Đề tài Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 1 ~ Lời dẫn ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ rong chương trình sách giáo khoa lớp 10, chúng ta cũng đã được giới thiệu khá đầy đủ về định nghĩa và các công thức biến đổi lượng giác. Nay lên lớp 11, chúng ta vẫn tiếp tục học về lượng giác nhưng đã được nâng cao hơn và mở rộng hơn. Tuy nhiên trong thực tế, ít ai có thể biết hết các ứng dụng của lương giác. Hôm nay tôi xin giới thiệu cho các bạn về một ứng dụng khá hay và hữu ích của lượng giác trong giải toán; đó là phương pháp: “Dùng lượng giác để giải các bài toán Đại số” Phương pháp lượng giác hóa có thể áp dụng để giải nhiều dạng toán đại số và giải tích khác nhau như: giải phương trình, hệ phương trình, tìm miền giá trị của hàm số chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất của hàm số hoặc các biểu thức đại số… Do thời lượng có hạn nên cuốn đề tài chỉ có thể đề cập đến một số vấn đề cơ bản của phương pháp lượng giác hóa. Cuốn đề tài được chia làm các phần:  Phần 1 Cách giải: phần này cung cấp cho bạn đọc cách giải chung nhất của phương pháp cho bạn đọc.  Phần 2 Một số dạng thường gặp: phần này bao gồm các dạng bài toán có thể áp dụng phương pháp lượng giác hóa, dấu hiệu nhận biết của từng dạng và một số ví dụ cụ thể cho các dạng…  Phần 3 Bài tập đề xuất: bao gồm một số ví dụ khác dành cho bạn đọc tự giải để có thể nắm vững được phương pháp này. Với bản chất “mềm dẻo” của kiến thức, phương pháp lượng giác hóa sẽ đem lại cho bạn một lời giải “đẹp”, ngắn gọn, sáng tạo và không kếm tính bất ngờ, không những thế còn gây được nhiều hứng thú cho người đọc. Tuy đã cố gắng rất nhiều để làm cuốn đề tài này, nhưng trong quá trình biên tập cuốn đề tài còn nhiều thiếu sót, mong được sự thông cảm và ý kiến đóng góp của bạn đọc để cuốn đề tài ngày càng được hoàn thiện hơn. Thân ái _Cấn Duy Cát_ T Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 2 ~ Lượng giác hóa các bài toán đại số 1. Cách giải Lượng giác hóa là một phương pháp khá rộng. Với mỗi bài toán lại có một nét riêng biệt, không bài nào giống bài nào nên không thể có cách giải nào là hiệu quả với toàn bộ các bài toán. Tuy nhiên ta có thể khái quát nội dung của phương pháp sử dụng hàm số lượng giác để giải bài toán đại số là tìm cách đổi biến lượng giác phù hợp với các yêu cầu và giả thiết của bài toán để đưa một đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình đại số hay hàm số đại số phức tạp về một biểu thức lượng giác tương đối đơn giản và từ đó sử dụng các công thức biến đổi lượng giác quen thuộc để tìm ra lời giải cho bài toán Bước 1: Chọn một hoặc nhiều hàm số lượng giác phù hợp để thay biến của bài toán bằng các giá trị lượng giác đó. Việc chọn biến lượng giác để thay đổi cho biến cũ thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến trong bài toán và sự nắm bắt các dấu hiệu đó thông qua miền giá trị và hình thức các công thức lượng giác thông dụng. Chẳng hạn - Đặt x = sin α hoặc x = cos α; khi x ϵ [ -1;1] . - Đặt x = tan α hoặc x = cot α; khi x ϵ R. - Khi nhận thấy các biến tạo thành một công thức lượng giác ta cũng có thể chọn hàm số lượng giác tương ứng để có thể áp dụng được