Đề mẫu thi cuối học kỳ I môn Giải tích 1

Nội dung ôn tập ------------------------------------------------------------------------------------------------ I) Giới hạn và liên tục: Cách tìm giới hạn hàm, liên tục hàm số. II) Đạo hàm và vi phân: đạo hàm và vi phân của hàm y = f(x), hàm tham số, hàm ẩn. Công thức Taylor, Maclaurint. Ứng dụng đạo hàm: các bài toán liên quan, khảo sát vẽ. III) Tích phân: 1) Tích phân bất định, tích phân xác định Tích phân suy rộng loại một và hai: tính tphân, khảo sát hội tụ. IV) phương trình vi phân: 1) Phương trình vi phân cấp 1: chỉ có 4 loại đã học: Tách biến, tuyến tính, đẳng cấp, Bernoulli. 3) Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng: Phương pháp khử, phương pháp trị riêng, véctơ riêng (trường hợp chéo được) 2) Phương trình vi phân cấp hai HỆ SỐ HẰNG. Ứng dụng hình học của tích phân: có 4 ứng dụng đã học. Chú ý: Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một hệ số hằng Các em có thể giải theo cách Thầy trình bày trong bài giảng. Tuy nhiên đối với hệ thuần nhất, thì cách trình bày trong bài giảng dài dòng. Với hệ thuần nhất các em giải theo cách trình bày trong nhiều sách (Vdụ: Sách Thầy Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương) Với hệ không thuần nhất, giải theo cách trình bày trong bài giảng có vẻ dễ hiểu hơn. Tuy nhiên các em có thể giải theo cách trong sách. CHÚC MỪNG NĂM MỚI! С НОВЫМ ГОДОМ! HAPPY NEW YEAR! Đáp án các đề mẫu còn lại, Thầy sẽ cố gắng đưa lên mạng. Không hứa trước!!!! Đề mẫu cuối kỳ 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Câu 1. Tính arcsin 30 cosh lim tan 1 3 2 cos 1 x x x x e x x x       Câu 3. Tính tích phân      3 22 2 2 dx I x x x Câu 2. Tìm tiệm cận của đường cong cho bởi ptrình tham số 2 2 8 3 , 4 ( 4) t x y t t t        21 3 30 cosh ln(1 ) 1 2 8 x x I dx x         Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. Câu 6. Giải phương trình vi phân  'y y x y Câu 5. Tìm thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi arctan , arctan ,0 1, 1y x x y x x x x       quanh trục Ox. Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 '' '3 2 3 5sin 2y y y x x    Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' 1 1 2 3 ' 2 1 2 3 ' 3 1 2 3 4 4 8 11 8 2 8 8 5 tx x x x e x x x x t x x x x                Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút. Giải đề mẫu 1. Câu 1. 3 3 3 30 / 3 ( ) 1 lim 44 / 3 ( )x x x I x x         2 2cosh 1 ( ) 2 x x x   3 3arcsin ( ) 6 x x x x   2 3 arcsin 31 ( ) 2 3 x x xe x x     3 3tan ( ) 3 x x x x   3 2 33 51 3 1 ( ) 3 x x x x x      Câu 2. Tiệm cận đứng: 0 0 lim ( ) lim ( ) 2 t t y t x t       2x  là tiệm cận đứng. Không có tiệm cận ngang. Tiệm cận xiên. 2 2 lim ( ) lim ( ) t t y t x t        1 4 8 x y     là tiệm cận xiên. 2 ( ) 1 lim ( ) 4t y t a x t      2 1 lim ( ) ( ) 8t b y t a x t       2 2 lim ( ) lim ( ) t t y t x t        3 9 20 40 x y   là tiệm cận xiên. 2 ( ) 3 lim ( ) 20t y t a x t     2 9 lim ( ) ( ) 40t b y t a x t      Câu 3. 1 ( 1)( 1)( 2) 1 1 2 A B C x x x x x x          Để tìm A, nhân 2 vế cho x - 1 rồi thay x = 1 vào, tương tự cho B, C.      3 22 2 2 dx I x x x 2 2 2cosh ln(1 ) 1 ( ) 2 x x x x      Câu 4. 2 1 1 1 ln | 1| ln | 1| ln | 2 | 6 2 3 x x x                 1/ 6 1/3 1/ 2 2 1 2 ln ( 1) x x x           ln3 2ln 2 2 3     30 3 32 8 12 x x x         2 2 3 3 3 cosh ln(1 ) 1 12 ( ) 2 2 8 x x x f x xx             Hàm dưới dấu tích phân là hàm luôn âm. Xét tích phân hàm - f(x). 