nguyên lí Dirichlet để các em tham khảo. Thời gian hoạt động nhóm có thể tăng thêm với đối tượng là học sinh chuyên toán. Phương pháp 1: Phân chia tập hợp để tạo ra n chuồng. Nội dung của phương pháp là chia một đối tượng lớn thành nhiều đối tượng nhỏ (các chuồng). Áp dụng nguyên lí Dirichlet cho các đối tượng nhỏ đó. Ví dụ, chúng ta có thể hướng dẫn các em giải bài 1 mục 2.3.3 bằng cách chia nhỏ tam giác đều đã cho thành 16 tam giác đều, mỗi tam giác có độ dài cạnh bằng 1cm. Khi đó, tập hợp “thỏ” và “chuồng” tương ứng với tập hợp 17 điểm đã cho và tập hợp 16 tam giác nêu trên. Phương pháp 2: Xây dựng n chuồng theo đối tượng xuất phát. Để tạo ra n chuồng, ta chọn ra một “đối tượng xuất phát”. Từ đối tượng này, ta lập luận để suy ra các đối tượng 32 Dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh khá giỏi Trung học Phổ thông (trường hợp) tiếp theo. Ví dụ, với bài 3 mục 2.3.3, bằng cách chọn “đối tượng xuất phát” là một điểm A bất kì trong số 2013 điểm đã cho. Xét hình tròn (C) tâm A, bán kính bằng 1. - Nếu tất cả 2013 điểm đều thuộc (C) thì (C) là hình tròn cần tìm. - Nếu có điểm B sao cho AB ≥ 1 thì xét thêm hình tròn (C ′) tâm B, bán kính 1. Với mỗi điểm E trong 2011 điểm còn lại thì E thuộc (C) hoặc E thuộc (C ′). Từ đây có điều phải chứng minh. Phương pháp 3: Xây dựng các dãy số từ bài toán. Các số hạng trong dãy coi là các “thỏ”. Ví dụ, với bài 8 mục 2.3.3, ta giả sử X = {a1, a2, ..., an} . Xét dãy S1, S2, ..., Sn (1) với S1 = a1;S2 = a1 + a2; ...;Sn = a1 + a2 + ... + an, ..., Nếu trong dãy (1) có một tổng chia hết cho n thì yêu cầu bài toán thỏa mãn. Ngược lại, xét n “thỏ” là n số hạng trong dãy (1) . Các “chuồng” là (n − 1) số dư 1, 2, 3, ..., n−1 khi chia một số nguyên cho n. Theo nguyên lí Dirichlet có hai số Si, Sj, i < j trong dãy (1) có cùng số dư khi chia cho n. Do đó, Si − Sj = xi+1 + xi+2 + ... + xj là tổng chia hết cho n. Phương pháp 4: Xây dựng bảng và áp dụng nguyên lí Dirichlet cho các hàng (cột) để suy ra các tính chất cần sử dụng. Ví dụ, với bài 13, mục 2.3.3 giáo viên hướng dẫn các em giải như sau: Hình 1. Hình vuông 10 hàng, 10 cột Xét hình vuông 10 x 10 như hình vẽ (gồm 10 hàng và 10 cột). Giả sử người A bất kì có điểm vòng 1 là i, điểm vòng 2 là j được biểu diễn bởi ô vuông ở hàng i và cột j với i, j nhận giá trị từ 1 đến 10. Điểm của 20 thí sinh biểu diễn bởi 20 ô vuông khác nhau. Ta chia hình vuông thành 10 miền như sau: + Miền 1: các ô ở cột 1 và hàng 10. + Miền 2: các ô còn lại ở cột 2 và hàng 9. ... + Miền 9 : các ô còn lại ở cột 9 và hàng 2. + Miền 10: 1 ô ở cột 10 và hàng 1. Dễ thấy điểm của 2 thí sinh A,B biểu diễn bởi 2 ô thuộc cùng một miền thì so sánh được với nhau. Giả sử không có 3 thí sinh A,B,C nào có điểm biểu diễn bởi 3 ô thuộc cùng một miền, suy ra mỗi miền chứa 2 ô biểu diễn điểm của 2 trong số 20 thí sinh nên miền 10 phải có 2 ô phân biệt, trái với kết quả chia miền ở trên. Từ đó có điều phải chứng minh. 33 Nguyễn Thị Ngọc Ánh Chúng tôi đã tiến hành dạy thực nghiệm trên 2 lớp chuyên toán K22 và K23 trường THPT Chuyên Thái Nguyên theo mức độ 2. Giáo viên dẫn dắt học sinh nắm được hai dạng của nguyên lí Dirichlet thông qua phương pháp đàm thoại phát hiện [1] với hệ thống câu hỏi như sau: Bước 1: Phát hiện và chứng minh nguyên lí Dirichlet dạng đơn giản. Câu hỏi 1: Hãy liệt kê các cách nhốt hết 4 con thỏ vào 3 chuồng cho trước. Mỗi cách nhốt tương ứng với một bộ ba số (a, b, c). Hai cách nhốt được coi là giống nhau nếu chúng là hoán vị của cùng một bộ ba số? Câu hỏi 2: Với mỗi trường hợp ở trên, hãy kiểm tra khẳng định “có ít nhất một chuồng chứa từ 2 con thỏ trở lên” là đúng hay sai? Câu hỏi 3: Khẳng định “Nếu nhốt hết n + 1 con thỏ vào n chuồng (n là số nguyên dương) thì