Điểm bất động của toán tử Compact đơn điệu tới hạn và toán tử T - Đơn điệu

Năm học 2009– 2010 159 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ COMPACT ĐƠN ĐIỆU TỚI HẠN VÀ TOÁN TỬ T-ĐƠN ĐIỆU Nguyễn Thị Ngọc Minh (SV năm 3, Khoa Toán – Tin) GVHD: PGS. TS. Nguyễn Bích Huy 1. Mở đầu Bài toán về sự tồn tại điểm bất động của một ánh xạ là bài toán được biết đến từ đầu thế kỉ XX và đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Những định lý điểm bất động đã xuất hiện và được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau, đồng thời đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Đề tài này xét sự tồn tại "Điểm bất động của một số lớp ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự". Đề tài bao gồm các nội dung chính sau đây: 1. Trình bày các định lí về điểm bất động đối với toán tử compact đơn điệu tới hạn. Đầu tiên, định lí điểm bất động được xét cho toán tử compact đơn điệu tới hạn dạng: "nếu   n n nA x là dãy tăng thì hội tụ". Từ đó phát triển cho ánh xạ A là compact đơn điệu tới hạn dạng: "nếu   n n nA x là dãy giảm thì hội tụ." 2. Trình bày điểm bất động của toán tử T-đơn điệu. Xét toán tử :A X X (trong đó X là không gian Banach được sắp bởi nón K là nón sinh, chuẩn) thỏa mãn điều kiện:        1 2x y B x y A x A y B x y         Trong đó, 1 2,B B là các toán tử tuyến tính dương với bán kính phổ  1 2 1r B B  . Ta sẽ có kết luận A có điểm bất động duy nhất trong X với khởi đầu 0x tùy ý. Việc chứng minh định lí này lại dựa vào nguyên lí ánh xạ co, bằng cách xét một chuẩn mới 0 . và A là ánh xạ co theo chuẩn mới này. 2. Kiến thức chuẩn bị Đề tài này cần sử dụng đến một số kiến thức chuẩn bị như sau: Các khái niệm nón, nón chuẩn, nón sinh, nón chính quy để xây dựng quan hệ thứ tự trên không gian Banach thực X. Bên cạnh đó, nguyên lí Entropi cũng được vận dụng để chứng minh sự tồn tại điểm bất động. Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 160 3. Điểm bất động của toán tử compact đơn điệu tới hạn 3.1. Khái niệm toán tử compact đơn điệu tới hạn  Toán tử :A M X X  được gọi là compact đơn điệu tới hạn nếu mỗi dãy  nx M sao cho dãy   n nA x tăng thì hội tụ.  Ta cũng định nghĩa toán tử :A M X X  được gọi là compact đơn điệu tới hạn (loại 2) nếu mỗi dãy  nx M sao cho dãy   n nA x giảm thì hội tụ. 3.2. Định lí 1 Cho tập M X và ánh xạ :A M X thỏa các điều kiện:   A M M và   ,x A x x M    Mọi dãy   n n nA x tăng thì có giới hạn trong X (tức là A là toán tử compact đơn điệu tới hạn loại 1)  Mọi dãy tăng trong M có chặn trên trong M. Khi đó A có điểm bất động trong M. Chứng minh: Quá trình chứng minh được thực hiện như sau:  Xét dãy phiếm hàm: :nS M R            sup : , ,n n n nnS x A u A v u v M x A u A v     Ánh xạ nS hoàn toàn xác định và hơn nữa: + Với mỗi n, ánh xạ nS là ánh xạ đơn điệu giảm. + Với mỗi x M , dãy   n nS x là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0, nên tồn tại giới hạn.  Đặt    lim nnS x S x Vì nS giảm nên S giảm.  Ta sẽ áp dụng nguyên lí Entropi thứ 1 cho tập M và hàm -S Theo nguyên lí Entropi    : ,a M x M x a S x S a       Năm học 2009– 2010 161  Tiếp theo, ta sẽ chứng minh   0S a  bằng cách xây dựng được các dãy    ,n nu v M sao cho:              2 2 4 4 2 21 1 2 2 2 2... ... 2n nn nA u A v A u A v A u A v       thỏa    2 22 2n nn nA u A v   (3) Theo định nghĩa về ánh xạ compact đơn điệu tới hạn thì dãy (2) hội tụ, nhưng theo (3) dãy này không hội tụ. Dẫn đến điều mâu thuẫn. Vậy S(a)=0.  Cuối cùng, ta chứng minh A có điểm bất động trên M Ta có:    2 ...a A a A a   nên dãy   nA a có chặn trên trong M, và gọi b chính là chặn trên đó. Khi đó, bằng việc sử dụng các lí luận về thứ tự ta có:  A b b Vậy A có điểm bất động trên M. Áp dụng định lí 1, ta chứng minh được một kết quả đã biết như sau: 3.3. Hệ quả 1 Giả sử:  M là tập đóng, bị chặn trong X.  Toán tử :A M X đơn điệu và compact đơn điệu tới hạn.  Tồn tại 0x M sao cho  0 0x A x Khi đó A có điểm bất động trên M. 3.4. Định lí 2 Từ định lí 1, ta phát triển lên định lí 2, có nội dung như sau: Cho tập M X và ánh xạ :A M X thỏa các điều kiện:   A M M và   ,A x x x M    Mọi dãy   n n nA x giảm thì có giới hạn trong X (tức là A là toán tử compact đơn điệu tới hạn loại 2)  Mọi dãy giảm trong M có chặn dưới trong M. Khi đó A có điểm bất động trong M. Từ định lí 2, ta chứng minh được hệ quả 2 và một kết quả về điểm bất động của toán tử lõm đều. 3.5. Hệ quả 2 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 162 Giả sử:  M là tập đóng, bị chặn trong X.  Toán tử :A M X đơn điệu và compact đơn điệu tới hạn loại 2.  