Đồ án Thuật toán phân cụm dữ liệu mờ

MỤC LỤC MỤC LỤC 1 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHÂN CỤM DỮ LIỆU 2 1.1. Khái niệm chung 2 1.2. Các kiểu dữ liệu và độ đo tương tự 2 1.3. Một số ứng dụng của phân cụm dữ liệu 6 1.4. Một số kỹ thuật tiếp cận trong phân cụm dữ liệu 6 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT TẬP MỜ 8 2.1. Tập mờ. 8 2.2. Số mờ 8 2.3. Quan hệ mờ 10 CHƯƠNG 3. MỘT SỐ THUẬT TOÁN PHÂN CỤM DỮ LIỆU - PHÂN CỤM DỮ LIỆU MỜ 11 3.1. Thuật toán k-means 11 3.2. Thuật toán k–tâm 12 3.2.1. Các khái niệm và thuật toán cơ sở cho thuật toán K-tâm 12 3.2.2. Thuật toán K-tâm: 13 3.3. Thuật toán phân cụm dữ liệu mờ FCM (Fuzzy C-means) 14 3.3.1. Xây dựng hàm tiêu chuẩn 14 3.3.2. Thuật toán 16 3.3.3. Đánh giá 17 CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 18 4.1. Bài toán 18 4.2. Chương trình ứng dụng. 21 Giao diện chương trình : 21 KẾT LUẬN 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25  CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHÂN CỤM DỮ LIỆU 1.1. Khái niệm chung Khai phá dữ liệu (Datamining) là quá trình trích xuất các thông tin có giá trị tiềm ẩn bên trong tập dữ liệu lớn được lưu trữ trong các cơ sở dữ liệu, kho dữ liệu... Người ta định nghĩa: "Phân cụm dữ liệu là một kỹ thuật trong DATA MINING, nhằm tìm kiếm, phát hiện các cụm, các mẫu dữ liệu tự nhiên tiềm ẩn, quan tâm trong tập dữ liệu lớn, từ đó cung cấp thông tin, tri thức hữu ích cho việc ra quyết định" Như vậy , PCDL là quá trình phân chia một tập dữ liệu ban đầu thành các cụm dữ liệu sao cho các phần tử trong một cụm "tương tự" (Similar) với nhau và các phần tử trong các cụm khác nhau sẽ "phi tương tự" (Dissimilar) với nhau. Số các cụm dữ liệu được phân ở đây có thể được xác định trước theo kinh nghiệm hoặc có thể được tự động xác định. 1.2. Các kiểu dữ liệu và độ đo tương tự a. Phân loại các kiểu dữ liệu Cho một CSDL D chứa n đối tượng trong không gian k chiều trong đó x,y,z là các đối tượng thuộc D : x = (x1,x2,..,xk ); y = (y1,y2,..,yk ); z = (z1,z2,..,zk ), trong đó xi, yi, zi với
là các đặc trưng hoặc thuộc tính tương ứng của các đối tượng x,y,z. Sau đây là các kiểu dữ liệu: Phân loại các kiểu dữ liệu dựa trên kích thước miền Thuộc tính liên tục (Continuous Attribute) : nếu miền giá trị của nó là vô hạn không đếm được Thuộc tính rời rạc (DiscretteAttribute) : Nếu miền giá trị của nó là tập hữu hạn, đếm được Lớp các thuộc tính nhị phân: là trường hợp đặc biệt của thuộc tính rời rạc mà miền giá trị của nó chỉ có 2 phần tử được diễn tả như : Yes / No hoặc Nam/Nữ, False/true,… Phân loại các kiểu dữ liệu dựa trên hệ đo Giả sử rằng chúng ta có hai đối tượng x, y và các thuộc tính xi, yi tương ứng với thuộc tính thứ i của chúng. Chúng ta có các lớp kiểu dữ liệu như sau : Thuộc tính định danh (nominal Scale): đây là dạng thuộc tính