TÓM TẮT
Từ các kết quả về điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị dựa trên khái niệm dưới vi phân yếu của
hàm véc tơ, bài báo này trình bày nghiên cứu dưới vi phân xấp xỉ yếu cho hàm đa trị. Khái niệm
-dưới vi phân yếu cho hàm đa trị được đề nghị. Điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John và KuhnTucker cho bài toán được thiết lập.
Từ khoá: tối ưu đa trị, điều kiện tối ưu dạng xấp xỉ, dưới vi phân yếu dạng xấp xỉ
ABSTRACT
Motivated by optimality conditions for set-valued optimization problems based on the notion of weaksubdifferential for vector functions, this paper deals with approximate weak-subdifferentials for setvalued functions. The notion of -weak subdifferential for set-valued functions is proposed. The
approximate optimality conditions in Fritz-John and Kuhn-Tucker types for the problem are
investigated.
13 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 343 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Điều kiện tối ưu dạng xấp xỉ cho bài toán tối ưu đa trị, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY
TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL
ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY
Số 71 (05/2020) No. 71 (05/2020)
Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website:
109
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU DẠNG XẤP XỈ CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA TRỊ
Approximate optimality conditions for set-valued optimization problems
ThS. Trần Hòa Hiệp
Trường Đại học Sài Gòn
TÓM TẮT
Từ các kết quả về điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị dựa trên khái niệm dưới vi phân yếu của
hàm véc tơ, bài báo này trình bày nghiên cứu dưới vi phân xấp xỉ yếu cho hàm đa trị. Khái niệm
-dưới vi phân yếu cho hàm đa trị được đề nghị. Điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John và Kuhn-
Tucker cho bài toán được thiết lập.
Từ khoá: tối ưu đa trị, điều kiện tối ưu dạng xấp xỉ, dưới vi phân yếu dạng xấp xỉ
ABSTRACT
Motivated by optimality conditions for set-valued optimization problems based on the notion of weak-
subdifferential for vector functions, this paper deals with approximate weak-subdifferentials for set-
valued functions. The notion of -weak subdifferential for set-valued functions is proposed. The
approximate optimality conditions in Fritz-John and Kuhn-Tucker types for the problem are
investigated.
Keywords: approximate weak-subdifferential, approximate optimality conditions, set-valued optimization
1. Phần giới thiệu
Trong tối ưu véc tơ, các khái niệm về
nghiệm tối tiểu, tối tiểu yếu, tối tiểu mạnh,
tối tiểu chính thường, đã được định nghĩa
trên một tập con của không gian tuyến tính
có thứ tự. Trong những năm qua, dựa trên
các tính chất về quan hệ trên tập hợp, tối
ưu véc tơ, tối ưu đa trị được phát triển một
cách độc lập. Có nhiều bài báo gần đây
giới thiệu các kết quả về điều kiện tối ưu
cho các bài toán tối ưu đa trị [1], [5]. Về
các kết quả mới liên quan tối ưu đa trị, tài
liệu của A. A. Khan, C. Tammer và C.
Zălinescu [6] đang được nhiều nhà nghiên
cứu quan tâm.
Các kết quả của chúng tôi xuất phát từ
bài báo về tối ưu đa trị của tác giả Lin [2].
Cho ,X Y và Z là các không gian véctơ
tôpô, C và D là những nón lồi, nhọn, có
phần trong khác rỗng tương ứng trong
Y và .Z Với các không gian X và Y nói
trên, một ánh xạ đa trị F từ không gian
tuyến tính X vào không gian tuyến tính
Y , được gọi là -C lồi nếu
( ) (1 ) ( ) [ (1 ) ] , , , [0,1].F x F y F x y C x y X
Cho : 2YF X và : 2ZG X tương
ứng là các ánh xạ đa trị -C lồi và -D lồi
(xem Định nghĩa 2.1). Với E là tập lồi
khác rỗng của ,X bài toán được Lai-Jiu
Lin [2] viết lại như sau
(P)Minimize 1{ ( ) | ( )}F x x E G D
Email: thhiep@sgu.edu.vn
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020)
110
Mô hình của bài toán nêu trên được
hiểu như sau: với E là tập con khác rỗng
của ,X cần tìm điểm 1
0
( )x E G D
sao cho với
0 0
( )y F x là điểm tối tiểu yếu
của tập 1[ ( )]F E G D . Điểm
0
x nếu
tìm được như thế, được gọi là nghiệm yếu
của bài toán (P). Trong bài báo Lin [2], tác
giả đã đạt được một số kết quả quan trọng
như thiết lập điều kiện tối ưu dạng Fritz-
John và dạng Kuhn-Tucker cho bài toán tối
ưu đa trị. Không những thế một phiên bản
mở rộng về dưới vi phân của tổng hai hàm
lồi đơn trị đã được tác giả bổ sung cho
trường hợp các hàm đa trị. Lấy cảm hứng
từ các kết quả đó, trong bài báo này, bước
đầu chúng tôi quan tâm thiết lập về điều
kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John và
Kuhn-Tucker cho dạng bài toán tối ưu đa
trị (P). Cần biết rằng, dạng nghiệm xấp xỉ
cho bài toán tối ưu véc tơ được giới thiệu
đầu tiên bởi Loridan [7] xét trên các không
gian có thứ tự bộ phận. Đến nay, đã có
nhiều định nghĩa khác nhau về nghiệm xấp
xỉ cho tối ưu véc tơ và tối ưu đa trị [8], và
nhiều kết quả liên quan đến nghiệm xấp xỉ
được đề cập trong các công trình [9], [13].
Qua khảo sát kết quả của Lai-Jiu Lin
về việc thiết lập các điều kiện tối ưu dạng
Fritz-John và dạng Kuhn-Tucker cho bài
toán tối ưu đa trị, chúng tôi nhận thấy rằng
các kết quả đó còn có thể mở rộng cho
trường hợp nghiệm xấp xỉ. Trong những
năm qua đã có nhiều tác giả giới thiệu các
định nghĩa khác nhau về nghiệm xấp xỉ cho
tối ưu véc tơ và tối ưu đa trị [7], [8], [11],
[12], [13], [18], [19], [20]. Với nghiên cứu
này, chúng tôi sử dụng định nghĩa nghiệm
xấp xỉ cho tối ưu đa trị được giới thiệu
trong tài liệu của Rong và Wu [19], xét
trên không gian Banach có thứ tự riêng
phần sinh bởi nón lồi nhọn và có phần
trong khác rỗng.
Mục đích của chúng tôi trong bài báo
này là thiết lập các điều kiện tối ưu dạng
Fritz-John và Kuhn Tucker cho nghiệm
xấp xỉ yếu của bài toán tối ưu đa trị trên
các không gian Banach. Cụ thể: với số
dương cho trước, chúng tôi tìm
1
0
( )x E G D sao cho
0
( )u F x và
u b là điểm cực tiểu yếu của tập
1[ ( )],F E G D với intb C nào đó
trong .Y Trong trường hợp này
0
x được
gọi là -nghiệm yếu của bài toán (P).
Trong phần sau đây, chúng tôi dành để
nhắc lại các kiến thức hoặc kết quả cơ bản;
tính chất về dưới vi phân yếu của tổng hai
hàm đa trị và điều kiện tối ưu cho nghiệm
yếu của bài toán tối ưu đa trị được nhắc lại
trong phần này. Tiếp đến chúng tôi cũng đề
nghị khái niệm về -dưới vi phân yếu cho
hàm đa trị. Phần cuối được dành để trình
bày các kết quả đóng góp của chúng tôi về
điều kiện tối ưu xấp xỉ cho bài toán tối ưu
đa trị. Các ví dụ cũng được giới thiệu trong
chương này.
2. Kiến thức cơ bản
Trong bài báo này, ,X Y và Z dùng để
chỉ các không gian Banach tương ứng có
các véc tơ không: ,
X Y
và
Z
, và ở một
vài nội dung khi không gây sự nhầm lẫn,
chúng tôi ghi thay cho các trường hợp
vừa nêu.
