Đề tài Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS . NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI Thái Nguyên- 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên- 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỤC LỤC Trang Mở đầu.............................................................................................................. ...1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị...........................................................................5 1.1. Miền xấp xỉ.....................................................................................5 1.2. Tập đa cực.......................................................................................9 1.3. Hàm cực trị tương đối.....................................................................9 1.4. Độ đo đa điều hoà dưới.................................................................10 1.5. Ánh xạ chỉnh hình tách.................................................................11 1.6. Tính chất thác triển Hartogs..........................................................14 1.7. Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa chỉnh hình......................................................................................15 Chương 2. Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến.....................................................................................................................17 2.1. Dạng tổng quát của định lý Alehyane - Zeriehi trong trường hợp , A D B G ................................................................................17 2.2 Bài toán 1 trong trường hợp ,   A D B G .............................23 2.3. Bài toán 1 trong trường hợp tổng quát..........................................36 2.4. Bài toán 2......................................................................................51 2.5. Một số áp dụng............................................................................ 55 Kết luận .............................................................................................................58 Tài liệu tham khảo............................................................................................59 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỞ ĐẦU Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Những kết quả cơ bản trong lĩnh vực này gắn liền với các tên tuổi như Riemann, Hartogs, Oka, Bernstein ... Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó. Trong đó có hai bài toán cơ bản sau: Bài toán 1: Cho ,X Y là hai đa tạp phức, giả sử D ( tương ứng G ) là một tập con mở của X (tương ứng Y ), A (tương ứng B ) là một tập con của D (tương ứng G ) và Z là không gian giải tích phức. Ta định nghĩa chữ thập như sau: : (( ) ) ( ( )).  W D A B A G BÈ È È Bao chỉnh hình của chữ thập W là một tập con mở ''tối ưu'' của X Y ký hiệu là W được đặc trưng bởi các tính chất sau: Với mỗi ánh xạ : f W Z thoả mãn ( , ) ( , ) ( , ), , ( , ) ( , ) ( , ), ,   f a G B Z G Z a A f b D A Z D Z b B Î È Ç Î Î È Ç Î C O C O thì tồn tại một ánh xạ  ( , )f W ZÎ O sao cho với mọi ( ) ,WÎz,h ( , )f z w dần tới ( , )f z h khi ( , )z w WÎ dần tới ( )z,h . Trước khi nói đến bài toán thứ hai ta đưa ra một vài thuật ngữ và ký hiệu sau: Cho , , , , ,X Y D G A B và Z và W như trong bài toán 1.Giả sử ,M W tập hợp  : : ( , ) , ,aM w G a w M a AÎ Î Î được gọi là thớ thẳng đứng của M trên a (tương ứng  : : ( , ) , ,bM z D z