Điện điện tử - Chương 2: Xác suất và quá trình ngẫu nhiên

1Chương 2 1 1. Xác suất 2. Quá trình ngẫu nhiên CHƯƠNG 2: XÁC SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 6:41 PM 6:41 PM Chương 2 2 Xác suất A, B là hai biến cố  Hợp của hai biến cố: ít nhất một trong hai phải xảy ra  Giao của hai biến cố: hai biến cố phải xảy ra đồng thời  Bao hàm : nếu A xảy ra thì B phải xảy ra  Hiệu: A xảy ra còn B không xảy ra 26:41 PM Chương 2 3 Xác suất A, B là hai biến cố  A và B xung khắc: A và B không đồng thời xảy ra  A và B đối lập: nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại ܤ ൌ ̅ܣ ܣ ∪ ̅ܣ ൌ ܵ S: biến cố chắc chắn xảy ra P(S) = 1 A và B đối lập A và B xung khắc A và B xung khắc A và B có thể không đối lập P(A): xác suất xuất hiện biến cố A 6:41 PM Chương 2 4 Xác suất S: thông tin có các giá trị 00, 01, 10, 11 A: thông tin có các giá trị 00, 10 B: thông tin có các giá trị 01, 11 A và B đối lập A và B xung khắc A: thông tin có các giá trị 00, 10 B: thông tin có các giá trị 01 A và B không đối lập A và B xung khắc 36:41 PM Chương 2 5 Xác suất Xác suất có điều kiện: P(A/B): xác suất xuất hiện biến cố A khi biến cố B đã xảy ra P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) Công thức nhân xác suất: Nếu A, B độc lập: P(AB) = P(A)P(B) 6:41 PM Chương 2 6 Xác suất Hàm phân phối xác suất: (hàm phân phối tích luỹ cdf – cumulative distribution function) X: biến ngẫu nhiên, x: số thực F(x) = P(X  x): xác suất để biến ngẫu nhiên X nhỏ hơn x Hàm mật độ xác suất: (pdf – probability density function) ݌ ݔ ൌ ݀ܨሺݔሻ݀ݔ ܨ ݔ ൌ න ݌ ݔ ݀ݔ ௫ ିஶ ܲ ݔଵ ൏ ܺ ൑ ݔଶ ൌ න ݌ ݔ ݀ݔ ௫మ ௫భ 46:41 PM Chương 2 7 Xác suất Hàm của biến ngẫu nhiên: Xét biến ngẫu nhiên X có pdf p(x), xác định pdf của biến ngẫu nhiên Y = g(X) VD: Y = aX + b, a > 0 ܨ௒ ݕ ൌ ܲ ܻ ൑ ݕ ൌ ܲ ܽܺ ൅ ܾ ൑ ݕ ൌ ܲ ܺ ൑ ݕ െ ܾܽ ൌ න ݌௑ ݔ ݀ݔ ௬ି௕ ௔ ିஶ ൌ ܨ௑ ݕ െ ܾܽ ݌௒ ݕ ൌ 1ܽ ݌௑ ݕ െ ܾ ܽ Tính lại VD trên với a < 0, Y = aX3 + b