có ít nhất một chuồng chứa từ 2 con trở lên” (*) đúng hay sai? Các em phán đoán khẳng định trên đúng và chứng minh được bằng phương pháp phản chứng. Sau khi học sinh hoàn thành câu hỏi 3, giáo viên thông báo cho học sinh biết mệnh đề (*) chính là nguyên lí Dirichlet dạng đơn giản. Bước 2: Phát hiện và chứng minh nguyên lí Dirichlet dạng tổng quát. Câu hỏi 4: Hãy điền vào chỗ trống một số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn khẳng định sau đúng: “Nếu nhốt hết 7 con thỏ vào 3 chuồng thì có ít nhất một chuồng chứa từ... con thỏ trở lên”. Nhiều em đã trả lời được số cần điền là số 2. Câu hỏi 5: Hãy điền vào chỗ trống một số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn khẳng định sau là đúng: “Nếu nhốt hếtm×n+r con thỏ (m,n, r là các số nguyên dương, 0 < r < n) vào n chuồng thì có ít nhất một chuồng chứa từ... con thỏ trở lên”. (**) Các em phán đoán được câu trả lời cho câu hỏi 5 là số (m + 1). Để chứng minh được phán đoán của mình các em lại dùng phương pháp phản chứng. Câu hỏi 6: Nếu ta thêm (m+1) vào chỗ trống và bỏ điều kiện 0 < r < n thì khẳng định (**) có đúng không? Học sinh trả lời đúng và chứng minh như trên. Tương tự bước 1, giáo viên cho các em biết mệnh đề trong câu hỏi 6 là nguyên lí Dirichlet dạng tổng quát và yêu cầu các em ghi nhớ để vận dụng sau này. Sau khi học sinh nắm được nội dung nguyên lí, giáo viên lấy một số ví dụ minh họa cách vận dụng nguyên lí vào giải toán. Chúng tôi đã giúp các em hình thành bốn phương pháp thường dùng để xây dựng yếu tố “chuồng” và “thỏ” qua việc phân tích kỹ lưỡng cách giải các bài 1, 3, 8, 13 đã nêu. Đồng thời, giúp các em rút ra một số kinh nghiệm khi vận dụng nguyên lí vào giải toán. Đa số các em đều hiểu bài, có hứng thú học tập, tích cực tham gia hoạt động nhóm và đạt được yêu cầu của giáo viên đặt ra. 34 Dạy học nguyên lí Dirichlet cho học sinh khá giỏi Trung học Phổ thông 3. Kết luận Qua bài báo này, chúng tôi đã trình bày mục đích, nội dung và phương thức tổ chức dạy học nguyên lí Dirichlet cho đối tượng học sinh khá giỏi THPT. Kết quả thực nghiệm bước đầu cho thấy việc đưa nguyên lí Dirichlet vào chương trình môn Toán dành cho học sinh khá giỏi THPT là có tính khả thi. Chúng tôi tiếp tục tiến hành thực nghiệm sư phạm, tổng hợp ý kiến đóng góp của các nhà chuyên môn, từ đó hoàn thiện hơn nội dung nghiên cứu theo hướng đã nêu. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Văn Nghị , 2009. Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. [2] Phạm Minh Phương, 2010. Một số chuyên đề toán tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [3] Đoàn Quỳnh, Doãn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, 2009. Tài liệu giáo khoa chuyên Toán Đại số 10, Nxb Giáo dục, Hà Nội. [4] Kenneth H.Rosen, 2007. Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [5] V.K. Balakrishnan, ph, 1995. Theory and problems of combinatorics. McGraw - Hill, INC, Singapore. ABSTRACT Teaching the Dirichlet principle to good and excellent high school students Althoguh the Dirichlet principle is simple in content, its applications are very profound and effective in proving problems, especially when proving the existence of some objects in order to satisfy sustained mathematical properties. At present in Vietnam, the Dirichlet principle has not been included in the official math curriculum of high school students. We propose that this content be added to high schools curriculum with three reasons. First, this would raise the status of teaching and learning at many high schools in Vietnam. Second, this principle should be taught to good and excellent high school students. The third is to propose contents and teaching methods of the Dirichlet principle. 35