b M b BÎ Î Î được gọi là thớ nằm ngang của M trên b ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 Ta nói rằng M có tính chất nào đó trong các thớ trên A (tương ứng B ) nếu tất cả các thớ thẳng đứng , ,aM a AÎ (tương ứng tất cả các thớ nằm ngang , ,bM b BÎ ) có tính chất này. Bài toán 2: Với giả thiết ở trên và ký hiệu W là bao chỉnh hình của W được đưa ra trong bài toán 1 .Với mỗi tập con M W đa cực địa phương đóng tương đối(tương ứng mỏng) trong các thớ trên A và B (có thể M Æ ) thì tồn tại một tập"tối ưu" các điểm kỳ dị  M W là đa cực địa phương đóng tương đối (tương ứng là tập giải tích đóng tương đối) được đặc trưng bởi các tính chất sau. Với mọi ánh xạ : f W Z thoả mãn ( , ) (( ) , ) ( , ), , ( , ) (( ) , ) ( , ), ,   a a b b f a G B \ M Z G \ M Z a A f b D A \ Z D \ Z b B Î È Ç Î Î È Ç Î C O C thì tồn tại ánh xạ   ( \ , )f W M ZÎ O sao cho với mọi ( ) ,W \ MÎz,h ( )f z w dần tới ( , )f z h khi  ( , ) \z w W MÎ dần tới ( )z,h . Có rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu giải quyết hai bài toán trên trong một số trường hợp cụ thể. Kết quả chủ yếu đầu tiên của chỉnh hình tách là định lý thác triển Hartogs đối với các hàm chỉnh hình tách (xem [9]) giải quyết bài toán 1 trong trường hợp , , , ,       n mX Y A D B G Z và kết quả là   W D G . Sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak đã giải quyết bài toán 1 trong trường hợp , , ,      A D B G X Y Z . Các bước nghiên cứu tiếp theo được bắt đầu bởi Zahariuta vào năm 1976 sau đó là Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi. Shiffman là người đầu tiên tổng quát hoá một số kết quả của Siciak đối với các ánh xạ chỉnh hình tách với giá trị trong không gian giải tích phức (xem [33]). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 Vào năm 2001 Alehyane và Zeriahi đã giải quyết bài toán 1 trong trường hợp ,  A D B G và ,X Y là các đa tạp Stein, Z là không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Bao chỉnh hình W được cho bởi    : ( , ) ) : ( , , ) ( , , ) 1  W z w D G z A D w B GÎ <w w , trong đó ( , , ) A Dw và ( , , ) B Gw là các hàm độ đo đa điều hoà dưới. Bài toán 2 được bắt đầu với một bài báo của Oktem năm 1998 (xem [24, 26]). Trong công trình gần đây của mình Henkin và Shananin đã đưa ra một vài áp dụng kết quả của Bernstein trong lý thuyết chỉnh hình tách mà cụ thể là đối với bài toán 2. Đó là kết quả chung nhất trong hướng nghiên cứu này. Nguyễn Việt Anh đã tổng quát hoá các kết quả nghiên cứu xung quanh hai bài toán 1 và bài toán 2 trong trường hợp ,X Y là các đa tạp tuỳ ý. Chủ yếu tác giả sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa, định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình và định lý Alehyane - Zeriehi. Ngoài ra, tác giả đã vận dụng một kỹ thuật quan trọng khác là sử dụng các tập mức của độ đo đa điều hoà dưới, định lý chữ thập hỗn hợp. Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại, cùng những chứng minh chi tiết một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến. Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, hai chương chính, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm miền xấp xỉ, tập đa cực, hàm cực trị tương đối, độ đo đa điều hoà dưới, chữ thập và ánh xạ chỉnh hình tách, không gian phức có tính chất thác triển Hartogs. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Phần cuối chương, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan và một số vấn đề của lý thuyết đa thế vị như lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình. Chƣơng 2: Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến. Chúng tôi trình bày các định lý là các trường hợp riêng và trường hợp tổng quát của bài toán 1và bài toán 2. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô. Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em trong suốt khoá học. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Phú Bình và Tổ Toán đã hết sức quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, ta giả thiết tất cả các đa tạp phức là hữu hạn chiều và đếm được ở vô cực, tất cả các không gian giải tích phức được thu gọn, bất khả quy và đếm được ở vô cực. Với một tập con S của không gian tôpô M , ký hiệu S là bao đóng của S trong M . Với hai không gian giải tích phức (tương ứng, hai không gian tôpô) D và Z , ( , )D ZO ( tương ứng ( , )D ZC ) là ký hiệu tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình ( tương ứng, liên tục) từ D vào Z . 1.1. Miền xấp xỉ 1.1.1. Định nghĩa. Cho X là một đa tạp phức và D X là một tập con mở. Một hệ các miền xấp xỉ của D là một tập hợp , ( ( )) (     D I IA= A z a zz a z với mọi DÎz ) các tập con mở của D có các tính chất sau: (i) Với mọi DÎz , hệ ( ( )) IA za az tạo nên một cơ sở các lân cận mở của z (tức là với mỗi lân cận mở U của một điểm DÎz tồn tại Î I za sao cho ( )AÎ Uaz z ). (ii) Với mọi DÎz và za IÎ , ( )AÎ az z . ( )Aa z thường được gọi là một miền xấp xỉ tại z . Hơn nữa A được gọi là chính tắc nếu nó thoả mãn (i) và tính chất sau (mạnh hơn (ii)). (ii') Với mọi điểm Î Dz tồn tại một cơ sở gồm các lân cận mở ( ) IU za a của z trong X sao cho ( ) , .A Ç ÎU D Ia a zz a Nhiều loại hệ của các miền xấp xỉ khác nhau thường gặp trong giải tích phức sẽ được mô tả trong phần tiếp theo. Các hệ của các miền xấp xỉ của Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 D được sử dụng để giải quyết vấn đề giới hạn tại các điểm trong D của các ánh xạ xác định trên một số tập con mở của D . Hơn nữa từ định nghĩa 1.1.1 suy ra rằng trong một vài trường hợp đặc biệt họ con ,( ( ))  D IA za z az không phụ thuộc vào việc chọn hệ các miền xấp xỉ A . Vì vậy hai hệ chính tắc của các miền xấp xỉ bất kỳ là tương đương, ta có quy ước như sau: Với mỗi tập mở D X chúng ta cố định một hệ chính tắc của các miền xấp xỉ. Khi đó muốn xác định một hệ các miền xấp xỉ A của một tập mở D X ta chỉ cần chỉ rõ họ con ,( ( ))  D IA za z az . Nếu ta cố định một tập con mở D X và một hệ các miền xấp xỉ , ( ( ))    D I A= A z a z a z của D thì với mỗi hàm  : ,  u D định nghĩa , ( ), ( limsup )( ) : sup limsup ( ) , I     z w z w z u z u w z D A A Î aa Từ định nghĩa 1.1.1(i), ( limsup ) DuA | trùng với khái niệm hàm chính quy hoá nửa liên tục trên thông thường của .u 1.1. 2. Một số hệ các miền xấp xỉ Có rất nhiều hệ các miền xấp xỉ có ứng dụng trong giải tích phức. Trong phần này chúng ta sẽ giới thiệu một số các hệ đó. 1.1.2.1. Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ được đưa ra trong định nghĩa 1.1.1 (i)-(ii'). 