Định giá trái phiếu phần 2

Định Giá Trái Phiếu – Phần 2 Campbell R. Harvey 12. Giá Trị Của Dòng Niên Kim Dòng niên kim là dòng tiền tệ bao gồm các khoản thu bằng nhau xảy ra trong các thời kỳ như nhau. Ví dụ như khoản vay thế chấp $70,000 với lãi suất 14%/12=1.166% có nghĩa là khoản phải trả của bạn là một dòng niên kim trong đó bạn phải trả mỗi tháng $932.22 trong 180 tháng. Trước hết ta điểm qua một số định nghĩa m= số lần tính lãi kép mỗi năm k= số năm tính niên kim n= tổng số kỳ tính lãi kép, n=m x k R= Lãi suất % hàng năm (APR) hay "lãi suất niêm yết" An= Giá trị hiện tại của n kỳ của dòng niên kim $1 Giả sử ta xét một dòng niên kim với dòng thu $1 cho mỗi kỳ. Chúng ta đều biết cách tính chiết khấu trong mỗi kỳ bằng cách tính giá trái phiếu chiết khấu Vì thế giá trị hiện tại của một dòng niên kim n kỳ có thể được tính bằng cách tính tổng luu lượng tiền thu vào đã được tính chiết khấu Nhưng nếu tính như thế quá dài dòng. Ta có thể tính đơn giản hơn khi vận dụng quy tắc tính tổng các chuỗi số. Mẹo ở đây là nhân tổng đó cho Z sau đó lấy hai đại lượng này trừ cho nhau: trừ đi Chia hai vế cho (1-Z) Với dòng niên kim với dòng thu $1 từng kỳ, nên ta có thể làm theo các bước trên và tính giá trị của dòng niên kim này: Trong đó a là giá trị thu chi của dòng niên kim. Chúng ta cũng có thể dùng công thức này tính các mức lãi suất. Với i là lãi suất của kỳ hạn tính lãi R/m. Chú ý rằng nếu tổng dòng chi là vô hạn, thì giá trị của dòng niên kim là Một ví dụ của dòng niên kim vĩnh cữu là trái phiếu hợp nhất của Anh (British consol bond). Trái phiếu này trả lãi vào cuối mỗi năm và không có kỳ hạn. Bây giờ ta quay trở lại với ví dụ $70,000 vay thế chấp. Giả sử bạn mượn $70,000 và trả trong 15 năm. Lãi suất là 14% và bạn phải trả lãi hàng tháng. Thì lãi suất thực của kỳ hạn tính lãi là 14/12=1.167%. Ta sẽ tính đến số tiền "a" phải thanh toán hàng tháng cho đến khi trả dứt khoản nợ. Từ công thức tính giá trị hiện tại của dòng niên kim ta biết Với công thức này ta sẽ thay tất cả các biến số như A_n, n, Z và giữ lại một biến số a. Đầu tiên ta biết rằng giá trị hiện tại là $70,000. Kế đến ta tính giá của trái phiếu chiết khấu Do n=180, nên Chia cả hai vế cho 75.09 Bây giờ ta xét một ví dụ khác. Ví dụ này liệt kê rõ hơn về dòng chi. Giả sử rằng số tiền vay bây giờ là $1,000. Số nợ này được chia thành 5 khoản bằng nhau trong 5 năm để hoàn trả (bao gồm cả vốn lẫn lời) Lãi suất 10% mỗi năm. Trước tiên, tính giá trái phiếu chiết khấu trong một kỳ Giờ ta thay vào công thức Giải tìm a Giờ ta có thể biết chi tiết hơn khi lập bảng liệt kê các khoản phải trả Ví dụ này giải thích rõ cách tính nhẫm khi vận dụng dòng niên kim. Chú ý rằng có sai số. 13. Định Giá Trái Phiếu Trái phiếu luôn được trả một khoản lãi nhất định thường kỳ và đó chính là lãi suất