Đề kiểm tra học kỳ II môn Toán – lớp 11

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn TOÁN – LỚP 11 ĐỀ SỐ 1 Thời gian: 90 phút, không kể thời gian giao đề. I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) a) Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm của hàm số . (1,0 điểm) b) Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C) của hàm số tại giao điểm của (C) với trục tung. (1,0 điểm) Câu 2: (1,0 điểm) Tính: . Câu 3: (1,5 điểm) Cho hàm số . Xác định giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên tập xác định của nó. Câu 4: (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và O là tâm của nó. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = . Gọi M là trung điểm của CD. a) Chứng minh rằng CD mp(SMO). (1,25 điểm) b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD); tính theo a khoảng cách từ điểm O tới mp(SCD). (1,25 điểm) II. PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) 1. Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn: Câu 5.a: (2,0 điểm) y' x y = cos2x 3y = f(x) = 2x +3x 1  x 1 2x x + 3 lim x 1   4x 8x ˆ ne u x < 2 f(x) = (a R)x 2 ˆax +1 ne u x 2        a 6 2  -----hoc247.vn----- Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai a) Cho hàm số . Chứng minh rằng: . (1,0 điểm) b) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số thực m: . (1,0 điểm) Câu 6.a: (1,0 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, BC = b, CC1 = c. Chứng tỏ rằng tất cả các đường chéo của hình hộp đều bằng nhau và tính độ dài của các đường chéo đó. Từ đó suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh a. 2. Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao: Câu 5.b: (2,0 điểm) a) Cho dãy số (un) với . Chứng tỏ (un) là một cấp số nhân. Hãy tính . (1,0 điểm) b) Cho hàm số . Xác định m để hàm số f có đạo hàm tại điểm . Khi đó tính đạo hàm của hàm số tại điểm (1,0 điểm) Câu 6.b: (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (AC'D'). ------------------------ Hết ------------------------ Đáp án y = xsinx 2(y' sinx) x(y'' + y) = 0  2 2009(1 m )x 3x 1= 0   n 1 n n ( 2) u 3   1 2 nlim(u u u )    1 x 1 ˆ ne u x 0 f(x) = (m R)x ˆ m ne u x = 0         0x  0x  Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Câu Ý Nội dung Điểm 1 2,0 đ a Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' của hàm số . 1,0 đ Hàm số xác định 0,25 . 0,25 0,25 0,25 b Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C) của hàm số , tại giao điểm của (C) với trục tung. 1,0 đ (C) cắt Oy tại M(0; 1). 0,25 0,25 Hệ số góc của tiếp tuyến: . 0,25 Vậy phương trình tiếp tuyến  của (C) tại M là: . 0,25 2 Tìm giới hạn: . 1,0 đ 0,25 0,50 . 0,25 3 Xác định giá trị của a để hàm số liên tục trên tập xác định của nó ? 1,5 đ TXĐ: D = . 0,25 Với mọi x < 2 , hàm số liên tục trên khoảng (; 2). Với mọi x > 2 , hàm số liên tục trên khoảng (2; +). 0,25 f(2) = 2a + 1; 0,25 0,25 Để hàm số liên tục trên , đk cần và đủ là nó liên tục tại điểm x = 2; tức là: 0,50 cos 2 x y x  cos2 0x  2 , 2 4 2 x k x k k           2 ( ) 'cos 2 (cos 2 ) ' ' cos 2 x x x x y x   2 cos 2 2 sin 2 ' cos 2 x x x y x   3( ) 2 3 1y f x x x     2' '( ) 6 3y f x x    '(0) 3f  3 1y x  1 2 3 lim 1x x x x      2 1 1 2 3 4 3 lim lim 1 ( 1) 2 3x x x x x x x x x x            1 ( 1)(4 3) lim ( 1) 2 3x x x x x x       1 4 3 lim 2 3x x x x     1 2 3 7 lim 1 4x x x x     4 8 ˆ, 2 ( ) ( )2 ˆ1, 2 x x ne u x f x ax ax ne u x          4 8 ( ) 2 x x f x x    ( ) 1f x ax  2 2 lim ( ) lim( 1) 2 1 x x f x ax a        3 2 2 2 2 ( 8) lim ( ) lim lim ( 2 4) 24 2x x x x x f x x x x x            Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai . Vậy là giá trị cần tìm. 4 2,5 đ a Chứng minh rằng CD mp(SMO). 1,25 đ 0,50 Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO  (ABCD), suy ra CD  SO (1) 0,25 CD  BC (gt), BC // OM  CD  OM (2) 0,25 Từ (1) và (2), suy ra CD mp(SMO). 0,25 b Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD); tính khoảng cách (theo a) từ điểm O tới mp(SCD). 