khái quát hoá của thuộc tính nhị phân, trong đó miền giá trị là rời rạc không phân biệt thứ tự và có nhiều hơn hai phần tử - nghĩa là nếu x và y là hai đối tượng thuộc tính thì chỉ có thể xác định là x ( y hoặc x = y. Thuộc tính có thứ tự (Ordinal Scale) : là thuộc tính định danh có thêm tính thứ tự, nhưng chúng không được định lượng. Nếu x và y là hai thuộc tính thứ tự thì ta có thể xác định là x ( y hoặc x = y hoặc x > y hoặc x <y. Thuộc tính khoảng (Interval Scale) : Với thuộc tính khoảng, chúng ta có thể xác định một thuộc tính là đứng trước hoặc đứng sau thuộc tính khác với một khoảng là bao nhiêu. Nếu xi > yi thì ta nói x cách y một khoảng xi – yi tương ứng với thuộc tính thứ i. Thuộc tính tỉ lệ (Ratio Scale) : là thuộc tính khoảng nhưng được xác định một cách tương đối so với điểm mốc, thí dụ như thuộc tính chiều cao hoặc cân nặng lấy điểm 0 làm mốc. Trong các thuộc tính dữ liệu trình bày ở trên, thuộc tính định danh và thuộc tính có thứ tự gọi chung là thuộc tính hạng mục (Categorical), thuộc tính khoảng và thuộc tính tỉ lệ được gọi là thuộc tính số (Numeric). b. Độ đo tương tự và phi tương tự Để phân cụm, người ta phải đi tìm cách thích hợp để xác định "khoảng cách" giữa các đối tượng, hay là phép đo tương tự dữ liệu. Đây là các hàm để đo sự giống nhau giữa các cặp đối tượng dữ liệu, thông thường các hàm này hoặc là để tính độ tương tự (Similar) hoặc là tính độ phi tương tự (Dissimilar) giữa các đối tượng dữ liệu Tất cả các độ đo dưới đây được xác định trong không đo gian metric. Một không gian metric là một tập trong đó có xác định các "khoảng cách" giữa từng cặp phần tử, với những tính chất thông thường của khoảng cách hình học. Nghĩa là, một tập X (các phần tử của nó có thể là những đối tượng bất kỳ) các đối tượng dữ liệu trong CSDL D như đã đề cập ở trên được gọi là một không gian metric nếu: Với mỗi cặp phần tử x,y thuộc X đều có xác định, theo một quy tắc nào đó, một số thực δ(x,y), được gọi là khoảng cách giữa x và y. Quy tắc nói trên thoả mãn hệ tính chất sau : (i) δ(x,y) > 0 nếu x ≠ y ; (ii) δ(x, y)=0 nếu x =y; (iii) δ(x,y) = δ(y,x) với mọi x,y; (iv) δ(x,y) ≤ δ(x,z)+δ(z,y). Hàm δ(x,y) được gọi là một metric của không gian. Các phần tử của X được gọi là các điểm của không gian này. Thuộc tính khoảng : Sau khi chuẩn hoá, độ đo phi tương tự của hai đối tượng dữ liệu x, y được xác định bằng các metric khoảng cách như sau : Khoảng cách Minskowski :
, trong đó q là số tự nhiên dương. Khoảng cách Euclide :
, đây là trường hợp đặc biệt của khoảng cách Minskowski trong trường hợp q=2. Khoảng cách Manhattan :
, đây là trường hợp đặc biệt của khoảng cách Minskowski trong trường hợp q=1. Khoảng cách cực đại :