Cho trước các ánh xạ đa trị được ký
hiệu bởi:
: 2YF X và : 2ZG X
Các miền hữu hiệu của F và G
tương ứng được ký hiệu và định nghĩa là:
TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN
111
( ) : { | ( ) }, ( ) { | ( ) }.D F x X F x DG x X G x
Với ,A X ta ký hiệu ( ) ( ),
x A
F A F x
và với ,V Z ta ký hiệu
1( ) { | ( ) }.G V x X G x V
Tập hợp C Y của Y được gọi là
một nón nếu y C với mọi y C và
với mọi 0. Nón C được gọi là lồi nếu
có thêm tích chất tập lồi, tức là
x y C với mọi ,x y C và với mọi
, 0 . Nón C đuợc gọi là nón nhọn
nếu ( ) { }.
Y
C C
Ký hiệu *, *X Y và *Z là các không
gian đối ngẫu tương ứng của ,X Y và .Z
Với x X và * *,x X ký hiệu là *,x x
được dùng để chỉ giá trị thực của ánh xạ
tuyến tính *x tại .x Tương tự ta cũng
dùng *,y y và *, .z z
Chúng tôi sử dụng thêm ký hiệu sau:
*, ( ) : { *, | ( ), * *}.y F x y y y F x y Y
Nón đối cực của tập ,C Y ký hiệu
bởi ,C được định nghĩa là:
: { * * | *, 0, }.C y Y y y y C
Cho , , ,A B X có các phép
toán
: { | , },
: { | },
A B x y x A y B
A x x A
Chúng ta qui ước rằng
,
,
A A
với các không gian Z và Y nêu trên,
ký hiệu ( , )Z Y để chỉ tập tất các các toán
tử tuyến tính liên tục đi từ Z vào .Y Khi
đó với C Y và ,D Z tập con của
( , )Z Y chỉ gồm các toán tử tuyến tính liên
tục từ D vào C được ký hiệu bởi
( , ) : { ( , ) | ( ) }.Z Y w Z Y w D C
Trong bài báo này C và D tương ứng
là các nón lồi nhọn, có phần trong khác
rỗng tương ứng của Y và .Z
Định nghĩa 2.1. Cho ánh xạ đa trị
: 2 ,YF X A là tập lồi của X và C là
nón lồi, nhọn, có phần trong khác rỗng của
.Y Ánh xạ đa trị F được gọi là -C lồi
trên A nếu với mỗi
1 2
,x x A và mọi
[0,1], ta có
1 2 1 2
( ) (1 ) ( ) [ (1 ) ] .F x F x F x x C
Ánh xạ F được gọi là -C lồi chặt trên A
nếu với mỗi
1 2 1 2
, , ,x x A x x và
mọi (0,1), ta có
1 2 1 2
( ) (1 ) ( ) [ (1 ) ] int .F x F x F x x C
Trên Y với nón C nêu trên, ta định
nghĩa một quan hệ thứ tự theo nón như sau:
Với
1 2
, ,y y Y
1 2C
y y nếu
2 1
\{ },y y C
1 2C
y y nếu
2 1
,y y C
1 2C
y y nếu
2 1
int .y y C
Khi đó, với
0
,y Y chúng tôi sử dụng
thêm cách viết:
0
( )
C
F x y nếu
0
, ( ),
C
y y y F x
0
( )
C
F x y nếu
0
, ( ),
C
y y y F x
0
( )
C
F x y nếu
0
, ( ).
C
y y y F x
Định nghĩa 2.2. (Xem [14, Definition
3.1.1], [15, Definition 1.7]) Cho tập
.Y
i) Điểm
0
y được gọi là điểm tối
tiểu của nếu không tồn tại điểm y
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020)
112
sao cho
0
.
C
y y Điều này tương đương với
0
[ ( \ { })]
Y
y C
ii) Điểm
0
y được gọi là điểm tối
tiểu yếu của nếu không tồn tại điểm
y sao cho
0
.