Tồn tại 0x M sao cho  0 0A x x Khi đó A có điểm bất động trên M. Trên cơ sở hệ quả 2, ta chứng minh một kết quả có liên quan đến toán tử lõm đều. 3.6. Điểm bất động của toán tử lõm đều Giả sử:  K là nón chuẩn.  A là toán tử 0 _u lõm đều  ,u v   u A u và  A v v Khi đó A có điểm bất động trên  ,u v 4. Điểm bất động của toán tử T-đơn điệu 4.1. Định lí 3 Cho X là không gian Banach thực sắp bởi nón K Giả sử:  K là nón sinh, chuẩn.  Ánh xạ :A X X thỏa:        1 2x y B x y A x A y B x y         Trong đó, 1 2,B B là các toán tử tuyến tính dương với bán kính phổ  1 2 1r B B  . Khi đó, A có điểm bất động duy nhất trong X với khởi đầu 0x tùy ý. Chứng minh: Dựa vào tính chất: Với toán tử tuyến tính B trong X có thể xét một chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu sao cho B và r(B) sai khác nhau đủ nhỏ. Do đó, từ giả thiết  1 2 1r B B  , ta có thể xem 1 2 1B B  Quá trình chứng minh như sau:  Trên X, ta định nghĩa một chuẩn mới: 0 inf y x y x y     Và chuẩn mới này có tính chất: . tương đương với 0 . Năm học 2009– 2010 163  Với ,x y X  , giả sử ,u x y u u K     Khi đó: 2 2 x y uxx y u y x u x y uy               Theo giả thiết với        1 2x y B x y A x A y B x y         Áp dụng cho 2 cặp số 2 x y ux   và 2 x y uy   , ta thu được kết quả                       2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y u x y uB B B B A x A y B B B B u x y uB B A x A y B B B B                                                            Suy ra               1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 2 2 2 2 2 2 x y uA x A y B B B B B Bx yA x A y B B u                                       1 2 1 20 0 1 2 1 20 0 2 2 2 2 2 2 B Bx yA x A y B B u B B x yA x A y u B B                      Xét  1 2 02 2 x yB B       Vì 1 2,B B là toán tử tuyến tính dương nên 1 2,B B đơn điệu. Với Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 164 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 u x y uB B B u x y u u x y uB B B u x y uB B B u x y uB B B                                                                                          Cộng vế với vế ta được      1 2 1 2 1 22 2 2 2 u x y uB B B B B B                       Suy ra       1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 2 2 2 2 2 2 x y uB B B B B Bx yB B u                       Từ đó bất đẳng thức:      1 2 1 20 02 2 2 B B x yA x A y u B B           trở thành:     1 20 .A x A y B B u       1 20 . infu x y uA x A y B B u           00 .A x A y q x y    (với 1 2 1q B B   ) Vậy A là ánh xạ co theo chuẩn 0 . trên không gian Banach X nên A có điểm bất động duy nhất với khởi đầu 0x tùy ý. Từ định lí 3, ta có ngay kết quả được thể hiện trong nguyên lí ánh xạ co trên lớp các phần tử so sánh được. 4.2. Nguyên lí ánh xạ co trên lớp các phần tử so sánh được Cho X là không gian Banach thực sắp bởi nón K. Năm học 2009– 2010 165 Giả sử:  K là nón sinh, chuẩn.  Ánh xạ :A X X thỏa:        1 2x y B x y A x A y B x y        Trong đó, B là toán tử tuyến tính dương với bán kính phổ r(B) < 1 Khi đó, A có điểm bất động duy nhất trong X với khởi đầu 0x tùy ý. 5. Kết luận Đề tài đã trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của hai lớp ánh xạ trong không gian có thứ tự. Tính mới của đề tài: Được thể hiện trong định lí 1. Từ định lí 1, đề tài đã phát triển lên định lí 2. Từ định lí 1, định lí 2, ta chứng minh được các kết quả trong hệ quả 1, hệ quả 2, và định lí về điểm bất động của toán tử lõm đều (cung cấp một cách nhìn nhận mới cho các kết quả đã biết này). Ngoài ra, đề tài còn đưa ra một chứng minh cụ thể cho một nhận định chưa được chứng minh trong cuốn sách Geometrical methods of Nonlinear Analysis của M. Krasnoselskii, P.Zabreiko (định lí 3) Phương pháp nghiên cứu: Bên cạnh các phương pháp thông dụng như phương pháp sử dụng nguyên lí ánh xạ co thì các phương pháp đặc thù của không gian có thứ tự cũng được sử dụng như nguyên lí Entropi, nguyên lí kẹp, các lý luận trong việc sử dụng quan hệ thứ tự,... Việc sử dụng các phương pháp đặc thù này cho phép bỏ qua tính liên tục của ánh xạ được xét hoặc giảm nhẹ các tính chất liên quan tới tính compact thường được sử dụng trong bài toán điểm bất động. Đây là hướng nghiên cứu hứa hẹn đưa đến nhiều kết quả lí thuyết và ứng dụng thú vị. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Văn Hiển, Nguyên lý Entropi trong một số không gian Topo, khóa luận tốt nghiệp năm 1999, GVHD: PGS.TS. Nguyễn Bích Huy [2] M. Krasnoselskii, P.Zabreiko (1985), Geometrical methods of Nonlinear Analysis, Springer. [3] Nguyễn Thành Nhân, Một số định lí điểm bất động trên không gian K- metric và K-định chuẩn, Khóa luận năm 2008 [4] Hoàng Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.