, đây là trường hợp của khoảng cách Minskowski trong trường hợp q-> (. Thuộc tính nhị phân : ( là tổng số các thuộc tính có giá trị là 1 trong x,y. ( là tổng số các thuộc tính có giá trị là 1 trong x và 0 trong y. ( là tổng số các thuộc tính có giá trị là 0 trong x và 1 trong y. ( là tổng số các thuộc tính có giá trị là 0 trong x và y. (= (+(+(+( Các phép đo độ tương tương đồng đối với dữ liệu thuộc tính nhị phân được định nghĩa như sau : Hệ số đối sánh đơn giản :
, ở đây cả hai đối tượng x và y có vai trò như nhau, nghĩa là chúng đối xứng và có cùng trọng số. Hệ số Jacard :
, (bỏ qua số các đối sánh giữa 0-0). Công thức tính này được sử dụng trong trường hợp mà trọng số của các thuộc tính có giá trị 1 của đối tượng dữ liệu có cao hơn nhiều so với các thuộc tính có giá trị 0, như vậy các thuộc tính nhị phân ở đây là không đối xứng. Thuộc tính định danh : Độ đo phi tương tự giữa hai đối tượng x và y được định nghĩa như sau:
, trong đó m là số thuộc tính đối sánh tương ứng trùng nhau, và p là tổng số các thuộc tính. Thuộc tính có thứ tự : Giả sử i là thuộc tính thứ tự có Mi giá trị (Mi kích thước miền giá trị) : Các trạng thái Mi được sắp thứ tự như sau : [1…Mi], chúng ta có thể thay thế mỗi giá trị của thuộc tính bằng giá trị cùng loại ri, với ri ({1…Mi}. Mỗi một thuộc tính có thứ tự có các miền giá trị khác nhau, vì vậy chúng ta chuyển đổi chúng về cùng miền giá trị [0,1] bằng cách thực hiện phép biến đổi sau cho mỗi thuộc tính :
Sử dụng công thức tính độ phi tương tự của thuộc tính khoảng đối với các giá trị
, đây cũng chính là độ phi tương tự của thuộc tính có thứ tự. Thuộc tính tỉ lệ : Có nhiều cách khác nhau để tính độ tương tự giữa các thuộc tính tỉ lệ. Một trong những số đó là sử dụng công thức tính logarit cho mỗi thuộc tính. Hoặc loại bỏ đơn vị đo của các thuộc tính dữ liệu bằng cách chuẩn hoá chúng, hoặc gán trọng số cho mỗi thuộc tính giá trị trung bình, độ lệch chuẩn.Với mỗi thuộc tính dữ liệu đã được gán trọng số tương ứng
, độ tương đồng dữ liệu được xác định như sau :
. 1.3. Một số ứng dụng của phân cụm dữ liệu Phân cụm dữ liệu có rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Ví dụ: Thương mại : Giúp các thương nhân khám phá ra các nhóm khách hàng quan trọng để đưa ra các mục tiêu tiếp thị. Sinh học : Xác định các loại sinh vật, phân loại các Gen với chức năng tương đồng và thu được các cấu trúc trong các mẫu. Lập quy hoạch đô thị : Nhận dạng các nhóm nhà theo kiểu và vị trí địa lý,…nhằm cung cấp thông tin cho quy hoạch đô thị. Nghiên cứu trái đất : Theo dõi các tâm động đất nhằm cung cấp thông tin cho nhận dạng các vùng nguy hiểm... 1.4. Một số kỹ thuật tiếp cận trong phân cụm dữ liệu Phân cụm phân hoạch: Phương pháp phân cụm phân hoạch nhằm phân một tập dữ liệu có n phần tử cho trước thành k nhóm dữ liệu sao cho: mỗi phần tử dữ liệu chỉ thuộc về một nhóm dữ liệu và mỗi nhóm dữ liệu có tối thiểu ít nhất một phần tử dữ liệu. Một số thuật toán phân cụm phân hoạch điển