C
y y Điều này tương
đương với
0
[ int ] .y C
Chú ý rằng, gần đây nhiều tác giả đã
mở rộng định nghĩa nêu trên với nón C là
nón động, tức là nón phụ thuộc vào điểm
0
y đang xét. Trong bài báo này, khái niệm
điểm tối tiểu và tối tiểu yếu định nghĩa với
nón C là nón cố định cho trước. Trong
nghiên cứu của Lin [2], các kết quả và điều
kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị
dạng Fritz-John và Kuhn-Tucker đã được
giới thiệu. Sau đây, chúng tôi mở rộng các
kết quả cho các trường hợp nghiệm xấp xỉ
tối tiểu yếu [11, 13, 18].
Chú ý 2.1. Trong các phần dưới đây,
ta ký hiệu b là véc tơ cho trước thuộc
int( )C trong không gian .Y
Định nghĩa 2.3. (Xem [14, Definition
3.1.1]) Cho tập Y và số dương cho
trước 0
i) Điểm
0
y được gọi là điểm -
tối tiểu của nếu không tồn tại điểm
y sao cho
0
,
C
y y b b là véc tơ nào
đó thuộc int .C Điều này tương đương với
0
[ ( \ { })]
Y
y b C
ii) Điểm
0
y được gọi là điểm -
tối tiểu yếu của nếu không tồn tại điểm
y sao cho
0
.
C
y y b Điều này
tương đương với
0
[ int ] .y b C
Chú ý 2.2.
(i) Tập hợp các điểm tối tiểu yếu của
được ký hiệu là WMin , tập hợp các
điểm -tối tiểu yếu của được ký hiệu là
-WMin .
(ii) WMin -WMin .
(iii)
0 0
-WMin WMin .y y b
Sau đây chúng ta sẽ định nghĩa
nghiệm của bài toán tối ưu đa trị trên một
tập hợp.
Định nghĩa 2.4. Cho E X khác rỗng
và cho ánh xạ đa trị : 2 .YF E X
Bài toán tìm
0
x E sao cho
0 0
( )y F x
và
0
y là điểm tối tiểu yếu của tập ( )F E
được gọi là bài toán tối ưu đa trị được ký
hiệu bởi
WMinimize ( ).
x E
F x
Khi đó, điểm
0
x được gọi là nghiệm
yếu của bài toán.
Với 0 cho trước, bài toán tìm tìm
0
x E sao cho
0 0
( )y F x và
0
y b là
điểm tối tiểu yếu của tập ( )F E được ký
hiệu là
-WMinimize ( ).
x E
F x
Khi đó, điểm
0
x được gọi là -nghiệm
yếu của bài toán.
Trong bài báo này, xét các ánh xạ đa
trị F và G đã nói ở trên cùng với C và D
là các nón lồi, nhọn, có phần trong khác
rỗng tương ứng trong các không gian Y và
.Z
Giả sử E X là tập lồi khác rỗng.
Cho trước 0. Xét bài toán
1
(P) -WMinimize ( )
. . ( ).
F x
s t x E G D
TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN
113
Điểm 1
0
( )x E G D được gọi là
-nghiệm yếu của bài toán (P) nếu với
0
( )u F x thì u b là điểm tối tiểu yếu
của tập 1[ ( )].F E G D
Chúng tôi cần đến khái niệm dưới
gradient cho hàm đa trị. Khái niệm này đầu
tiên được Tanio giới thiệu cho hàm véc tơ
trong [21] và được Lin giới thiệu lại cho
hàm đa trị trong [2] mà chúng tôi trích dịch
dưới đây:
Định nghĩa 2.5. (xem [2, Definition
3]) Cho A X là tập con khác rỗng và
ánh xạ đa trị : 2 .YF A Cho
0
x A và
0 0
( ).y F x Một toán tử tuyến tính liên tục
( , )X Y được gọi là dưới gradient yếu
của ánh F ứng với
0
y tại
0
x nếu
0 0
( ) WMin { ( ) ( )}.