của trái phiếu. Vào ngày đáo hạn, lần trả lãi cuối sẽ đựơc trả chung với số vốn ban đầu. Trái phiếu chính phủ và thương phiếu luôn được trả định kỳ nửa năm một lần, vào tháng 5 và tháng 11. Trái phiếu với lãi suất 8.5% được trả với lãi suất theo kỳ hạn là 8.5/2 hay trả $4.25 hai lần một năm cho một trái phiếu mệnh giá $100. Những người giao dịch trái phiếu sẽ định giá % trên mệnh giá. Ví dụ với mức giá 102-8 của một trái phiếu nghĩa là trị giá của nó là 102.25% so với mệnh giá. Nếu mệnh giá là 10 triệu thì trị giá của trái phiếu đó là 10,225,000. Xét bảng liệt kê các khoản lãi được trả cho một trái phiếu kỳ hạn 4 năm lãi suất 8%. Rõ ràng quan sát bảng trên ta có thể định giá trái phiếu bằng cách tính giá trị hiện tại của một dòng niên kim trả lãi sau và giá trị hiện tại của số vốn. Giờ ta sẽ biểu diễn công thức tổng quát tính giá trị trái phiếu. Đầu tiên ta xem qua một số ghi chú ký hiệu: C= lãi suất thường niên của trái phiếu m= số lần phải trả trong năm c= lãi kỳ được trả R= APR hôm nay của lưu lượng tiền (được nhân cho m mỗi năm để tính lãi kép) i= lãi suất thực theo kỳ k= số năm đáo hạn n= tổng số lần trả lãi (k x m) cũng như tổng số kỳ cho đến ngày đáo hạn A= giá trị hiện tại của dòng niên kim n=k x m kỳ với lãi suất i =R/m Z= giá của trái phiếu chiết khấu đáo hạn 1 kỳ Xem giá trị của trái phiếu bao gồm tổng của giá trị hiện tại của một dòng niên kim và giá trị hiện tại của vốn, chúng ta có thể tính giá trị của trái phiếu: Bây giờ ta áp dụng tính giá trị của một số trái phiếu. Giả sử rằng lãi suất là 12.5% được tính lãi kép trả lãi định kỳ nửa năm một lần. Trên thị trường có hai loại trái phiếu có kỳ hạn 12 năm. Trái phiếu A có lãi suất 8.75% (trả lãi kép 2 lần 1 năm), trái phiếu B lãi suất 12.625% (trả lãi kép 2 lần 1 năm) Trước khi bắt đầu tính, ta nhận thấy rằng giá trị của trái phiếu B có lớn hơn của A. Lãi suất của B lại cao hơn lãi suất trên thị trường, và chúng ta mong rằng nó sẽ được bán cao hơn so với mệnh giá. Mặt khác, lãi suất của A thấp hơn và có thể đựơc bán với giá thấp hơn mệnh giá. Trứơc tiên ta tính giá trị trái phiếu chiết khấu trong kỳ thứ nhất Giá trị của trái phiếu trong kỳ 24 cũng phải tính để tính giá trị hiện tại của vốn gốc. Giờ thì ta tính giá trị của dòng niên kim với dòng chi là $1 cho mỗi kỳ (a=$1) Ta dễ dàng tính đươc tiền thu vào từng kỳ và Giờ thì ta có thể thay vào công thức tính giá trị của trái phiếu 14. Lãi Suất Đến Hạn Hay Tỉ Suất Sinh Lời Nội Bộ Lãi suất đến hạn hay tỉ suất sinh lời nội bộ đựơc tính theo công thức sau: Trong những ví dụ trước, chúng ta đã đựơc cho sẵn lãi suất áp dụng và sau đó tính giá trái phiếu. Bây giờ ta biết trước giá trái phiếu, và ta phải tính lãi suất đến hạn của trái phiếu này. Chúng ta cũng có thể xem tỉ suất sinh lời nội bộ như mức lãi suất làm cho giá trị