Cho h ì nh chóp S.ABC có đáy l à tam giác vuông tại B , AB = a, AC = 2a, SA = a và S A vuông
góc mặt đáy , mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K. Tính th ể tích khối
chóp S.AHK theo a.
8 trang |
Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 2093 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề thi thử đại học năm 2011( lần 1) môn; toán ; khối: D, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011( lần 1)
Môn; Toán ; Khối: D
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 21/ 10/ 2011
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I ( 2 điểm)
Cho hàm số
2
( )
3
x
y C
x
+
=
-
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2) Tìm trên đồ thị ( C) điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng
bằng
1
5
khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang.
Câu II ( 2 điểm)
1) Giải phương trình : 3 2sin cos 2 cos 0 x x x - + =
2) Giải bất phương trình: 2 2 2 3 5 4 6 x x x x x - - + £ - -
Câu III ( 1 điểm)
Tính
1
2
0
ln(1 ) I x x dx = + ò
Câu IV ( 1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB = a, AC = 2a, SA = a và SA vuông
góc mặt đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối
chóp S.AHK theo a.
Câu V ( 1 điểm)
Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
2 2
1 1
P= x y
y x
æ öæ ö + + ç ÷ç ÷
è ø è ø
.
PHẦN RIÊNG ( 3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( Phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a ( 2 điểm)
1) Cho tam giác ABC có B(3; 5), đường cao AH và trung tuyến CM lần lượt có phương trình
d: 2x 5y + 3 = 0 và d’: x + y 5 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh AC.
2) Cho mặt cầu (S) : 2 2 2 ( 3) ( 2) ( 1) 100 x y z - + + + - = và mặt phẳng ( ) : 2 2 9 0 x y z a - - + =
Chứng minh rằng (S) và ( ) a cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T). Tìm tâm và bán kính
của đường tròn (T) .
Câu VII.a ( 1 điểm)
Tìm số phức z, nếu 2 0 z z + = .
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI .b ( 2 điểm)
1) Cho đường tròn ( C) 2 2 2 4 4 0 x y x y + - - - = và điểm A (2; 3) các tiếp tuyến qua A của ( C)
tiếp xúc với ( C) tại M, N .Tính diện tích tam giác AMN.
2) Cho hai đường thẳng d:
2
1
1
1
1
2 -
=
-
-
=
- z y x
và d’:
ï
î
ï
í
ì
=
- =
+ =
t z
t y
t x
2
4
Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của d và d’.
Câu VII.b ( 1 điểm) Cho hàm số
2 3 2 x x
y
x
- +
= (C). Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm mà từ đó
kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị ( C).
GV. Luong Viet Hai - THPT Tuy Phong (suu tam)
y
x 2 3
1
0
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
(Đáp án gồm 7 trang)
Câu ý Nội dung Điểm
Câu I
2 đ
1) 1 điểm
1/Tập xác định: { } \ 3 D R = .