x A
y x F x x
Tập hợp tất cả các dưới gradient yếu
của ánh xạ F ứng với
0
y tại
0
x được gọi
là dưới vi phân yếu của của ánh xạ F ứng
với
0
y tại
0
x và được ký hiệu là
0 0
( ; ).F x y Ta viết:
0 0 0 0
( ; ) : ( , ) | ( ) WMin { ( ) ( )} ,
x A
F x y X Y y x F x x
hay
0 0
0 0
( , )
( ; ) .( ) WMin { ( ) ( )}
x A
X Y
F x y y x F x x
Nếu
0 0
( ; )F x y với mọi
0 0
( ),y F x
thì ánh xạ đa trị F được gọi là dưới khả vi
yếu tại
0
.x
Nhận xét 2.1. Từ định nghĩa nêu trên,
ta thấy nếu
0
x A và
0 0
( )y F x thì
0 0 0
WMin ( ) 0 ( ; ),
x A
y F x F x y
ở đây 0 là ánh xạ không của ( , ).X Y
Sau đây chúng tôi mở rộng khái niệm
dưới gradient yếu cho hàm đa trị F ứng
với
0
y tại
0
x thành khái niệm -dưới
gradient của F ứng với
0
y tại
0
.x Sự mở
rộng được lấy cảm hứng từ khái niệm
-dưới vi phân của hàm lồi đơn trị được
giới thiệu trong nghiên cứu của Hiriart-
Urruty và Lemarechal [16].
Định nghĩa 2.6. Cho , : 2 .YA X F A
Với
0
0,x A và
0 0
( ).y F x Một toán
tử tuyến tính liên tục ( , )X Y được
gọi là -dưới gradient yếu ứng với
0
y của
hàm đa trị F tại
0
x nếu
0 0
( ) WMin { ( ) ( )}, int( ),
x A
y x b F x x b C
hay ta viết
0 0
( ) -WMin { ( ) ( )}.
x A
y x F x x
Tập tất cả các -dưới gradient yếu
của hàm đa trị F ứng với
0
y tại
0
x được
gọi là -dưới vi phân yếu của hàm đa trị
F ứng với
0
y tại
0
x và được ký hiệu là
0 0
( ; ).
w
F x y
Nếu
0 0
( ; ).
w
F x y với mọi
0 0
( ),y F x
ánh xạ đa trị F được gọi là -dưới khả vi
yếu tại
0
.x
Nhận xét 2.2.
(i) Nếu 0, tập hợp
0 0
( ; )
w
F x y
suy biến thành
0 0
( ; ).F x y
(ii) Nếu
0
x A và
0 0
( ),y F x thì
0 0 0 0
WMin ( ) -WMin ( ) 0 ( ; ).
w
x A x A
y b F x y F x F x y
Định nghĩa 2.7. Cho ánh xạ đa trị
: 2ZG X là -D lồi, được gọi là khả dưới
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020)
114
vi yếu chính qui tại
0
x nếu với mỗi
0
( )z G x và với mỗi ( , )Z Y chúng
ta có
0 0
( )( ; ( )) ( ; ).G x z G x z
Định nghĩa 2.8. Ta nói ánh xạ đa trị
: 2YF A X là liên thông tại điểm
0
x A nếu tồn tại một ánh xạ đơn trị liên
tục :H A Y sao cho ( ) ( )H x F x với
mọi x thuộc lân cận của
0
.x
Nhắc lại một số kết quả được giới
thiệu trong nghiên cứu của Lin [2].
Định lý 2.1. [2, Theorem 3.1] Cho
1 2
, : 2YF F X là những ánh xạ đa trị.
Giả sử rằng
1 2
,F F có cùng miền hữu hiệu
là tập lồi E trong ,X tức là,
1 2
: dom domE F F . Giả sử thêm rằng
1 2
,F F là các ánh xạ -C lồi đa trị trên E
và có ít nhất một ánh xạ liên thông tại điểm
0
int .x E Khi đó, với x E và
1 1 2 2
( ), ( ),z F x z F x chúng ta có
1 2 1 2 1 1 2 2
( )( ; ) ( ; ) ( ; ).F F x z z F x z F x z
Hệ quả 2.1. [2, Corollary 3.2] Trong
Định lý 2.1, nếu Y thì ta có
1 2 1 2 1 1 2 2
( )( ; ) ( ; ) ( ; ).F F x z z F x z F x z
Nhận xét 2.3. Hệ quả 2.1 là dạng suy
rộng của Định lý Moreau-Rockafellar về
dưới vi phân của tổng hai hàm lồi đơn trị
giới thiệu trong nghiên cứu của
Rockafellar [17].
