Đề tài Điều khiển tách kênh hệ tuyến tính bằng phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP --------------------------------------- LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH HỆ TUYẾN TÍNH BẰNG PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO NGUYÊN LÝ TÁCH Ngành : TỰ ĐỘNG HOÁ Mã số:23.04.3898 Học Viên: HOÀNG ĐỨC QUỲNH Người HD Khoa học : PGS.TS. NGUYỄN DOÃN PHƯỚC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên H O À N G Đ Ứ C Q U Ỳ N H ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP --------------------------------------- LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT T Ự Đ Ộ N G H O Á NGÀNH : TỰ ĐỘNG HOÁ ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH HỆ TUYẾN TÍNH BẰNG PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO NGUYÊN LÝ TÁCH HOÀNG ĐỨC QUỲNH 2 0 0 7 – 2 0 0 9 Thái nguyên 2009 THÁI NGUYÊN 2009 §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Mục lục Lời mở đầu Mục lục.................................................................................................................. 1 Chương 1. Tổng quan về bộ điều khiển tách kênh 1.1 Nội dung bài toán điều khiển tách kênh....................................................... 3 1.2 Hai phương pháp tách kênh cơ bản............................................................... 4 Chương 2. Điều khiển tách kênh trong miền tần số và nhược điểm của nó 2.1 Mô hình ma trận hàm truyền........................................................................ 6 2.2 Đánh giá sự tương tác các kênh.................................................................... 11 Chương 3. Điều khiển tách kênh bằng phản hồi trạng thái 3.1 Điều khiển phản hồi trạng thái..................................................................... 12 3.2 Thuật toán tìm các bộ điều khiển của bài toán tách kênh............................. 14 Chương 4. Quan sát trạng thái 4.1 Bộ quan sát Luenberger................................................................ 25 4.1.1 Phân tích tính quan sát được............................................................. 25 4.1.1.1. Khái niệm quan sát được và quan sát được hoàn toàn......... 25 4.1.1.2. Một số kết luận chung về tính quan sát được của hệ tuyến tính..................................................................................................... 26 4.1.1.3. Tính đối ngẫu và các tiêu chuẩn xét tính quan sát được của hệ tham số hằng................................................................................. 32 4.1.2 Bộ quan sát Luenberger..................................................................... 35 4.1.2.1. Phương pháp thiết kế............................................................ 35 4.1.2.2. Các phương pháp khác nhau phục vụ bài toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực.................................... 38 a. Phương pháp Ackermann.............................................................. 38 b. Phương pháp Roppenecker............................................................ 40 c. Phương pháp Modal phản hồi trạng thái....................................... 42 §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên d. Bài toán điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu Thiết kế bộ điều khiển LQR phản hồi dương.................................... 50 4.2 Các bộ quan sát trạng thái tuyến tính khác................... 58 4.2.1 Bộ quan sát Kalman.......................................................................... 58 4.2.2 Bộ điều khiển tối ưu phản hồi đầu ra LQG....................................... 61 4.3 Kết luận về chất lượng hệ kín: NGUYÊN LÝ TÁCH......... 63 Chương 5. Nghiên cứu khả năng ghép chung bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh với bộ quan sát trạng thái 5.1 Mô phỏng hệ MIMO tuyến tính 2 đầu vào 2 đầu ra..................................... 65 5.1.1 Đối tượng thứ nhất............................................................................ 65 5.1.2 Đối tượng thứ hai.............................................................................. 70 5.2 Mô phỏng bộ điều khiển tách kênh cho đối tượng MIMO tuyến tính.......... 75 5.2.1 Đối tượng thứ nhất............................................................................ 75 5.2.2 Đối tượng thứ hai.............................................................................. 83 5.3 Mô phỏng bộ quan sát Luenberger cho đối tượng MIMO tuyến tính........... 91 5.3.1 Đối tượng thứ nhất............................................................................ 91 5.3.2 Đối tượng thứ hai.............................................................................. 99 5.4 Nghiên cứu mô phỏng khả năng ghép chung bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh với bộ quan sát trạng thái...................................................... 105 5.4.1 Đối tượng thứ nhất............................................................................ 105 5.4.2 Đối tượng thứ hai.............................................................................. 112 Kết luận ................................................................................................................. 