hiện tại của một trái phiếu trừ đi giá của trái phiếu thì bằng 0. Để tính tỉ suất này thì không đơn giản chút nào. Nhưng nếu có máy vi tính thì dễ dàng giải phương trình với nhiều số hạng . [Bảng tính Exel có sẵn hàm IRR có thể giải được phương trình với nhiều số hạng]. Ta nên nhớ rằng tỷ suất sinh lời nội bộ cho ta một chuỗi các số hạng đều nhau cũng cho ta biết những tỷ suất tương lai khác. Khi sử dụng IRR cũng có một số mặt thuận lợi và bất thuận lợi. Thứ nhất là chúng ta có thể giải tìm ngay mức lãi suất mà không cần phải thay vào công thức. Thứ hai, nó được sử dụng rộng rãi, ví dụ như thường thấy trong các bài báo. Giờ ta sẽ giải một số bài toán sử dụng IRR. Giả sử ta có hai trái phiếu A và B và giá của nó là $1000. Chú ý rằng cả hai trái phiếu này đều trị giá $1000. Hơn nữa, chúng lại có cùng thời hạn đầu tư là 3 năm. Nhưng dường như trái phiếu A tốt hơn vì có lãi suất cao hơn. Nhưng điều này không quan trọng. Giả sử rằng các số hạng là một chuỗi không đều. Ví dụ như chúng ta có chuỗi các số hạng sau. Mức lãi suất dự tính trong từng kỳ là: Năm nhất = i_1 = 10% Năm hai = f_2 = 20% Năm ba = f_3 = 15% Giờ ta tìm giá trị hiện tại: Từ đó cho thấy giá trị tương lai của trái phiếu B cao hơn A và giá trị hiện tại của B cũng lớn hơn A. 15. Phân Loại Trái Phiếu Và Lãi Suất Chúng ta đều biết giá trái phiếu biến động theo lãi suất. Một điều nữa là khi phân loại trái phiếu ta cũng chú ý đến dạng chuỗi thời gian của lưu lượng tiền mặt. Nếu lưu lượng tiền mặt của trái phiếu B chủ yếu tập trung ở tương lai xa, thì mức giá của nó sẽ biến động mạnh so với các lãi suất. Ngược lại, nếu lưư lượng tiền của trái phiếu A tập trung vào tương lai gần thì giá của nó sẽ biến động ít hơn so với lãi suất. Xét ví dụ sau Giờ ta tìm giá trị hiện tại của lưu lượng tiền này với những mức lãi suất chiết khấu khác nhau. Vì thế ta thấy rằng chuỗi thời gian của lưu lượng tiền là rất quan trọng. Ta biểu diễn giá trị hiện tại của A và B bằng đồ thị bên dưới Chúng ta thấy rằng chỉ số thời hạn của trái phiếu B lớn hơn của A. 16. Lãi Suất Dự Tính[3] Lãi suất dự tính là phần lãi tăng thêm khi tăng thêm một kỳ hạn tiền gửi, ví dụ như đầu tư thêm t kỳ thay vì t-1 kỳ. Mức lãi suất dự tính hàng năm giữa kỳ 1 và kỳ 2 được viết như sau: Ta dễ dàng tìm được lãi suất dự tính Chúng ta cũng có thể tính được các mức lãi suất dự tính trong nhiều kỳ (hàng năm). Mức lãi suất dự tính giữa năm 1 và 3 là: Sau cùng nếu các mức lãi suất được tính lãi kép nửa năm một lần, thì mức lãi suất dự tính giữa năm 3 và 4 là: Lưu ý rằng tôi đã sử dụng mức lãi suất theo kỳ thực tế i và dùng chữ f viết thường để thể hiện mức lãi suất dự tính cho kỳ hạn dưới một năm. Ta giải thích thêm một điểm quan trọng của lãi suất dự tính. Giả sử rằng chúng ta có một thương phiếu chiết khấu và nhận lãi chiết