Định lý sau đây là một dạng của định
lý thay phiên được dùng để thiết lập các
điều kiện tối ưu trong tối ưu đa trị.
Định lý 2.2. [2, Theorem 3.3] (Định lý
Fakas-Minkowski suy rộng) Cho ,X Y và
Z là các không gian Banach. Cho C và
D là các nón lồi, nhọn, và có phần trong
khác rỗng tương ứng trong Y và .Z Cho
các ánh xạ đa trị : 2YF E và
: 2ZG E tương ứng là -C lồi và -D lồi.
Giả sử thêm rằng : dom domE F G
là tập lồi trong .X Nếu hệ
( )
( )
C Y
D Z
F x
G x
(1)
vô nghiệm trên ,E tồn tại
( *, *) \ {(0,0)}y z C D sao cho
*, ( ) *, ( ) 0,y F x z G x
với ,x E nghĩa là,
*, *, 0, ( ), ( ).y y z z y F x z G x (2)
Hệ quả 2.3. Trong định lý 2.1, nếu
như thêm giả thiết rằng tồn tại xˆ E sao
cho ˆ( ) ( )G x D thì tồn tại ( , )Z Y
sao cho ( ) ( ( )) ,
C
F x G x không thoả
mãn với bất kỳ .x E
Định lý 2.3. [2] Cho ,X Y và Z là
các không gian Banach. Cho C và D là
các nón lồi, nhọn có phần trong khác rỗng
tương ứng trong Y và .Z Cho các ánh xạ
đa trị : 2YF E và : 2ZG E tương
ứng là -C lồi và -D lồi. Giả sử thêm rằng
: dom domE F G là tập lồi trong .X
Xét bài toán
1
1
(P ) WMinimize ( )
. . ( ).
F x
s t x E G D
Nếu
0
x là nghiệm yếu của bài toán
1
(P ) và
0
( )u F x với 1WMin [ ( )],u F E G D
thì tồn tại ( *, *) \ {(0,0)}y z C D
sao cho
TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN
115
0
*, 0z z với
0 0
( ) ( ),z G x D (3)
*, ( ) *, ( ) 0, .y F x u z G x x E (4)
3. Điều kiện Fritz John và Kuhn-
Tucker cho nghiệm yếu của bài toán (P)
dạng xấp xỉ
Từ các định lý nói trên, chúng tôi mở
rộng các kết quả cho trường hợp nghiệm
xấp xỉ yếu cho bài toán (P) như sau:
Định lý 3.1. Cho ,X Y và Z là các
không gian Banach. Cho C và D là các
nón lồi, nhọn có phần trong khác rỗng
tương ứng trong Y và .Z Cho các ánh xạ
đa trị : 2YF E và : 2ZG E tương
ứng là -C lồi và -D lồi. Giả sử thêm rằng
: dom domE F G là tập lồi trong .X
Nếu
0
x là phân tử -nghiệm yếu của bài
toán (P), tức là
0 0
( )u F x và
1
0
WMin [ ( )], int( ),u b F E G D b C
thì tồn tại ( *, *) \ {(0,0)}y z C D
sao cho
0
*, *, 0y b z z
với
0 0
( ) ( ),z G x D (5)
0
*, ( ) *, ( ) *, *, , .y F x z G x y u y b x E (6)
Chứng minh. Chứng minh Định lý này
tương tự như chứng minh của Lin [2].
Trước hết, ta chứng minh rằng nếu
0
x là
-nghiệm yếu của bài toán (P), tức là,
1
0
( )x E G D sao cho
0 0
1
0
( )
WMin [ ( )],
u F x
u b F E G D
(7)
thì hệ sau đây là vô nghiệm trên .E
0
( )
( ) .
C
D
F x u b
G x
(8)
Giả sử ngược lại rằng hệ (8) có
nghiệm trên, tức là, tồn tại
1( )x E G D sao cho hệ (8) được
thoả mãn. Ta nhận được
0
( )
C
F x u b
và ( ) int .G x D D Khi đó, theo ii)
của Định nghĩa 2.3, điểm
0
u b không là
điểm - tối tiểu yếu của tập
1[ ( )]F E G D và nếu thế thì mâu thuẫn
với giả thiết
0
x là -nghiệm yếu của bài
toán (P), hay điều này mâu thuẫn với (7).
