Động lực học cát biển Chương 2. Các thuộc tính của nước và cát

Mật độ nước biển nói chung giảm theo nhiệt độ và tăng theo độ muối. Nước ngọt có mật độ lớn nhất tại 4 0C. Mật độ nước biển lớn nhất thường ở -1,9 0C. Mật độ được Chen (1973) và Myer (1969) lập bảng theo nhiệt độ và độ muối. Các bảng này sử dụng để lập ra các đường cong mật độ theo nhiệt độ và độ muối (hình 2).

pdf16 trang | Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 1651 | Lượt tải: 2download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Động lực học cát biển Chương 2. Các thuộc tính của nước và cát, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
37 Chương 2. các thuộc tính của nước và cát 2.1. Mật độ và độ nhớt của nước Kiến thức Mật độ nước biển nói chung giảm theo nhiệt độ và tăng theo độ muối. Nước ngọt có mật độ lớn nhất tại 40C. Mật độ nước biển lớn nhất thường ở -1,90C. Mật độ được Chen (1973) và Myer (1969) lập bảng theo nhiệt độ và độ muối. Các bảng này sử dụng để lập ra các đường cong mật độ theo nhiệt độ và độ muối (hình 2). Hình 2. Mật độ nước Độ lơ lửng của trầm tích cũng làm tăng mật độ tổng hợp hiệu quả của nước. Hiệu ứng mật độ của trầm tích lơ lửng có thể làm yếu rối, hoặc phát sinh dòng chảy đục trên đáy nghiêng. Độ nhớt động học là một thuộc tính phân tử của nước, được xác định cho dòng chảy phân tầng bằng quan hệ: dz dU   (5) 38 trong đó  = ứng suất trượt hướng ngang tại độ cao z  = mật độ nước U = vận tốc hướng ngang tại độ cao z z = toạ độ thẳng đứng. Hình 3. Độ nhớt động học của nước Độ nhớt phân tử    cũng thường gặp, nhưng  được sử dụng rộng rãi hơn cho các mục đích vận chuyển trầm tích. Độ nhớt động học của nước giảm theo nhiệt độ và tăng theo độ muối. Độ nhớt động học được Chen và nnk (1973) Meyrs và nnk (1969) lập thành bảng theo độ muối và nhiệt độ. Các bảng này được sử dụng để tạo ra các đường cong độ nhớt theo nhiệt độ và độ muối trên hình 3. Trầm tích lơ lửng làm tăng độ nhớt hiệu quả e cho dòng chảy tổng hợp của nước (ví dụ qua ống), theo mối quan hệ: C e 521 ,    (6) trong đó C là nồng độ thể tích. Tuy nhiên, đối với dòng chảy bao quanh hạt riêng lẻ (ví dụ để tính toán vận tốc chìm lắng), cần phải sử dụng độ nhớt không sửa đổi. 39 Quy trình Tính toán mật độ và độ nhớt động học của nước : 1. Đo hoặc dự đoán nhiệt độ và độ muối của nước. Với nước ngọt, độ muối = 0. Với nước biển tiêu biểu, độ muối = 35 o/oo. 2. Ví dụ 2.1. Mật độ và độ nhớt của nước - Nhiệt độ tính bằng độ C 10 - Độ muối tính bằng phần nghìn (o/oo) 35 - Nội suy mật độ sử dụng những đường cong trong hình 2 để nhận được mật độ nước 1027 kgm-3 - Nội suy độ nhớt sử dụng những đường cong trong hình 3 để nhận được độ nhớt động học 1,36 x 106m2s-1 3. Đối với nhiều mục đích, mật độ của nước biển có thể lấy giá trị mặc định là 1027 kgm-3 (nhiệt độ = 10o C; độ muối = 35 o/oo). Điều này tương ứng xấp xỉ với nhiệt độ và độ muối trung bình hàng năm tại đáy của những biển xung quanh Vương quốc Anh (MAFF, 1981). 4. Để tính toán mật độ với trầm tích lơ lửng, tham chiếu tới mục 2.3. Để tính toán độ nhớt tổng hợp hiệu quả với trầm tích lơ lửng, sử dụng phương trình (6). 