3 2 12 1 2 x     Tích phân hội tụ nếu 3 2 1   1  Câu 5. 1 2arctan , arctany x x y x x    Ta có 1 20 ( ) ( ), [0,1]y x y x x      1 2 2 0 2 1 0 xV y y dx     1 2 2 0 ( arctan ) ( arctan )x x x x dx    1 0 0 4 arctanxV x xdx  2 2   Câu 6. Đây là phương trình Bernoulli với  'y y x y 1/ 2  ' 2 22 y y x y    Đặt z y ' 2 2 z x z   / 2 2xz Ce x    Nghiệm tổng quát của pt là / 2 2xy Ce x   Câu 7. Phương trình đặc trưng: 2 3 2 0k k   1 21 2k k    Nghiệm của phương trình thuần nhất: 2 0 1 2 x xy C e C e  Dùng nguyên lý cộng dồn nghiệm tìm nghiệm riêng: 1 2r r r y y y  Nghiệm riêng của là '' '3 2 3y y y x   1 3 9 2 4 ry x  Nghiệm riêng của :'' '3 2 5sin 2y y y x   2 3 1 cos2 sin 2 4 4 ry x x  Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: 2 1 2 3 9 3 1 cos2 sin 2 2 4 4 4 x x tqy C e C e x x x      Câu 8. 1 4 4 8 11 8 8 8 5 A             1 1 1 2 0 1 2 1 0 P          1 0 0 0 3 0 0 0 3 D           1Y P XĐặt ' 1 ( )Y DY P F t Ta có: ' 1 1 ' 2 2 ' 3 3 1 0 0 1 4/3 4 /3 0 3 0 8/ 3 3 8/3 2 0 0 3 8/3 8/3 7 /3 0 ty y e y y t y y                                              ' 1 1 ' 2 2 ' 3 3 8 / 3 3 8 /3 6 3 8 / 3 16 / 3 t t t y y e t y y e t y y e t                1 1 3 2 2 3 3 3 ( ) 8 /3 8/ 3 ( ) 2 / 3 2 2 /3 ( ) 2 / 3 16 / 9 16 / 27 t t t t t t y t C e te t y t C e e t y t C e e t                   Suy ra nghiệm tổng quát của hệ. Đề mẫu cuối kỳ 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Câu 1. Tính 2 0 sinh ln(1 ) lim tanx x x x x   Câu 3. Tính tích phân     2 21 3 2 1 dx I x x x Câu 2. Tìm tiệm cận của đường cong cho bởi ptrình 44 1 | | x y x   3 22 ln 1 arctan x I dx x x            Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ.,  Câu 6. Giải phương trình vi phân     ' 1 1y x y x y Câu 5. Tìm diện tích bề mặt tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi ( sin ), (1 cos ), 0 2 ; 0x a t t y a t t a       quanh trục Oy. Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 '' ' 24 4 cosxy y y e x    Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút. Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử. ' 2 1 1 2 3 ' 2 1 2 3 ' 3 1 2 3 4 2 5 6 6 2 8 3 9 x x x x t x x x x t x x x x                 Giải đề mẫu cuối kỳ 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Câu 1. 2 3 3sinh ln(1 ) ( )x x x x   3 3tan ( ) 3 x x x x   2 3 30 0 sinh ln(1 ) lim lim 3 tan /3x x x x x x x x      Câu 2. ( ) lim x f x a x  Tiệm cận đứng: 0x  44 1 lim | |x x x x   2, 2, x x       2a   lim ( ) x b f x ax    44 1 lim 2 x x x x          0 2a    lim ( ) x b f x ax    0 Có hai tiệm cận xiên: 2 , 2y x y x   Câu 3. Đặt 2 1 2 2 2 1 3 dx I x x x     1 t x  1 2 1/ 2 3 2 dt t t     1 2 1/ 2 ( 1) 4 ( 1) d t I t          1 2 1/ 2 ( 1) / 2 1 ( 1) / 2 d t t      1 1/ 2 1 arcsin 2 t   3 arcsin 2 4    Câu 4. 2/ 3 3 2 ln ln ( ) 1 arctan xx x x f x xx x             2 /3 ln x x    Nếu , thì tích phân hội tụ với mọi2 /3 1 1/3       Nếu , thì tích phân phân kỳ với mọi2 /3 1 1/3       Nếu , thì tích phân hội tụ khi2 /3 1 1/3      1  Câu 5. ( sin ), (1 cos ), 0 2x a t t y a t t       ' ( ) cosx t a a t  ' ( ) siny t a t     2 2' ' 2 2( ) ( ) 4 sin 2 t x t y t a       2 2 2' ' 0 0 2 ( ) ( ) ( )yS x t x t y t dt    2 2 2 0 0 2 ( sin ) 4 sin 2 y t S a t t a dt    2 2 0 4 ( sin ) sin 2 t a t t dt     2 2 0 0 4 sin sin sin 2 2 y t t S a t t dt           2 216 a Câu 6. ' 1 1 x y y x y      Đặt 1u x y   ' '1u y   ' 21 u u u    2du u u dx u     2 u du dx u u     2 8 2 ln 1 ln 2 3 3 u u u x C      2 8 1 ln 1 1 ln 1 2 3 3 x y x y x y x C            Câu 7. Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất: 2 2 0 1 2 t ty C e C te  Dùng nguyên lý cộng dồn nghiệm tìm nghiệm riêng: 1 2r r r y y y  Nghiệm riêng của : '' ' 24 4 xy y y e   1 2 21 2 x ry x e Nghiệm riêng của :'' '4 4 cosy y y x   2 3 4 cos sin 25 25 ry x x  Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: 2 2 2 2 1 2 1 3 4 cos sin 2 25 25 x x x tqy C e C xe x e x x     Câu 8. ' 2 1 1 2 3 ' 2 1 2 3 ' 3 1 2 3 4 2 5 6 6 2 8 3 9 x x x x t x x x x t x x x x                 Lấy pt đầu cộng với 2 lần pt thứ hai của hệ ' ' 2 1 2 1 32 8 7 4 (1)x x x x t t     Lấy 3 lần pt đầu trừ 2 lần pt thứ ba của hệ ' ' 2 1 3 1 33 2 4 3 2 (2)x x x x t    Khử ở pt (2) và (3):1x '' ' ' 2 3 1 3 32 6 3 -9 12 (4)x x x x t t     Đạo hàm hai vế (5): Khử ở pt (2) và (3):' 1x '' ' 2 3 3 1 36 16 4 6 - 27 36 (5)x x x x t t     ''' ''' ' ' 2 3 3 1 36 16 4 - 6 -54 36 (6)x x x x t    Rút thay vào (4):' 1x ''' '' ' 2 3 3 3 34 5 2 3 8 6x x x x t t       Giải pt này: 2 2 3 3 1 2 3 3 23 79 ( ) 2 2 4 t t t t tx t C e C e C e      Thay vào (4) ta được 1( )x t Thay vào đầu của hệ ta được 2 ( )x t Đạo hàm hai vế pt thứ 3:  ' '' ' '2 3 1 3 1 8 9 3 x x x x   '' ' ' 2 3 1 3 1 32 19 18 24 21 3 12 (3)x x x x x t t     Thay vào (1): Đề mẫu cuối kỳ 3 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Câu 1. Tính 2 0 cosh 2 2 lim tan 2 2 sin x x e x x x x    Câu 3. Tính tích phân   22 1 2 dx I x x      Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 22 3 x x y x      2 1 arctan( 1)x I dx x x      Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. 3 4  4 9 2  Câu 6. Giải phương trình 22 ( 6 ) 0, (1) 1.ydx y x dy y    Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 '' '4 4 sin cos2y y y x x    Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút. Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' 1 1 2 3 ' 2 1 2 3 ' 3 1 2 3 3 sin 4 4 x x x x t x x x x x x x x              Câu 5. Tìm độ dài cung 2(1 sin )r   2 Đề mẫu cuối kỳ 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Câu 1. Tính 2 lim arctan x x x        Câu 3. Tính tích phân 0 sin , 0axI e bxdx a    Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong cho bởi pt tham số 2 2 2 1 ( ) , ( ) 21 t t x t y t tt     31 0 sin(arcsin ) sin x x x I dx x     Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. Câu 6. Giải phương trình ' sincos .xy y x e  Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 '' cosy y x  Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày gọn gàng), thời gian: 90phút. Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' 1 1 2 3 ' 2 1 2 3 ' 3 1 3 2x x x x x x x x x x x             Câu 5. Tìm diện tích miền D giới hạn bởi đường cong trong toạ độ cực sin5 , 0r a a  Đề mẫu cuối kỳ 5 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Câu 1. Tính  lim 2 arctanx x x  Câu 3. Tính tích phân 0 1/ 3 1 x dxI e x   Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong cho trong toạ độ cực 1 2cosr   4 / 3 0 arctan 1 x I x dx x       Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. Câu 6. Giải phương trình ' sincos .xy y x e  Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 '' ' 23 2 2 x xy y y e e    Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' 1 1 2 ' 2 1 2 2 3 4 t t x x x e x x x e         Câu 5. Tìm diện tích miền D giới hạn bởi đường cong tham số 2 2 2 1 (1 ) , 1 1 t t x y t t      Đề mẫu cuối kỳ 6 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Câu 1. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 6 của hàm arcsiny x Câu 3. Tính tích phân 31 20 arcsin 1 x xdx I x    Câu 2. Tìm tiệm cận của đường cong ln(1 2 )xy e  4 0 cosh 1 ( 1)( )x x I dx e x x        Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. Câu 6. Giải phương trình ( 2 3) (2 3) 0x y dx x y dy      Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 '' '4 4 sinh 2y y y x   Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử. ' 1 1 2 ' 2 1 2 4 sin t x x x t x x x e         Câu 5. Tìm thể tích vật thể tròn xoay tạo nên bởi miền D quay quanh Oy : sin , 0, 1 (0 / 2)D y x x y x      Đề mẫu cuối kỳ 7 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Câu 3. Tính tích phân 41 2 21 (1 ) 1 x dx I x x      20 ln ( ) 1 xe x I dx x x        Câu 4. Tính để tích phân hội tụ. Câu 1. Tìm , biết 2( ) ln(2 )f x x (10) (0)f Câu 2. Tìm đạo hàm trái, phải tại điểm 1/ 3 4 1 , 0 1 , 0 xe x y x x        0 0x  Câu 6. Giải pt ' cos( 2 ) cos( 2 ), (0) / 4y x y x y y      Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 '' 'sin 2 0, ( ) ( ) 1y y x y y      Câu 5. Tìm thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D quanh 0x 2 3: 2 , 4D x t t y t t    Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' 1 1 2 3 ' 2 1 2 3 ' 2 3 1 2 3 2 x x x x t x x x x t x x x x t                 Đề mẫu cuối kỳ 8 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Câu 1. Khảo sát điểm gián đoạn của hàm 1 arctan(1/ ) x y x   Câu 3. Tính tích phân 2 20 (1 4 ) 1 dx I x x      Câu 2. Tìm cực trị của đường cong cho bởi pt tham số 3 3 2 2 2 2 , 1 1 t t t x y t t       20 tanh 2 x x I dx x x x        Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. Câu 6. Giải phương trình ' 2tan cos 0y y x y x   Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2  '' ' 22 3xy y e x x    Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử. ' 1 1 2 ' 2 1 2 4 3 cos 3 4 x x x t x x x t         Câu 5. Tìm diện tích bề mặt tròn xoay khi quay miền D quanh 0x 2: 4 ,0 3.D y x x   Đề mẫu cuối kỳ 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Câu 3. Tính tích phân 0 x x dx I e e     Câu 2. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm cho bởi pt tham số sin , 1 cos , (0,2 )x t t y t t      0 ln(arctan )xI x x e dx    Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. Câu 1. Khảo sát điểm gián đoạn của hàm arcsin sin 2 x y x  Câu 6. Giải phương trình ( 1) (2 2 1) .x y dx x y dy     Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 '' ' 23 10 xy y y xe   Câu 5. Tìm độ dài cung (phần tự cắt) của đường cong tham số 2 21, 3 x t y t t         Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' 1 1 2 3 ' 2 1 2 3 ' 3 1 2 3 6 12 3 4 12 3 x x x x x x x x x x x x              Đề mẫu cuối kỳ 10 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 1 arctany x x    Câu 3. Tính tích phân 2 0 ln 1 xdx I x     Câu 2. Tìm đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) cho bởi phương trình 2 2 sin( )xy y x xy    1 1/ 0 (1 )x xI e x dx     Câu 4. Tính tất cả để tích phân sau hội tụ. Câu 1. Tìm tất cả để hàm sau là một vô cùng bé khi,  0x  Câu 6. Giải phương trình  ' arctan , (1) 0.yxy y x y x    Câu 7. Giải phương trình vi phân cấp 2 '' '4 sin 2 1, (0) 1/ 4, (0) 0.y y x y y     Câu 8. Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng. ' 2 1 1 2 ' 2 1 2 7 3 6 4 2 x x x t x x x t         Câu 5. Tìm diện tích miền D giới hạn bởi đường cong trong tọa độ cực 2 22 cos2r a 