Điện điện tử - Chương 9: Dẫn nhiệt ổn định

95 .Ch−ơng 9. dẫn nhiệt ổn định 9.1. định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt 9.1.1 Định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt Dựa vào thuyết động học phân tử, Fourier đã chứng minh định luật cơ bản của dẫn nhiệt nh− sau: Vec tơ dòng nhiệt tỷ lệ thuận với vectơ gradient nhiệt độ. Biểu thức của định luật có dạng vectơ là: ,dtagrq λ−= dạng vô h−ớng là: . tn dtgradtq λ−=λ−= Theo định luật này, nhiệt l−ơng Q đ−ợc dẫn qua diện tích F của mặt đẳng nhiệt trong 1 giây đ−ợc tính theo công thức: ∫ ∂∂λ−= F dF.n tQ Khi gradt không đổi trên bề mặt F, công thức có dạng: dF. n tQ ∂ ∂λ−= Định luật Fourier là định luậtcơ bản để tính l−ợng nhiệt trao đổi bằng ph−ơng thức dẫn nhiệt. 9.1.2 Hệ số dẫn nhiệt λ Hệ số của định luật Fourier gradt q=λ , W/mK đ−ợc gọi là hệ số dẫn nhiệt. Hệ số dẫn nhiệt λ đặc tr−ng cho khả năng dẫn nhiệt của vật. Giá trị của λ phụ thuộc vào bản chất và kết cấu của vật liệu, vào độ ẩm và nhiệt độ, đ−ợc xác định bằng thực nghiệm với từng vật liệu và cho sẵn theo quan hệ với nhiệt độ tại bảng các thông số vật lý của vật liệu. 9.2. Ph−ơng trình vi phân dẫn nhiệt 9.2.1. Nội dung của ph−ơng trình vi phân dẫn nhiệt Ph−ơng trình vi phân dẫn nhiệt là ph−ơng trình cân bằng nhiệt cho một phân tố bất kỳ nằm hoàn toàn bên trong vật dẫn nhiệt. 9.2.2. Thiết lập ph−ơng trình Xét cân bằng nhiệt cho phân tố dV bên trong vật dẫn, có khối l−ợng riêng ρ, nhiệt dung riêng Cv, hệ số dẫn nhiệt λ, dòng nhiệt phân tố là q , công suất phát nhiệt qv. 96 Theo định luật bảo toàn năng l−ợng, ta có: [Độ biến thiên nội năng của dV] = [Hiệu số nhiệt l−ợng (vào-ra) dV] + [l−ợng nhiệt sinh ra trong dV], tức là: τ+τ−=τ∂ ∂ρ d.dV.qd.dV.divqtC.dV. vv , hay: v v v C. q qdiv C. 1t ρ+ρ=τ∂ ∂ Theo định luật fourier ,dtagrq λ−= khi λ = const ta có: )dtagr(div)dtagr(divqdiv λ−=λ−= Trong đó: Div(gra dt) = t z t zy t yx t x 2∇=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ , Với: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ϕ∂ ∂+ϕ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ =∇ z) , r, trụ dộ toạ (trong , z) y, x,với góc vuông dộ toạ (trong , 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 z tt r 1 r t. r 1 r t z t y t x t t Ph−ơng trình vi phân dẫn nhiệt là ph−ơng trình kết hợp hai định luật nói trên, có dạng: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ λ+∇=ρ+∇ρ λ=τ∂ ∂ v2 v v2 v q ta C. q t C. t với a = vC.ρ λ , m2/s., đ−ợc gọi là hệ số khuyếch tán nhiệt, đặc tr−ng cho mức độ tiêu tán nhiệt trong vật. 9.2.3. Các dạng đặc biệt của ph−ơng trình vi phân dẫn nhiệt với qv = 0 Khi vật ổn định nhiệt, 0t =τ∂ ∂ , ph−ơng trình có dạng 0t2 =∇ . Trong vách phẳng rộng vô hạn và ổn định nhiệt có λ = const, tr−ờng nhiệt độ t(x) đ−ợc xác định theo ph−ơng trình 0 dx td 2 2 = . Trong điều kiện λ = const và ổn định nhiệt, tr−ờng nhiệt độ t(r) trong vách trụ tròn dàI vô hạn đ−ợc xác định theo ph−ơng trình vi phân dẫn nhiệt trong toạ độ trụ: 0 dr dt r 1 dx td 2 2 =+ . 