hình: k-means, PAM, CLARA, CLARANS,… Phân cụm dữ liệu phân cấp: Phân cụm phân cấp sắp xếp một tập dữ liệu đã cho thành một cấu trúc có dạng hình cây, cây phân cấp này được xây dựng theo kỹ thuật đệ quy. Phân cụm dữ liệu dựa trên lưới: Kỹ thuật phân cụm dựa trên mật độ không thích hợp với dữ liệu nhiều chiều, để giải quyết cho đòi hỏi này, người ta đã dử dụng phương pháp phân cụm dựa trên lưới. Đây là phương pháp dựa trên cấu trúc dữ liệu lưới để PCDL, phương pháp này chủ yếu tập trung áp dụng cho lớp dữ liệu không gian. Thí dụ như dữ liệu được biểu diễn dưới dạng cấu trúc hình học của đối tượng trong không gian cùng với các quan hệ, các thuộc tính, các hoạt động của chúng. Một số thuật toán PCDL dựa trên cấu trúc lưới điển hình là: STING, WAVECluster, CLIQUE,… Phân cụm dữ liệu dựa trên mật độ: Phương pháp này nhóm các đối tượng theo hàm mật độ xác định. Mật độ được định nghĩa như là số các đối tượng lân cận của một đối tượng dữ liệu theo một ngưỡng nào đó. Trong cách tiếp cận này, khi một cụm dữ liệu đã xác định thì nó tiếp tục được phát triển thêm các đối tượng dữ liệu mới miễn là số các đối tượng lân cận của các đối tượng này phải lớn hơn một ngưỡng đã được xác định trước. Phương pháp phân cụm dựa vào mật độ của các đối tượng để xác định các cụm dữ liệu có thể phát hiện ra các cụm dữ liệu với hình thù bất kỳ. Tuy vậy, việc xác định các tham số mật độ của thuật toán rất khó khăn, trong khi các tham số này lại có tác động rất lớn đến kết quả phân cụm dữ liệu. CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT TẬP MỜ 2.1. Tập mờ. Định nghĩa: Tập mờ là một tập hợp mà mỗi phần tử cơ bản của nó được gán thêm một giá trị thực µ(x) Є [0,1] để chỉ độ phụ thuộc của nó vào tập đã cho. Độ phụ thuộc càng lớn thì phần tử thuộc về tập càng lớn. Khi độ phụ thuộc bằng 0 thì phần tử đó sẽ không hoàn toàn thuộc về tập đã cho. Ngược lại với độ phụ thuộc bằng 1 phần tử cơ bản sẽ thuộc tập hợp với xác suất 100%. A là tập mờ trên không gian nền X nếu A được xác định bởi hàm: µA : X → [0,1] µA là hàm thuộc và µA(x) là độ thuộc của x vào tập mờ A Ví dụ: T là tập những người có tuổi dưới 20. Mỗi người chỉ có hai khả năng: hoặc là thuộc T hoặc không. Tuy nhiên khi xét A là tập những người trẻ. Trong trường hợp này không có ranh giới rõ ràng để khẳng định một người có thuộc A hay không. Ranh giới của nó là mờ. Ta chỉ có thể nói một người sẽ thuộc tập A theo một mức độ nào đó. Chẳng hạn ta có thể cho rằng một người 35 tuổi thuộc về tập A với độ thuộc là 60 % hay 0.6. Còn một người 50 tuổi thuộc về A với độ thuộc là 30% hay 0.3. Như vậy A là tập mờ và µtrẻ : X → [0,1] là hàm thuộc của A. Có thể ký hiệu A = {( µA(x), x ): x Є X} Việc µA(x) có giá trị bất kỳ trong khoảng [0,1] là điều khác biệt cơ bản giữa tập rõ và tập mờ. Ở tập rõ hàm thuộc chỉ có hai giá trị : +µA(x) = 1 nếu x Є A +µA(x) ≠ 0 nếu x
