Đề tài Môđun đối đồng điều địa phương và một số phạm trù con serre
Trong suốt luận văn này luôn giả thiết R là một vành giao hoán, Noether, có đơn vị. Cho I là iđêan của R. Mặc dù đã có nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương H i I (M ) của một R-môđun M ứng với giá I , nhưng cho đến nay người ta vẫn biết rất ít thông tin về môđun này. Ngay cả khi M là hữu hạn sinh, môđun đối đồng điều địa phương vẫn không nhất thiết là hữu hạn sinh và cũng không nhất thiết là Artin. Thậm chí người ta còn không biết khi nào thì môđun này triệt tiêu, trừ một số trường hợp đặc biệt được chỉ ra. Mặt khác, các tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương như tính triệt tiêu, tính hữu hạn sinh, tính Artin, tính chất hữu hạn của giá lại được quan tâm đặc biệt vì những ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực của toán học như Đại số Giao hoán, Hình học Đại số, Đại số Tổ hợp. Chẳng hạn, chiều và độ sâu của một môđun hữu hạn sinh M là những bất biến quan trọng của M đều được đặc trưng qua tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau: Độ sâu depth(I;M ) của M trong iđêan I là cấp i bé nhất sao cho H i I (M ) = 0; Khi (R; m) là vành địa phương thì chiều dim M của M là cấp i lớn nhất để H i m (M ) 6 = 0: Vì lí do đó, người ta đặt ra những câu hỏi: Khi nào thì môđun đối đồng điều triệt tiêu? Môđun này hữu hạn sinh ở những cấp nào? Tìm điều kiện để nó là môđun Artin. Khi nào nó có giá hữu hạn?. Các câu hỏi này đã được trả lời bộ phận bởi nhiều nhà toán học cho trường hợp M là hữu hạn sinh. G. Faltings 1978 đã chỉ ra rằng cấp r bé nhất để H r I (M ) không hữu hạn sinh là minfdepth(Mp ) + ht((I + p)=p) : p 6 I g: L. Melkersson 1995 trình bày một kết quả tương tự như của Faltings, S? húa b?i Trung tõm H?c li?u – é?i h?c Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 4 trong đó tính hữu hạn sinh được thay bằng tính Artin. Ông chỉ ra rằng cấp n bé nhất để H n I (M ) không Artin là số depth(IR p;M p ) bé nhất với p 2 Supp(M=IM ) n fmg: Sau đó L :: u - Tang 2002 đã chứng minh cấp n này chính là độ sâu lọc f-depth(I;M ) của M trong I . Tiếp theo, Lê Thanh Nhàn 2005 đã định nghĩa khái niệm độ sâu suy rộng của M trong I , kí hiệu là gdepth(I;M ), và chỉ ra rằng gdepth(I;M ) chính là cấp n bé nhất để Supp H n I (M ) vô hạn (xem Chương II). Năm 2008, bằng việc sử dụng khái niệm ``phạm trù con Serre của phạm trù các R-môđun", M. Aghapournahr và L. Melkersson đã nghiên cứu một cách có hệ thống các tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương. Chú ý rằng lớp gồm một môđun 0, lớp các môđun hữu hạn sinh, lớp các môđun Artin, lớp các môđun có giá hữu hạn,. đều tạo thành những phạm trù con Serre. Vì thế các câu hỏi nêu ở phần trên có thể quy về một câu hỏi tổng quát: Với S là một phạm trù con Serre cho trước, khi nào H i I (M ) 2 S ? Kết quả mà họ đạt được trong bài báo này là đặc trưng cấp n bé nhất để H n I (M ) = 2 S với S là một phạm trù con Serre và M là R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh), đồng thời giới thiệu các khái niệm S -dãy, S -độ sâu và đặc trưng S -độ sâu như một sự tổng quát hóa của các đặc trưng đã biết về độ sâu, độ sâu lọc, độ sâu suy rộng . Năm 2008, bằng việc sử dụng khái niệm ``phạm trù con Serre của phạm trù các R-môđun", M. Aghapournahr và L. Melkersson đã nghiên cứu một cách có hệ thống các tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương. Chú ý rằng lớp gồm một môđun 0, lớp các môđun hữu hạn sinh, lớp các môđun Artin, lớp các môđun có giá hữu hạn,. đều tạo thành những phạm trù con Serre. Vì thế các câu hỏi nêu ở phần trên có thể quy về một câu hỏi tổng quát: Với S là một phạm trù con Serre cho trước, khi nào H i I (M ) 2 S ? Kết quả mà họ đạt được trong bài báo này là đặc trưng S? húa b?i Trung tõm H?c li?u – é?i h?c Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 5 cấp n bé nhất để H n I (M ) = 2 S với S là một phạm trù con Serre và M là R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh), đồng thời giới thiệu các khái niệm S -dãy, S -độ sâu và đặc trưng S -độ sâu như một sự tổng quát hóa của các đặc trưng đã biết về độ sâu, độ sâu lọc, độ sâu suy rộng . Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả trên củaAghapour-nahr - Melkersson trong bài báo Local cohomology modules and Serre subcategories, Journal of Algebra (2008).