9.3. Các điều kiện đơn trị 97 Ph−ơng trình vi phân dẫn nhiệt nói chung là ph−ơng trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn là hàm phân bố nhiệt độ t(x, y, z, τ). Nghiệm tổng quat của nó chứa nhiều hằng số tuỳ ý chọn. để xác định duy nhất nghiệm riêng của ph−ơng trình vi phân dẫn nhiệt, cần phải cho tr−ớc một số điều kiện, gọi là các điều kiện đơn trị. 9.3.1. Phân loại các điều kiện đơn trị Tuỳ theo nội dung, các điều kiện đơn trị bao gồm 4 loại sau: - Điều kiện hình học cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định kích th−ớc, hình dạng, vị trí của hệ vật V. - Điều kiện vật lý cho biết luật phân bố các thông số vật lý theo nhiệt độ tại mọi điểm M ∈ V, tức cho biết (ρ, Cv, λ, a . . . ) = f(t, M ∈ V). - Điều kiện ban đầu cho biết luật phân bố nhiệt độ tại thời điểm τ = 0 tại mọi điểm M∈ V, tức cho biết t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z). - Điều kiện biên cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc cân bằng nhiệt tại mọi điểm M trên biên W của hệ V tại mọi thời điểm τ. Nếu ký hiệu dòng nhiệt qλ dẫn trong vật V đến M ∈ W là nt.n tq λ−=∂ ∂λ−=λ , thì điều kiện biên có thể cho ở dạng: ),0(,WƯM ),M(q),M(tq ),M(tt n w ∞∈τ∀∈∀ ⎭⎬ ⎫ τ=τλ−= τ= λ hoặc . Điều kiện hình học, vật lý và điều kiện biên cần phải cho tr−ớc trong mọi bài toán. Riêng điều kiện ban đầu chỉ cần cho trong bài toán không ổn định. 9.3.2. Các loại điều kiện biên Tại mỗi mặt biên Wi ∈ W = ∑Wi của vật V, tuỳ theo cách phân bố nhiệt độ hoặc cách trao đổi nhiệt với môi tr−ờng khác nhau, điều kiện biên có thể đ−ợc cho theo các loại sau đây: - ĐKB loại 1: cho biết luật phân bố nhiệt độ tại mọi điểm M1 ∈ W1 ở dạng: tw1 = t(M1, τ). - ĐKB loại 2: cho biết dòng nhiệt qua điểm M2 ∈ W2 là: q(M2, τ) = -λ.tn.(M2, τ). Đặc biệt khi W2 đ−ợc cách nhiệt tuyệt đối hoặc là mặt đối xứng của bài toán, thì tn(M2, τ) = 0 và hàm t sẽ đạt cực trị tại M2 ∈ W2. - ĐKB loại 3: cho biết biên W3 tiếp xúc chất lỏng có nhiệt độ tf với hệ số toả nhiệt α và luật cân bằng nhiệt tại W3 ∈ W3 có dạng: qλ = qα hay -λ.tn.(M3, τ) = α[t(M3, τ) – tf ]. - ĐKB loại 4: cho biết biên W4 tiếp xúc với môi tr−ờng rắn có phân bố nhiệt độ t4 và luật cân bằng nhiệt tại W4 ∈ W4 là qλ = qλ4 hay -λ.tn.(M4, τ) = -λ4.tn.(M4, τ). 98 - ĐKB loại 5: cho biết trên biên W5 có sự trao đổi chất do sự khuyếch tán hay chuyển pha (chẳng hạn do hoá lỏng, hoá rắn hoặc thăng hoa, kết tinh). Khi đó chính biên W5 sẽ di chuyển và khối l−ợng vật V sẽ thay đổi và ph−ơng trình cân bằng nhiệt tại điểm M5 trên biên W5 di động sẽ có dạng: qλ = qλ’ + qr hay -λtn(M5, τ) = -λ’t’n(M5, τ) + r τρ d dx . 