1,25 đ Gọi  là góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD). Vì SO  (ABCD) nên OA là hình chiếu của SA lên mp(ABCD). Do đó 0,25 Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có: . Vậy góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD) bằng 600. 0,50 Từ O ta kẻ OH vuông góc với SM (H thuộc SM). Vì CD mp(SMO) nên mp(SCD) mp(SOM), suy ra OH  (SCD). Do đó d(O; (SCD)) = OH. 0,25 Vậy . 0,25 5.a 2,0 đ a Cho hàm số . Chứng minh rằng: . 1,0 đ TXĐ: . Ta có ; 0,25 ; 0,25 2 23 lim ( ) (2) 2 1 24 2x f x f a a        23 2 a    MO C A D B S H  ( ; )SA OA SAO   06tan 3 60 2 SO a AO a         2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 14 42 3 3 14 a OH OH OS OM a a a        42 ( ;( )) 14 a d O SCD  siny x x 2( ' sin ) ( '' ) 0y x x y y     ' sin sin cosy x x x x x    '' sin cos 2cos siny x x x x x x    Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Do đó: (đpcm). 0,50 b Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số thực m: . 1,0 đ Đặt . Ta có: . 0,25 suy ra: 0,25 Mặt khác hàm số liên tục trên đoạn [1; 0] 0,25 Do đó theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại số sao cho . Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1; 0) với mọi m. 0,25 6.a 1,0 đ Ta có các mặt chéo ACC1A1 và BDD1B1 là hai hình chữ nhật bằng nhau nên các đường chéo AC1, A1C, BD1 và B1D bằng nhau. 0,25 Áp dụng định lý Pithagore, ta được: AC1 2 = AC2 + CC1 2 = AB2 + BC2 + CC1 2 = . 0,25 Vậy AC1 = A1C = BD1 = B1D = . 0,25 Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương có cạnh a là . 0,25 5.b 2,0 đ a Cho dãy số (un) với . Chứng tỏ (un) là một cấp số nhân. Hãy tìm giới hạn . 1,0 đ Ta có: ; . 0,25 Vậy (un) là một cấp số nhân, với u1 = và công bội . 0,25 Ta có: ; 0,25 2( ' sin ) ( '' )y x x y y   2(sin cos sin ) (2cos sin sin )x x x x x x x x x x      2 cos 2 cos 0x x x x   2 2009(1 ) 3 1 0m x x    2 2009( ) (1 ) 3 1f x m x x    (0) 1 0f    2 2( 1) (1 ) 3 1 1 0, f m m m          2( 1). (0) ( 1) 0, f f m m      2 2009( ) (1 ) 3 1f x m x x    ( 1; 0)c  ( ) 0f c  ( ) 0f x  B C A B 1 D 1 C 1 A 1 D 2 2 2a b c  2 2 2a b c  3a n 1 n n ( 2) u 3   1 2 nlim(u u u )    * nu 0, n    n 2 n *n 1 n+1 n 1 n u ( 2) 3 2 , u 3 ( 2) 3 n            4 3 2 3 q   nn 1 2 n 1 1 q 4 2 u u u u 1 1 q 5 3                   Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Do đó: (vì ). Chú ý: Học sinh có thể giải như sau: Do |q| = 2/3 < 1 nên (un) là một cấp số nhân lùi vô hạn, do đó: 0,25 b Cho hàm số . Xác định m để hàm số có đạo hàm tại điểm . Khi đó tính đạo hàm của hàm số f tại điểm . 1,0 đ Để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0 thì điều kiện cần là nó phải liên tục tại điểm đó, tức là . 0,25 f(0) = m; Vậy khi thì hàm số liên tục tại điểm x = 0. 0,25 Lúc đó , ta có: . 0,25 . Vậy thì hàm số có đạo hàm tại điểm và . 0,25 6.b Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (AC'D'). 1,0 đ Gọi M là hình chiếu vuông góc của B' lên đường thẳng AC'. n 1 2 n 4 2 4 lim(u u u ) lim 1 5 3 5                 n 2 lim 0 3        1 1 2 n 1 2 n u 4 lim(u u u ) u u u 1 q 5             1 1 ˆ, 0 ( ) ( ) ˆ, 0 x ne u x f x mx m ne u x           0x  0x  0 lim ( ) (0) x f x f   0 0 0 1 1 1 1 lim ( ) lim lim 21 1x x x x f x x x            1 2 m   1 1 ˆ, 0 ( ) 1 ˆ, 0 2 x ne u x xf x ne u x            20 0 0 1 1 1 ( ) (0) 2 1 22lim lim lim 0 2x x x x f x f x xx x x x             2 20 0 4(1 ) ( 2) 1 1 lim lim 82 (2 1 2) 2(2 1 2)x x x x x x x x x                1 2 m   0x  1 '(0) 8 f   A B C D A' B' C' D' M Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Do AB'C' = AC'D' (c.c.c) nên D'M = B'M và D'M  AC'. Suy ra AC'  mp(B'MD'). Do đó góc  giữa hai mp(AB'C') và mp(AC'D') bằng góc giữa hai đường thẳng B'M và D'M. 0,25 Tính ? Ta có: 0,25 0,25 Vậy . 0,25 ' 'B MD 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 ' ' ' ' 2 2B M AB B C a a a      2 2 2 2' ' 3 a B M D M   2 2 2 2 0 22 4 2 2 ' ' ' 13cos ' ' ' ' 120 4' 2 3 a a B M B D B MD B MD aB M        0 0180 ' ' 60B MD   