Đặt t = ax + b: x = ௧ି௕௔ x = -  t = -  x = ௬ି௕௔  t = y dx = dt/a ܨ௒ ݕ ൌ න 1ܽ ݌௑ ݐ െ ܾ ܽ ݀ݐ ൌ ௬ ିஶ න ݌௒ ݕ ݀ݕ ௬ ିஶ 6:41 PM Chương 2 8 Xác suất Hàm của biến ngẫu nhiên: Y = aX2 + b, a > 0 ܨ௒ ݕ ൌ ܲ ܻ ൑ ݕ ൌ ܲ ܽܺଶ ൅ ܾ ൑ ݕ ൌ ܲ |ܺ| ൑ ݕ െ ܾܽ ܨ௒ ݕ ൌ ܨ௑ ݕ െ ܾܽ െ ܨ௑ െ ݕ െ ܾ ܽ ݌௒ ݕ ൌ 1 2ܽ ݕ െ ܾܽ ݌௑ ݕ െ ܾܽ െ 1 െ2ܽ ݕ െ ܾܽ ݌௑ െ ݕ െ ܾܽ 56:41 PM Chương 2 9 Xác suất Trung bình (kỳ vọng toán): ܧ ܺ ൌ න ݔ݌ ݔ ݀ݔ ାஶ ିஶ Y = g(X): ܧ ܻ ൌ න ݃ሺݔሻ݌ ݔ ݀ݔ ାஶ ିஶ Phương sai: ߪ௑ଶ ൌ ܧ ܺଶ െ ܧሺܺሻ ଶ Hàm đặc trưng: ܧ ݁௝ణ௑ ≡ ߰ሺ݆ߴሻ ൌ න ݁௝ణ௫݌ ݔ ݀ݔ ାஶ ିஶ ܧ ܺ ൌ െ݆ ݀߰݀ߴቤణୀ଴ ܧ ܺ௡ ൌ െ݆ ௡ ݀ ௡߰ ݀ߴ௡ቤణୀ଴ moment thứ n 6:41 PM Chương 2 10 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố nhị thức: ܲ ܺ ൌ ݇ ൌ ܥ௡௞݌௞ 1 െ ݌ ௡ି௞ ܥ௡௞ ൌ ݊! ݇! ݊ െ ݇ ! ݌ሺݔሻ ൌ ෍ܥ௡௞݌௞ 1 െ ݌ ௡ି௞ߜሺݔ െ ݇ሻ ௡ ௞ୀ଴ ܨሺݔሻ ൌ ෍ܥ௡௞݌௞ 1 െ ݌ ௡ି௞ߜሺݔ െ ݇ሻ ሾ௬ሿ ௞ୀ଴ [y]: phần nguyên của y E[X] = np, ߪ௑ଶ = np(1-p) 66:41 PM Chương 2 11 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố đều: ݌ ݔ ൌ ቄ݇ ܽ ൑ ݔ ൑ ܾ0 ݄݇áܿ ܨ ݔ ൌ ቐ 0 ݔ ൏ ܽݔ െ ܽ ܾ െ ܽ ܽ ൑ ݔ ൑ ܾ 1 ݔ ൐ ܾ ܧ ܺ ൌ 12 ܽ ൅ ܾ ߪ௑ ଶ ൌ 112 ܽ െ ܾ ଶ 6:41 PM Chương 2 12 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố chuẩn (Gaussian): ݌ ݔ ൌ 1ߪ 2ߨ ݁ ି ௫ି௠೉ మଶఙమ ߪ௑ଶ ൌ ߪଶE[X] = mX ܨ ݔ ൌ 12 ൅ 1 2 erf ݔ െ ݉௑ ߪ 2 erf ݔ ൌ 2 ߨන ݁ ି௧మ݀ݐ ௫ ଴ : error function ܨ ݔ ൌ 1 െ 12 erfc ݔ െ ݉௑ ߪ 2 erfc ݔ ൌ 2 ߨන ݁ ି௧మ݀ݐ ஶ ௫ : complementary error function ܨ ݔ ൌ 1 െ ܳ ݔ െ݉௑ߪ ܳ ݔ ൌ 1 2 erfc ݔ 2 ൌ 1 2ߨන ݁ ି௧మ/ଶ݀ݐ ஶ ௫ : Q function 76:41 PM Chương 2 13 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố chuẩn (Gaussian): mX = 0 ߪ௑ଶ ൌ 1 : dạng chuẩn tắc (trung bình = 0, phương sai = 1) zero-mean, unit variance gaussian random variable Xác định pdf của Y = aX3 + b với X là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn tắc. 6:41 PM Chương 2 14 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Chi-square (Gamma): X là biến ngẫu nhiên phân bố Gaussian Y = X2 là biến ngẫu nhiên phân bố Gamma X có trung bình = 0 và