Đo lường điện - Biến đổi năng lượng điện cơ (phần 7)

1Bài giảng 7 408001 Biến đổi năng lượng điện cơ Giảng viên: TS. Nguyễn Quang Nam 2013 – 2014, HK2 2Bài giảng 7
Các mô hình động học của hệ thống điện được mô tả bởi các phương trình vi phân. Tính ổn định của hệ thống phi tuyến trong vận hành được đặc biệt quan tâm. Một số công cụ phân tích tính ổn định sẽ được giới thiệu.
Nghiệm trong miền thời gian của bài toán động học hệ thống có được bằng việc tính tích phân số và các điểm cân bằng được xác định bằng đồ thị. Với các hệ thống bậc cao hơn, các kỹ thuật số được sử dụng để tính các điểm cân bằng. Ổn định các hệ thống điện cơ – Giới thiệu 3Bài giảng 7
Sẽ có ích nếu biết điểm cân bằng tĩnh là ổn định hay không. Với các nhiễu mạnh của trạng thái x hay ngõ vào u, luôn cần các mô phỏng trong miền thời gian.
Với các thay đổi nhỏ quanh điểm cân bằng, một phân tích tuyến tính hóa là đủ để xác định điểm cân bằng là ổn định hay không.
Đôi khi, các hàm năng lượng có thể được dùng để đánh giá tính ổn định của hệ thống đối với nhiễu mạnh mà không cần các mô phỏng trong miền thời gian. Ổn định các hệ thống điện cơ – Giới thiệu (tt) 4Bài giảng 7
Điểm cân bằng sẽ biểu diễn trạng thái vận hành xác lập của hệ thống, chẳng hạn một lưới điện. Hệ vật lý có thể có thay đổi nhỏ (ví dụ thay đổi tải), vốn có thể dẫn đến dao động hay thậm chí sụp đổ hệ thống, hoặc gặp các nhiễu mạnh (ví dụ, sự cố hay sét đánh).
Với trường hợp vô hướng, mô hình hệ thống là Tuyến tính hóa ( )uxfx ,=& 5Bài giảng 7 Tuyến tính hóa (tt)
Để tuyến tính hóa, khai triển f(x, u) thành 1 chuỗi Taylor quanh điểm cân bằng xe và ngõ vào không đổi, và chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất uˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u f x x f uxfuu u f xx x f uxfuxf eee ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +=− ∂ ∂ +− ∂ ∂ += 0000 ˆ,ˆˆ,, Hay ( ) ( ) u u f x x f uxfuxfx e ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =−=∆ 00 ˆ,,& 6Bài giảng 7
Gọi , , và . Tuyến tính hóa hệ quanh điểm cân bằng dẫn đến Tuyến tính hóa hệ bậc hai ( )uxxfx ,, 2111 =& ( )uxxfx ,, 2122 =& exxx 111 −=∆ exxx 222 −=∆ uuu ˆ−=∆ u u f u f x x x f x f x f x f x x ∆               ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∆ ∆               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =      ∆ ∆ 0 2 0 1 2 1 02 2 01 2 02 1 01 1 2 1 & & A 7Bài giảng 7 Tuyến tính hóa hệ bậc hai
Để xét tính ổn định của hệ, cần tìm trị riêng của ma trận A.
Trị riêng của ma trận A có được bằng cách giải phương trình det(A – λI) = 0.
Hệ thống là ổn định nếu tất cả các trị riêng nằm ở nửa trái của mặt phẳng phức (nghĩa là, phần thực < 0). 8Bài giảng 7 Ổn định của hệ bậc hai ( ) xx x xf M x dt d M B dt xd ∆−=∆ ∂ ∂ =∆+∆ 20 0 2 2 1 ω
Xét mô hình một hệ bậc hai ( )uxf dt dxB dt xdM ,2 2 =+ có dạng tuyến tính hóa
Định nghĩa và , dạng không gian trạng thái trở thành 1xx ∆=∆ 2xx ∆=∆&       ∆ ∆       −− =      ∆ ∆ 2 1 2 02 1 10 x x MBx x ω& & 9Bài giảng 7 Ổn định của hệ bậc hai (tt)
Phương trình đặc tính (để tìm trị riêng) có được 0 1 2 0 = −−− − λω λ MB 020 2 =++ ωλλ M B
Trường hợp I (B > 0, M > 0, )020 >ω 2 02 2 4 ω> M B 2 02 2 4 ω= M B 2 02 2 4 ω< M B
Nghiệm tổng quát của phương trình đặc tính 2 02 2 21 42 , ωλλ −±−= M B M B Trong cả 3 trường hợp, hệ là ổn định. 10Bài giảng 7 Ổn định của hệ bậc hai (tt)
Trường hợp II (B > 0, M > 0, ): hệ không ổn định
Trường hợp đặc biệt (B = 0, M > 0): hệ là không ổn định nếu , hay ở biên ổn định nếu .020 ω 020 <ω 11Bài giảng 7 Ví dụ 5.1  Cho mạch từ giống như bài tập 4.15, với đồng năng lượng và phương trình chuyển động Hãy tìm các điểm cân bằng xe > 0, giá trị tối thiểu của I0 để tồn tại điểm cân bằng, và xác định tính ổn định của điểm cân bằng.