5 . trong đó: τd dx5 là tốc độ di chuyển của điểm M5 ∈ W5, r là nhiệt chuyển pha j/kg. - ĐKB loại 6: cho biết biên W6 tiếp giáp với môi tr−ờng chân không, ở đó chỉ xẩy ra sự trao đổi nhiệt bằng bức xạ và ph−ơng trình cân bằng nhiệt tại W6 ∈ W6 có dạng: qλ = qε hay -λtn(M6, τ) =εσ0T4(M6, τ). - ĐKB loại 7: cho biết biên W7 tiếp xúc với chất khí có nhiệt độ Tk, ở đó có sự trao đổi nhiệt bằng cả đối l−u và bức xạ. Ph−ơng trình cân bằng nhiệt tại W7 ∈ W7 có dạng: qλ = qλ + qr hay -λtn(M7, τ) = α[T(M7, τ) - Tk] + εσ0[T4(M7, τ) – T4k]. ĐKB loại 7 có thể qui về loại 3 nếu viêt ph−ơng trình trên ở dạng: qλ = )TT( kw −α với )TT/()TT( kw4k4w0 −−εσ+α=α , đ−ợc gọi là hệ số toả nhiệ phức hợp. ĐKB loại 6 và loại 7 là những ĐKB không tuyến tính. 9.3.3. Mô hình bài toán dẫn nhiệt Bài toán dẫn nhiệt có thể đ−ợc mô tả bằng một hệ ph−ơng trình vi phân (t) gồm ph−ơng trình vi phân dẫn nhiệt và các ph−ơng trình mô tả các đIều kiện đơn trị nh− đã nêu ở mục (9.3): ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∇=τ∂ ∂ dkdt các tả mô trinh ph−ong Các tat)t( 2 Giải bài toán dẫn nhiệt là tìm hàm phân bố nhiệt độ t(x, y, z, τ) thoả mãn mọi ph−ơng trình của hệ (t) nói trên. 9.4. Dẫn nhiệt ổn định trong vách phẳng 9.4.1. Vách 1 lớp, biên loại 1 9.4.1.1. Bài toán Cho 1 vách phẳng rộng vô hạn, dày δ, (0 ≤ x ≤ δ), làm bằng vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt λ = const, nhiệt độ tại hai mặt vách phân bố đều bằng t1, t2 và không đổi. Tìm phân bố nhiệt độ t(x) bên trong vách. Bài toán dẫn nhiệt ổn định này đ−ợc mô tả bởi hệ ph−ơng trình (t) có dạng: 99 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =δ = = (3) (2) (1) 2 1 2 2 t)(t t)0(t 0 dx td )t( 9.4.1.2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x) Nghiệm tổng quát của ph−ơng trình vi phân dẫn nhiệt (1) có dạng t(x) = C1x + C2. Các hằng số C1, C2 đ−ợc xác định theo các ĐKB (2) và (3): ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −δ=→=+δ=δ == )tt(1CtCC)(t tC)0(t )t( 121221 12 Vậy phân bố nhiệt độ trong vách là t(x) = x)tt(1t 211 −δ− , có dạng đ−ờng thẳng qua 2 điểm (0. t1) và (δ, t2). 9.4.1.3. Tính dòng nhiệt dẫn qua vách Theo định luật Fourier ta có: R ttt dx dtq 21 ∆= λ ρ −=λ−= , (W/m2), với R = λ δ , (m2K/W) gọi là nhiệt trở của vách phẳng. 9.4.2. Vách n lớp, biên loại 1 9.4.2.1. Bài toán 100 Cho vách phẳng n lớp, mỗi lớp thứ i dày δ, có hệ số dẫn nhiệt λ, 2 mặt biên có nhiệt độ không đổi, phân bố đều và bằng t0, tn cho tr−ớc. Tính dòng nhiệt q qua vách và nhiệt độ các mặt tiếp xúc ti, ∀i = 1 ữ (n-1). 