0,25
2/ Sự biến thiên
aChiều biến thiên : Ta có
2
5
' 0
( 3)
y
x
-
= <
-
Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng -¥ +¥ ( ;3) vµ (3; )
bCực trị: Hàm số không có cực trị
c Giới hạn:
3
2
lim ( )
3 x
x
x - ®
+
= -¥
-
;
3
2
lim ( )
3 x
x
x + ®
+
= +¥
-
ÞHàm số có tiệm
cận đứng x=3
2
lim ( ) 1
3 x
x
x ®±¥
+
= Þ
-
Hàm số có tiệm cận ngang 1 y =
0,25
dBảng biến thiên:
x ¥ 3
+¥
y’
y 1 +¥
¥ 1
0,25
3/ Đồ thị:
Đồ thị nhận I(3;1) làm tâm đối xứng
Giao với trục:Ox tại ( 0 ; 2 ),với Oy 2 (0; )
3
-
0,25
2)
1 điểm
+)Gọi đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang lần lượt là d1, d2
( ) M C Î nên
2
;
3
x
M x
x
+ æ ö
ç ÷ - è ø
0,25
+) Ta có 1 ( , ) 3 d M d x = - , 2
2 5
( , ) 1
3 3
x
d M d
x x
+
= - =
- -
0,25
+)Theo bài ra ta có 2
4 1 5
3 ( 3) 1
2 5 3
x
x x
x x
= é
- = Û - = Û ê = - ë
0,25
Vậy có 2 điểm thỏa mãn 1 2 (4;6), (2; 4) M M -
0,25
Câu II
2 đ
1)
1 điểm
+)pt 3 2 2sin (1 2sin ) cos 0 x x x Û - - + =
2 2sin (1 s inx) (1 cos ) 0 x x Û + - - =
[ ] (1 cos ) 2(1 cos )(1 s inx) 1 0 x x Û - + + - =
[ ] (1 cos ) 2(s inx cos ) 2sin cos 1 0 x x x x Û - + + + =
0,25
1 cos 0 (1)
2(s inx cos ) 2sin cos 1 0 (2)
x
x x x
- = é
Û ê + + + = ë
Giải (1) ta được 2 ( ) x k k Z p = Î
0,25
Giải (2) :
Đặt s inx cos 2 sin( ) , 2; 2
4
t x x t p é ù = + = + Î -ë û
Ta được phương trình 2 2 0 t t + =
0
2 (loai)
t
t
= é
Û ê = - ë
0,25
Với t = 0 ( )
4
x k k Z p p - Û = + Î
Vậy phương trình có nghiệm: 2 x kp = ( )
4
x k k Z p p - = + Î
0,25
2)
1 điểm
Điều kiện
2
2
2 0
0 2
5 4 6 0
x x
x x
x x
ì - - ³
ï ³ Û ³ í
ï - - ³ î
0,25
Bình phương hai vế ta được 2 6 ( 1)( 2) 4 12 4 x x x x x + - £ - - 0,25
3 ( 1)( 2) 2 ( 2) 2( 1) x x x x x x Û + - £ - - +
( 2) ( 2)
3 2 2
1 1
x x x x
x x
- -
Û £ -
+ +
0,25
Đặt
( 2)
0
1
x x
t
x
-
= ³
+
ta được bpt 2 2 3 2 0 t t - - ³
0,25
S
C
B
A
K
H
a
2a
a
1
2 2
2
t
t
t
- é £ ê Û Û ³
ê
³ ë
( do 0 t ³ )
Với 2
( 2)
2 2 6 4 0
1
x x
t x x
x
-
³ Û ³ Û - - ³
+
3 13
3 13
3 13
x
x
x
é £ -
Û Û ³ + ê
³ + ê ë
( do 2 x ³ ) Vậy bpt có nghiệm 3 13 x ³ +
0,25
Câu III
1 đ
1 điểm
Đặt 2
2
2
ln(1 )
1
xdx
u x du
x
= + Þ =
+
2
2
x
dv xdx v = Þ =
0,25
Do đó
1 1 2 3
2
1 2
0 0
1
ln(1 ) ln 2
2 1 2
x x
I x dx I
x
= + - = -
+ ò
0,25
Tính I1:
Ta có
1 1 1 1
2
1 2 2
0 0 0 0
1 1 2 1 1 1 1
( ) ln 1 ln 2
1 2 2 1 2 2 2 2
x x
I x dx x dx x
x x
= - = - = - + = -
+ + ò ò
0,25
Vậy
1
ln 2
2
I = -
0,25
Câu V1
1 đ
1 điểm
+) Theo bài ra ta có ( ) SH AHK ^
, ( ) BC SA BC AB BC SAB BC AK ^ ^ Þ ^ Þ ^
Và AK SC ^ nên
( ) àSB AK SBC AK KH v AK ^ Þ ^ ^
0,25
+) Áp dụng định lý Pitago và hệ thức trong tam giác vuông 0,25
A
D
E
B
d’
C
d
d1
ta có
1 2
2 2
a
AK SB = = ,
2 3
,
5 10 5
a a a
AH KH SH = Þ = =
+) Ta có
2 1 6
. ( )
2 4 10
AHK
a
S AK HK dvdt = =
0,25
+) Vậy
3
.