Lực điện từ fe ( ) 0 ,12 1 2 0 0 > + =′ xILW a xm efMg dt xdM +=2 2 ( ) a IL x Wf a x me 1 12 1 2 2 00 + −= ∂ ′∂ =
Để tìm điểm cân bằng, đặt các đạo hàm bằng 0, dẫn đến 12Bài giảng 7 Ví dụ 5.1 (tt)
Giải theo x ( ) a ILMg a x 1 12 1 2 2 00 + =         ±−= Mga IL axe 2 1 2 00
Chọn x > 0 như yêu cầu         +−= Mga IL axe 2 1 2 00
Để tồn tại xe > 0, I0 cần thỏa điều kiện 0 0 2 L MgaI > 13Bài giảng 7 Ví dụ 5.1 (tt)
Đây là trường hợp có B = 0, M > 0, và . Do đó, hệ thống nằm trên biên ổn định tại x = xe. ( ) xa IL x x f dt xdM a x xx e e e ∆ + =∆ ∂ ∂ = ∆ = 23 2 00 2 2 1 1
Để xét tính ổn định tại xe, tuyến tính hóa pt chuyển động 020 <ω 14Bài giảng 7 Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến
Với nhiễu mạnh, việc phân tích ổn định của hệ phi tuyến có thể cần đến các kỹ thuật tính số vốn rất tốn kém sức mạnh tính toán.
Trong nhiều trường hợp, thông tin hữu ích có thể thu được bằng một phương pháp trực tiếp, tránh việc phải tính tích phân số.
Kỹ thuật này dựa trên các hàm năng lượng, và được gọi là phương pháp Lyapunov.
Có thể thu được các lời giải tốt với các hệ bảo toàn. 15Bài giảng 7 Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến
Trong các hệ bảo toàn, tổng năng lượng là không đổi, và điều này được dùng trong phân tích ổn định các hệ này.
Xét con lắc trong hình 5.2, bao gồm khối lượng M nối vào một điểm tựa không ma sát bằng một thanh cứng.
Coi V(θ) = 0 tại θ = 0, khi đó tại vị trí bất kỳ θ, thế năng được cho bởi ( ) ( )( )θθ cos1−= MglV 16Bài giảng 7 Hệ bảo toàn
Không có lực nào khác ngoài trọng lực, và hệ là bảo toàn, vậy ( )( )θθ sin2 2 lMg dt dJ −=
Vế phải có thể được biểu diễn như một đạo hàm âm của một hàm thế vô hướng. Trong trường hợp này, ( ) ( )( )[ ] ( ) θ θθ θ θ ∂ ∂ −=− ∂ ∂ −=− VMglMgl cos1sin 17Bài giảng 7 Hệ bảo toàn (tt) ( ) θ θθ ∂ ∂ −= V dt dJ 2 2 Dẫn đến
Các điểm cân bằng là nghiệm của ( ) ( ) 0sin =−= ∂ ∂ − θ θ θ MglV
Dựa vào lược đồ, chỉ xét trong khoảng –pi đến +pi, 0 ,piθ ±=e 18Bài giảng 7 Năng lượng của hệ
Xét ( ) 02 2 = ∂ ∂ + θ θθ V dt dJ
Nhân với dθ/dt để có ( ) { EV dt dJ =+      energy Potential energy Kinetic 2 2 1 θθ 43421 ( ) 02 2 = ∂ ∂ + dt dV dt d dt dJ θ θ θθθ
Tích phân theo t để thu được
Việc phân tích ổn định có thể được thực hiện cho 3 trường hợp (xem sách), bằng khái niệm giếng thế năng. 19Bài giảng 7 Hàm năng lượng trong hệ điện cơ
Xét hệ trong hình vẽ bên dưới, giả thiết cả hệ điện lẫn hệ cơ đều không chứa các phần tử tiêu tán năng lượng. Mech. system Ghép điện cơ Te or fe θ or x + _ + _ + _ I2 I1 λ1 λ2
Nếu λ hoặc i ở mỗi cửa được giữ không đổi, có thể dự đoán một dịch chuyển đều trong hệ cơ. Không có dòng chảy năng lượng hay đồng năng lượng vào cửa điện. Ở hệ cơ, giả thiết không có phần tử tiêu tán năng lượng. 20Bài giảng 7 Hàm năng lượng trong hệ điện cơ