9.4.2.2. Lời giải Khi ổn định, dònh nhiệt q qua mọi lớp là không đổi: n n n1n i i 1ii 1 1 10 ttttttq λ δ −= λ δ −= λ δ −= −+ Đây là hệ n ph−ơng trình đại số tuyến tính của ẩn số ti và q. bằng cách khử các ẩn số ti, ∀ i = 1 ữ (n-1), sẽ tìm đ−ợc: ∑∑ ∆= λ δ −= = i n 1i i i n0 R tttq , (W/m2). Thay q vào lần l−ợt mỗi ph−ơng trình ta tìm đ−ợc nhiệt độ các mặt tiếp xúc: ti = ti-1 - x)tt( 1 i1i i −δ − , ∀ i = 1 ữ n. Phân bố nhiệt độ trong mỗi lớp thứ I là đoạn thẳng có dạng: ti(x) = ti-1 - x)tt( 1 i1i i −δ − , ∀ i = 1 ữ n. 9.4.3. Vách một lớp, biên loại 3 9.4.3.1. Bài toán Cho vách phẳng rộng vô hạn, dày δ, hệ số dẫn nhiệt λ = const, mặt x = 0 tiếp xúc với chất lỏng 1 có nhiệt độ tf1 với hệ số toả nhiệt α1, mặt x = δ tiếp xúc với chất lỏng 2 có nhiệt độ tf2 với hệ số toả nhiệt α2, tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong vách. Mô hình bài toán có dạng: 101 [ ] [ ]⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ δλ−=−δα λ−=−α = (3) (2) (1) dx )(dtt)(t dx )0(dt)0(tt 0 dx td )t( 2f2 1f1 2 2 9.4.3.2. Tìm phân bố t(x) Nghiệm tổng quát của (1) là: t(x) = C1x + C2. Các hằng số C1, C2 đ−ợc xác định theo (2) và (3): ⎩⎨ ⎧ λ−=−+δα λ−=−α 12f212 121f1 C)tCC( C)Ct( Giải hệ này ta đ−ợc: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ α λ+= α λ+δ+α λ −= 1 2 1f2 21 2f1f 1 CtC tt C Do đó phân bố t(x) có dạng: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α λ+ α λ+δ+α λ −−= 1 21 2f1f 1f x tt t)x(t Đồ thị t(x) là đoạn thẳng đi qua 2 điểm ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α λ− 1f 1 1 t,R và ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α λ+δ 2f 2 2 t,R đ−ợc gọi là các điểm định h−ớng của ĐKB loại 3. 9.4.3.3. Tính doang nhiệt q Theo định luật Fourier ta có: 21 2f1f 1 11 tt C dx dtq α+λ δ+α −=λ−=λ−= , (W/m2), Theo biểu thức t(x) có thể tính nhiệt độ tại 2 mặt vách theo: ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α λ+δ α λ+δ+α λ −−=δ= α α+λ δα+ −−== 1 21 2f1f 1f2w 2 11 2f1f 1f1w tt t)(tt 1 tt t)0(tt 102 9.5. Dẫn nhiệt trong vách trụ 9.5.1. Trụ một lớp, biên loại 1 Bài toán: Cho vách trụ 1 lớp đồng chất, bán kính trong r1, ngoài r2, λ = const, hai mặt biên có nhiệt độ t1, t2. Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong trụ và nhiệt l−ợng ql = ,l Q (W/m), truyền qua 1m dài mặt trụ. Trong toạ độ trụ, mô hình bài toán trên có dạng: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = =+ (3) (2) (1) 22 11 2 2 t)r(t t)r(t 0 dr dt r 1 dr td )t( 9.5.1.2. Tìm phân bố t(r) Đổi biến dr dtu = thì ph−ơng trình vi phân dẫn nhiệt (1) có dạng: 0 r u dr du =+ hay r dr u du −= . Lấy tích phân lần 1 ta có: Lnu = - ln r + ln C1 = rln Cln 1 hay r dtCdt r C u dr dt 1 1 =→== . Lấy tích phân lần 2 ta có nghiệm tổng quát của (1) là: t(r) = C1ln r + C2, Các hằng số C1, C2 đ−ợc tính theo ĐKB (2) và (3): ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −= −−= → ⎭⎬ ⎫ +== +== 1112 1 2 21 1 22122 21111 rlnCtC r r ln tt C CrlnCt)r(t CrlnCt)r(t Vậy phân bố nhiệt độ trong vách trụ có dạng: 1 1 2 21 1 r rln r r ln tt t)r(t −−= Đ−ờng cong t(r) có dạng logarit đi qua 2 điểm (r1, t1) và (r2, t2). 