Đề tài Về dạng định lý cơ bản thứ hai kiểu cartan cho các đường cong chỉnh hình

Lỵ thuyát phƠn bố giĂ trà cừa Nevanlinna ữủc Ănh giĂ l  mởt trong nhỳng th nh tỹu àp ³ v  sƠu sưc cừa toĂn hồc trong thá k hai mữỡi. ữủc hẳnh th nh tứ nhỳng nôm Ưu cừa cừa thá k, lỵ thuyát Nevanlinna cõ nguỗn gốc tứ nhỳng cổng trẳnh cừa Hadamard, Borel v  ng y c ng cõ nhiãu ựng dửng trong cĂc lắnh vỹc khĂc nhau cừa toĂn hồc. Lỵ thuyát phƠn bố giĂ trà cờ iºn l  sỹ tờng quĂt hõa ành lỵ cỡ bÊn cừa Ôi số, chẵnh xĂc hỡn, lỵ thuyát nghiản cựu sỹ phƠn bố giĂ trà cừa cĂc h m phƠn hẳnh tứ C v o C ?{8}. Trung tƠm cừa lỵ thuyát n y gỗm hai ành lỵ cỡ bÊn cừa Nevanlinna. ành lỵ cỡ bÊn thự nhĐt l  mởt cĂch viát khĂc cừa cổng thực Poisson - Jensen, ành lỵ n y nõi rơng h m °c trững T (r, a, f ) khổng phử thuởc v o a náu tẵnh sai khĂc mởt Ôi lữủng bà ch°n, trong õ a l  mởt số phực tũy ỵ. ành lỵ cỡ bÊn thự hai thº hiằn nhỳng kát quÊ àp nhĐt, sƠu sưc nhĐt cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ trà, ành lỵ n y ữa ra mối quan hằ giỳa h m °c trững v  h m xĐp x¿. Nôm 1933, H. Cartan [3]  chựng minh ành lỵ sau Ơy: Cho f : C -? P n (C) l  ữớng cong ch¿nh hẳnh khổng suy bián tuyán tẵnh, Hi , i = 1, ., q , l  cĂc siảu ph¯ng ð và trẵ tờng quĂt. Vợi 2 mội e > 0 ta cõ q X j =1 m(r,H j , f ) = (n + 1 + e)T (r, f ), trong õ bĐt ¯ng thực úng vợi mồi r > 0 nơm ngo i mởt têp cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn. Kát quÊ trản cừa H. Cartan l  cổng trẳnh Ưu tiản vã mð rởng lỵ thuyát Nevanlinna cho ữớng cong ch¿nh hẳnh. Sỷ dửng kát quÊ õ ổng  ữa ra cĂc ữợc lữủng số khuyát cho cĂc ữớng cong ch¿nh hẳnh giao vợi cĂc siảu ph¯ng ð và trẵ tờng quĂt. Cổng trẳnh n y cừa ổng  ữủc Ănh giĂ l  hát sực quan trồng v  mð ra mởt hữợng nghiản cựu mợi cho viằc phĂt triºn lỵ thuyát Nevanlinna. Bði vêy, lỵ thuyát Nevanlinna cho cĂc ữớng cong ch¿nh hẳnh sau n y ữủc mang tản hai nh  toĂn hồc nời tiáng cừa thá k 20, õ l  Lỵ thuyát Nevanlinna - Cartan". Nhỳng nôm gƯn Ơy, viằc mð rởng kát quÊ cừa Cartan cho trữớng hủp cĂc siảu m°t thu hút ữủc sỹ chú ỵ cừa nhiãu nh  toĂn hồc. Nôm 2004, M. Ru [12]  chựng minh giÊ thuyát cừa B. Shiffman [14] °t ra v o nôm 1979. Cử thº, ổng  chựng minh rơng: Cho f : C ? P n (C) l  ữớng cong ch¿nh hẳnh khổng suy bián Ôi số, Dj , j = 1, ., q, l  cĂc siảu m°t bêc d j ð và trẵ tờng quĂt. Khi õ (q - (n + 1) - e)T (r, f ) = q X j =1 d -1 j N (r,D j , f ) + o(T (r, f )), trong õ bĐt ¯ng thực trản úng vợi mồi r ừ lợn nơm ngo i mởt têp cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn. Kát quÊ trản  ữủc Q. Yan v  3 Z. Chen [4] mð rởng cho trữớng hủp h m ám tẵnh án bởi ch°n (hay cỏn gồi l  h m ám cửt). Kát quÊ ữủc phĂt biºu nhữ sau: GiÊ sỷ f : C ? P n (C) l  mởt Ănh xÔ ch¿nh hẳnh khổng suy bián Ôi số v  Dj , 1 = j = q l  q siảu m°t trong P n (C) cõ bêc d j tữỡng ựng, ð và trẵ tờng quĂt. Khi õ vợi mội e > 0, tỗn tÔi mởt số nguyản dữỡng M sao cho q - (n + 1) - e)T (r, f ) = q X j =1 d -1 j N M (r,D j , f ) + o (T (r, f )) , trong õ bĐt ¯ng thực trản úng vợi mồi r ừ lợn nơm ngo i mởt têp cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn. Cho án nay, khi nghiản cựu sỹ tỗn tÔi cừa cĂc Ănh xÔ ch¿nh hẳnh thổng qua Ênh ngữủc cừa cĂc siảu m°t, ngữới ta thữớng sỷ dửng ành lỵ cỡ bÊn thự hai kiºu Nevanlinna - Cartan thổng qua h m ám tẵnh án bởi ch°n. Ngo i ra ành lỵ Nevanlinna - Cartan cỏn cho ta hiºu thảm vã tẵnh suy bián cừa ữớng cong ch¿nh hẳnh. Mửc tiảu chẵnh cừa luên vôn l  trẳnh b y lÔi cĂc kát quÊ Â ữủc ữa ra cừa Q. Yan v  Z. Chen vợi cổng cử nghiản cựu chừ yáu l  Lỵ thuyát Nevanlinna - Cartan cho cĂc Ănh xÔ ch¿nh hẳnh tứ C v o P n (C). Luên vôn ữủc chia th nh 2 chữỡng cũng vợi phƯn mð Ưu, kát luên v  danh mửc t i liằu tham khÊo. Chữỡng 1 trẳnh b y mởt số kián thực cỡ sð vã h m phƠn hẳnh, cĂc ành nghắa v  tẵnh chĐt cừa cĂc h m Nevanlinna. Trẳnh b y chựng minh ành lỵ cỡ bÊn thự hai cừa Nevanlinna cho h m phƠn hẳnh. Chữỡng 2 trẳnh b y chựng minh mởt dÔng ành lỵ cỡ bÊn thự hai 4 cho Ănh xÔ ch¿nh hẳnh cưt cĂc siảu m°t ð và trẵ tờng quĂt. Chữỡng n y ữủc viát dỹa trản cổng trẳnh cừa Q. Yan, Z. Chen [4].

pdf45 trang | Chia sẻ: ttlbattu | Lượt xem: 1908 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Đề tài Về dạng định lý cơ bản thứ hai kiểu cartan cho các đường cong chỉnh hình, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu liên quan