Định lí giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng

5 - 2016 43 ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG Bùi Thị Hòa, Trần Thị Tú Trinh (Sinh viên năm 4, Khoa Toán - Tin học) GVHD: TS Phạm Duy Khánh TÓM TẮT Trong bài báo cáo này, chúng tôi phát biểu định lí trung bình xấp xỉ cho hàm nửa liên tục dưới trên không gian Asplund. Sử dụng định lí giá trị trung bình xấp xỉ để xây dựng ba điều kiện cần và đủ đặc trưng cho tính tựa lồi vững của hàm số nửa liên tục dưới trên không gian Asplund thông qua dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich. Trong bài nghiên cứu của chúng tôi, các đặc trưng đưa ra là các kết quả mới. Từ khóa: dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân Mordukhovich, tựa lồi, tựa lồi vững. 1. Định lí giá trị trung bình xấp xỉ Định lí 1.1. (định lí giá trị trung bình xấp xỉ) Cho X là không gian Asplund, : X → là hàm chính thường, nửa liên tục dưới trên X, hữu hạn tại hai điểm cho trước a b. Khi đó tồn tại c ∈ [a, b) sao cho (c) hữu hạn và (x) ≥ (c) ∀x ∈ [a, b]. Hơn nữa, tồn tại các dãy k x c và * ( ) k k x x thỏa * * ( ) ( ) lim inf ,b x lim inf ,b ( ) ( ) k k k k k b a x b a b c x a b a Trong trường hợp c a ta có *lim ,b a ( ) ( )k k x b a . 2. Ứng dụng Mệnh đề 2.1. Cho : X là hàm nửa liên tục dưới trên không gian Banach X. Xét các phát biểu sau: (a) Hàm là - tựa lồi vững; (b) * *, min , ,y x x y x y x x y x x . Khi đó a b . Chứng minh: Giả sử là hàm - tựa lồi vững và ,x y X thỏa y x . Ta chứng minh: * *, min ,x y x y x x y x x . Giả sử *x là phần tử bất kì bất kì trong x . Nếu x y thì 44 *, 0 min ,x y x y x x y . Bây giờ ta xét trường hợp x y . Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: y x x y . Trong trường hợp này ta có: min ,y x x y y x . Theo định lí Haln-Banach tồn tại * * X v B sao cho *,v y x y x . Xét hàm :f X cho bởi *,f z z v z x z X . Khi đó f x x và *,f y y v y x y y x x Do là hàm - tựa lồi vững nên f là hàm tựa lồi. Do đó với mỗi 0,1t ta có: *, x f x f x t y x x t y x t v y x x t y x t y x Lấy 0 bất kì. Do *x x nên tồn tại 0r sao cho: *, r z x x z x z x z B x . Chọn 0,1t đủ bé sao cho rx t y x B x . Thay z x t y x vào bất đẳng thức trên ta thu được *,x t y x x t x y x t y x . Do đó: *,t y x t x y x t y x Suy ra: *, min , .x y x y x y x x y Trường hợp 2: y x x y . Trong trường hợp này ta có min , .y x x y y x Đặt : x y y x .Khi đó y x x y . Do x y và 5 - 2016 45 y x x y Nên 0 . Do là hàm - tựa lồi vững và 0 nên là hàm - tựa lồi vững. Áp dụng Trường hợp 1 ta suy ra *, min , x y x y x y x y x x y Để thu được điều kiện đủ cho tính tựa lồi vững ta sử dụng một số kết quả bổ trợ liên quan đến tựa lồi nửa liên tục dưới. Mệnh đề 2.2. Cho : X là hàm tựa lồi, chính thường, nửa liên tục dưới và ,wu X thỏa wu . Giả sử tồn tại * * v X sao cho * * * ] ,w[ sup ax , w v v v z u z m u Khi đó tồn tại ] ,w[z u thỏa * * *ax , w (2.21) v v v v m u và * *0, w' ] ,w[: w' (2.22)r v vr B v u v Để chứng minh Mệnh đề 2.2. ta sử dựng một số bổ đề sau. Bổ đề 2.3. Cho : X là hàm tựa lồi, chính thường nửa liên tục dưới. Khi đó với mọi ,x y X thỏa y x , ta có 0 lim . t y t x y y Bổ đề 