9.5.1.3. Tính nhiệt l−ợng Dòng nhiệt qua 1m2 mặt trụ bán kính r bất kỳ là: 1 2 211 r r lnr )tt( r C dr dtq −λ=λ−=λ−= , w/m2, 103 luôn giảm khi r tăng. L−ợng nhiệt qua 1m dài mặt trụ bán kính r bất kỳ là: l 1 2 21 1l R t r r ln 2 1 )tt( C2 l rl2.q l Qq ∆= πλ −=πλ−=π== , (w/m), Với 1 2 l r r ln 2 1R πλ= , (mK/W) là nhiệt trở của 1m trụ. Vì ql = const với mọi mặt trụ, không phụ thuộc vào bán kính r nên ql đ−ợc coi là 1 đại l−ợng đặc tr−ng cho dẫn nhiệt qua vách trụ. 9.5.2. Trụ n lớp biên loại 1 9.5.2.1. Bài toán Cho vách trụ n lớp, bán kính trong r0, r1, . . . ri, . . . rn, có hệ số dẫn nhiệt λi, có nhiệt độ 2 mặt biên không đổi t0, tn. Tìm l−ợng nhiệt ql , qua 1m dài mặt trụ, nhiệt độ ti, ∀ i = 1 ữ (n-1) các mặt tiếp xúc và phân bố nhiệt độ ti(r) trong mỗi lớp. 9.5.2.2. Lời giải Vì ql = const với mọi lớp nên có hệ ph−ơng trình: ,n1i, r r ln 2 1 )tt( q n 1i 1i i i i1i l ữ=∀ πλ −= ∑ = − − Bằng cách khử (n-1) ẩn ti, ∀ i = 1 ữ (n-1) se thu đ−ợc: , r r ln 2 1 )tt( q n 1i 1i i i n0 l ∑ = −πλ −= , (W/m) trong đó: , r r ln 2 1R n 1i 1i i i l ∑ = −πλ = , (mK/W) là tổng nhiệt trở của 1m vách trụ n lớp. Tính ti, ∀ i = 1 ữ (n-1) lần l−ợt theo ql ta đ−ợc: ),1n(1i, r r ln 2 1tt 1i i i 1ll −ữ=∀πλ−= −− Phân bố nhiệt độ trong mỗi lớp thứ i có dạng: ),1n(1i, r r ln r r ln tt t)r(t 1i 1i i 1ii ll −ữ=∀−−= − − − 104 là đ−ờng cong logarit đI qua 2 điểm (ri-1, ti-1) và (ri, ti). 9.5.3. Vách trụ một lớp biên loại 3 9.5.3.1. Bài toán Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong vách trụ đồng chất có r1, r2, λ cho tr−ớc, mặt trong tiếp xúc với chất lỏng nóng có tf1, α1, mặt ngoài tiếp xúc với chất lỏng lạnh có tf2, α2. Trong toạ độ trụ, mô hình bài toán có dạng: [ ] [ ]⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ λ−=−α λ−=−α =+ (3) (2) (1) )r(tt)r(t )r(t)r(tt 0 dr dt r 1 dr td )t( 2r2f22 1r11f1 2 9.5.3.2. Tìm phân bố t(r) Nghiệm tổng quát của (1) là: t(r) = C1x + C2. Các hằng số C1, C2 đ−ợc xác định theo các ĐKB (2) và (3): ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ λ−=−+α λ−=−−α 2 1 2f2212 1 1 2111f1 r C )tCrlnC( r C )CrlnCt( Giải ra ta đ−ợc: ; r rln rr ttC 1 2 2211 1f2f 1 +α λ+α λ −= và C2 = tf2 + C1; Vậy: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α λ+ +α λ+α λ −−= 111 1 2 2211 2f1f 1f rr rln r r ln rr tt t)r(t . Đồ thị t(r) có dạng loarit tiếp tuyến tại r1 qua điểm ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α λ− 1f 1 11 t,rR và tiếp tuyến tại r1 qua điểm ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α λ+ 2f 2 22 t,rR . 9.5.3.3. Tính nhiệt l−ợng q1 L−ợng nhiệt qua 1m dài mặt trụ không đổi và bằng: 105 1 2 2211 2f1frl l r r ln 2 1 r2 1 r2 1 )tt( l rl2t l Q q πλ+απ+απ −=πλ== , (w/m), Nhiệt độ các mặt biên là: 1 2 2211 11 2f1f 1f11w r r ln rr r )tt( t)r(tt +α λ+α λ α λ− −== 1 2 2211 111 2 2f1f 1f22w r r ln rr ) rr r )(lntt( t)r(tt +α λ+α λ α λ+− −== . 