2.2. Vật chất đáy Kiến thức Những hạt trầm tích được phân loại theo đường kính của chúng thành sét, bùn, cát, dăm sạn, đá cuội, sỏi và đá. Sét và bùn gộp lại được gọi là bùn, và những dăm sạn, đá cuội và sỏi gộp lại được gọi là cuội sỏi. Sỏi tròn bị nước mài mòn, thường gọi là cuội. Cách phân loại thường sử dụng nhất là thang phân loại Wentworth (hình 4). Những hạt cát đôi khi được đo bằng micrôngmét (m) và đôi khi bằng milimét. Những nhà địa chất sử dụng thang phi được định nghĩa là: d2log (7a)  2d (7b) trong đó d là đường kính hạt bằng milimét, và log2 là lô-ga cơ số 2. Sự chuyển đổi từ  thành d cho trong hình 4. Cát tự nhiên luôn luôn chứa đựng một hỗn hợp những kích thước hạt, một số trong đó có thể vượt khỏi phạm vi cát. Phương pháp chung nhất để đo phân bố kích thước hạt là bằng cách sàng, nhờ sử dụng một chồng sàng có những mắt lưới giảm dần kích thước đến một tỷ lệ xác định, thường tương đương với 1/2 phi hoặc 1/4 phi. Kỹ thuật chuẩn để rửa, làm khô và sàng cát được mô tả trong các thuyết minh BSI (1967, 1986). Trong sách này chúng ta sẽ sử dụng cách viết 'd’ để tương ứng với kích thước hạt nhận được bằng cách sàng. 40 Phân bố kích thước hạt thông thường được thể hiện bằng một đường cong tích lũy phần trăm khối lượng những hạt nhỏ hơn d, theo d. Một ví dụ được cho trong hình 5. Trầm tích thường được đặc trưng bằng đường kính sàng trung vị của nó d50 (đường kính mà 50 % khối lượng của hạt mịn hơn). Tổng quát hơn, ký hiệu dn chỉ ra rằng đường kính hạt cho n% khối lượng của hạt mịn hơn. Những phần trăm thường sử dụng nhất là (theo thứ tự kích thước tăng dần) là: d10, d16, d35, d50, d65, d84, d90. Nếu đường kính hạt được biểu thị đơn giản bằng d trong một công thức dự đoán, thông thường nó có thể được coi như d50 của vật chất đáy. Tuy nhiên trong tính toán phân bố thẳng đứng của nồng độ trầm tích lơ lửng, tốt hơn cả là dựa trên vận tốc chìm lắng của hạt d50 của vật chất lơ lửng, mà thường nhỏ hơn nhiều d50 của vật chất đáy. Bảng 2. Những ký hiệu sử dụng trên những Bản đồ Hàng hải Vương quốc Anh để mô tả đáy biển S Cát F Mịn M Bùn C Thô Cy Sét So Mềm G Cuội sỏi H Cứng Sn Sỏi sf Rắn chắc P Cuội bk Vỡ vụn St Đá sm Nhỏ R Đá tảng l Lớn Bo Đá khối Wd Cỏ mọc Sh Vụn sò SM/R Cát và bùn trên đá Sự trải rộng kích thước được chỉ ra bởi kích thước 10 và 90 phần trăm (d10 và d90), hoặc (d16 và d84). Số đo thường sử dụng cho độ chọn lọc trầm tích là độ lệch chuẩn hình học : 1684 / ddg  . (8) Những mẫu trầm tích được xếp loại là chọn lọc tốt nếu chúng chứa một dải hẹp của kích thước hạt và là hỗn hợp tốt nếu chúng chứa một dải rộng. Dyer (1986) đưa ra thảo luận chi tiết về nhiều phương pháp mô tả trạng thái của trầm tích hỗn hợp. Như một hướng dẫn thô, nếu một mẫu trầm tích có d84/ d16 < 2 (hoặc d90/d10 < 2,4) sẽ được chọn lọc tốt, trong khi nếu d84/d16 > 16 (hoặc d90>35) thì được coi là hỗn hợp tốt. Ví dụ trong hình 5 có d10 = 0,23 mm và d90 = 2,6 mm, vậy là d90/d10 = 11, và như vậy có độ chọn lọc trung bình. Nhiều trầm tích hỗn hợp có phân bố kích thước hạt xấp xỉ phân bố log chuẩn; tức là lô-ga của kích thước hạt có phân bố tần số xấp xỉ chuẩn (Gauss) theo trọng lượng. 