những công thức lượng giác đó. Bước 2: Sau khi đã chọn được các hàm số lượng giác phù hợp với bài toán thì ta thay biến cũ bằng hàm số lượng giác vừa chọn được một bài toán mới với ẩn là các hàm số lượng giác. Giải bài toán mới bằng cách sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã học. Trước khi thay các hàm số lượng giác vào, chúng ta có thể biến đổi chúng nếu bài toán quá “cồng kềnh”. Bước 3: Cuối cùng, ta thực hiện bước trả lại biến (với những bài giải phương trình, bất phương trình) rồi kết luận bài toán. Khi kết luận chúng ta cần lưu ý đề bài hỏi gì để tránh kết luận nhầm hay sai theo bài toán mới khi đã thay các hàm số lượng giác Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 3 ~ 2. Một số dạng thường gặp a. Dạng 1 | | [ [ ] [ ] Đặc biệt: m = 1 thì đặt x = sin α hoặc x = cos α Dạng này thường gặp ở những bài toán cho trước điều kiện của biến hoặc sau khi giải những điều kiện xác định của bài toán ta có được điều kiện trên. Thường là điều kiện của căn thức có nghĩa, chẳng hạn √ Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu |x| 1 ta có: (1 + x) n + (1 – x) n < 2n (1) Giải Vì |x| < 1 nên có thể đặt x = cos α với α ϵ (0; π) và bất đẳng thức (1) được viết thành: (1 + cos α) n + (1 – cos α) n < 2n (2) { ⇔ { ( ) { | | | | ⇔ ⇒ ( ) ( ) Vậy bất đẳng thức (2) cũng như bất đẳng thức (1) được chứng minh Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 4 ~ Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi giá trị a, b thuộc tập giá trị, ta có: | √ √ √ [ √ ]| Giải { ⇔ { ⇔ { | | | | { [ ] | √ √ √ [ √ ]| ⇔ | √ √ √ ( √ )| ⇔ | √ | ⇔ | √ | ⇔ | √ | ⇔ | | ⇔ | ( )| | √ √ √ [ √ ]| Ví dụ 3: Chứng minh rằng: Với mọi giá trị a thuộc tập giá trị, ta có: | [ √ ] ( √ )| √ Giải ĐK: 1 a2 ≥ 0 ⟹ |a| ≤ 1 Đặt a = cos α, với α ϵ [0; π] Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng: Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 5 ~ | [ √ ] ( √ )| √ ⇔ | [ √ ] ( √ )| √ ⇔ | | √ ⇔ | | √ ⇔ | | √ ⇔ | √ √ | ⇔ | | ⇔ | ( )| | [ √ ] ( √ )| √ Ví dụ 4: Giải bất phương trình: √ √ Giải { ⇔ Đặt x = cos α, α ϵ [0;π] Khi đó bất phương trình đã cho trở thành √ √ ⇔ √ √ ⇔ √ √ ⇔ √ ( ) ( ) ( ) ⇔ ( ) ( √ ) ⇔ ( √ √ ) ( √ √ ) ⇔ ( √ √ ) ( √ √ ) Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 6 ~ ⇔ ( ) [ ( ) ] ⇔ ( ) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ [ ] Ví dụ 5: Giải phương trình: √ √ ( √ ) Giải ĐK: 1 x2 ≥ 0 ⟹ |x| ≤ 1 [ ] √ √ ( √ ) ⇔√ √ ( √ ) ⇔√ ⇔√ ⇔√ ⇔√ ⇔ √ ( ) ⇔ [ √ ⇔ [ ⇔ [ [ ] ⇔[ ⇔ [ Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 7 ~ b. Dạng 2 { Đặc biệt: m = 1 thì đặt x = sin α và x = cos α với α Dạng này cũng thường gặp ở những bài chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hay giải hệ phương trình cho điều kiện của biến là x2 + y2 =1 hoặc trong khi giải bài toán nhận thấy có 2 nghiệm hay 2 “cụm” nghiệm có tổng bình phương bằng 1. √ √ Ta có thể xét một số ví dụ Ví dụ 1: Cho và . Chứng minh: | | | | Giải { a. Ta có: | | | | | | b. Ta có: | | | | | | c. Ta có: Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 8 ~ ⇔ ⇔ d. Ta có: ⇔ ⇔ Ví dụ 2: Cho Chứng minh rằng: | | Giải ⇒ √ ( √ √ ) √ ( ) Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 9 ~ | ( )| ⇔ |√ ( )| √ ⇔ | | √ Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện a , b > c >0 thì ta có bất đẳng thức: √ √ √ Giải ⟹ √ √ √ ⇔ √ √ √ √ (√ ) (√ ) { √ √ (√ ) (√ ) { √ √ √ √ √ √ ⇔ Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 10 ~ c. Dạng 3 | | [ ] { } [ ] { } Ta thường gặp kiểu bài ở những bài toán cho trước điều kiện là | | hoặc sau khi giải những điều kiện xác định của bài toán ta có được điều kiện trên. Thường thì khi giải những điều kiện của căn ta sẽ có được điều kiện trên. Chẳng hạn √ Với dạng này ta có một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với mọi giá trị a thuộc tập giá trị, ta có: √ √ | | Giải Điều kiện: a2 – 1 ≥ 0 ⟹ |a| ≥ 1 | | [ ) Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng: √ √ ⇔√ √ ⇔ √ Nhận thấy cos α = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta có: √ ⇔ √ ⇔ ( ) Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 11 ~ Ví dụ 2: Giải phương trình √ √ Giải ⇔ | | ⇔ ( √ ) √ ( ) Khi đó phương trình có dạng: √ √ ⇔ √ ⇔ √ ⇔ √ ( √ ) Khi đó phương trình được đưa về dạng: √ ⇔ √ √ ⇔ [ √ √ √ ⇔ √ ⇔ √ √ ⇔ ( ) ⇔ ⇔ ⇔ √ √ Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 12 ~ d. Dạng 4 Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện của biến số và có √ hì đặt: ( ) ( ) Khi đó biểu thức trên có dạng [ √ √ | | | | √ √ | | | | Chú ý: do các biến đổi trên rất đơn giản và thường gặp trong khi biến đổi các biểu thức lượng giác nên trong khi giải ta có thể sử dụng được ngay để tránh những biến đổi quá đơn giản không cần thiết. Ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta đều có: | | √ √ | | √ √ | | √ √ Giải ( ) | | √ √ | | √ √ | | | | | | | | { | | √ √ | | | | √ √ | | Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 13 ~ Như vậy ta cần chứng minh: | | | | | | ( ) | | | | | | | | | || | | || | | | | | | | | | | | | | | | Vậy bất đẳng thức được chứng minh Ví dụ 2: Với a ≠ 0 giải bất phương trình √ √ Giải | | ( ) | | | | | | | | ( ) | | | | | | | | | | | | ⇔ ⇔ ⇔ ( ) } ⇔ ( ) ⇔ [ √ )⇔ √ ⇔ | | √ | | √ Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 14 ~ e. Dạng 5 (một số dạng khác) Trong khi giải bài tập không phải khi nào ta cũng gặp các dạng trên. Do số lượng các công thức lượng giác là rất nhiều nên khi giải các bài tập ta cúng phải linh hoạt trong việc sử dụng các công thức ấy để chọn các hàm số lượng giác cho phù hợp. Chẳng hạn:  Với hàm số sinα : ( ) ( ) ( ) ( )  Với hàm số cosα: √ √ | |  Với hàm số tanα: Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 15 ~  Khi đề bài cho x + y + z = xyz thì: { Chứng minh: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  Khi đề bài cho xy + yz + zx = 1 thì: { Chứng minh: ⇔ ( ) ⇔ ( ) ⇔ ( ) ⇔ ( ) ( ) Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 16 ~ ⇔ ⇔ ⇔ Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Giải Ta xét các trường hợp sau: TH1: Với x ≥ 1 ⟹ VT(1) > 1, do đó phương trình vô nghiệm . TH2: Với x ≤ 1 ⟹ VT(1) < 0, do đó phương trình vô nghiệm . | | Khi đó phương trình được chuyển về dạng : ⇔ Nhận thấy sin α = 0 không là nghiệm của phương trình vì VT = 8 ≠ 1 nên ta có ⇔ ⇔ ⇔ [ ⇔ [ | | { } Vậy phương trình có các nghiệm { } Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 