Đề tài Phép biến đổi Laplace

Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Laplace” Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 1 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học. Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa giữa toán học và vật lý học. Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết. Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới. Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều hiện tượng xét một cách tổng quát nhất. Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của họ sau khi ra trường. Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 2 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứng dụng của nó trong vật lý. Đề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là một trong số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý. Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn. Vì vậy khi chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán dùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng. 2. Mục đích nghiên cứu - Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong nghiên cứu vật lý. - Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes. - Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ tọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu. 3. Đối tượng nghiên cứu - Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng. 4. Phương pháp nghiên cứu - Vật lý lý thuyết - Phương pháp giải tích toán học - Đọc tài liệu và tra cứu 5. Cấu trúc khóa luận Đề tài nghiên cứu gồm: - Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes. - Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong. - Chương 3: Bài tập Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 3 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG 1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung) Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho một trường vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có: u = f (M) = f (x, y, z) Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm này. Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của trường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng. Nếu f còn phụ thuộc cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t). Để biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mức tương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C các giá trị khác nhau ta có họ mặt mức. Ví dụ như, đối với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặt phẳng x + y + z = 1. Mặt mức đối với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2. Đối với trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 4 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh độ, ví dụ đối với trường 2 2 2 1y x y z    mặt mức u = 4 là hình cầu 2 2 2 1 4 x y z    hay 2 2 2 1 4 x y z   . Giả sử cho đường cong L và trên đường cong này ta chọn một hướng nào đó (ví dụ theo chiều mũi tên). Khi đó đường cong gọi là được định hướng (H.1.1). Giả sử M và 1M là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu S là độ dài cung 1MM , S lấy dấu + nếu điểm 1M đứng sau điểm M và lấy dấu - nếu điểm 1M đứng trước điểm M. Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo cung M 1M là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch chuyển từ M đến 1M ) và độ dài cung S , tức bằng: 1( ) ( )f M f M S   Đạo hàm theo đường cong L tại điểm 1M là giới hạn của tỷ số: 1( ) ( )f M f M S   khi điểm M dịch chuyển dọc theo đường cong L tiến đến điểm 1M . Kí hiệu đạo hàm qua f L   , ta có: f L   = 1 1( ) ( )lim M M f M f M S   (1.1) Ta có thể dễ dàng chứng minh: 1M f L    = 1 1 1 cos cos cosM M M f f f x y z              (1.2) trong đó   là các góc tạo bởi vectơ tiếp tuyến với đường cong L tại các đểm 1M và các trục toạ độ. Đạo hàm theo đường cong tại điểm 1M không phụ thuộc vào hình dạng đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyến M1 M L H.1.1   Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 5 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh với L tại điểm 1M nói cách khác, nếu các đường cong 1L và 2L đi qua 1M có tại điểm này cùng một vectơ tiếp tuyến, thì đạo hàm tại điểm này theo đường cong 1L bằng đạo hàm theo đường cong 2L (H. 1.2). 1.2 Gradien của trường vô hướng Ta xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướng vectơ  , trong đ ó   = ai  +b j  + ck  . Người ta gọi đạo hàm theo hướng của vectơ   tại điểm M là đạo hàm theo cung L bất kỳ đi qua M và tiếp xúc với  . Đạo hàm riêng u x   là đạo hàm theo hướng vectơ i  , đạo hàm riêng u y   là đạo hàm theo hướng vectơ j  , đạo hàm riêng u z   là đạo hàm theo hướng vectơ k  . Trước hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ   . 2 2 2 cos a a b c     ; 2 2 2 cos b a b c     ; 2 2 2 cos c a b c     Do đó 2 2 2 u u ua b c u x y z a b c               (1.3) Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ   và vectơ có toạ độ là ( u x   , u y   , u z   ). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu: Gradu = u x   i  + u y   j  + u z   k  (1.4) Do đó: u gradu         1L 2L 1M H. 1.2   Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 6 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Hay là: . cos( , )u gradu gradu               Vậy: .cos( , )u gradu gradu       (1.5) Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng  . Từ đây ta suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu là vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất. Ví dụ 1: Cho trường vô hướng 3 2x yu z  xuất phát từ M (1, 2, 1) theo hướng nào hàm u tăng nhanh nhất. Giải: 2 2 3 3 2 2 3 2u u u x y x y x ygradu i j k i j k x y z z z z                   gradu tại M 12 4Mgradu i j k       Đạo hàm theo hướng gradien, tức 2 2 2ax( 12 4 ( 4) 176 13.3m u          Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số 2 2u x y x  tại điểm 0 (1,2)M theo hướng vectơ 0 1M M  trong đó 1(3,0)M . Giải: Ta thấy 0 1 (2, -2)M M    2     ; 22u x y x     ; 2u xy y    Do đó: 0 (6, 4)Mgradu  và . 