Đề tài Về nhóm con của nhóm so

Nhóm các phép quay SO(3) xuất hiện nhiều trong các lĩnh vực khác nhau của toán học do đó nó là một đối tượng kinh điển đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học. Đối tượng được trình bày trong luận văn là nhóm con của nhóm SO(3) sinh bởi hai phép quay có bậc hữu hạn quanh các trục vuông góc. Nhóm các phép quay này được quan tâm nghiên cứu do nó có ứng dụng trong lí thuyết Tilings, một lí thuyết nghiên cứu quá trình phủ không gian bằng các bản copy của một số hữu hạn các hình đa diện cho trước. Tuy nhiên trong khuôn khổ của một luận văn Cao học, chúng tôi chỉ tập trung tìm hiểu kết quả đại số thuần tuý mà không trình bày được lí thuyết Tilings. Bài toán đại số nghiên cứu trong luận văn là tìm hiểu cấu trúc đại số của các nhóm con G(p; q) sinh bởi hai phép quay quanh hai trục vuông góc với các góc quay lần lượt là 2=p và 2=q. Chúng ta nghiên cứu nhóm con này với chú ý là ta đã có một số kết quả bước đầu như sau: Nếu p hoặc q bằng 1, G(p; q) là nhóm Cyclic hữu hạn; nếu p hoặc q bằng 2, G(p; q) là nhóm nhị diện hữu hạn; G(4; 4) là nhóm đối xứng của các hình lập phương; còn tất cả các trường hợp khác G(p; q) là trù mật trong SO(3). Luận văn được trình bày theo bài báo [4] của hai tác giả C.radin và L.Sadun (năm 1998). Kết quả chính đầu tiên của luận văn chính là định lí cấu trúc (Định lí 2.1.2), chỉ ra rằng nhóm G(p; q) đẳng cấu với tích tự do và tích tự do với nhóm con chung của các nhóm đơn giản là nhóm cyclic hay nhóm nhị diện. Kết quả tiếp theo là định lí về dạng chuẩn tắc của các phần tử nói rằng mọi phần tử của nhóm G(p; q) đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tích của một số phần tử có dạng cụ thể (Xem định lí 2.2.1 và 2.2.6). Ngoài ra trong phần cuối luận văn còn nghiên cứu một ví dụ về nhóm con của nhóm SO(3) sinh bởi hai phép quay với các góc quay là tích của 2 với một số vô tỉ hay siêu việt. Bằng cách sử dụng kĩ thuật như phần đầu, luận văn chứng minh được một số trường hợp nhóm trong ví dụ là đẳng cấu với nhóm tự do sinh bởi hai 4 phần tử. Luận văn gồm 3 chương. Chương 1 dành để giới thiệu các khái niệm, các tính chất đặc trưng và các ví dụ minh họa về phép quay và ma trận phép quay; nhóm tự do; tích tự do; tích tự do với nhóm con chung nhằm phục vụ cho chương sau. Chương 2 là chương trình bày những nội dung chính của luận văn gồm hai phần. Phần 1 trình bày biểu diễn cho nhóm G(p; q). Phần 2 trình bày dạng chính tắc cho mỗi phần tử của nhóm G(p; q). Chương 3 trình bày thêm một ví dụ nghiên cứu về nhóm các phép quay G(v; 4) trong đó có góc quay v là một số vô tỉ cho trước nhân với 2. Sau đó trình bày ví dụ nghiên cứu bước đầu về nhóm G(!; 4) với e !i (tương đương cos(!)) là siêu việt.