41 Phân bố kích thước hạt luỹ tích (% trọng lượng mịn hơn) của một phân bố log chuẩn vẽ như một đường thẳng trên giấy đồ thị xác suất nếu hoành độ bằng đơn vị phi. Trong các đơn vị phi, giá trị trung bình của phân bố chuẩn là -log2d50 và độ lệch chuẩn là log2(g). Nếu chỉ có d50 và một số đo độ chọn lọc, ví dụ g được biết tại một vị trí, những phần trăm khác có thể nhận được xấp xỉ bằng giả thiết phân bố log chuẩn. Có thể sử dụng cách này theo kiểu từng bước làm biện pháp nội suy giữa các phần trăm đã biết. Phương pháp nói trên được sử dụng trong SandCalc-Edit-Bed Material- Derive. Hình 4. Biểu đồ chuyển đổi những đơn vị phi thành m và mm (thang kích thước hạt Wenlworth) Những mẫu Chất lượng Đáy tại các vị trí được đánh dấu trên Bản đồ Hàng hải Vương quốc Anh. Chúng được đánh dấu nhờ sử dụng những ký hiệu để mô tả kích 42 thước hạt, khoáng vật, những thuộc tính sinh học, kết cấu và màu của đáy biển. Một số hữu ích nhất cho mục đích vận chuyển trầm tích trong nước ở thềm lục địa được cho trong bảng 2. Những mẫu chủ yếu nhận được bằng việc sử dụng lớp cát trên đáy của vệt hồi âm sau vài ngày quét bằng hồi âm, và tính hợp lệ của chúng đến nay cần được xử lý thận trọng. Những trầm tích hỗn hợp có thể phân loại phù hợp với sơ đồ Folk sửa đổi (BGS, 1987). Tại đây, những tỉ lệ của bùn (d <0,0 625mm), cát (0,0 625 < d < 2mm) và sỏi (d > 2 mm) được biểu thị như (a) tỷ lệ của cát/ bùn, và (b) phần trăm sỏi. Loại trầm tích nổi bật được cho ở dạng viết tắt bằng chữ hoa (ví dụ S = cát), được phân biệt nếu cần thiết với những chữ thường (ví dụ m = pha bùn). Như vậy cát pha bùn được chỉ định là mS. Những phạm vi khác nhau thường được thể hiện bằng hình tam giác, nhưng phiên bản hình chữ nhật cho trong hình 6 sẽ dễ hơn sử dụng cho việc vẽ những đặc trưng trầm tích đo đạc được. Sự phân loại Folk sửa đổi được Cơ quan Khảo sát Địa chất Anh sử dụng trong các bản đồ phân bố trầm tích biển của họ. Hình 5. Ví dụ phân bố kích thước hạt 43 Khoáng vật học cát và hình dạng của hạt xác định những thuộc tính thủy lực của nó. Đa số cát trong vùng nước ở Châu Âu chủ yếu thuộc loại thạch anh. Chúng thường có mật độ gần 2650 kgm-3 và có dạng hình cầu thô (tức là trục lớn và trục nhỏ của chúng thường không biến đổi hơn nhau 2 lần). Những phần trăm biến động của vụn sò nguyên vẹn hoặc bị vỡ vụn của sinh vật biển thường có mặt (tỉ lệ trong phạm vi 20 % đến 70 % vụn sò là phổ biến xung quanh nước Anh). Vụn sò có mật độ tiêu biểu khoảng 2400 kgm-3, và cả vụn sò nguyên vẹn lẫn những mảnh vụn là loại dẹt, không đều và có góc cạnh. Những khoáng vật khác, như than đá với mật độ khoảng 1400 kgm-3, cũng có thể có mặt. Những hạt có một mật độ thấp và/hoặc hình dạng dẹt về mặt thuỷ lực coi như những hạt thạch anh có đường kính nhỏ hơn, và như kết quả chọn lọc thủy lực bởi dòng chảy thịnh hành, chúng thường được coi là hỗn hợp với những hạt như vậy. Kết quả đó là thực tế chung cho những tính toán vận chuyển trầm tích để xử lý các hạt trong một mẫu, như thể tất cả chúng được thể hiện bằng các hạt thạch anh trên cơ sở tương tự thủy lực, cách tiếp cận đó sẽ được tuân thủ ở đây. Tuy nhiên, trong một vài nơi trên thế giới, cát có nguồn gốc khác nhau có thể trội hơn; ví dụ, những cát san hô và cát núi lửa. Trong những trường hợp này những thuộc tính thủy lực, như vận tốc chìm lắng và