Từ kết quả hệ (8) vô nghiệm, theo
Định lý 2.2, tồn tại ( *, *) \ {(0,0)}y z C D
sao cho
0
*, ( ) *, ( ) 0, ,y F x u b z G x x E
tức là (6) thoả mãn.
Để kết thúc chứng minh, chúng ta sẽ
chứng minh (5) thoả mãn. Thật vậy, từ (6),
cho ta
0
*, *, ( ) *, , ( ), .y u z G x y u b u F x x E (9)
Từ bất đẳng thức (9), thay u bởi
0
u
và thay x bởi
0
,x ta được
0 0 0
*, *, ( ) *, .y u z G x y u b (10)
Nên
0
*, ( ) *, 0.z G x y b (11)
Chú ý rằng vì int( )b C nên
*, 0.y b Từ giả thiết 1
0
( )x E G D
cho ta
0
x E và
0
( ) ( ) .G x D Lấy
bất kỳ
0 0
( ) ( ).z G x D Do
0 0
( ),z G x
thế nên từ (11), ta nhận được
0
*, *, .z z y b
Do
0
z D và theo chứng minh trên
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020)
116
cho ta *z D nên
0
*, 0.z z
Tóm lại,
0
*, *, 0y b z z
Định lý được chứng minh xong.
Nhận xét 3.1. Trong Định lý 3.1, khi
0 , kết quả thu về Định lý 2.3.
Chúng tôi cần đến một điều kiện sau
đây:
ˆ ˆ( ) : ( ) ( int ) .x E G x D
Hệ quả 3.1. Giả sử rằng với các giả
thiết trong Định lý 3.1 và điều kiện ( )
được thoả mãn. Khi đó, tồn tại
( , )Z Y và tồn tại
0
y C sao cho
với
0 0
( ) ( ),z G x D sao cho
0 0
( ) [ *, , ],
Y
z y b y
và
0
x là -nghiệm yếu của bài toán:
2
(P ) -WMinimize ( ) ( ( )).
x E
F x G x (12)
Chứng minh. Do các giả thiết của Định
lý 3.1, tồn tại ( *, *) (0,0)y z trong tập hợp
C D và 0 0( ) ( )z G x D sao cho
0
*, *, 0y b z z (13)
và
0
*, ( ) *, ( ) 0, ,y F x u b z G x x E
tức là,
0
*, *, *, , , ( ), ( ).y u z v y u b x E u F x v G x (14)
Để đi đến các kết luận của Hệ quả,
trước tiên, chúng ta chứng minh với
*y C thì
* ,
*, 0, int .
y
y y y C
(15)
Giả sử ngược lại rằng * .y Vì
( *, *) (0,0),y z nên * .z Do đó,
*, 0, int .z z z D (16)
Chú ý rằng từ giả thiết có xˆ E
sao cho ˆ( ) ( int ) .G x D Lấy
ˆ( ) ( int ),z G x D chúng ta có
*, 0.z z Tuy nhiên, từ (14), và với
* ,y kéo theo *, 0,z z dẫn đến điều
vô lý. Vậy phải có * .y
Tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra rằng tồn
tại ( , )Z Y sao cho
0 0
( ) [ *, , ].
Y
z y b y
Thật vậy, vì int ,C lấy
0
int .y C
Do tính chất của nón và vì * ,y ta có
thể chọn được
0
y sao cho
0
*, 1.y y Xét
ánh xạ : Z Y cho bởi
0
( ) : *, . .z z z y
Dễ dàng kiểm chứng được rằng là
toán tử tuyến tính, liên tục. Ở đây
( ) ,D C do bởi, với mỗi ( )h D thì
tồn tại s D sao cho
0
( )
*, ,
h s
z s y
ta đặt : *, ,z s từ định nghĩa nón
đối cực của D là D cho ta 0 . Do
đó, từ giả thiết -C nón lồi thì
0
,y C dẫn
đến .h C Thế n