Thế năng tổng quát hóa: ( ) ( ) ( )θθθ ,, 21' IIWUV m−= ( ) ( ) ( )θθθ ,, 21 ΛΛ+= mWUV (dòng hằng i1 và i2) (từ thông móc vòng hằng λ1 và λ2) ( ) θ θ ∂ ∂ −= UT m
Lực cơ học gây tác động 21Bài giảng 7 Quan hệ giữa ổn định tuyến tính hóa và thế năng
Phương trình mômen ( ) 02 2 = ∂ ∂ + θ θθ V dt dJ
Các điểm cân bằng có được bằng cách giải ( ) 0=∂ ∂ θ θV
Tuyến tính hóa quanh một điểm cân bằng θe cho ta ( ) 02 2 2 2 =∆ ∂ ∂ + ∆ = θ θ θθ θθ e V dt dJ
θe là ổn định nếu , θe là không ổn định nếu( ) 02 2 > ∂ ∂ = e V θθθ θ ( ) 02 2 < ∂ ∂ = e V θθθ θ 22Bài giảng 7 Ví dụ 5.2 và 5.3  Cho hệ phương trình với R = 1 Ω và v(t) = 2 V. Hãy tìm các điểm cân bằng, tuyến tính hóa hệ phương trình, biểu diễn dưới dạng không gian trạng thái và tìm trị riêng.
Đặt các đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cân bằng, rút ra ( ) ( )tviRi dt d i dt d =+ +−= θ θθ 2 4 22 2
Vậy, hệ có 1 điểm cân bằng (θe, ie) = (1, 2). ( ) 1/4 ,2/ 2 ==== iRtvi θ 23Bài giảng 7 Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt)
Tuyến tính hóa hệ phương trình tại điểm cân bằng
Phương trình đầu có bậc là 2, do đó sẽ dẫn đến hệ bậc 3. ( ) ( ) 022 442 00 00 2 2 2 =∆+∆+∆ ∆+∆=∆+∆=∆ iii dt d iiii dt d θθ θθθθ
Định nghĩa các biến trạng thái x1, x2, x3 lần lượt là ∆θ, , và ∆i, ta có mô hình không gian trạng thái như sau θ&∆ 24Bài giảng 7 Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt)
Dẫn đến phương trình đặc trưng để tìm trị riêng như sau                     −− =           3 2 1 3 2 1 5.020 404 010 x x x x x x & & &
Giải ra ta được 3 trị riêng: 0245.0 23 =−++ λλλ 0502,24578,0 ,4515,0 3,21 j±−== λλ 25Bài giảng 7 Ví dụ 5.4  Cho quan hệ dòng điện – từ thông của hệ trong hình Hãy viết phương trình chuyển động. Với λ = 1, M = 1, và Mg = 2 trong một hệ đơn vị nhất quán nào đó, tìm điểm cân bằng. Viết phương trình thế năng của hệ và xác định tính ổn định của hệ tại điểm cân bằng trên. ( )22 12 xi −+= λλ
Tính lực điện từ theo hàm năng lượng ( )( ) ( )223 0 22 1 3 12 xdxWm −+=′−′+′= ∫ λ λλλλ λ 26Bài giảng 7 Ví dụ 5.4 (tt) ( )( ) ( )xx x Wf me −=−−−= ∂ ∂ −= 1221 22 λλ
Phương trình chuyển động ( ) 2 0212 =⇒=+− exx ( ) MgxMgf dt xdM e +−=+= 12 22 2 λ
Điểm cân bằng sẽ thỏa mãn (với λ, M, và Mg đã cho)
Hàm năng lượng tại λ đã cho ( ) ( )2 1 13/1, xxWm −+==λλ 27Bài giảng 7 Ví dụ 5.4 (tt) ( ) ( ) MgxxUMg x xU −=⇒= ∂ ∂ −
Chọn U(x) ( ) 022 2 2 2 2 >== ∂ ∂ = = e e x x x V ( ) ( ) ( ) ( )2 1 13/12, xxxWxUxV m −++−=+= =λλ
Xây dựng hàm thế năng V(x)
Vậy hệ đã cho ổn định tại điểm cân bằng xe = 2.
Tính đạo hàm cấp 2 của V(x)