ngưỡng chuyển động, cần phải đo trong phòng thí nghiệm. Quy trình 1. Những mẫu trầm tích có thể nhận được từ khu vực nghiên cứu bởi một hoặc các kỹ thuật sau • lấy mẫu bằng gàu hoặc mẫu thu thập bằng lặn sâu ở khoảng 20 tới 80 mm trên đáy biển • lấy lõi bằng ống phóng cho những mẫu đặc có diện tích xấp xỉ 0,2 x 0,3 m ở độ sâu khoảng 0,3m • lõi trọng lực hoặc lõi rung cho những mẫu đường kính xấp xỉ 75mm ở độ sâu 1- 10 m • hình trụ hố khoan • mẫu trầm tích lơ lửng bơm trong cột nước, lấy qua các vòi tại những độ cao trên đáy giữa khoảng 50 mm và mặt nước, lọc trên lưới thấm (tiêu biểu) 40 m . Những phương pháp thu thập trầm tích khác (ví dụ những mẫu lấy bằng chai và bẫy, phun qua lưới) đôi khi cũng được sử dụng trong biển (xem mục 2.3). 2. Thực hiện phân tích bằng sàng nhờ sử dụng kỹ thuật chuẩn (BSI, 1967; 1986). 3. Vẽ đường phân bố kích thước hạt của n% mịn hơn theo đường kính (hình 5). Đọc số d50, d10 và d90 (hoặc d16 và d84). 4. Vẽ tỷ lệ của bùn: cát: cuội sỏi trên hình 6 để xác định phân loại Folk. 44 2.3. Những hỗn hợp cát - nước Kiến thức Những hỗn hợp cát - nước thể hiện theo các tỷ lệ trong phạm vi từ một đáy cát bất động ổn định, qua những chất sệt và những chất lơ lửng, cho đến nước sạch. Hiện cách sử dụng các số đo cho tỷ lệ này rất đa dạng, cách dùng phụ thuộc vào loại hỗn hợp và kiến thức hàn lâm của người dùng. Những định nghĩa của mười số đo này được cho trong bảng 3. Một vài trong số chúng có những tên gọi khác nhau cho cùng một đại lượng, do vậy các số đo khác nhau giảm xuống còn năm. Công thức chuyển đổi giữa năm đại lượng được cho trong bảng 4. Hình 6. Phân loại những mẫu trầm tích trên sơ đồ Folk chữ nhật Số đo cơ bản nhất là nồng độ thể tích, và thường là đơn giản nhất để sử dụng trong phân tích lý thuyết. Những kết quả thí nghiệm thường nhận được bằng việc 45 cân trầm tích, do vậy nồng độ khối lượng là thích hợp nhất ở đây. Tuy nhiên, kỹ thuật thể tích, quang học, âm học, và trở kháng, chủ yếu đo nồng độ thể tích. Trong các thảo luận về đáy ổn định, độ xốp thường được sử dụng nhất. Khi xét những hiệu ứng độ nổi, mật độ tổng hợp là thích hợp nhất. Bảng 3. Những số đo cho các hỗn hợp cát - nước Đại lượng Sử dụng trong Định nghĩa Ký hiệu Nồng độ thể tích Mật độ nén Nhóm hạt nén Lơ lửng (lý thuyết) Đáy (cơ học đất) Đáy (cơ học đất) Thể tích của hạt/ Thể tích của hỗn hợp C Nồng độ khối lượng Mật độ khô Lơ lửng (thực nghiệm) Đáy (kết dính) Khối lượng của hạt/ Thể tích của hỗn hợp CM Độ xốp Đáy (không kết dính) Thể tích của nước/ Thể tích của hỗn hợp  Tỷ lệ xốp Đáy (cơ học đất) Thể tích của nước/ Thể tích của hạt VR Mật độ lơ lửng Mật độ tổng hợp Mật độ ướt Lơ lửng (thuỷ động lực) Đáy (không kết dính) Đáy (kết dính) Khối lượng của hỗn hợp/ Thể tích của hỗn hợp B Độ xốp của những đáy cát ổn định phụ thuộc vào mức độ chọn lọc và mức độ nén. Một tập hợp về độ xốp trung bình đo đạc trong những đáy cát tự nhiên được cho trong bảng 5. Góc nghỉ i (hoặc chính xác hơn, góc ma sát nội) là góc với hướng nằm ngang mà một đáy phẳng có trầm tích nghiêng dần dần với mặt nằm ngang đến góc đó thì các hạt bắt đầu lăn. Giá trị của i đối với những trầm tích không kết dính phụ thuộc vào hình dạng, độ chọn lọc và độ nén