9.6. Dẫn nhiệt qua cánh Khi muốn tăng c−ờng truyền nhiệt, ng−ời ta th−ờng gắn các cánh trên mặt toả nhiệt, chẳng hạn trên xilanh hoặc stato của các động cơ. Theo kết câu, ng−ời ta có thể gắn cánh thẳng, cánh tròn tiết diện không đổi, hình thang hoặc tam giác. Đặc đIểm của cánh là chiều dày δ của cánh rất bé so với các kích th−ớc khác, do đó nhiệt độ tại mỗi tiết diện f đ−ợc coi là phân bố đều và chỉ thay đổi theo chiều cao x của cánh. 9.6.1. Bài toán truyền nhiệt qua cánh phẳng có tiết diện không đổi Tìm phân bố nhiệt độ và l−ợng nhiệt truyền qua 1 cánh thẳng có diện tích f = δL và chu vi tiết diện u = 2(L + δ) không đổi, khi nó tiếp xúc chất lỏng nóng có nhiệt độ tf1 với hệ số toả nhiệt α1 và tại đỉnh cánh là αl, biết chiều cao l và nhiệt độ tại gốc là t0. [ ] [ ]⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ λ−=−α λ−=−α =+ (3) (2) (1) )r(tt)r(t )r(t)r(tt 0 dr dt r 1 dr td )t( 2r2f22 1r11f1 2 9.6.2. Tìm phân bố nhiệt độ Tại độ cao x xét phân tố dV = f.dx của cánh. Phân tố này có biên loại 3 tại mặt udx nên nó không phải phân tố trong, không tuân theo ph−ơng trình tat 2∇=τ∂ ∂ , Ph−ơng trình cân bằng nhiệt cho dV là: δQα = Qx - Qx+dx . 106 Nếu gọi θ(x) = t(x) – tf thì ph−ơng trình trên có dạng: ,dx dx dffdx dx d dx df dx dudx 2 2θλ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ θ+θλ+θλ−=αθ hay 0m" f u" 2 =θ−−θ=θλ α−θ với m = , f u λ α (m-1). Nghiệm tổng quát của ph−ơng trình trên có dạng: θ(x) = C1eml + C2e-ml. Các hằng số C1 và C2 tìm theo ĐKB loại 1 tại x = 0 và loại 3 tại x = l: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −λ α−=− +=θ → ⎭⎬ ⎫ θα=λθ− θ=−=θ −− )eCeC(emCemC CC )i()l(' tt)0( ml 2 ml 1 1ml 2 ml 1 210 2 0f0 Giải ra ta đ−ợc: [ ] [ ] )ml(sh m )ml(ch )xl(msh m )xl(mch )x( 1 1 0 λ α+ −λ α+− θ=θ Trong tính toán kỹ thuật, có thể coi α1 = 0 (do f<< ul), khi đó phân bố nhiệt độ trong cánh có dạng: [ ] )ml(ch )xl(mch)x( 0 −θ=θ , hay: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ λ α ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ λ α− −+= f u.lch f u).x1(ch )tt(t)x(t f0f . Với thanh trụ dài vô han có f = const, phân bố nhiệt độ sẽ là: [ ] mx 00 l e )ml(ch )xl(mch)x( lim − ∞→ θ=−θ=θ 9.6.3. Tính l−ợng nhiệt qua gốc cánh )ml(th m 1 )ml(th mfm)0('fQ 1 1 0 λ α+ +λ α θλ=θλ−= , (w) Khi coi α1 = 0 thì Q = mλfθ0th(ml). Với thanh dài vô hạn thì Q = mλfθ0. L−ợng nhiệt truyền qua các loại cánh khác th−ờng đ−ợc tính gần đúng theo công thức của cánh thẳng t−ơng ứng rồi nhân với 1 hệ số hiệu chỉnh cho từng loại cánh. 107 Ch−ơng 10. trao đổi nhiệt đối l−u 10.1. Các khái niệm cơ bản 10.1.1. Định nghĩa và phân loại Trao đổi nhiệt đối l−u, hay còn gọi là tỏa nhiệt, là hiện t−ợng dẫn nhiệt từ bề mặt vật rắn vào môi tr−ờng chuyển động của chất lỏng hay chất khí. Tùy theo nguyên nhân gây chuyển động chất lỏng, tỏa nhiệt đ−ợc phân ra 2 loại: -Theo nhiệt tự nhiên là hiện t−ợng dẫn nhiệt vào chất lỏng chuyển động tự nhiên, luôn xảy ra