A 2.2. Số mờ Tập mờ M trên tập số thực R1 là một số thực mờ nếu : 1) M chuẩn hóa tức có điểm x’ sao cho µM (x’) = 1 2) Ứng với mỗi α Є R1 tập mức {x: µM (x) ≥ α} là đoạn đóng trên R1. Có 3 dạng số mờ cơ bản: Số mờ hình Singleton: Hình 2.1a. Số mờ Singleton Số mờ hình tam giác: M(a, b, c) 0 nếu x ≤ a µM (x) = x –a / x - b nếu a ≤ x ≤ b c – x / c –b nếu b ≤ x ≤ c 0 nếu c ≤ x Hình 2.1b. Số mờ tam giác Số mờ hình thang: M(a, b, c, d) 0 nếu x ≤ a µM (x) = x –a / x - b nếu a ≤ x ≤ b 1 nếu b ≤ x ≤ c 0 nếu d ≤ x Hình 2.1c. Số mờ hình thang 2.3. Quan hệ mờ Khái niệm quan hệ mờ Định nghĩa 1: Cho hai không gian nền X,Y. R là một quan hệ mờ trên X x Y nếu R là một tập mờ trên X x Y tức là có một hàm thuộc: µR : X x Y → [0,1] ở đây µR ( x,y ) = R(x,y) là độ thuộc (membership degree) của x, y vào quan hệ Định nghĩa 2: Quan hệ mờ trên những tập mờ: Cho tập mờ A với µA(x) trên X. Tập mờ B với µB(x) trên Y. Quan hệ mờ trên các tập mờ A và B là quan hệ mờ R trên X x Y thỏa mãn điều kiện: µR (x,y) ≤ µA(x), ( y Є Y µR (x,y) ≤ µB (x), ( x Є X Các phép toán: (R1 ∩ R2) (x, y) = max {R1(x, y), R2 (x, y)} (R1
R2) (x, y) = min {R1(x, y), R2 (x, y)} R -1 (x, y) = R (y, x) Rc (x, y) = 1 ( R (x, y) Phép hợp thành (composition) Cho R1 là quan hệ mờ trên X x Y và R2 là quan hệ mờ trên Y x Z. Hợp thành R1o R2 của R1, R2 là quan hệ mờ trên X x Z Hợp thành max-min được xác định bởi: µR1
R2(x, z) = maxy {min (µR1 (x, y), µR2 (y, z)}, ((x, z) Є X x Z Hợp thành max-prod cho bởi : µR1
R2(x, z) = maxy {µR1 (x, y) .µR2 (y, z)} với mọi (x, z) Є X x Z Hợp thành max-* được cho bởi toán tử (: [0,1] 2 → [0,1] µR1o R2 (x, z) = maxy {µR (x,y) ( µR2 (y,z)} ( (x, z) Є X x Z CHƯƠNG 3. MỘT SỐ THUẬT TOÁN PHÂN CỤM DỮ LIỆU - PHÂN CỤM DỮ LIỆU MỜ 3.1. Thuật toán k-means Thuật toán phân hoạch K-means do MacQeen đề xuất trong lĩnh vực thống kê năm 1967, mục đích của thuật toán k-means là sinh ra k cụm dữ liệu {C1, C2, …,Ck} từ một tập dữ liệu chứa n đối tượng trong không gian d chiều Xi = (xi1, xi2, …, xid) (
), sao cho hàm tiêu chuẩn :
đạt giá trị tối thiểu. Trong đó : mi là trọng tâm của cụm Ci, D là khoảng cách giữa hai đối tượng ( khoảng cách Euclide) Trọng tâm của một cụm là một véc tơ, trong đó giá trị của mỗi phần tử của nó là trung bình cộng của các thành phần tương ứng của các đối tượng vectơ dữ liệu trong cụm đang xét. Tham số đầu vào của thuật toán là số cụm k, và tham số đầu ra của thuật toán là các trọng tâm của các cụm dữ liệu. Thuật toán k-means bao gồm các bước cơ bản như trong hình sau: Nhận xét: Hình 3.1. Các bước thực hiện thuật toán k-means Nhận xét: Độ phức tạp của thuật toán là
