Đề thi khảo sát chất lượng lần IV môn Toán 12 - Khối A, A1

S
GD-T VNH PHÚC THI KH
O SÁT CHT LNG LN IV NM HC 2012 – 2013 TRNG THPT CHUYÊN Môn: TOÁN 12 – Kh i A,A1 V NH PHÚC Thi gian: 180 phút (Không k
giao ) I. PHN CHUNG CHO TT C
CÁC THÍ SINH Câu 1. Cho hàm s 3 2(2 1) 1y x m x m= − + + − − (m là tham s). 1. Kho sát s bin thiên và v th ca hàm s khi 1.m = 2. Tìm t t c các giá tr ca tham s thc m  th ca hàm s ã chi tip xúc vi ng thng 2 1.y mx m= − − Câu 2. Gii phng trình ( ) ( )23 2cos cos 2 3 2cos sin 0x x x x+ − + − = . Câu 3. Gii h phng trình 2 1 1 3 2 4 x y x y x y
+ + − + =  + = ( ,x y ∈
) Câu 4. Tìm din tích hình phng gii hn bi th hàm s 1,xy e= + trc hoành và hai ng thng ln 3, ln8.x x= = Câu 5. Cho hình lng tr .ABC A B C′ ′ ′ có áy là tam giác u cnh a, hình chiu ca nh A′ trên mt phng ( )ABC trùng vi tâm O ca tam giác ABC. Bit rng khong cách gia hai ng thng BC và AA′ bng 3 4 , a hãy tính th tích ca hình lng tr và din tích ca thit din khi ct lng tr bi mt phng i qua BC vuông góc vi AA′ . Câu 6. Cho các s thc , ,a b c b t k. Ch ng minh rng 2 2 2 2( 2)( 2)( 2) 3( )a b c a b c+ + + ≥ + + II. PHN RIÊNG (Thí sinh ch c mt trong hai phn riêng, phn A ho c phn B ) A. Theo ch ng trình chun Câu 7a. Trong mt phng vi h t!a " Oxy, cho ng tròn 2 2( ) : 2 4 27 0C x y x y+ + − − = và im (1; 2).M − Hãy vit phng trình ca ng thng ∆ i qua M, ct ng tròn ã cho ti hai im A và B sao cho các tip tuyn ca ( )C ti A và B vuông góc vi nhau. Câu 8a. Trong không gian vi h trc t!a " Oxyz cho mt phng ( ) : 3 2 4 0P x y z− + − = và hai im (1;3;2), (2;3;1).A B G!i I là trung im ca on thng AB. Tìm t!a " im J sao cho IJ vuông góc vi mt phng ( )P ng thi J cách u gc t!a " O và mt phng ( ).P Câu 9a. Tìm h s ca 4x trong khai trin 2(1 3 )nx x+ − , bit rng n là s nguyên dng th#a mãn 1 2 3 156.n n nA A A+ + = B. Theo ch ng trình nâng cao Câu 7b. Trong mt phng vi h t!a " Oxy, cho tam giác ABC vi các ng thng ch a ng cao k$ t% B, phân giác trong k$ t% A l&n l't có phng trình 33 4 0, 12 0.x y x y+ − = + − = Bit rng im (0;2)M là m" im nm trên ng thng AB và cách nh C m"t khong bng 2 10, tìm t!a " các nh ca tam giác. Câu 8b. Trong không gian vi h t!a " Oxyz cho im (3;2;1),A mt phng ( ) : 2 0P x y z+ + + = và ng thng 1 11 2 1: . yx z− + = = − ∆ Vit phng trình ca ng thng d i qua A, ct ∆ và ( )P theo th t ti B và C sao cho A là trung im BC. Câu 9b. Gii phng trình 2 42 162 2 3log ( 5) log | 1| 1 log ( 3 2) 2 x x x x+ + − = + − + Cán b coi thi không gi i thích gì thêm! S
GD-T VNH PHÚC THI KH
O SÁT CHT LNG LN IV NM HC 2012 – 2013 TRNG THPT CHUYÊN HD chm môn TOÁN 12 – Kh i A,A1 V NH PHÚC Hng dn chung: - M(i m"t bài toán có th có nhiu cách gii, trong HDC này ch trình bày s l'c m"t cách gii. H!c sinh có th gii theo nhiu cách khác nhau, nu  ý và cho kt qu úng, giám kho v)n cho im ti a ca ph&n ó. - Câu (Hình h!c không gian), nu h!c sinh v hình sai hoc không v hình chính ca bài toán, thì không cho im; câu (Hình h!c gii tích) không nh t thit phi v hình. - im toàn bài ch m chi tit n 0.25, không làm tròn. - HDC này có 04 trang. Câu Ni dung trình bày im 1 3 21. 1: 3 2m y x x= = − + − . TX:
0.25 Chiu bin thiên: 3 (2 ), 0 0 2y x x y x x′ ′= − = ⇔ = ∨ = Xét d u y′ và kt lu*n: hàm s ng bin trên (0;2), nghch bin trên các khong ( ;0), (2; )−∞ +∞ ; hàm s t cc i ti 2, (2) 2;cdx y y= = = hàm s t cc tiu ti 0, (0) 2ctx y y= = = − 0.25 Nhánh vô cc: lim ; lim x x y y →+∞ →−∞ = = −∞ = = +∞  , l*p bng bin thiên 0.25 V th 2 2 0.25 2.  th hàm s tip xúc vi ng thng 2 1y mx m= − − khi và ch khi h sau có nghim ( ) ( ) 3 2 2 2 1 1 2 1 (1) 3 2 2 1 2 (2) x m x m mx m x m x m
− + + − − = − −  − + + = 0.25 Phng trình (1) tng ng vi 2( (2 1) 2 ) 0x x m x m− + + = do ó luôn có nghim 0, 1x x= = và 2x m= 0.25 Do ó, h (1)-(2) có nghim khi và ch khi ít nh t m"t trong ba nghim ca (1) là nghim ca (2). 0x = th#a mãn (2): 0m = ; 1x = th#a mãn (2): 1 2 m = ; 2x m= th#a mãn (2): tìm 'c 0m = và 1 2 m = 0.25 Kt lu*n 0.25 2 Phng trình ã cho tng ng vi ( ) ( )22 3 cos 2 3 2sin cos 3 cos 3sin 0x x x xx − − + + =  ý rng 2 2sin cos 1,x x+ = nhân t+ hóa, thu 'c ( )( )cos 3 sin 3 2sin 0x x x+ − = 0.25 Gii phng trình 3 2sin 0x− = thu 'c 2 · ( ) 3 x k kpi pi= + ∈ và 2 2 · ( ) 3 x m m pi pi= + ∈ 0.25 Gii phng trình cos 3 sin 0x x+ = thu 'c · ( ) 6 x n n pi pi= − + ∈ 0.25 Kt lu*n nghim 0.25 3 iu kin: 2 1 0, 0x y x y+ + ≥ + ≥ 0.25 t 2 1 , , ( , 0),x y a x y b a b+ + = + = ≥  ý rng 3 2 (2 1) ( ) 1,x y x y y x y+ = + + + + + − ta 'c h 2 2 1 (1) 5 (2) a b a b − =
 + = 0.25 Gii h, vi chú ý , 0,a b ≥ thu 'c 2, 1.a b= = 0.25 T% ó, thu 'c 2 3 1 x y x y + =
 + = . Gii h, thu 'c ( ; ) (2; 1)x y = − i chiu iu kin và kt lu*n 0.25 4 Din tích c&n tính bng ln8 ln 3 1xS e dx= + 0.25 t 1xe t+ = , khi ó 2 2 21 2 1 x x tdte t e dx tdt dx t + =  =  = − . Hn na, ln 3 ln8 ~ 2 3x t≤ ≤ ≤ ≤ 0.25 Suy ra 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 · 2 2 ln 1 1 2 tdt dtS t dt t t   = = + = = + − −      ( .v.d.t) 0.5 5 (Hình v  trang cui) Do tam giác ABC là tam giác u cnh a nên 2 3 4ABC aS = . Ngoài ra, vi I là trung im BC, thì 3 2 aAI = và 2 3 3 aAO AI= = . 0.25 Do gi thit, ( )BC AIA′⊥ . Suy ra 3 1 4 2 aIH AI= = (H là hình chiu ca I trên AA′ ), suy ra 030A AI′∠ = . Do ó 0 2 . cos30 3 AO aA O′ = = V*y 3 . 3 6ABC A B C aV ′ ′ ′ = = ( .v.t.t) 0.25 Tính 'c 3 4 aAH AA′= > nên A′ nm gia ,A H và 12 aA H′ = . G!i J là giao im ca IH vi mt phng ( )A B C′ ′ ′ , ( )P là mt phng qua BC, vuông góc vi .AA′ Khi ó, do ( ) ,BC A B C′ ′ ′ nên giao tuyn ca ( )P vi ( )A B C′ ′ ′ là ng thng qua J song song vi BC, hay thit din là hình thang BCMN (hình v). 0.25 Do 1 8 HJ A H JI IK ′ = = (K là trung im B C′ ′ ) nên 8 2 9 3 3 aIJ IH= = và 1 . 