119 Danh mục tài liệu tham khảo Danh mục các hình vẽ, đồ thị sử dụng trong luận văn Tóm tắt luận văn §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên LỜI MỞ ĐẦU Điều khiển hệ thống là bài toán can thiệp vào đối tượng điều khiển để hiệu chỉnh, để biến đổi sao cho nó có chất lượng mong muốn. Kết quả của bài toán điều khiển có thể là một tín hiệu điều khiển thích hợp hoặc một bộ điều khiển tạo tín hiệu điều khiển thích hợp cho đối tượng. Các bộ điều khiển bao gồm các cấu trúc: Điều khiển hở, điều khiển phản hồi trạng thái, điều khiển phản hồi tín hiệu ra. Có rất nhiều bộ điều khiển được ứng dụng thành công lại chỉ dùng được cho hệ SISO (ví dụ: bộ điều khiển PID). Để sử dụng các bộ điều khiển đó cho hệ MIMO, ta phải can thiệp sơ bộ trước vào hệ MIMO, biến một hệ thống MIMO thành nhiều hệ SISO với mỗi đầu ra chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào. Bộ điều khiển phản hồi trạng thái có khả năng giữ được ổn định chất lượng mong muốn cho đối tượng dù trong qúa trình điều khiển luôn có những tác động nhiễu. Để ứng dụng tốt bộ điều khiển trạng thái trong việc điều khiển hệ thống MIMO, cần sử dụng kết hợp với bộ Quan sát trạng thái để có thể lấy chính xác và đầy đủ nhất các thông tin về chất lượng động học của đối tượng. Xuất phát từ những yêu cầu cấp thiết phải nghiên cứu trên, tác giả muốn đóng góp một phần nhỏ vào việc nghiên cứu khả năng kết hợp giữa bộ quan sát trạng thái với bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh hệ MIMO tuyến tính để có được bộ điều khiển tách kênh phản hồi đầu ra. Được sự hướng dẫn chỉ bảo của thầy PGS.TS Nguyễn Doãn Phước – Trưởng bộ môn Điều khiển tự động Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội tôi đã tiến hành nghiên cứu đề tài: ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH HỆ TUYẾN TÍNH BẰNG PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO NGUYÊN LÝ TÁCH §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Đề tài nghiên cứu thành công sẽ chứng minh khả năng kết hợp giữa bộ quan sát trạng thái với bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh hệ M M tuyến tính. Nói cách khác, nó sẽ chứng minh được nguyên lý tách cũng đúng trong điều khiển tách kênh. Dựa trên lý thuyết được nghiên cứu của đề tài sẽ thiết kế được bộ điều khiển cho một số đối tượng tuyến tính trong thực tế và hướng ứng dụng kết quả nghiên cứu vào thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh cho các đối tượng tuyến tính trong các hệ thống tự động điều khiển quá trình sản xuất, đặc biệt là với các quá trình chưng cất. Sau một thời gian học tập và nghiên cứu đến nay bản luận văn của tôi đã được hoàn thành. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Doãn Phước - Thầy giáo hướng dẫn trực tiếp, người đã đưa ra hướng nghiên cứu tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nâng cao trình độ kiến thức. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả bạn bè, đồng nghiệp và người thân đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình vừa qua. Vì điều kiện về thời và khả năng của bản thân có hạn nên bản luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong các thầy cô cùng các bạn đồng nghiệp góp ý sửa đổi, bổ xung thêm để bản luận văn thêm hoàn thiện. §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi, có sự hỗ trợ từ Thầy hướng dẫn và những người tôi đã cảm ơn. Các nội dung nghiên cứu và kết quả trong đề tài này là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ công trình nào. Thái nguyên, ngày 25 tháng 07 năm 2009 Tác giả Hoàng Đức Quỳnh §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 1: tæng quan vÒ bé ®iÒu khiÓn t¸ch kªnh Page: 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 1 TỔNG QUAN VỀ BỘ ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH 1.1. Nội dung bài toán điều khiển tách kênh Hệ thống điều khiển nhiều chiều là hệ có nhiều đại lượng điều chỉnh và nhiều đại lượng được điều chỉnh tức là có nhiều đại lượng đầu vào và nhiều đại lượng đầu ra (MIMO). Các đại lượng này không độc lập mà liên quan chặt chẽ tác động qua lại lẫn nhau. Chỉ cần một sự thay đổi nhỏ của đại lượng nào đó cũng gây ra sự thay đổi của đại lượng khác làm mất