2u gradu          Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 7 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Định lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z) tại điểm M khác không. Khi đó nó vuông góc với đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt mức u(x, y, z) = C, C là hằng số. Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l nằm trong mặt mức, bởi vì hàm u không thay đổi khi nó chuyển động theo đường cong l, nên 0u l     . Nhưng đạo hàm theo cung l bằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế 0u    . Theo công thức: .cos( , )u gradu gradu       , do 0u    và gradu ≠ 0 nên cos( , ) 0gradu    . Tức là góc giữa   và gradu bằng 090 . Quỹ tích các tiếp tuyến tại điểm 0M với các đường cong nằm trong mặt mức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm 0M . Nếu 0M có các toạ độ 0 0 0( , , )x y z thì: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) . ) . ) .M x y z x y z x y z u u ugradu i j k x y z                 Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt mức là: 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 ) .( ) ) .( ) ) .( ) 0x y z x y z x y z u u ux x y y z z x y z                (1.6) Chú ý: Nếu cho mặt xác định bởi f (x, y, z) = 0, ta có thể xem nó là mặt mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúc với mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6). Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic 2 2z x y  tại điểm M (2, 1, 5). Mặt đã cho có thể xét như một mặt mức của hàm 2 2u z x y   . Bởi vì: gradu l M H.1.3   Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 8 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 2 2 1gradu xi y j k       , cho nên 0 4. 2.Mgradu i j k        . Do đó phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt parabolic đã cho tại M có dạng: 4( 2) 2( 1) 1( 5) 0x y z       hay 4 2 5 0x y z     1.3 Các tính chất của Gradien Gradien có các tính chất rất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụng trong chứng minh các công thức vật lý: a/ grad(u+v) = gradu + gradv (1.7) b/ grad(uv) = u.gradv + v. gradu (1.8) c/ grad 2 u vgradu ugradv v v   (v≠0) (1.9) 1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ. Cho nên trong vật lý người ta dùng phương pháp trong đó tính một đại lượng vô hướng (không đơn trị) một cách đơn giản hơn, nhưng gradien của nó lại cho ta một đại lượng vật lý thực dưới dạng vectơ, đơn trị, có thể đo được trên thực nghiệm. Thí dụ, trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng φ (không đơn trị), nhưng E grad  là cường độ điện trường có thể đo được trên thực nghiệm. 2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ 2.1 Trường vectơ-đường vectơ H.1.4 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 9 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực, trường từ hay trường điện như E grad  được nêu ở trên. Để biểu diễn hình học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà tại mỗi điểm của nó vectơ A  nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này. Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là các đường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ. Trong trường gradien A grad  đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển động dọc theo nó, đại lượng u tăng với vận tốc lớn nhất. Để tìm đường vectơ của trường ( , , ) ( , , ) ( , , )A P x y z i Q x y z j R x y z k       Ta tiến hành như sau: Giả sử phương trình tham số của đường vectơ là x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t) Khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tuỳ ý của đường này có dạng x y zi j k t t t               Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồng phương với vectơ của trường tại điểm (x, y, z). Vì thế hình chiếu lên các trục toạ độ của các vectơ này tỉ lệ với nhau. ( , , ) ( , , ) ( , , ) dx dy dz dt dt dt P x y z Q x y z R x y z   (2.1) Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là (x, y, z) ta có: ( , , , ) ( , , )dx x y z t P x y z dt   ; ( , , , ) ( , , )dy x y z t Q x y z dt   ; (2,2) Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 10 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh ( , , , ) ( , , )dz x y z t R x y z dt   . Chú ý: vì hàm (x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình của đường vectơ là không duy nhất. Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất điểm đặt tại gốc toạ độ. Khi đó các đường vectơ là các tia xuất phát từ gốc toạ độ, vì thế ống vectơ trong trường này có dạng hình nón với đỉnh ở gốc toạ độ (H.2.1). 2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt 2.1.2.1 Thông lượng Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ A  nào đó. Ta chọn trên mặt này một hướng xác định mà ta gọi đó là hướng dương hướng ngược lại của mặt là hướng âm. Ta nói rằng mặt như vậy là mặt định hướng. Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ này hướng từ âm sang dương là vectơ n  . Vị trí của vectơ n  phụ thuộc vào vị trí điểm M trên mặt. Xét hàm f (M) = (A  , n  ) được xác định tại mọi điểm của mặt S. Nếu A Pi Q j Rk       và các góc chỉ phương của vectơ n  tương ứng bằng , ,  tức là: n cos cos cosi j k          thì f(M) cos cos cosP Q R     hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S. Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệu bằng chữ : S S = ( , )dS= (Pcos Q cos R cos ) A n dS       (2.2) Chú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi dấu của thông lượng. O z x y H.2.1 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 11 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: Hướng bên ngoài của mặt là hướng dương, hướng bên trong là hướng âm. 2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng Trong trường hợp thuỷ động học, thông lượng qua mặt được định hướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời gian. Ta xét trường hợp mặt kín S. Nếu thông lượng qua S là mặt dương điều này nghĩa là lượng chất lỏng chảy từ một phần của không gian được giới hạn bởi mặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó. Ngược lại, nếu thông lượng âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chất lỏng chảy ra từ S. Ví dụ: Cho trường vectơ ( ) ( )A x y i y x j zk         Tính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính với tâm tại gốc toạ độ. Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo bán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị 2 2 2 n R xi y j zk xi y j zk R x y z                 do 2 2 2 1x y z   đối với mọi điểm nằm trên mặt đã cho. Như vậy: 2 2 2( , ) ( ) ( )A n x y x y x y zz x y z          Vì thế thông lượng bằng 2 2 2( , ) ( ) 4 S S S A n dS x y z dS dS S           . 2.2 Dive của trường vectơ 2.2.1 Dive của trường vectơ Dive (divergen) của trường vectơ A  tại điểm M là giới hạn của tỉ số thông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi bề mặt này Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 12 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh ( , ) lim S V M A n dS divA V      (2.3) Những điểm của trường tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểm nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút. Giả sử trường vectơ A Pi Q j Rk       trong đó P, Q, R là những hàm số có đạo hàm cấp1, 2 liên tục thì ( , ) ( cos cos cos ) lim limS S V M V M A n dS P Q R divA V V               (2.4) trong đó , ,  là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài. Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp: ( ) lim V V M P Q R dV x y z divA V           (2.5) Theo định lý giá trị trung bình, trong miền V, ta tìm được một điểm TBM sao cho: ( ) ( ) . TBM V P Q R P Q RdV V x y z x y z                   vì thế ( ) lim lim ( ) TB V MV M V M P Q R dV x y z P Q RdivA V x y z                      Khi V→ M thì TBM →M, vì thế P Q RdivA x y z           (2.6) Từ công thức (2.4) và (2.5) ta có: ( , ) S V A n ds divAdV    (2.7) Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 13 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Như vậy thông lượng của trường vectơ A qua bề mặt kín bằng tích phân 3 lớp của divA  trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thức này chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi divA  liên tục trong miền V. Ví dụ: Tính thông lượng của trường vectơ ( ) ( )A x y i y x j zk         qua mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ. Giải: ( ) ( ) 3x y y x zdivA x y z              Vậy thông lượng 4( , ) 3 3 3. 4 3S V V A n dS divAdV dV V              2.2.2 Trường hình ống Nếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường A  bằng không, thì ta nói rằng A  là trường hình ống của miền này. Ví dụ: Cho trường hấp dẫn 3 mRF R     trong miền G nào đó không chứa gốc tọa độ. Hãy tính divF  . Giải: 2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2( ) ( ) ( ) mx my mzF i j k x y z x y z x y z                  Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng: 0divF   tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ. Vậy F  là trường hình ống trong miền G. Bây giờ ta tính dive tại gốc toạ độ. Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng -4π m , tỉ số thông lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng 3 3 4 3 4 3 m m aa       Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 14 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Theo định nghĩa: (0,0,0) 30 3( ) lim a mdivF a        . 2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của trường vectơ. Ngoài ra qua biến đổi của tích phân khi tính thông lượng người ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học Ddiv   trong đó D  là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do. 3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ 3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến Ta xét trường vectơ: A Pi Q j Rk       và chu tuyến l nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường l Pdx Qdy Rdz  (3.1) là lưu thông của trường vectơ A  theo chu tuyến. Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào A  và l, mà còn cả hướng của chu tuyến l. Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay đổi dấu. Ví dụ 1: Nếu A  là trường lực thì lưu thông của trường theo chu tuyến l bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến l. Giả sử đường cong cho dưới dạng tham số: x = (t), y = (t) , z = (t) với 0t t T  ta có:        0 ' ' '( ) ( ) ( ) t t l Pdx Qdy Rdz P t t t t Q t t t t R t t t t dt                      Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 15 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Như vậy để tính lưu thông của trường vectơ ta có thể áp dụng công thức stockes ( ) os +( ) os ( ) os l S R Q P R Q PPdx Qdy Rdz c c c dS y z z x x y                            Trong trường hợp đặc biệt ( ) l S Q