các hạt. Nồng độ (hoặc độ xốp) của đáy cũng phụ thuộc vào cùng những yếu tố đó, và theo thí nghiệm i tăng theo nồng độ đáy (giảm theo độ xốp). Việc xét những lực kèm theo cho thấy rằng giá trị của i phải không phụ thuộc vào đường kính hạt hoặc mật độ, mặc dù một vài bản vẽ cũ và bản vẽ thường vẽ lại (không có lý giải) cho thấy có sự phụ thuộc vào đường kính đối với hình dạng hạt đã cho. Chúng có lẽ không tin cậy. Đối với những mục đích tính toán hiệu ứng độ dốc lên ngưỡng chuyển động, hoặc suất vận chuyển trầm tích, một giá trị thích hợp cho mục đích chung đối với góc nghỉ là i = 32 0 . Góc nghỉ cuối cùng r (hoặc góc trượt dư) là góc nghiêng cuối cùng sau khi sự dồn hạt dừng lại. Góc sườn khuất của những gợn cát, đụn cát và sóng cát, và góc nghiêng của hố xói hình nón bao quanh một cột thẳng đứng hình tròn, được cho 46 bằng r . Giá trị của r luôn nhỏ hơn i , với giá trị tiêu biểu đối với cát tự nhiên trong nước là khoảng 28o. Bảng 4. Chuyển đổi giữa các số đo đối với những hỗn hợp cát - nước Từ Thành C CM  VR B C - CM/ s 1- RV1 1     s B CM C s -   1s R s V1      s Bs )(  1 - C 1- CM/ s - R R V V 1     s Bs VR C C1 M Ms C C   1 -     B Bs B   CC s 1         s s MC       1s R sR V V   1  -  = mật độ của nước (tiêu biểu là l000kgm-3 cho nước ngọt, 1027 kgm-3 đối với nước biển). s = mật độ của vật chất hạt (tiêu biểu là 2650 kgm -3 đối với thạch anh). Xem bảng 3 đối với ý nghĩa của những ký hiệu. Ví dụ : Chuyển đổi từ độ xốp sang nồng độ khối lượng    1sMC . Bảng 5. Độ xốp của những đáy cát tự nhiên Chọn lọc tốt Trung bình Hỗn hợp tốt Nén lỏng 0,46 0,43 0,38 Nén trung bình 0,42 0,40 0,33 Nén chặt 0,40 0,37 0,30 Nguồn: Terzaghi và Peck (1967), Shepard (1963), Sleath (1984), Dyer (1986); những đo đạc tại HR. Quy trình 1. Nồng độ cát có thể đo bằng một trong các kỹ thuật sau: • lấy mẫu bằng chai hoặc bẫy hoặc phun qua lưới • mẫu nước được bơm 47 • suy giảm hoặc tán sắc quang học (hoặc hồng ngoại), hoặc nhiễu xạ laze • suy giảm hoặc tán xạ âm thanh • những đầu dò va đập (ví dụ đầu dò vận chuyển cát) • kỹ thuật điện trở (ví dụ bộ đếm Coulter, những đầu dò dẫn điện) • hấp thụ tia gam-ma • kỹ thuật thể tích (ví dụ xác định độ xốp đáy, xác định thể tích những mẫu bơm). 2. Từ mười số đo lựa chọn cho những hỗn hợp cát - nước, kiến nghị chỉ sử dụng nồng độ thể tích, nồng độ khối lượng, độ xốp và mật độ tổng hợp, ưu tiên nồng độ thể tích cho những mục đích lý thuyết hoặc những đo đạc bằng kỹ thuật thể tích, quang học, âm học, trở kháng, nồng độ khối lượng cho những mẫu trầm tích được cân, và những đầu dò va đập. 3. Nếu đo đạc nhận được từ những nguồn khác của một trong các số đo ít được kiến nghị hơn, chuyển đổi bằng cách sử dụng bảng 4. 4. Độ xốp của một mẫu đáy không rời rạc có thể nhận được bằng cách đo mật độ tổng hợp của nó và chuyển đổi bằng cách sử dụng bảng 4. Nếu không sẵn có một mẫu không rời rạc, sử dụng bảng 5 dựa trên đo đạc hoặc xử lý mức độ chọn lọc và nén chặt của trầm tích đáy. Khi thiếu mọi thông tin khác, sử dụng giá trị mặc định  = 0 40. 5. Góc nghỉ của một mẫu trầm tích có thể nhận được bằng cách đo góc nghiêng của một cột hình nón trầm tích hình thành bằng việc rót mẫu từ một độ cao nhỏ trong nước. Khi thiếu giá trị đo đạc, sử dụng giá trị mặc định i = 32 0. 