1.1.2.2. Hệ các miền xấp xỉ góc với đĩa đơn vị mở Cho E là một đĩa đơn vị mở của  . Đặt ( ) : : arg , ,0 , 2             t t E EA Î < Î < <a z z a z a z Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 Trong đó ( , ]  C arg : là hàm argument thông thường. ,0 2 ( ( ))   a z a z E < < A là hệ các miền xấp xỉ góc( hoặc Stolz) của E . Trong trường hợp này A -giới hạn cũng được gọi là giới hạn góc. 1.1.2.3. Hệ các miền xấp xỉ góc của các tập con mở "tốt" của các diện Riemann. Chúng ta sẽ khái quát việc xây dựng (cho đĩa đơn vị mở) trong trường hợp tổng quát. Đặc biệt hơn, chúng ta sẽ sử dụng mô hình có tính địa phương hệ các miền xấp xỉ góc của E . Cho X là một đa tạp phức của chiều 1( trong các phát biểu khác X là diện Riemann) và D X là một tập mở, khi đó D được gọi là tốt tại một điểm Dz Î nếu tồn tại một miền Jordan U X sao cho Î Uz và U DÇ là phần trong của một cung Jordan. Giả sử D được gọi là tốt tại z , điểm này được gọi là kiểu 1 nếu tồn tại một lân cận V của z sao cho 0 V V DÇ là một miền Jordan. Nếu không tồn tại lân cận V như vậy thì z được gọi là kiểu 2. Dễ dàng nhận thấy nếu z là kiểu 2 thì tồn tại một lân cận mở V của z và hai miền Jordan rời nhau 1 2,V V sao cho 1 2V D V VÇ È . Hơn nữa D được gọi là tốt trên một tập con A của D nếu D là tốt tại tất cả các điểm của A . Sau đây là một ví dụ đơn giản mà có thể minh hoạ cho định nghĩa trên. Cho G là hình vuông mở trong  với các đỉnh là 1 , 1 , 1 ,    i i i 1 i . Định nghĩa miền 1 1 : , 2 2        D G \ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 Khi đó D là tốt trên 1 1 , 2 2        G È , tất cả các điểm của G là kiểu 1 và tất cả các điểm của 1 1 , 2 2       là kiểu 2. Giả sử D là tốt trên một tập con khác rỗng A của D . Ta định nghĩa hệ các miền xấp xỉ góc giá trên A : , ( ( ))    z a z a z D I A A như sau: • Nếu Î D Az \ thì ( ( ))  za az IA trùng với các miền xấp xỉ chính tắc. • Nếu Î Az thì bằng cách sử dụng ánh xạ bảo giác  từ 0V (tương ứng 1 2,V V ) tới E khi z là kiểu 1(tương ứng kiểu 2), ta có thể ''chuyển" các miền xấp xỉ góc tại điểm 0 2 ( ) : ( ( ( )))   A < < Î E a a z z tới điểm Î Dz (xem [28]). Bằng cách sử dụng các ánh xạ bảo giác theo con đường cổ điển ta có thể chuyển nhiều khái niệm tồn tại trên E (tương ứng E ) tới D (tương ứng D ). 1.1.2.4. Hệ các miền xấp xỉ nón Cho   nD là một miền và A D . Giả sử với mọi điểm Î Az thì tồn tại không gian tiếp xúc (thực) Tz của D tại z . Ta định nghĩa hệ các miền xấp xỉ nón giá trên A : , ( ( ))    z a z a z D I A A như sau: • Nếu D \ AÎz thì ( ( ))  za az IA trùng với các miền xấp xỉ chính tắc. • Nếu Î Az thì  ( ) : : . ( , ) ,T z D z zA distÎ <a zz z a trong đó : (1, ) I z và ( , )Tz zdist là ký hiệu khoảng cách Euclid từ điểm z tới Tz . Ta có thể khái quát việc xây dựng hệ các miền xấp xỉ nón giá trênA trong trường hợp tổng quát: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 X là một đa tạp phức tuỳ ý, D X là một tập mở và A D là một tập con với tính chất: tại mọi điểm Î Az thì tồn tại không gian tiếp xúc (thực) Tz của D . Ta cũng có thể xây dựng các khái niệm các điểm kiểu 1 hoặc các điểm kiểu 2 trong trường hợp tổng quát bằng cách tương tự như trong phần 1.1.2.3. 1.2. Tập đa cực Cho X là một đa tạp phức, D X là một tập con mở, ký hiệu ( )DP SH là tập của tất cả các hàm đa điều hoà dưới trên D . Khi đó + A D được gọi là mỏng trong D nếu mọi điểm a DÎ , tồn tại lân cận liên thông  aU U D và một hàm chỉnh hình f trên D không đồng nhất bằng không sao cho 1(0)U A fÇ . + A D được gọi là đa cực trong D nếu có ( )P SHÎu D sao cho u không đồng nhất bằng  trên mọi thành phần liên thông của D và  : ( )  ÎA z D u z . + A D được gọi là đa cực địa phương trong D nếu với mỗi Îz A có một lân cận mở V D của z sao cho A VÇ là đa cực trong V . + A được gọi là không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương) nếu nó