17 ~ Ví dụ 2: Cho các số thực a, b, c sao cho (ab+1)(bc+1)(ca+1) ≠ 0. Chứng minh rằng: Giải Đặt a = tan α; b = tan β; c = tan γ, Khi đó: ⇔ Vậy đẳng thức được chứng minh Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: { Giải { ( ) { } { ⇔ { ⇔{ ( ) Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 18 ~ { ⇔ { ⇔ ⇔ Điều này chỉ xảy ra trong các trường hợp: [ { { { ⇔ { { { Vậy hệ phương trình có các nghiệm { √ √ { { √ √ Ví dụ 4: cho x + y + z = xyz khác √ . Chứng minh rằng: Giải ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 19 ~ Ví dụ 5: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng: Giải ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Chia cả 2 vế cho cos α cos β cos γ ≠ 0 được (giản ước 2 ở hai vế) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Đẳng thức được chứng minh Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 20 ~ f. Dạng 6 Phương pháp lượng giác hóa đại số không chỉ có thể áp dụng trong chứng minh bất đẳng thức, đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình… mà còn được áp dụng trong việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số đại số thuần túy. Ví dụ Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: Giải √ ( ) ( ) ⇔ ( √ ) √ Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 21 ~ Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: Giải Nếu y = 0 thì f(x,y) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ) √ √ √ √ √ √ Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 22 ~ 3. Bài tập đề xuất Và như thế, câu chuyện của chúng ta về phương pháp dùng lượng giác để giải các bài toán đại số đã đi đến hồi kết. Trong trường hợp nào thì phương pháp đạt hiệu quả, trong trường hợp nào không? Câu trả lời cho câu hỏi này chỉ có thể là kinh nghiệm cá nhân của bạn, được làm giàu bằng cách giải các bài toán. Để kết thúc đề tài này tôi xin đề xuất một số bài tập, có thể coi là “vốn ban đầu” của các bạn. Bài 1: Cho x 2 + y 2 = 1. Chứng minh rằng: Bài 2: Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: Bài 3: Cho x, y thỏa mãn 2x + 5y = 7. Chứng minh rằng: Bài 4: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và x, y thỏa mãn ax + by =c. Chứng minh rằng: Bài 5: Cho 4x 2 + 9y 2 = 25. Chứng minh rằng: | | Bài 6: Cho x 2 + y 2 = 1. Chứng minh rằng: | | √ Bài 7: Giải phương trình: √ √ [√ √ ] √ Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 23 ~ Bài 8: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng: √ Bài 9: Cho |a| ≥ 1. Chứng minh rằng: √ √ Bài 10: Chứng minh rằng: √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Bài 11: Cho xyz = x + y + z với xy + yz + zx ≠ 3. Chứng minh rằng: Bài 12: Cho 0 ≤ x ≤ 1. Chứng minh rằng: √ √ √ √ √ Bài 13: Giải phương trình: √ √ ( √ √ ) √ √ √ √ Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 24 ~ √ √ √ Bài 14: Giải hệ phương trình: { { { { { ( ) ( ) ( ) { Bài 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số: | [ √ ] ( √ )| Hêt Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 ~ 25 ~ Nhận xét của giáo viên Điểm Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về hòm thư điện tử: Email: ninjameo9x@gmail.com Hoặc số điện thoại: 01689.246.219 Xin chân thành cảm ơn!