Đề thi cuối kỳ học kỳ II môn Toán cao cấp C2 - Năm học 2017-2018 - Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN CAO CẤP C2 Mã môn học: MATH 130901 Thời gian : 90 phút (14/6/2018) Đ ề thi gồm 2 trang Được phép sử dụng tài liệu Câu 1 (1,5 điểm-Tính gần đúng bằng vi phân cấp 1, cấp 2) Với 0 bé, tập  εbaB ),,(  εbyaxRyx  222 )()(:),( gọi là  lân cận hay gọi tắt là lân cận . Nếu hàm có tất cả các đạo hàm riêng , , f , , liên tục trong thì : ),( ba ),b (f (a  εba ),, ),( yx  ),( yxf )ax  z  ) )(,(f ' ba ' xf ' yf '' xx f '' yy '' xyf B ( L  εb),aB ,(y)x,( i) + +,ba x ))(,(f 'y byba   ),( yxf  Công thức xấp xỉ này gọi là xấp xỉ tuyến tính (linear approximation) của trong lân cận . ),( yxf ),( ba ii) + + ),( yxQ ),( baf ))(,(f 'x axba  ))(,(f 'y byba   ))()(,(f ''xy byaxba 2'' ))(,(f 2 1 xx axba  + 2'' ))(,(f2 1 yy byba   ),( yxf  εbaByx ),,(),(  Công thức xấp xỉ này gọi là xấp xỉ bậc hai (Quadratic approximation) của trong lân cận . ),( yxf ),( ba Tìm và của hàm số trong lân cận . ),( yxL ),( yxQ )1ln(),( 22 yxxeyxf y  )0,2( Câu 2 (1,5 điểm-Mô hình tối ưu hóa sản xuất dạng Cobb-Douglas ) Một công ty sử dụng K đơn vị vốn và L đơn vị lao động thì lượng sản phẩm sản xuất được là 8.02.0.80),( LKLKQ  Mỗi đơn vị vốn chi phí và mỗi đơn vị lao động chi phí ; tức là chi phí cho cả vốn và lực lượng lao động là 50$ 25$ LKC 2550  Hãy xác định K và L để lượng sản phẩm sản xuất được lớn nhất và tính lượng sản phẩm lớn nhất đó, biết rằng số tiền chi phí công ty sử dụng không vượt quá . 000,500$ Câu 3 (1,5 điểm- Ứng dụng tích phân suy rộng vào xác suất - Hàm mật độ của phân phối mũ) Tính tích phân suy rộng    dxxfx. với       00 0 3 1)( 3 1 xkhi xkhiexf x Một công ty hoạt động trong lĩnh vực kinh doanh và dịch vụ thực hiện khảo sát rồi mô hình hóa và tính được thời gian đợi trung bình của một khách hàng của công ty xấp xỉ làT , với x là thời gian có đơn vị tính là phút. Hỏi trung bình mỗi khách hàng của công ty đợi xấp xỉ bao nhiêu phút? TB     dxxfx. Câu 4 (1,5 điểm- Mô hình động về giá sản phẩm) (thời gian t tính bằng tháng, giá p tính bằng USD) Biết giá )(tpp  của một loại sản phẩm(hàng hóa) tại thời điểm t thỏa phương trình vi phân teppp 2.06003'4''  và 300$)0( p Giải phương trình vi phân tìm . Ước tính giá của sản phẩm sau khoảng thời gian t đủ lớn. )(tp Câu 5 (2 điểm-Mô hình tăng trưởng logistic có thu hoạch-Logistic growth with harvesting) Bạn tham gia vào một dự án trồng, chăm sóc, bảo tồn, phát triển khai thác bền vững một khu rừng. Giả sử lượng rừng (tạm sử dụng đơn vị là: đơn vị rừng) ở thời điểm (đơn vị tính là năm) được xấp xỉ bởi hàm , thỏa phương trình vi phân logistic có thu hoạch t )(ty )()8()(' tHykyty  trong đó là hằng số tỷ lệ, là tốc độ thu hoạch. 0 constk )(tH Giải phương trình tìm biết: , )(ty 025.0k 4)0( y (tại thời điểm bắt đầu dự án có 4 đơn vị rừng), = 0.2 (tốc độ khai thác liên tục hàng năm là đơn vị rừng). Lượng rừng sẽ xấp xỉ bao nhiêu sau khoảng thời gian t đủ lớn? )(tH 2.0 Câu 6 (2 điểm- Mô hình sử dụng, khai thác, thanh lý thiết bị- Resale value problem) Giá trị bán lại của một máy sau t năm sẽ giảm với tốc độ tỷ lệ với hiệu giữa giá trị hiện tại và giá trị phế liệu của máy. Tức là, nếu là giá trị phế liệu của