không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương). Theo một kết quả cổ điển của Josefson và Bedford (xem [20] và [4]) ta thấy nếu D là một miền Riemann- Stein thì A D là đa cực địa phương nếu và chỉ nếu nó là đa cực. 1.3. Hàm cực trị tƣơng đối Với một tập A D đặt  , : sup : ( ), 1 trong , - limsup 0 trong ,  A Dh u u D u D u APSH AÎ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Định nghĩa 1.3.1. Với một tập A D hàm cực trị tương đối của A đối với D là hàm ( , , )w A D được xác định bởi ,( , , ) ( , , ) : ( limsup )( ), .   A Dz A D z A D h z z DA A Îw w Chú ý rằng khi A D định nghĩa trên trùng với định nghĩa cổ điển về hàm cực trị tương đối của Siciak. Khi D là đa tạp phức 1 chiều và A là hệ chính tắc thì hàm ( , , )w A D thường được gọi là hàm độ đo điều hoà của A tương đối với D . Định nghĩa 1.3.2. + Một tập A D là đa chính quy địa phương tại một điểm a AÎ nếu ( , , ) 0w a A U D UÇ Ç với mọi lân cận mở U của a . + Tập A được gọi là đa chính quy địa phương nếu nó là đa chính quy địa phương tại mọi điểm Îa A . Ta ký hiệu A là tập hợp sau ( ) : Ç È Î ÇA D a A D A là đa chính quy địa phương tại a . Nếu A D không đa cực địa phương thì một kết quả cổ điển của Bedford và Taylor (xem [4], [5]) chỉ ra rằng A là đa chính quy địa phương và A A\ là đa cực địa phương. Hơn nữa A là địa phương kiểu G ( nghĩa là với mỗi Îa A có một lân cận mở U D của a thoả mãn A UÇ là giao đếm được của các tập mở ). 1.4. Độ đo đa điều hoà dƣới Với một tập A D , đặt   ( ) ( )     P A A A PA trong đó ( ) ( , ) : :   A A P DA { là đa chính quy địa phương, P A } , Hàm độ đo đa điều hoà dưới của A đối với D là hàm ( , , )w A D được định nghĩa bởi : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11  ( , , ) : ( , , ), z A D z A D z DÎw w . Suy ra ( , , ) ( ) P SHÎA D Dw và 0 ( , , ) 1,   Îz A D z Dw . Hơn nữa  ( limsup ( , , ))( ) 0,   A ÎA D z z Aw . (1.1) Alehyane và Zeriahi đã đưa ra phản ví dụ chứng tỏ rằng (xem [3])  ( , , ) ( , , ) w wz A D z A D trên D . Ta sẽ so sánh hàm độ đo đa điều hoà dưới ( , , )w A D với hàm cực trị tương đối của Siciak ( , , )w A D trong hai trường hợp đặc biệt quan trọng: A D và , A D trong phần này ta chỉ thảo luận trường hợp A D còn trường hợp A D sẽ thảo luận ở phần 2.2 và 2.5. Nếu A là một tập con mở của một đa tạp phức tuỳ ý D , thì dễ thấy ( , , ) ( , , ),  Îz A D z A D z Dw w . Nếu A là một tập con (không nhất thiết là mở) của một đa tạp phức tuỳ ý D thì ta chứng minh được rằng (xem bổ đề 7.1 trong [22]) ( , , ) ( , , ),  Îz A D z A D z Dw w . Mặt khác nếu D là một tập con mở bị chặn của  n thì ta có (xem ví dụ, bổ đề 3.5.3 trong [13]) ( , , ) ( , , ),  z A D z A D z Dw w . Từ đó dưới giả thiết ( , , ) ( , , ),  Îz A D z A D z Dw w chúng ta có thể kết luận ít nhất trong trường hợp A D khái niệm độ đo đa điều hoà dưới là công cụ tốt với hàm cực trị tương đối Siciak tổng quát đối với các đa tạp phức trong lý thuyết chỉnh hình tách. 1.5. Ánh xạ chỉnh hình tách 1.5.1. Chữ thập 2- lá Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Cho ,X Y là hai đa tạp phức, D X và G Y là các tập mở khác rỗng, cho , A D B G . Hơn nữa D (tương ứng G ) được trang bị một hệ các miền xấp xỉ , ( ) ( ( ))    D I D z a z a zA A (tương ứng , ( ) ( ( ))    G I G h a h a hA A ). Ta định nghĩa chữ thập 2- lá W , phần trong W o và phần chính quy W (tương ứng với ( )DA và ( )GA ) như sau:       ( , ; , ) : (( ) ) ( ( )), ( , ; , ) : ( ) ( ), ( , ; , ) : (( ) ) ( ( )),    