với T là số lần lặp, n số đối tượng của tập dữ liệu đưa vào. k-means phân tích phân cụm đơn giản nên có thể áp dụng đối với tập dữ liệu lớn. Tuy nhiên, nhược điểm của k-means là chỉ áp dụng với dữ liệu có thuộc tính số và khám ra các cụm có dạng hình cầu, chỉ áp dụng với dữ liệu số. 3.2. Thuật toán k-tâm 3.2.1. Các khái niệm và thuật toán cơ sở cho thuật toán K-tâm Thuật toán K-tâm là một mở rộng thực sự của thuật toán K-mean cho dữ liệu hỗn hợp. Trong đó sử dụng khái niệm Mode của dữ liệu hỗn hợp Ta xét D là tập N đối tượng
trong đó xi = (
) là phần tử của quan hệ r trên lược đồ quan hệ R = {A1,..., An} và
Dom(Aj) với mỗi j
m là các giá trị thực còn với
là các giá trị định danh. a. Mode của tập dữ liệu hỗn hợp. Định nghĩa. Giả sử C là tập con của tập dữ liệu hỗn hợp D. i) Với mọi j
n, j-mode của C ( kí kiệu là j-mode(C)) là giá trị có tần xuất nhiều nhất trong thuộc tính Aj của C nếu A là thuộc tính định danh và là trung bình cộng của các giá trị thuộc tính Aj của C khi Aj là thuộc tính số. Nếu Aj là thuộc tính định danh và có nhiều giá trị có tần xuất như nhau trong C thì j-mode(C) có thể không duy nhất và ta chọn giá trị nào cũng được. ii) Mode của tập hợp C ký hiệu là mode(C) là phần tử z = (z1,..., zn) trong đó zj = j-mode(C),

n b. Mêtric trên dữ liệu hỗn hợp. Trong lược đồ quan hệ R, miền giá trị của các thuộc tính Aj có thể là tập số thực, định danh hay là tập có thứ tự. Định nghĩa 1. Giả sử DOM(Aj) là miền giá trị của thuộc tính Aj. Ta có các khái niệm sau. i) Thuộc tính định danh. Aj được gọi là thuộc tính định danh nếu DOM(Aj) là tập không có thứ tự, tức là
a,b
DOM(Aj), hoặc a = b hay a
b. ii) thuộc tính số. Aj thuộc tính số nếu DOM(Aj) là tập số thực. ii) Thuộc tính thứ tự. Nếu DOM(Aj) là tập hữu hạn và có thứ tự hoàn toàn thì Aj được gọi là thuộc tính có thứ tự (chẳng hạn: DOM(Aj) = { không đau, hơi đau, đau và rất đau}.. Trên miền giá trị DOM(Aj) của một thuộc tính Aj ta xác định các khoảng cách như sau. Định nghĩa 2.
x,y
DOM(Aj) hàm dj(x,y) xác định bởi : Nếu Aj là thuộc tính số thì dj(x,y)=
(1) ii) Nếu Aj là thuộc tính thứ tự và DOM(Aj) =
với
, ta lấy một hàm đơn điệu fj: DOM(Aj)→ [0,1] sao cho
(Hàm này có thể là :
). Khi đó dj(x,y)= │fj(x)-fj(y) │. (2) iii) Nếu Aj là dữ liệu định danh thì dj(x,y)=
(3) Định nghĩa khoảng cách giữa hai đối tượng dữ liệu hỗn hợp Định nghĩa 3. Giả sử x = (x1,..., xn) và y = (y1,..., yn) là hai đối tượng dữ liệu hỗn hợp trên D, khoảng cách d(x, y) được tính bởi công thức:
trong đó các dj (xj, yj) được tính theo các công thức (1 -3) và
là các trọng số dương cho bởi các chuyên gia. Ta xem các thuộc tính thứ tự có miền giá trị là đoạn [0,1] (các giá trị trên thuộc tính này của D là tập con) và nó cũng được xem là thuộc tính. Ta có định lý sau. 3.2.2. Thuật toán K-tâm:
 Định lý . Thuật toán trên hội tụ sau một số hữu hạn bước lặp tới điểm cực tiểu địa phương của hàm E:
 Nhận xét: i) Khi thuật toán kết thúc, các đối tượng tâm có thể không thuộc tập D. Để tìm phần tử đại diện cho mỗi cụm, ta lấy phần tử thuộc cụm gần với tâm của nó nhất. ii) Như đã nói ở định lý trên, thuật toán chỉ hội tụ tới điểm cực tiểu địa phương của E. Để tăng hiệu quả của thuật toán ta có thể kết hợp với thuật toán di truyền hoặc khởi tạo tâm ban đầu bằng phương pháp chuyên gia (theo cách nửa giám sát). 3.3. Thuật toán phân cụm dữ liệu mờ FCM (Fuzzy C-means) Thuật toán phân cụm dữ liệu mờ FCM giống như k-means đều sử dụng chung một chiến lược phân cụm dữ liệu. FCM chia phân tập dữ liệu ban đầu thành c cụm mờ, trong đó mỗi đối tượng dữ liệu thuộc về các cụm được xác định bởi một hệ số là độ phụ thuộc uik Є [0, 1]. (k là chỉ số của cụm và i biểu thị số thứ tự của đối tượng dữ liệu trong tập dữ liệu ban đầu), hệ số uik này để chỉ quan hệ giữa các đối tượng với cụm dữ liệu trong quá trình tính toán, hay còn gọi là mức độ phụ thuộc của đối tượng dữ liệu thứ i vào trung tâm của cụm thứ k. 3.3.1. Xây dựng hàm tiêu chuẩn Trong phân cụm mờ, tổng tất cả các phân hoạch mờ có c cụm dữ liệu của tập dữ liệu có N đối tượng trong không gian D chiều được xác định như sau
(1) Trong đó :
là không gian của tất cả các ma trận thực cấp c*N, uik là các phần tử của ma trận U. Hàm tiêu chuẩn của thuật toán FCM được định nghĩa như sau :
(2) Trong đó :
, V=[v1, v2, …, vc]
là ma trận mẫu biểu diễn các giá trị đối tượng tâm của cụm, m là trọng số mũ trong [1,
). Hơn nữa,
được xác định như sau :
(3) Trong đó : A là ma trận hữu hạn dương . Họ các hàm tiêu chuẩn xác định trong công thức (2) với tham số mũ m
được đề xuất bởi Bezdek (1982). Sau đây là các điều kiện cần thiết nhằm tối thiểu hàm tiêu chuẩn Jm(U,V). Ta có định lý đã được các nhà khoa học chứng minh: Định lý 1: Nếu m và c là các tham số cố định, và Ik là một tập được định nghĩa như sau :
(4) thì hàm tiêu chuẩn
đạt giá trị tối thiểu khi và chỉ khi :

(5) và
(6) Để có một phân hoạch tối ưu, thì hàm tiêu chuẩn đạt giá trị tối thiểu, hay (5) và (6) phải thoả mãn. Từ đó, thuật toán phân cụm mờ FCM được xây dựng như sau: 3.3.2. Thuật toán Hình 3.3. Thuật toán FCM Trong đó:
và tham số
được cho trước. Việc chọn các tham số cụm rất ảnh hưởng đến kết quả phân cụm, tham số này thường được chọn theo phép ngẫu nhiên hoặc theo kinh nghiệm. Chưa có quy tắc nào nhằm lựa chọn tham số m đảm bảo việc phân cụm hiệu quả, thông thường người ta chọn m = 2. 3.3.3. Đánh giá Thuật toán c-means mờ FCM đã được áp dụng thành công trong giải quyết một số lớn các bài toán PCDL như trong nhận dạng mẫu, xử lý ảnh, y học,… Tuy nhiên, nhược điểm lớn nhất của thuật toán FCM là nhạy cảm với các nhiễu và phần tử ngoại lai trong dữ liệu, nghĩa là các trung tâm cụm có thể nằm xa so với trung tâm thực của cụm. Do đó các cụm dữ liệu được khám phá có thể rất lệch so với các cụm trong thực tế.Việc khử nhiễu và phần tử ngoại lai là một vấn đề cần phải được giải quyết . Đã có nhiều các ph