máy thì thỏa phương trình )(tr S )(tr  Srk dt dr   , với 0 constk là hằng số tỷ lệ Giải phương trình xác định biết giá trị mua mới của máy là $50,000, giá trị 5 năm sau là $10,000 và giá trị phế liệu = $1,000. )(tr S Một công ty mua mới máy này và khai thác đúng 5 năm thì bán lại. Trong 5 năm khai thác máy này, công ty được một dòng lợi nhuận liên tục là 000,12$)( tf /năm và dòng tiền này được chuyển liên tục vào trong một tài khoản nhận lãi liên tục với lãi suất hàng năm là (tức là , nhập lãi liên tục vào vốn-compounded continuosly). Tính giá trị hiện tại dòng lợi nhuận sau 5 năm; tính giá trị hiện tại tiền bán lại máy cuối năm thứ 5; tính giá trị hiện tại ròng của cả 5 năm mua, khai thác, bán lại máy này. %5 05.0r )(tf Cho biết Giá trị hiện tại của dòng tiền được chuyển liên tục vào trong một tài khoản trong khoảng thời gian với tốc độ cho bởi hàm và tài khoản này nhận lãi suất hàng năm là r (nhập lãi liên tục vào vốn-compounded continuosly) được tính bởi công thức Tt 0 )(tf   T rt dtetfPV 0 )(  Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Câu 1, 2: Tính được đạo hàm riêng, vi phân, tìm cực trị, GTLN >NN hàm nhiều biến và biết ứng dụng vào đời sống G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1, 2.2, , 2.1.4 ; Câu 3, 6: Tính được tích phân hàm một biến và biết ứng dụng vào đời sống G1: 1.1, 1.2;G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1 Câu 4, 5, 6: Giải được phương trình vi phân cấp 1, cấp hai và và biết ứng dụng vào đời sống. G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1 Ngày 12 tháng 6 năm 2018 THÔNG QUA BỘ MÔN TOÁN ĐÁP ÁN TOÁN C2 (ngày thi 14/6/2018) Câu hỏi Nội dung Điểm Câu1 1,5đ )1ln(),( 22 yxxeyxf y  TXĐ:  1:),( 2  yRyxD ' xf xe 2 y2 , 'yf yxe y  1 12 2 2f ''xx  , , ye2'' 2fxy  ''yyf 22 )1( 14 y xe y  i)Tìm : , , ),( yxL 6 52202 e)01ln(22)0,2( 202  ef 0),2(f 'x )0,2(f 'y 501 122 02  e ),( yxL )0,2(f + +) )0)(0,2(f 'y y2)(0,2(f 'x x )0(5)2(56  yx , 455  yx  ),()1ln(22 yxfyxxe y   ),0,2(),( Byx  ii) Tìm : , , ),( yxQ 20,2(f ''xx  )0,2(f ''xy 22 02 e )0,2(f ''yy 7)01( 124 2 02  e ),( yxQ )0,2(f + + ) )0)(0,2(f 'y y2)(0,2(f 'x x  )0)(2)(0,2(f ''xy yx 2'' )2)(0,2(f 2 1 xx  x + 2'' )0)(0,2(f2 1 yy y 455  yx  )0)(2(2 yx 2)2(2 2 1 x 2)0(7 2 1  y yxxyyx  2 2 7 22  ),( yxf ,  ),0,2(),( Byx  0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Câu 2 1,5đ Bài toán trở thành, tìm giá trị lớn nhất hàm số trên miền 8.02.0.80),( LKLKQ      5000002550 0,0 LKC LK Hệ phương trình xác định đểm dừng          064 016 2.0 ' 8.0 ' L KQ K LQ L K vô nghiệm.  Xét trên biên:  0    200000 0 L K ),( LKQ  Xét trên biên:  0    100000 0 K L ),( LKQ 0.5đ 0.25đ 0.25đ - 1 -  Xét trên biên:     100000 220000 x KL ),()220000(.80),( 8.02.0 KfKKLKQ đăt với 100000  K 2.08.0 220000 128220000.16)('        K K K KKf 20000 220000 128220000.160)(' 2.08.0        K K K K KKf 16000 220000 2000     L KL K 0)0( f , , 0)10000( f 0629.844485)2000( f Vậy cơng ty cần sử dụng số đơn vị vốn là 2000K và số đơn vị lao động là để sản xuất được lượng sản phẩm lớn nhất là 16000L )16000,2000 0629.844485( Q sản phẩm. 0.25đ 0.25đ Câu 3 1.5đ    dxxfx.      0 3 10 3 1.0. dxexdxx x   0 3 1 . 