trong tr−ờng trọng lực khi nhiệt độ chất lỏng khác nhiệt độ bề mặt. - Tỏa nhiệt c−ỡng bức là hiện t−ợng dẫn nhiệt vào chất lỏng chuyển động c−ỡng bức do tác dụng của bơm, quạt hoặc máy nén. 10.1.2. Công thức tính nhiệt cơ bản. Thực nghiệm cho hay l−ợng nhiệt Q trao đổi bằng đối l−u giữa mặt F có nhiệt độ tw với chất lỏng có nhiệt độ tf luôn tỉ lệ với F và ∆t = tw - tf. Do đó, nhiệt l−ợng Q đ−ợc đề nghị tính theo 1 công thức quy −ớc, đ−ợc gọi là công thức Newton, có dạng sau: hay],W[,tFQ ∆α= ]m/W[,tq 2∆α= 10.1.3. Hệ số tỏa nhiệt α Hệ số α của công thức Newton nói trên, đ−ợc gọi là hệ số tỏa nhiệt: [ ]Km/W t q tF Q 2 ∆=∆=α , Hệ số α đặc tr−ng cho c−ờng độ tỏa nhiệt, bằng l−ợng nhiệt truyền từ 1m2 bề mặt đến chất lỏng có nhiệt độ khác nhiệt độ bề mặt 1 độ Giá trị của α đ−ợc coi là ẩn số chính của bài toán tỏa nhiệt, phụ thuộc vào các thông số khác của môi tr−ờng chất lỏng và bề mặt, đ−ợc xác định chủ yếu bằng các công thức thực nghiệm. 10.1.4. Các thông số ảnh h−ởng tới hệ số tỏa nhiệt α Tỏa nhiệt là hiện t−ợng dẫn nhiệt từ bề mặt vào môi tr−ờng chất lỏng chuyển động. Do đó, mọi thông số ảnh h−ởng đến sự chuyển động và dẫn nhiệt trong chất lỏng đều ảnh h−ởng tới hệ số α. Các thông số này th−ờng đ−ợc phân ra 4 loại nh− sau: * Thông số hình học: Mô tả vị trí, kích th−ớc, hình dạng của mặt tỏa nhiệt. Giá trị của thông số hình học trong mỗi công thức thực nghiệm đ−ợc chọn nh− một kích th−ớc nào đó 108 của mặt F, đ−ợc gọi là kích th−ớc xác định. Tùy theo vị trí và hình dạng của mặt F, kích th−ớc xác định l có thể chọn là chiều cao h, chiều dài l hoặc đ−ờng kính t−ơng đ−ơng u f4d = , với f và u là diện tích và chu vi của mặt cắt chứa chất lỏng. * Các thông số vật lí của chất lỏng: Các thông số vật lí ảnh h−ởng tới α bao gồm: - Các thông số vật lí ảnh h−ởng tới chuyển động là: khối l−ợng riêng ρ [kg/m3], hệ số nở nhiệt [ ]1 0 K, TV V −∆=β , độ nhớt động học γ [ ]sm /2 . - Các thông số ảnh h−ởng tới dẫn nhiệt là: hệ số dẫn nhiệt [ ]mK/Wλ , hệ số khuyếch tán nhiệt [ ]s/m pC a 2λ= . Các thông số vật lí nói trên đều thay đổi theo nhiệt độ chất lỏng. Trong mỗi thực nghiệm, để xác định các thông số vật lí, ng−ời ta quy định 1 giá trị nào đó của nhiệt độ chất lỏng, đ−ợc gọi là nhiệt độ xác định. Nhiệt độ xác định có thể à nhiệt độ tf, tW hay )tt(2 1t wfm += , tùy mô hình cụ thể, do nhà thực nghiệm qui định. * Nguyên nhân gây chuyển động chất lỏng: - Chuyển động đối l−u tự nhiên luôn phát sinh khi có độ chênh trọng l−ợng riêng giữa các lớp chất lỏng gần và xa vách. Độ chênh trọng l−ợng riêng tỉ lệ với gia tốc trọng lực g[m/s2], với hệ số nở thể tích [ ]1K −β và với độ chênh nhiệt độ ∆t giữa vách và chất lỏng, tức tỉ lệ với tích gβ∆t,[m/s2]. - Chuyễn động c−ỡng b−ớc gây ra bởi lực c−ỡng bức của bơm quạt, đ−ợc đặc tr−ng chủ yếu bằng tốc độ ω [m/s] của dòng chất lỏng. Khi chuyển động