1 3
. ( )
2 60 S AHK AHK
a
V S SH dvtt = =
Chú ý : có thể tính theo công thức tỷ số thể tích.
0,25
Câu V
(1d)
1 điểm
+) Theo B ĐT Côsi ta có æ ù £ Þ = Î ç ú è û
2 1 1 0<xy t (xy) 0;
4 16
0,25
+) Ta có = + + = + + 2
2
1 1
P 2 (xy) t 2
(xy) t
- æ ù Þ = - = < " Î ç ú è û
2
/
2 2
1 t 1 1
P 1 0, t 0;
t t 16
0,25
+) B¶ng biÕn thiªn :
t 0
1
16
P’ -
P
289
16
0,25
+) Từ bbt ta có
289
min P
16
= tại
1 1
16 2
t x y = Û = =
0,25
Câu VI. a
2 đ
1) 1 điểm
+) Gọi ' D d d = Ç nên tọa độ của D là nghiệm của hệ
22
2 5 3 0 22 13 7 ( ; )
5 0 13 7 7
7
x x y
D
x y
y
ì = ï - + = ì ï Û Þ í í + - = î ï =
ï î
0,25
+) Goi d1 là đường thẳng qua B và song song với d’ nên phương trình d1 là:
x + y – 8 = 0. 0,25
Gọi 1 E d d = Ç nên
33 19
( ; )
7 7
E .Vì d’ là đường trung tuyến qua C nên D là trung
điểm AE suy ra (1;1) A
+) Ta có cạnh BC ^ c với d nên phương trình cạnh BC là 5x + 2y – 25 = 0
Suy ra
35 50 38 47
( ) ' ( ; ) ( ; )
3 3 3 3
C BC d C AC
- -
= Ç Þ Þ
uuur
0,25
+) Vậy phương trình cạnh AC là
1 38
1 47
x t
y t
= - ì
í = + î
0,25
2) 1 điểm
+) Mặt cầu (S) có tâm I(3;2;1) và bán kính r = 10 .
Ta có :
2.3 2( 2) 1 9
( , ( )) 6
4 4 1
h d I a
- - - +
= = =
+ +
Vậy ( , ( )) d I r a < nên (S) cắt ( ) a theo giao tuyến là đường tròn (T) .
0,25
+) Gọi J là tâm của (T) thì J là hình chiếu của I lên ( ) a .
Xét đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với ( ) a . Lúc đó (d) có vectơ
chỉphương là (2; 2; 1) a n = = - -
r r
. Phương trình tham số của (d) là :
3 2
( ) : 2 2 ( )
1
x t
d y t t
z t
= + ì
ï = - - Î í
ï = - î
¡
0,25
+) Ta có ( ) J d a = Ç Xét hệ:
3 2
2 2
1
2 2 9 0
x t
y t
z t
x y z
= + ì
ï = - - ï
í = - ï
ï - - + = î
Giải hệ này ta được : J(1;2;3)
.
