Đề thi môn Đại số - Đề 01 - Năm học 2014-2015 - Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố Hồ Chí Minh

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI MÔN: ĐẠI SỐ Mã môn học: MATH 141401 Ngày thi: 30/12/2014. Thời gian làm bài: 90 phút Sinh viên được sử dụng tài liệu Chú ý: Đề thi có 14 ý, mỗi ý 1 điểm. Sinh viên chỉ được chọn 10 ý để làm bài. Câu 1: Cho các ma trận 1 2 3 4 3 1 1 0 , 2 , 9 9 14 x A m B m X y m m z                                  . a/ (1điểm) Tìm m để hệ phương trình tuyến tính .A X B có vô số nghiệm. b/ (1điểm) Với 3m   , tính  2014det 5.A . Câu 2: Cho       1 2 30, 2,1 ; 1,1 , 0 ; 1, 0, 1B u u u     là m t cơ s c a 3 và  2 21 2 32 , 1, 1E v x v x v x x        là m t cơ s c a  2P x . Cho ánh xạ tuyến tính  3 2:f P x được xác định b i        2, , 2 . .f a b c a b x b c x a b c       . a/ (1điểm) Tìm m t cơ s và số chiều c a Im f . b/ (1điểm) Tìm ma trận c a ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ s ,B E . c/ (1điểm) Trong  2P x cho tích vô hướng     1 1 , .u v u x v x dx    . Hãy trực giao cơ s E. Câu 3: Cho ma trận 5 3 0 3 5 0 0 0 4 A           và 1 2 3 x X x x          . a/ (1điểm) Tìm tất cả các giá trị riêng và vectơ riêng c a ma trận A. b/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương   2 2 21 2 3 1 2 3 1 2, , 5 5 4 6f x x x x x x x x    về ạng chính t c b ng ph p biến đ i trực giao. c/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương   20141 2 3, , Tg x x x X A X về ạng chính t c b ng ph p biến đ i trực giao. Câu 4: Cho ánh xạ :g G xác định b i   3 3,g k k k    , với là tập số nguyên và tập  3 :G n k k   . a/ (1điểm) Chứng minh quy t c : 3n k n k    (với mọi ,n k G ) là m t ph p toán hai ngôi trên G . b/ (1điểm) Chứng minh G cùng với ph p toán  là m t nhóm Abel (nhóm Abel là nhóm giao hoán). c/ (1điểm) Chứng minh ánh xạ g là m t song ánh. d/ (1điểm) Chứng minh g là m t đồng cấu từ nhóm  ,  (nhóm các số nguyên với phép cộng các số nguyên) vào nhóm  ,G  . Từ đó suy ra    : , ,g G   là m t đẳng cấu nhóm. Câu 5: Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy đẳng nếu 2A A . a/ (1điểm) Chứng tỏ r ng 0 1 0 1 A        là ma trận lũy đẳng. Ma trận A có khả nghịch không? b/ (1điểm) Chứng minh r ng nếu  , nA B M là các ma trận lũy đẳng và AB BA thì AB cũng là ma trận lũy đẳng. CBCT không giải thích đề thi. Ngày tháng năm B môn Toán