phương sai 2 ݌௒ ݔ ൌ 12ߨݔߪ ݁ ି ௫ଶఙమ ܻ ൌ ෍ ௜ܺଶ ௡ ௜ୀଵ Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = 0 và phương sai 2 ݌௒ ݔ ൌ 1ߪ௡2௡/ଶΓ 12݊ ݔ௡/ଶିଵ݁ି ௫ଶఙమ Γ ݌ ൌ න ݐ௣ିଵ݁ି௧݀ݐ ஶ ଴ : hàm Gamma Γ 12 ൌ ߨ; Γ 3 2 ൌ 1 2 ߨ Γ ݌ ൌ ݌ െ 1 ! ݒớ݅ ݌ ∈ ܼ (phân bố Gamma bậc tự do n) 86:41 PM Chương 2 15 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Chi-square (Gamma): (phân bố Gamma bậc tự do n)ܻ ൌ ෍ ௜ܺଶ ௡ ௜ୀଵ E[Y] = n2 ߪ௒ଶ ൌ 2݊ߪସ X phân bố Gaussian có trung bình mX và phương sai 2 ݌௒ ݔ ൌ 12ߨݔߪ ݁ ି ௫ା௠೉ మ ଶఙమ cosh ݔ݉௑ߪଶ cosh ݔ ൌ ݁ ௫ ൅ ݁ି௫ 2 6:41 PM Chương 2 16 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Chi-square (Gamma): ܻ ൌ ෍ ௜ܺଶ ௡ ௜ୀଵ Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = mi và phương sai 2 ݌௒ ݔ ൌ 12ߪଶ ݔ ݏଶ ௡ିଶ ସ ݁ି ௫ା௦ మ ଶఙమ ܫ௡/ଶିଵ ݔ ݏߪଶ ݏଶ ൌ෍݉௜ଶ ௡ ௜ୀଵ ܫఈ ݔ ൌ ෍ ݔ/2 ఈାଶ௞ ݇! Γ ߙ ൅ ݇ ൅ 1 ஶ ௞ୀ଴ : hàm Bessel sửa đổi loại 1 bậc  x  0 x  0 96:41 PM Chương 2 17 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Rayleigh: ܻ ൌ ଵܺଶ ൅ ܺଶଶ X1 và X2 độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = 0 và phương sai 2 Y là biến ngẫu nhiên phân bố Rayleigh ݌௒ ݔ ൌ ݔߪଶ ݁ ି ௫మଶఙమ x  0 ܨ௒ ݔ ൌ 1 െ ݁ି ௫మ ଶఙమ x  0 E ܻ ൌ ߪ2 2ߨ ߪ௒ଶ ൌ 2 െ 12ߨ ߪ ଶ 6:41 PM Chương 2 18 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Rayleigh: ܻ ൌ ෍ ௜ܺଶ ௡ ௜ୀଵ Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = 0 và phương sai 2 ݌௒ ݔ ൌ ݔ ௡ିଵ 2ሺ௡ିଶሻ/ଶߪ௡Γ 12݊ ݁ି ௫ మ ଶఙమ x  0 ܨ௒ ݔ ൌ 1 െ ݁ି ௫మ ଶఙమ ෍ 1݇! ݔଶ 2ߪଶ ௞௠ ௞ୀଵ n chẵn (n = 2m): x  0 10 6:41 PM Chương 2 19 Xác suất Xác định trung bình, phương sai của biến ngẫu nhiên Cauchy có pdf: ݌ ݔ ൌ ܽ/ߨݔଶ ൅ ܽଶ - < x <  Cho hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên Cauchy: ߰ሺ݆ߴሻ ൌ ݁ି௔ ణ Trong đó Xi là các biến ngẫu nhiên độc lập thống kê và có phân bố Cauchy như trên Xác định hàm đặc trưng và pdf của: ܻ ൌ 1݊෍ ௜ܺ ௡ ௜ୀଵ Áp dụng: E(XY) = EX.EY nếu X, Y độc lập 6:41 PM Chương 2 20 Xác suất 11 6:41 PM Chương 2 21 Quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên (stochastic process): biến ngẫu nhiên xác định theo thông số t (thường là thời gian) Ký hiệu: X(t) Xét tập {t1, , tn}  ܺ௧೔ ≡ ܺ ݐ௜ là các biến ngẫu nhiên tạo ra từ X(t) tập {t1+t, , tn+t}  ܺ௧೔ା௧ ≡ ܺ ݐ௜ ൅ ݐ ܰếݑ ݌ ݔ௧భ, ݔ௧మ, , ݔ௧೙ ൌ ݌ ݔ௧భା௧, ݔ௧మା௧, , ݔ௧೙ା௧ ݒớ݅ ݐ, ݊ ܾấݐ ݇ỳ Quá trình ngẫu nhiên dừng 6:41 PM Chương 2 22 Quá trình ngẫu nhiên Trung bình thống kê ܧ ܺ௧೔௡ ൌ න ݔ௧೔௡݌ ݔ௧೔ ݀ݔ ஶ ିஶ Hàm tự tương quan ߶ ݐଵ, ݐଶ ൌ ܧ ܺ௧భ, ܺ௧మ ൌ න න ݔ௧భݔ௧మ݌ ݔ௧భ, ݔ௧మ ݀ݔ௧భ݀ݔ௧మ ஶ ିஶ ஶ ିஶ Nếu quá trình ngẫu nhiên là dừng: ߶ ݐଵ, ݐଶ ൌ Φ ݐଵ െ ݐଶ ൌ ߶ሺ߬ሻ ߶ ߬ ൌ ߶ െ߬ 12 6:41 PM Chương 2 23 Quá trình ngẫu nhiên Hàm tự tương quan Nếu quá trình ngẫu nhiên không dừng có: ߶ ݐଵ, ݐଶ ൌ ߶ ݐଵ െ ݐଶ Quá trình ngẫu nhiên thống kê nghĩa rộng (WSS – Wide-sense Stationary Hàm tương quan chéo ߶௫௬ ݐଵ, ݐଶ ൌ ܧ ܺ௧భ, ௧ܻమ ൌ න න ݔ௧భݕ௧మ݌ ݔ௧భ, ݕ௧మ ݀ݔ௧భ݀ݕ௧మ ஶ ିஶ ஶ ିஶ ߶௫௬ ߬ ൌ ߶௬௫ െ߬ Nếu quá trình ngẫu nhiên là dừng: ߶௫௬ ݐଵ, ݐଶ ൌ ߶௫௬ ݐଵ െ ݐଶ ൌ ߶௫௬ሺ߬ሻ 6:41 PM Chương 2 24 Quá trình ngẫu nhiên Mật độ phổ công suất (psd – power spectral density) Φ ݂ ൌ න ߶ሺݐሻ݁ି௝ଶగ௙௧݀ݐ ஶ ିஶ (f): hàm thực, chẵn Φ௫௬ ݂ ൌ න ߶௫௬ሺݐሻ݁ି௝ଶగ௙௧݀ݐ ஶ ିஶ ൌ Φ௫௬∗ ሺെ݂ሻ ߶௫௬ ߬ ൌ න Φ௫௬ሺݐሻ݁௝ଶగ௙ఛ݂݀ ஶ ିஶ ߶ ߬ ൌ න Φ ሺݐሻ݁௝ଶగ௙ఛ݂݀ ஶ ିஶ 13 6:41 PM Chương 2 25 Quá trình ngẫu nhiên Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên X(t) là: ߶௫௫ ߬ ൌ 12 ଴ܰߜሺ߬ሻ (nhiễu trắng: white noise) Tín hiệu x(t) đưa qua mạch lọc có đáp ứng tần số: -fc fc BB Xác định tổng công suất ở ngõ ra mạch lọc: Φ௫௫ ݂ ൌ න ߶ሺݐሻ݁ି௝ଶగ௙௧݂ݐ ஶ ିஶ ൌ 12 ଴ܰ Psd ở ngõ ra mạch lọc:Φ௬௬ ݂ ൌ Φ௫௫ ݂ ܪሺ݂ሻ ଶ Tổng công suất ở ngõ ra mạch lọc: ܲ ൌ ߶௬௬ ߬ ൌ 0 ൌ න Φ௬௬ ݂ ݁௝ଶగ௙ఛ݂݀ ஶ ିஶ ൌ න 12 ଴ܰ ܪሺ݂ሻ ଶ݂݀ ஶ ିஶ ൌ 12 ଴ܰ 2ܤ ൌ ଴ܰܤ 6:41 PM Chương 2 26 Quá trình ngẫu nhiên Cho quá trình ngẫu nhiên nhiễu trắng X(t) là ngõ vào của mạch như hình vẽ. R C߶௫௫ ߬ ൌ ߪଶߜሺ߬ሻ X(t) Y(t) Xác định yy(f), yy() và E[Y2(t)] Φ௬௬ ݂ ൌ Φ௫௫ ݂ ܪሺ݂ሻ ଶTính H(f) Áp dụng: ߶ ߬ ൌ න Φ ሺݐሻ݁௝ଶగ௙ఛ݂݀ ஶ ିஶ