cân bằng hệ thống. Vì vậy nó là hệ thống khó điều khiển. Có rất nhiều bộ điều khiển được ứng dụng thành công lại chỉ dùng được cho hệ SISO, bộ điều khiển PID là một ví dụ điển hình. Vì mong muốn sử dụng các bộ điều khiển đó cho hệ MIMO, người ta nghĩ đến việc can thiệp sơ bộ trước vào hệ MIMO, biến một hệ thống MIMO thành nhiều hệ SISO với mỗi đầu ra yi (t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào wi (t). Ta nói rằng hệ thống đã được phân ly, tín hiệu ra của 1 kênh bất biến với tác động điều khiển của các kênh khác. 1.2. Hai phương pháp tách kênh cơ bản u1 um y1 ym w1 wm y1 ym §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 1: tæng quan vÒ bé ®iÒu khiÓn t¸ch kªnh Page: 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Phương pháp 1: Phương pháp Falb – Wolovich Xét đối tượng MIMO tuyến tính có m đầu vào u1, u2,…um và cũng có m đầu ra y1, y2,…,ym mô tả bởi:       xCy uBxA dt xd Để tách kênh, ta phải xác định các bộ điều khiển R và M như ở hình trên mô tả, sao cho đầu ra yi(t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào wi(t) với i = 1,2,..., m. Sự phụ thuộc đó được mô tả trong miền thời gian bởi phương trình vi phân bậc ri hệ số hằng: a 1 0 1 , 1 1 ... i i i i i r r i i i i i i r ir r dy d y d y a a b dt dt dt         wi ri i ri dt yd + 1 0 w ir k i ik i ik k d y a b dt    (1.1) Trong đó bi và aik, i = 1, 2,...,m; k = 0,1,...,ri – 1 là các tham số tự do được chọn tuỳ ý theo chất lượng đặt trước của từng kênh. Nói cách khác, nhiệm vụ thiết kế đặt ra ở đây là phải xác định hai bộ điều khiển tĩnh R và M để với nó hệ kín có ma trận truyền đạt dạng đường chéo: M R w1 wm y1 ym x u w1 wm y1 ym §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 1: tæng quan vÒ bé ®iÒu khiÓn t¸ch kªnh Page: 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên G(s) = ( ) ... 0 0 ... ( ) i m G s G s           Với các phần tử Gi(s) là những hàm truyền đạt: 1 0 1 , 1 ( ) ... i i i i i r r i i i r b G s a a s a s s        (1.2) có các hệ số bi và aik, i = 1, 2,...,m; k = 0,1,...,ri – 1 cho trước, tương ứng với chất lượng mong muốn của từng kênh. Phương pháp 2: Phương pháp Smith - McMillan Phép biến đổi Smith – McMilan trình bày sau đây cho phép thiết kế các bộ điều khiển nhằm biến đổi mọi ma trận truyền đạt S (s) của đối tượng, không cần phải vuông, tức là không cần phải có giả thiết đối tượng có số tín hiệu vào bằng số các tín hiệu ra, về được dạng: 1( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 m G s G s G s                     hoặc 1 ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0m G s G s G s            Điều đó nói rằng mọi hệ thống MIMO đều có thể tách được kênh. Phép biến đổi Smith – McMilan dựa vào việc thay đổi các dòng hay cột của ma trận bằng những dòng, cột mới tương đương (phép biến đổi tương đương) §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 2: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh trong miÒn tÇn sè vµ nh•îc ®iÓm cña nã Page: 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 2 ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH TRONG MIỀN TẦN SỐ VÀ NHƯỢC ĐIỂM CỦA NÓ 2.1. Mô hình ma trận hàm truyền Phép biến đổi Smith – McMilan trình bày sau đây cho phép thiết kế các bộ điều khiển nhằm biến đổi mọi ma trận truyền đạt S (s) của đối tượng, không cần phải vuông, tức là không cần phải có giả thiết đối tượng có số tín hiệu vào bằng số các tín hiệu ra, về được dạng: 1( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 m G s G s G s                     hoặc 1 ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0m G s G s G s            Điều đó nói rằng mọi hệ thống MIMO đều có thể tách được kênh. Phép biến đổi Smith – McMilan dựa vào việc thay đổi các dòng hay cột của ma trận bằng những dòng, cột mới tương đương (phép biến đổi tương đương). Chúng bao gồm: - Hoán đổi vị trí véctơ hàng thứ i với hàng thứ k của S (s). Việc này tương ứng phép nhân Iik với S (s), trong đó Iik là ma trận không suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi đổi chỗ hai hàng thứ i và k (hoặc hai cột). Ví dụ: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 2: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh trong miÒn tÇn sè vµ nh•îc ®iÓm cña nã Page: 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 1 2 5 3 325 4 4 5 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 t t t t t tI S s t t t t                                          - Hoán đổi vị trí véctơ cột thứ i với cột thứ k của S (s). Việc này tương ứng phép nhân S (s) với Iik, trong đó Iik là ma trận không suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi đổi chỗ hai hàng thứ i và thứ k (hoặc hai cột). Ví dụ: 1 2 3 4 5 1 5 3 4 2 25 