khấu một năm (mệnh giá $100) được bán với giá $92.59 (lãi 8% một năm và không tính lãi kép) và nhận lãi chiết khấu 2 năm thì được bán với giá $79.72 (lãi 12% một năm không tính kép). Ta đánh giá như sau. Chúng ta bán hay bán khống (short) phần trái phiếu kỳ hạn một năm mệnh giá $100 triệu. Chúng ta dùng phần tiền lãi ($92.59) để mua trái phiếu kỳ hạn 2 năm nhiều ít tuỳ theo số tiền có được. Vào cuối năm thứ nhất, chúng ta dùng $100 triệu tiền túi để trả dứt phần nợ (trả phần bán khống). Vào năm thứ hai, ta có thể nhận thấy rằng ta có thể nhận được lợi nhuận từ những trái phiếu kỳ hạn hai năm. Hiểu rõ hơn, đầu tiên cần biết bán không là gì? Đó là buôn bán những thứ mà mình chưa có. Bạn muốn mua một trái phiếu chiết khấu kỳ hạn 1 năm. Bạn có thể mua từ chính phủ với giá $92.59. Bạn sẽ nhận được một giấy chứng nhận sở hữu trái phiếu. Năm sau bạn bán lại loại trái phiếu đó với giá $100. Bạn có lời. Nhưng thay vì làm như thế, bạn có thể trả cho tôi $92.59, tôi sẽ đưa cho bạn một giấy bảo chứng rằng bạn sẽ nhận được giấy chứng nhận quyền sở hữu chính thức vào năm sau. Năm sau tôi mua một trái phiếu của chính phủ với giá $100 (bởi vì không có thời gian đáo hạn) và giao nó cho bạn. Thực sự, chính là tôi trả cho bạn $100. Cái này gọi là trả lại phần bán khống. Trở lại ví dụ của chúng ta. Chúng ta bán khống phần trái phiếu mệnh giá $100 triệu kỳ hạn một năm. Làm như thế, ta được người khác trả một số tiền $92.59 triệu. Chúng ta sẽ dùng số tiền này mua trái phiếu kỳ hạn hai năm. Chúng ta có thể mua {$92,592,590/$79.71938}=1,161,480 trái phiếu kỳ hạn hai năm. Vào cuối năm nhất, chúng ta trả dùng $100 triệu riêng của ta để trả phần bán khống . Vào cuối năm hai, chúng ta bán lại $116,148,000 trái phiếu này. Lãi suất kỳ hạn một năm từ năm thứ nhất đến năm thứ hai là (116.148-100)/100=16.148%. Đây chính là mức lãi suất dự tính từ năm nhất đến năm hai. Do vậy, lãi suất dự tính cũng là lãi suất cho chiến lượt đầu tư trong đó bao gồm bán khống và mua các loại trái phiếu với nhiều kỳ hạn khác nhau. 17. Chuỗi Các Mức Lãi Suất Chuỗi các mức lãi suất[4] hay đường cong lãi suất là mối liên hệ giữa những mức lãi suất được quan sát ngày hôm nay của các loại trái phiếu nhiều kỳ hạn khác nhau. Đường cong lãi suất là một đường cong có chiều hướng lên nếu trái phiếu dài hạn có lãi suất cao hơn trái phiếu ngắn hạn hay trái phiếu chính phủ. Đường cong sẽ biến thành đường thẳng nếu tất cả các mức lãi suất đều xấp xỉ ngang nhau. Và sẽ ngược lại nếu lãi suất của trái phiếu ngắn hạn cao hơn trái phiếu dài hạn. Có nhiều giả thuyết được đưa ra để giải thích chuỗi các mức lãi suất này. Như hình bên dưới, nó hoàn toàn là biến số. Có ba giả thuyết mà bạn đã học trong khoá kinh tế vĩ mô: kỳ vọng, sự ham thích giữ tiền mặt và thói quen ưa thích. Thuyết kỳ vọng cho rằng