8 MN BC= Suy ra ( ) 21 3 2BCMN S BC MN IJ a= + ⋅ = ( .v.d.t) 0.25 6 B t ng th c c&n ch ng minh tng ng vi 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22( ) 8 6( )a b b c c a a b c a b c ab bc ca+ + + + + + + ≥ + + 0.25 Do 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 0ab bc ca− + − + − ≥ nên 2 2 2 2 2 22( ) 6 4( )a b b c c a ab bc ca+ + + ≥ + + Do ó, ta ch c&n ch ng minh 2 2 2 2 2 2 2 2( )a b c a b c ab bc ca+ + + + ≥ + + là  0.25 Do trong ba s 2 2 21, 1,a b c− − luôn có hai s cùng d u, nên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1)( 1) 0c a b a b c c b c c a− − ≥  + ≥ + 0.25 Bi v*y, ta c&n ch ng minh 2 2 2 2 2 22 2( )a b b c c a ab bc ca+ + + + ≥ + + (1)  ý rng 2 2 2(1) ( ) ( 1) ( 1) 0a b bc ca⇔ − + − + − ≥ , luôn úng nên ta có 'c iu phi ch ng minh. 0.25 7a + ( )C có tâm ( 1;2),I − bán kính 4 2R = 0.25 + Khng nh: ng thng c&n tìm cách tâm I m"t khong bng 4 2 R = 0.25 + : ( 1) ( 2) 0,a x b y∆ − + + = vi 2 2 0.a b+ ≠ 2 2 | 2 4 |( ; ) 4 4 0 3 4 .a bd I a a b a b − +∆ = ⇔ = ⇔ ⇔ = ∨ = − +  0.25 + Vi 0a = thì 0,b ≠ tùy ý, do ó : 2 0.y∆ + = Vi 3 4a b= − thì ch!n 4, 3a b= = − , do ó : 4 3 10 0.x y∆ − − = 0.25 8a + 3 3 3 3 ;3; , ( ; ; ) ; 3; 2 2 2 2 I J x y z IJ x y z    = − − −  0.25 + 3 3(3; 2;1) 3 , 3 2 , . 2 2 IJ p x t y t z t= −  = + = − = +    0.25 + 2 2 2 2 2 2 2 227 (3 2 4) (14 4)14 , ( ; ( )) 2 14 14 x y z tOJ x y z t d J P − + − −= + + = + = = 0.25 Do ( ;( ))OJ d J P= nên thu 'c phng trình 2 2 27 (14 4) 17314 2 14 112 t t t − + = ⇔ = − . T% ó 519 285 5; ; 112 56 112 J  − − 0.25 9a + 1 2 3 156 6n n nA A A n+ + = ⇔ ⇔ = 0.25 + Khi 6 :n = 2 6 0 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 6 6 6 6 6 5 5 5 6 6 6 6 6 (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) x x C C x x C x x C x x C x x C x x C x x + − = + − + − + − + − + + − + − Trong khai trin trên, 4x ch xu t hin trong các s hng 6 (1 3 ) ,k k kC x x− vi 2,3,4.k = Do ó h s ca 4x phi tìm là t,ng các h s ca 4x trong các khai trin trên 0.25 + Vi 2 :k = h s ca 4x bng 269C ; Vi 3 :k = h s ca 4x bng 369C− ; Vi 4 :k = h s ca 4x bng 46C . 0.25 + H s c&n tìm bng 2 3 46 6 69 9 30C C C− + = − 0.25 7b G!i ,h  theo th t là ng cao k$ t% B, phân giác trong k$ t% A; ( ; )N x y là im i x ng vi M qua  . Khi ó, x, y là nghim ca h 0 2 3 23 12 0 2 2 x y x y −
= −  + ⋅ + − =  . T% ó, tìm 'c (6;4)N 0.25 Do ,AC h AC AN⊥  nên t!a " ca A là nghim ca h 6 4 1 3 3 12 0 x y x y − −
=   + − = . T% ó, tìm 'c 13( ; 1) 3 A − 0.25 Do B là giao im ca các ng thng h và AM, nên . tìm 'c 13 5( ; ) 7 7 B 0.25 Do 2 10MC = cà C nm trên AC, nên C có t!a " là nghim ca h ( )22 3 14 0 2 40 x y x y − − =
  + − = gii h, thu 'c 1 2 18 16( ; ), (6;4) 5 5 C C− . T% ó, do AB AM    nên ,AN AC    do ó 2 (6;4)C C≡ 0.25 8b + a phng trình ∆ v dng tham s , 1 2 , 1x t y t z t= = + = − − , do ó m!i im ca ∆ u có t!a " dng ( ;1 2 ; 1 )t t t+ − − 0.25 + Xét im ( ;1 2 ; 1 )B t t t+ − − ∈ ∆ , l y C i x ng vi B qua A. Khi ó (6 ;3 2 ;3 )C t t t− − + 0.25 + ( ) 4.C P t∈ ⇔ ⇔ = 0.25 + Do ó (1;7; 6)AB = −  , suy ra ng thng c&n tìm có phng trình 3 2 1 1 7 6 x y z− − − = = − 0.25 9b + iu kin 5, 1, 2x x x> − ≠ ≠ 0.25 + a phng trình v dng 22 2 2log ( 5) log | 1| 1 log | 3 2 |x x x x+ + − = + − + 0.25 + T% ó, kt h'p vi 1,x ≠ thu 'c ( 5) 2 | 2 |x x+ = − 0.25 + Gii phng trình này, thu 'c 19 3 x x= ∨ = − . i chiu iu kin và kt lu*n. 0.25 Hình v cho câu 5. KH A' OA I Hình 1 H M N J K C' B' C O A I B A' Hình 2