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 t t t t t t t t t t S s I                           - Hàng thứ i được cộng thêm với tích của c và hàng thứ k trong S (s). Việc này tương ứng phép nhân Cik với S (s), trong đó Cik là ma trận không suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi thay phần tử 0 thứ ik bằng phần tử c. Ví dụ: 1 1 2 2 4 3 324 4 4 5 5 1 0 0 0 0 .0 1 0 0 ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 t t t t c tc t tC S s t t t t                                          - Cột thứ k được cộng thêm với tích của c và cột thứ i trong S (s). Việc này tương ứng phép nhân S (s) với Cik, trong đó Cik là ma trận vuông không §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 2: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh trong miÒn tÇn sè vµ nh•îc ®iÓm cña nã Page: 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi thay phần tử 0 thứ ik bằng phần tử c. Ví dụ: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 2 5 24 1 0 0 0 0 0 1 0 0 . ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 c t t t t t t t t t c t t S s C                            Phép biến đổi Smith – McMilan được tóm tắt như sau: 1. Viết lại S (s) thành 1 ( ) ( ) P s d s trong đó d (s) là đa thức bội số chung nhỏ nhất của tất cả các đa thức mẫu số có trong các phần tử của S (s) và P (s) là ma trận có các phần tử là đa thức. Ví dụ: 2. Sử dụng các phép biến đổi tương đương đã nói ở trên để đưa P (s) về dạng “đường chéo” bằng cách đưa dần các phần tử không nằm trên đường chéo về 0 thông qua việc cộng trừ hàng và cột. Điều này đã được Smith – McMillan chuyển thành những bước của thuật toán sau: d(s ) P(s) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 3 2 1 1 4 2 8 1 ( ) 4 2 8 3 2 3 2 3 2 4 2 8 2 2 4 1 1 s s s s s s s s S s s s s s s s s s s s s s s s s s                                             §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 2: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh trong miÒn tÇn sè vµ nh•îc ®iÓm cña nã Page: 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên a. Đặt d0(s) = 1. b. Chọn d1(s) là ước số chung lớn nhất của tất cả các phần tử của P (s). Ví dụ: d1(s) = ƯSCLN {1, -1, s 2 + s - 4, 2s 2 - s – 4, s2 – 4, 2s2 – 8} = 1 c. Chọn dk(s) là ước số chung lớn nhất của tất cả các phần tử là định thức ma trận vuông kxk lấy từ P (s). Ví dụ: d2(s)= ƯSCLN { 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 2 8 det , , 4 2 8 4 2 8 4 2 8 s s s s s s s s s s s s                            } = ƯSCLN { 2 2 23 2 4,3 4, ( 4)s s s s s    }=(s+2)(s-2) d. Ma trận “đường chéo” G (s) tương đương với S (s) sẽ có các phần tử Gk(s) là: Gk(s) = 1 ( )1 . ( ) ( ) k k d s d s d s Ví dụ: 2 1 0 ( 1)( 2) 1 0 1 2 ( ) 0 ( 2)( 2) 0 3 2 1 0 0 0 0 s s s G s s s s s s                                §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 2: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh trong miÒn tÇn sè vµ nh•îc ®iÓm cña nã Page: 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Như vậy phép biến đổi Smith – McMillan không cần có giả thiết S (s) phải là ma trận vuông và có E không suy biến. Ma trận G (s) được tạo thành là tương đương với S (s) theo nghĩa: G(s) = ST(s)S(s)SP(s) Trong đó ST(s) và SP(s) là những ma trận không suy biến (với phần lớn các giá trị s), được sinh ra từ những phép biến đổi hàng cột của S (s). Chúng chính là hai bộ điều khiển tách kênh đối tượng S (s) như mô tả ở hình vẽ trên. ( )PS s ( )TS s ( )S s G(s) H×nh 2.1:ThiÕt kÕ bé ®iÒu khiÓn t¸ch kªnh theo Smith - McMillan §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 2: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh trong miÒn tÇn sè vµ nh•îc ®iÓm cña nã Page: 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2.2. Đánh giá sự tương tác các kênh Tương tác được hiểu là tác động qua lại hoặc ảnh hưởng lẫn nhau giữa các đối tượng tham gia tương tác. Trong hệ MIMO, sự tương tác được thể hiện qua sự thay đổi của một biến sẽ ảnh hưởng tới các biến còn lại với các mức độ khác nhau. Giữa hai biến xi và xj trong hệ thống có thể có các quan hệ: tương tác 2 chiều (sự thay đổi của bất kỳ biến nào cũng sẽ ảnh hưởng tới biến còn lại); tương tác 1 chiều, chẳng hạn từ xi sang xj (chỉ sự thay đổi của xi mới ảnh hưởng tới xj còn thay đổi xj không ảnh hưởng tới xi ); hoặc giữa 2 biến không có tương tác. Mức độ tương tác giữa các biến được thể hiện qua hệ số tương tác. Hệ số tương tác tĩnh giữa biến vào ui và biến ra yj ký hiệu là ji được định nghĩa là tỷ số giữa hệ số khuếch đại vòng hở (khi chưa có điều khiển) và hệ số khuếch đại vòng kín (khi đã có điều khiển). Khi ji = 1: yj chỉ phụ thuộc vào riêng ui, ji = 0 : giữa ui và yj k