3 1 dxex x   a x a dxex 0 3 1 .lim 3 1        a xx a dxe a xe 0 3 1 3 1 3 0 3lim 3 1        0 9 0 3lim 3 1 3 1 3 1 a e a xe xx a 3993lim 3 1 3 1 3 1       aa a eae TBT (phút)     dxxfx. 3 Trung bình mỗi khách hàng cơng ty đợi xấp xỉ là 3 phút 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Câu 4 1,5đ teppp 2,06003'4''  , 300$)0( p Phương trình thuần nhất tương ứng :  ppp 3'4'' 0 0.25đ Phương trình đặc trưng: 0342  kk 1 k hay 3k Nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất: = )(tPo tt eCeC 321   0.25đ Nghiệm riêng phương trình 6003'4''  ppp (1) dạng AY 1 Tính được . 0,0 ''1'1  YY - 2 - Thay vào (1) được  6003A 200 3 600 A . Suy ra 1Y 200 0.25đ Nghiệm riêng phương trình (2) dạng teppp 2,03'4''  tBeY 2,02  Tính được . tt BeYBeY 2,0''22,0'2 04,0,2,0   Thay vào (2) được tttt eBeBeBe 2,02,02,02,0 38,004,0   56 25 B . Suy ra teY 2,02 56 25  Theo nguyên lý chồng chất nghiệm thì nghiệm riêng của phương trình là t2,0eppp 6003'4''  )(tP 1Y Y 2002 = + te 2,056 25  0.25đ Nghiệm tổng quát phương trình teppp 2,06003'4''  là )(tp = +)(tPo )(tP tt eCeC 321   + 200 + te 2,056 25  300$)0( p  21 CC  + +200 56 25 300 Vậy nghiệm cần tìm là )(tp = + +tt eCeC 321   200 te 2,056 25  56 5575 21 CC , với Khi t đủ lớn tt eCeC 321   te 2.056 25  0 nên )(tp 200 (USD) Sau khoảng thời gian t đủ lớn, giá sản phẩm xấp xỉ $ . 200 0.5đ Câu 5 2đ Thay và = 0.2 vào 025.0k )(tH )()8()(' tHykyty  , ta được 2.0)8(025.0  yy dt dy 40 882  yy dt dy (1) dt yy dy 40 1 882  (do 4)0( y nên )088 2  yy ( 224 y cũng là nghiệm phương trình (1) nhưng khơng thỏa điều kiện ) 4)0( y Tích phân hai vế 12 40 1 88 Cdt yy dy    12 408)4( )4( Cty yd    140224 224ln 24 1 Ct y y    12410 2 224 224ln Ct y y   0.5đ 0.25đ 0.25đ - 3 - 1 1 2410 224 10 2 ee 224 224e 224 224 CtCt y y y y       tC y y 10 2 e 224 224   (với 0eC  const124 C  ) t C y y 10 2 e 224 224   (với constC âm hoặc dương tùy ý)  )224(e224 10 2   yCy t (với constC tùy ý)  t t C Cy 10 2 10 2 e1 e)422(224     (với constC tùy ý)  4)0(y 1C Vậy t t ty 10 2 10 2 e1 e)224(224)(      )(lim tyt 224 e1 e)422(224lim 10 2 10 2       t t t C C Sau khoảng thời gian t đủ lớn, lượng rừng xấp xỉ 224  đơn vị. 0.25đ 0.25đ 0.5đ Câu 6 2đ Cách 1 Phương trình được viết lại kkrtr )(' , với (đơn vị $1000)     10)5( 50)0( r r Nghiệm tổng quát phương trình )(tr = =        Cdtkdtkekdte    Cdtktkekte = =     Cktekte ktCe1 (đơn vị $1000) Cách 2 Phương trình được viết lại k Sr dr  0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ - 4 - Tích phân hai vế Ckdt Sr dy ln   CktSr lnln   CkteSr ln  ktCeSr   ktCeSr  Hay = (đơn vị $1000) )(tr ktCe1 0.25đ 0.25đ 0.25đ     10)5( 50)0( r r      1051 501 kC C e       23389191442.0) 49 9ln( 5 1 49 k C Vậy = (đơn vị $1000) )(tr te 23389191442.0491  hay = (đơn vị $1) )(tr te 23389191442.0490001000  0.5đ Giá trị hiện tại dòng lợi nhuận sau 5 năm )(tf   T rt dtetfPV 0 )(  240000  5 0 05.012000 dte t  0 505.0 te 81206.53087)1(240000 505.0  e Giá trị hiện tại tiền bán lại máy cuối năm thứ 5 10000 007831.7788505.0  e Giá trị hiện tại ròng của cả 5 năm mua, khai thác, bán lại máy này ( ) - = 10875.81989 81206.53087 007831.7788 50000 Vậy lợi nhuận (tính theo giá trị của tiền ở hiện tại) của cả 5 năm mua, khai thác, bán lại máy này xấp xỉ $10,875.82. 0.5đ Hết - 5 -