0,25
+) Gọi r’ là bán kính của (T) , ta có : 2 2 100 36 8 r r h ¢ = - = - =
Vậy : J(1;2;3) và r’= 8
0,25
Câu VII.a 1 điểm
+) Đặt z = x + yi, khi đó 2 2 2 2 0 ( ) 0 z z x yi x y + = Û + + + = 0,25
+) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 0 2 0
2 0
x y x y x y x y xyi
xy
ì - + + = ï Û - + + + = Û í
= ï î
0,25
+) Û
2
2
0
0 0 0, 0 0
0 (1 ) 0 0, 1 1
0, 1 0 0
0 (do 1 0)
0, 0 (1 ) 0 0
0
x
x x x y y
y y y y x y y
x y y y
x x
y x x x x x
y
é = ì
é = é = ì ì êï ï ï é = = é = é ê ê í í í ê êê - + = - = ê = = ï ï ê ê î î ï ê êê = Û Û Û ë ê î ê ê êê = = - = = ì ì ë ï ï ê ê ê ê ì = + > í í ï ê ê ê = = ê + = + = ë ï ï í î î ë ë ê = ï î ë
0,25
+)Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i. 0,25
Câu VI.b
2 đ
1) 1 điểm
+) Ta có (C ) có Tâm I(1; 2) bán kính R = 3
Và dễ thấy có một tiếp tuyến vuông góc với Ox và qua A là d: x= 2
0,25
+)Gọi d’ là dường thẳng qua A ( 2; 3) có hệ số góc là k ta có d’ :y = k(x + 2) +
3
d’ là tiếp tuyến của ( C ) ód( I, d’ ) = Ró
2
3 1 4
3
3 1
k
k
k
+
= Û =
+
4 17
' :
3 3
d y x Þ = +
0,25
+ ta có tiếp điểm của d và (C ) là M(2; 0), của d’ và (C ) là
7 57
( ; )
5 5
N
- 0,25
+ Ta có AM = 3,
7 3
( , ) 2
5 5
d N d = - + = .Vậy
1 9
. ( , ) ( )
2 10 AMN
S AM d N d dvdt = =
0,25
2) 1 điểm
+) Ta có vtcp của d (1; 1;2) à M(2;1;1) d u v - Î
r
vtcp của d’ '(1; 1;1) à (4;2;0) d' u v N - Î
r
=> (2;1; 1) MN -
uuuur
0,25
+) Ta có , ' . 3 0 u u MN é ù = ¹ ë û
r ur uuuur
vậy d và d’ chéo nhau. 0,25
+) ta có (2 ;1 ;1 2 ) A d A k k k Î Þ + - + , ' (4 ;2 ; ) B d B t t t Î Þ + -
(2 ;1 ; 1 2 ) AB t k t k t k Þ + - - - - + -
uuur
AB là đoạn vuông góc chungó
. 0
. ' 0
AB u
AB u
ì = ï
í
= ï î
uuurr
uuur ur
0,25
+)
4 6 1 0 2
3 4 0 1,5
t k t
t k k
- - = = - ì ì
Û Û í í - = = - î î
(1,5;1,5;0) AB Þ
uuur
Vậy d(d,d’) = AB =
3 2
2
Chú ý : có thể tính theo cách
, ' . 3
( , ')
2 , '
u u MN
d d d
u u
é ù
ë û = =
é ù
ë û
r ur uuuur
r ur
0,25
Câu II.b
1 đ
1 điểm
+) Gäi M lµ ®iÓm thuéc ®êng th¼ng x=1, d lµ ®êng th¼ng ®i qua M cã hÖ sè
gãc lµ k. d cã ph¬ng tr×nh lµ : y= k(x-1)+m ( víi M(1,m) )
§Ó d lµ tiÕp tuyÕn cña C th× hÖ sau cã ngiÖm.
2
2
3 2
( 1) (1)
2
(2)
x x
k x m
x
x
k
x
ì - +
= - + ï ï
í
- ï = ï î
0,25
+) Thay (2) vµo (1) ta cã
2 2
2
3 2 2
( 1)
x x x
x m
x x
æ ö - + -
= - + ç ÷
è ø
2 2 2 ( 3 2) ( 2)( 1) x x x x x mx Û - + = - - +
2 ( , ) (2 ) 4 2 0 g x m m x x Û = + - + = (3)
0,25
+)§Ó tõ M kÎ ®îc ®óng 2 tiÕp tuyÕn ®Õn C th× ph¬ng tr×nh (3) cã ®óng 2 ngiÖm
ph©n biÖt
' 4 2(2 ) 0
(2 ) ( , ) (2 )(2) 0
m
m g x m m
D = - + > ì
Û í + = + ¹ î
2 0
2 0
m
m
- > ì
Û í + ¹ î
Do ®ã
0
2
m
m
< ì
Þ í ¹ - î
(*)
0,25
+) VËy trªn ®êng th¼ng x=1 .TËp hîp c¸c ®iÓm cã tung ®é nhá h¬n 0 (m<0) bá
®i ®iÓm (1,-2) th× tõ ®ã kÎ ®îc ®óng 2 tiÕp tuyÕn ®Õn C
0,25
Chú ý :Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng ý