đường cong lãi suất hướng lên nghĩa là các nhà đầu tư kỳ vọng lãi suất tăng. Thuyết về sự ham thích giữ tiền mặt cho rằng tiền lãi được trả kèm theo với trái phiếu dài hạn bởi vì chúng không có tính ổn định hơn so với ngắn hạn. Thói quen ưa thích cho rằng các mức lãi suất khác nhau cùng với kỳ hạn khác nhau tuỳ thuộc vào nhu cầu khác nhau của các nhà đầu tư về thời gian đáo hạn nhất định. Tuy nhiên những thuyết này vẫn tồn tại một số vấn đề. Ta xem qua câu chuyện sau. Đường cong lãi suất cho chúng ta biết về viễn cảnh kinh tế thời tương lai. Nếu đường cong này bị nghịch đảo do nhiều người từ bỏ các dự án đầu tư ngắn hạn và chuyển sang đầu tư dài hạn để khắc phục tình trạng suy sụp kinh tế tiềm năng ngắn hạn. Đây chỉ là một khía cạnh nào đó. Khi nền kinh tế đang trong tình tiến triển tốt, bạn chịu bỏ đi một số tài sản để khắc phục tình trạng suy sụp tiềm năng ngắn hạn. Bạn muốn có cuộc sống bình đặng hơn là cuộc sống biến động. Thuyết này có trong luận án Harvey của tôi (1988, Thời Báo Kinh Tế Tài Chính) [P1] và các luận văn khác sử dụng (1991, Thời Báo Thu Nhập Cố Định [p6]). Tôi nhận ra rằng đường cong lãi suất nghịch đảo xuất hiện trước mỗi kỳ khủng hoảng ngắn hạn trong 25 năm qua. Chúng ta xem chu kỳ kinh tế gần đây nhất (là bài kiểm tra về lý thuyết của tôi mà không cần đưa ra ví dụ). Đường cong lãi suất bị nghịch đảo một lần vào mùa hè năm 1989. Nhưng nó chỉ bị đảo ít thôi (nhỏ hơn 1%) và kéo dài trong 9 tháng. Và điểm đỉnh của chu kỳ kinh tế này là vào tháng 7 năm 1990 và xuống thấp vào tháng 3 năm 1991. Đường cong lãi suất dự báo thời gian, chỉ số thời hạn và cường độ của khủng hoảng ngắn hạn. 18. Những Chuyển Biến Của Giá Trái Phiếu Và Kỳ Hạn Chúng ta đã tính được những gì xãy ra liên quan đến giá trái phiếu khi lãi suất thay đổi. Tham khảo ví dụ, ta đã xét qua trước đó: Khi lãi suất tăng, thì giá của trái phiếu sẽ giảm. Với lãi suất 12%, thì giá của trái phiếu sẽ bằng với mệnh giá - nhưng nếu là 13% thì các khoản lãi và phần vốn gốc mà nhà đầu tư nhận được sẽ nhỏ ít hơn và do đó giá của nó sẽ giảm. Mức giá sẽ còn giảm nhiều hơn nếu lãi suất tăng lên 14%. Lợi nhuận theo kỳ cũng sẽ giảm. Nếu đây là trái phiếu kỳ hạn sáu năm được mua với giá danh nghĩa (mệnh giá) và được giữ trong một năm, thì lợi nhuận theo kỳ với thời gian nắm giữ đó là 8.52% nếu lãi suất là 13% và là 5.13% nếu lãi suất là 14%. Bạn có thể mường tượng rằng lãi suất biến động càng lớn thì sẽ gây những ảnh hưởng xấu đến thời kỳ nắm giữ trái phiếu. Trong trường hợp đó, phần vốn bị lỗ còn nhiều hơn phần lãi thu về. Kỳ hạn của trái phiếu càng dài thì giá của nó biến động càng nhiều khi lãi suất thay đổi. Số hạng để đo lường sự biến động của giá trái phiếu là giá trị. Chúng ta xét hai số hạng sau: chỉ số thời hạn và độ co giãn. Cả hai đều cho ta biết được quỹ tích những biến động xấp xỉ, tức là chúng sẽ đo chính xác đến độ từng biến động nhỏ của lãi suất. Trước tiên ta xem qua công thức tính giá trái phiếu. Giá trị hiện tại của phiếu nợ với lưu lượng tiền Ct:t=1,…,T trong đó B là giá của phiếu nợ. Lưu ý, lưu lượng tiền có thể chính là lãi và vốn gốc nhận được. Thường để đo mức độ biến đổi của trái phiếu khi lãi suất thay đổi thì trước tiên ta lấy đạo hàm bậc nhất của B đối với r. Chúng ta có thể viết công thức tính giá trái phiếu như sau: Giá trị hiện tại của trái phiếu với lưu lượng tiền Ct:t=1,…,T Đạo hàm bậc nhất theo lãi suất: Nếu chúng ta sửa lại công thức này khi chia cho giá trái phiếu và nhân với một cộng lãi suất thị trường, ta đựơc công thức tính chỉ số thời hạn mà Macaulay giới thiệu lần đầu tiên năm 1938. Chỉ số thời hạn đựơc tạo ra như một cách tính khoản thời gian của lưu lượng tiền tệ nhận đựơc từ trái phiếu. Nhưng cái khó khi sử dụng thời hạn trái phiếu như một phép đo khoản thời gian chính là nó chỉ xét đến phần vốn gốc được hoàn trả chứ không tính đến phần lãi đựơc trả. Macaulay cho rằng khi sử dụng chỉ số thời hạn thì cũng cần tính đến tất cả lưu lượng tiền tệ kỳ vọng. Chỉ số thời hạn là một số hạng trung bình công trong thời gian phải thanh toán mà trong đó lưu lượng tiền là những số hạng thể hiện giá trị hiện tại. Chúng ta có thể viết lại phương trình trên giản lượt hơn: trong đó PVCF_1 thể hiện giá trị hiện tại của lưu lượng tiền tệ trong kỳ một và PVTCF thể hiện giá trị hiện tại của tất cả lưu lượng tiền tệ hay giá của trái phiếu. Giờ ta hãy xét các ví dụ tính chỉ số thời hạn. Chúng ta sẽ tính chỉ số thời hạn cho trái phiếu A và B. Giả sử lãi suất thị trường là 8%.Cả hai trái phiếu đều có kỳ hạn là 10 năm. Lãi suất của A là 4% và của B là 8%. Trước khi tính chỉ số thời hạn, ta biết rằng trái phiếu B sẽ có chỉ số thời hạn ngắn hơn trái phiếu A. Lưu lượng tiền tệ từ năm 1 đến năm 9 cũng sẽ lớn hơn nhưng vốn gốc thì bằng nhau. Nào bây giờ ta bắt đầu tính. Như đã biết trước, trái phiếu nào có lãi suất cao hơn thì có chỉ số thời hạn ngắn hơn. Ví dụ này nhằm giải thích hai đặc tính của chỉ số thời hạn. Thứ nhất, chỉ số thời hạn của một trái phiếu sẽ nhỏ hơn thời gian đáo hạn (ngoại trừ trái phiếu chiết khấu). Thứ hai, chỉ số thời hạn của trái phiếu sẽ giảm khi lãi suất tăng cao. Ta có thể minh hoạ bằng đồ thị sau: Lưu ý rằng chỉ số thời hạn và kỳ hạn là như nhau đối với trái phiếu chiết khấu và chỉ số thời hạn giảm khi lãi suất tăng. Điều này do giá trị các khoản lãi được thanh toán cao hơn (Trọng lượng giá trị hiện tại). Đặc tính cuối là, do lãi suất thị trường tăng, nên chỉ số thời hạn trái phiếu sẽ giảm. Điều này quá rõ do khi ta chiết khấu lưu lượng tiền với một tỷ lệ cao hơn nghĩa là ta tính giá trị thấp hơn cho lưu lượng tiền trong một tương lai xa. Do vậy, đo