2.4: Cho : X là hàm tựa lồi, chính thường, nửa liên tục dưới và , ,wu v X thỏa ] ,w[, wv u u . Giả sử tồn tại * *v X và ] , [z u v sao cho * * *ax , w v v v z m u . Khi đó: 0 lim t v t u v v . Sử dụng Bổ đề 2.3 và 2.4 ta chứng minh được mệnh đề 2.2. Định lí 2.5. Cho : X là hàm nửa liên tục dưới trên không gian Asplund X. Xét các phát biểu sau: (a) Hàm là - tựa lồi vững; 46 (b) * * ˆ ( ) ( ) , min , ( ) ( ) ( )y x x y x y x x y x x . Khi đó ( ) ( )b a . Chứng minh. Giả sử (b) đúng. Ta chứng minh là - tựa lồi vững. Lấy ,x y X , không mất tính tổng quát ta có thể giả sử ( ) ( )y x . Khi đó, do (b) đúng nên * *, 0, ( ).x y x x x Suy ra * *min , , , 0x y x y x y , với mọi * *( ), ( )x x y y . Do đó toán tử là tựa lồi đơn điệu. Khi đó tựa lồi. Giả sử không là - tựa lồi vững. Khi đó tồn tại * * *\ 0 ,v X v sao cho * v không là hàm tựa lồi. Do đó, tồn tại , ',wu v X sao cho ] ,w[v u và * * *( ') max ( ), ( ) v v v v u w . Do tựa lồi nên ( ') max ( ), (w)v u . Không mất tính tổng quát, giả sử (w) ( )u . Khi đó, (w) ( )u . Thật vậy, giả sử (w) ( )u . Do * * *, ' max , , ,v v v u v v và ( ') max ( ), (w) ( ) (w)v u u nên * * *( ') max{ ( ), ( )} v v v v u w . Điều này mâu thuẫn với * * *( ') max ( ), ( ) v v v v u w . Suy ra (w) ( )u . Mặt khác, do * * *( ') max ( ), ( ) v v v v u w , nên * * * ] ,w[ sup ( ) max ( ), ( ) v v v x u z u w . Do đó, áp dụng Mệnh đề 2.2, tồn tại ] ,w[v u thoả * * *( ) max ( ), ( ) v v v v u w và * *0, w' ( ) ]v,w[: ( ) (w')r v vr B v v . Do * * *( ) max ( ), (w) v v v v u nên * *( ) ( ) , , ( ) ( ) ,v u v u v v w v w v . (8) Mặt khác, do ] ,w[v u nên tồn tại [0,1] sao cho (1 )wv u . Suy ra * * *, (1 ) ,w , (1 )w 0.v u v v v v u v (9) Từ (8), (9) ta suy ra ( ) min ( ), (w)v u . Do là hàm tựa lồi nên ( ) max ( ), ( )v u w Lại có (w) ( )u nên (w) (v) ( )u . Do * *( ) ( ) v v v u nên tồn tại 1 *0, 1v sao cho * *( ) ( ) v v v u , với * *(1 )v v . Ta có 5 - 2016 47 1 * * * *(1 ) 1 1v v v v . Do là nửa liên tục dưới nên tồn tại 0r sao cho * * * *( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ).rv v v vz u z u z u z B v Chọn w' ( ) ] ,w[ r B v v sao cho * *( ) (w') v v v . Khi đó tồn tại 0, w r u sao cho w' : (w )v v . Do * *( ) (w) v v v và ( ) (w)v nên * * *,w (w) ( ) ( ) (w) 0. v v v v v v * * * * * * * * (w ') ( ) (w ') ( ) ,w'-v (w ') ( ) ,w 0. v v v v v v v v v v v v Do đó * *( ) (w') v v v . Áp dụng Bổ đề 2.3 với hàm * * *, [w',u], ( ) (w') v v v v v tồn tại * v x dom và * * ( ) v x x sao cho [w',v ] w'x r v B và *, 0.x u x Khi đó ( ) r x B v và do đó ( ) ( )x u . Do (b) thoả và * * ( )x v x nên * * *, , min , ( ) ( ) .v u x x v u x u x x u Suy ra *, min , ( ) ( )v u x u x x u . Do * *,v u x v u x u x nên *, ( ) ( )v u x x u . Khi đó * *( ) ( ). v v x u Điều này là mâu thuẫn với * *( ) ( ) ( )rv vz u z B v . Nhận xét 2.1. Ngoài điều kiện hỗn hợp, ta còn có thể dùng điều kiện của toán tử dưới vi phân Frechét để đặt trưng cho tính chất tựa lồi vững như sau Định lí 2.3. Cho : X là hàm chính thường, nửa liên tục dưới trên không gian Asplund X. Hàm là - tựa lồi vững khi và chỉ khi với mọi ,x y X và * *( ), ( )x x y y ta có * * * *min , , , , 0.x y x y x y y x x y x y (10) Chứng minh. Giả sử là tựa lồi. Khi đó, là hàm tựa lồi và do đó: * *min , , , 0x y x y x y (11) 48 với mọi ,x y X và * *( ), ( )x x y y . Do đó, nếu 0 thì (1) đúng với mọi ,x y X và * *( ), ( )x x y y . Bây giờ xét trường hợp 0 . Giả sử ,x y X và * *( ), ( )x x y y thỏa: * *min , , ,x y x y x y y x . Khi đó x y và do (11), ta có: * *0 min , , , y x x y x y y x x y . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử: * * *, min , , , y x y x x y x x y y x y x x y . Lấy r là số thực dương bất kì thỏa: *, y x x r y x . (12) Theo định lí Hahn – Banach tồn tại * *v X sao cho: * *, , .v y x r y x v r (13) Xét hàm * : v X cho bởi: * * ( ) ( ) , , . v u u v u u X Khi đó: * * ( ) ( ) , v u u v u X . Do là tựa lồi vững nên *v tựa lồi. Khi đó: * * * *min , , , 0x v y x y v x y , Hay * * * *min , , , , , 0x y x v y x y x y v x y . (14) Mặt khác, từ (12) và (13) ta có * *, , 0x y x v y x r y x r x y (15) Kết hợp (14) và (15) ta thu được * *, , 0y x y v x y . Suy ra * *, , .y x y v y x r x y Cho *, y x r x y x trong bất đẳng thức trên ta thu được * *, ,y x y x x y . Do đó (10) đúng. Giả sử (10) đúng với mọi ,x y X và * *( ), (y)x x y . Lấy *v bất kì trong * X B . Ta chứng minh hàm * : v X cho 5 - 2016 49 bởi * *( ) ( ) , v u u v u u X là hàm tựa lồi. Để chứng minh * v là tựa lồi, ta chứng minh *v là tựa đơn điệu. Giả sử ,x y X và * *( ), (y)x x y . Do * * *( ) ( ) v v u u v u X nên * * * *( ), ( )x v x y v y . Ta xét hai trường hợp sau:  Trường hợp 1: * * * *min , , , .x v y x y v x y y x Không mất tính tổng quát ta giả sử: * * * * * *, min , , , .x v y x x v y x y v x y Do *v nên * * * * * * * min , , , , , , 0. x y x y x y x y x x v y x v y x y x v y x  Trường hợp 2: * * * *min , , , .x v y x y v x y y x Do (10) thỏa nên * * * *( ) ( ), 0x v y v x y hay * *, 0.x y x y Suy ra: * * *2min *, , , , , 0x y x y x y x y x y x y Trong cả hai trường hợp trên ta đều có: * *min , , , 0x y x y x y .Vậy v là đơn điệu. Do đó, với mọi * * X v B , Hàm *v là hàm tựa lồi nên hàm là tựa lồi vững. Hệ quả 2.1. Cho : X là hàm chính thường, nửa liên tục dưới trên không gian Asplund X. Hàm là - tựa lồi vững khi và chỉ khi với mọi ,x y X và * *( ), ( )x x y y ta có * * * *min , , , , 0.x y x y x y y x x y x y 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. E.N. Barron, R. Goebel, R.R. Jensen (2012), “Function which are quasiconvex under linear perturbations”, Siam J. Optim 22, pp 1089–1108. 2. M. Soleimani-damaneh (2007), “Characterization of nonsmooth quasiconvex and pseudoconvex functions”, J. Math. Anal. Appl. 330, pp 1387–1392. 3. Vladimir L. Levin (1995), “Quasi-convex Functions and Quasi-monotone Operators”, Journal of Convex Analysis, 2, pp 167–172. 4. Heinz H. Bauschke, Patrick L. Combettes (2011), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, New York. 5. Boris S. Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differentiation I (2006), Basic Theory, Springer, Berlin. 6. Nguyen Thi Quynh Trang (2012), “A note on an approximate mean value theorem for Fréchet subgradients”, Nonlinear Analysis, 75, pp 380–33.