lường giá trị lưu lượng tiền tệ sẽ thay thế dần cho lưu lượng tiền tệ trước đó -- chỉ số thời hạn sẽ giảm. Từ đạo hàm bậc nhất mà chúng ta sử dụng để tính chỉ số thời hạn đã cho ta thấy rõ mối liên kết giữa chỉ số thời hạn và tính bất định. Ở đây ta có hai công thức tính đáng chú ý. Thứ nhất là là tính chỉ số thời hạn thay đổi. Ta tính bằng cách chia chỉ số thời hạn cho một cộng lãi suất hiện tại của thị trường trong đó i là lãi suất Thứ hai là độ co giãn. Được tính như sau: Thực tế, giá trị độ co giãn gần bằng với chỉ số thời hạn biến đổi. Chúng bằng nhau hay không tuỳ thuộc vào mức độ biến động của lãi suất. Do vậy, chúng ta có thể thấy được mối liên kết giữa chỉ số thời hạn, chỉ số thời hạn biến đổi, và độ co giản. Giờ ta hãy xét một ví dụ khác. Chúng ta sẽ xét các loại trái phiếu có kỳ hạn khác nhau. Trái phiếu A có kỳ hạn 10 với lãi suất 12% và trái phiếu B kỳ hạn 5 năm với lãi suất 12%. Giả sử lãi suất chiết khấu thị trường là 13%. Lưu ý rằng giá trị co giản theo giá gần bằng với giá trị của chỉ số thời hạn biến đổi. Cũng chú ý rằng chúng có bằng nhau hay không phụ thuộc vào mức độ biến động của lãi suất. Nếu chúng ta quay lại tính độ co giãn cho ví dụ trước với trái phiếu lãi suất 4% và lãi suất chiết khấu liên quan là 8% - mẫu số hiện tại là 4% và phép tính xấp xỉ này không chính xác lắm. Chúng ta sẽ dùng chỉ số thời hạn biến đổi để tính mức biến động xấp xỉ của giá trái phiếu khi lãi suất thay đổi. Phép tính xấp xỉ này chỉ thật sự chính xác khi lãi suất dao động ít. Đối với những dao động thay đổi lớn chẳng hạn như 5%, thì phép tính này không còn chính xác nữa. Điều này là do giá trái phiếu là một độ thị lồi theo lãi suất. Chúng ta thấy độ lồi này khi quan sát đồ thị giá trái phiếu với những mức lãi suất tới hạn khác nhau. Bên dưới là đồ thị minh hoạ tính sai số Tương tự vậy, nếu lãi suất niêm yết được tính kép bán niên, thì cùng một cách tính nhưng ta tính chỉ số thời hạn trong nửa năm. Chỉ số thời hạn năm được chuyển thành nửa năm (bằng cách chia cho 2) sau đó là biến đổi thành chỉ số thời hạn biến đổi bằng cách chia cho lãi suất thực bán niên theo kỳ. Ta có thể tự hỏi tại sao chúng ta lại chia cho lãi suất bán niên mà không chia cho lãi suất thường niên hay lãi suất thực thường niên. Nhưng câu trả lời là đây là quy ước. Hầu hết các nhà đầu tư lớn đều tính chỉ số thời hạn biến đổi bằng cách chia cho lãi suất bán niên - thậm chí nếu tính kép theo quý hay theo tháng). Hầu hết trong những ví dụ của tôi, tôi đều tính lãi kép thường niên, vì vậy tôi không phải bận tâm về quy ước này. Những ví dụ sau là minh hoạ cho cách sử dụng lãi suất thường niên. Giả sử rằng chúng ta có hai lại trái phiếu đều có lãi suất là 10%. Trái phiếu A có kỳ hạn là 5 năm và trái phiếu B có kỳ hạn là 10 năm. Ta hãy ước tính sai số của phép tín