6. Trầm tích được nạo vét thông thường được đo bằng tấn sà lan. Một tấn sà lan = (mật độ tổng hợp) x (thể tích của hỗn hợp trầm tích - nước). Những giá trị tiêu biểu của mật độ tổng hợp là 1,7 tấn/m3 cho cát và 1,2 tấn/m3 cho bùn. Những chuyển đổi thành trọng lượng khô của trầm tích hoặc thể tích được nạo vét ở hiện trường (giả thiết ở hiện trường = 0,40) có thể thực hiện nhờ sử dụng bảng 4. 2.4. Độ thấm và lỏng hoá Kiến thức Dòng chảy của nước qua một môi trường xốp như một đáy cát, phụ thuộc vào độ thấm của môi trường. Nếu dòng chảy phân tầng, như nói chung sẽ là trường hợp cho những kích thước hạt cát nhỏ hơn khoảng 1mm, mối quan hệ của vận tốc dòng chảy với gradien áp suất đang điều khiển dòng chảy tuân thủ định luật Darcy. Định luật này có thể viết ở hai dạng tương đương: dz dpK V p B   (9) IKV IB  (10) trong đó VB = vận tốc tổng hợp 48 dp / dz = gradien áp suất I = độ dốc thủy lực  = mật độ của nước  = độ nhớt động học của nước KP = độ thấm đặc trưng (m 2) Ki = hệ số thấm (ms -1). Vận tốc tổng hợp VB là lưu lượng nước trên đơn vị diện tích đáy vuông góc với hướng dòng chảy. Như vậy là một vận tốc nhỏ hơn (bởi một hệ số ) vận tốc của nước chảy giữa các hạt. Gradien áp suất được viết là dp/dz, thích hợp với một dòng chảy thẳng đứng, nhưng phương trình (9) có thể áp dụng cho bất kỳ hướng nào. Độ dốc thủy lực là số đo của gradien áp suất trong đó áp suất được biểu thị như cột nước, và do đó I là phi thứ nguyên. Gradien áp suất và độ dốc thủy lực liên quan với nhau thông qua: Ig dz dp  . (11) Do đó hai số đo thay thế của độ thấm liên hệ với nhau thông qua:  P I gK K  . (12) Lựa chọn phương trình (9) hoặc (10), và do đó là sử dụng Kp hoặc KI, không thành vấn đề. Những nhà vật lý có xu hướng sử dụng phương trình (9) và những kỹ sư cơ học đất/ địa kỹ thuật có xu hướng sử dụng phương trình (10). Phương trình (9) được kiến nghị do biểu thức tổng quát hơn, vì nó không đưa ra đại lượng không xác thực g, mà không có vai trò trực tiếp trong dòng thấm. Ngoài ra, độ thấm đặc trưng Kp được ưa dùng vì nó chỉ phụ thuộc vào những thuộc tính của môi trường xốp (đáy cát trong trường hợp của chúng ta), trong khi KI phụ thuộc vào những thuộc tính của cả môi trường xốp lẫn chất lỏng. Đối với những hạt lớn hơn khoảng 1 mm, dòng chảy giữa các hạt có thể trở thành rối, và lực tác động lên hạt là sự kết hợp của lực nhớt (tuyến tính theo vận tốc) và lực rối (bình phương theo vận tốc). Định luật Darcy ở dạng phương trình (10) được thay thế bởi phương trình Forchheimer: I = aIVB + bIVB 2 (13) trong đó aI = l/KI để liên kết với phương trình (10). Như vậy, phương trình (13) có thể viết ở một dạng tương tự với phương trình (9): 2 2 BpBp V d bV d a dz dp   . (14) Những hệ số liên quan tới những phương trình (9) và (11): p p a d K 2  , pi a gd a 2   , pi b gd b 1  . (15) 49 Những hệ số phi thứ nguyên ap và bp là những hàm của độ xốp, và hình dạng hạt, độ nén, định hướng, và cấp phối. Bảng 6. Độ thấm của những đáy cát Nguồn Kp ap bp Ergun(1952)  2 23 1150    d   3 2 1150     3 175,1   Engelund (1953)  3 22 11000    d   2 3 11000     3 18,2   Koenders(1985)  2 23 1290    d   3 2 1290   5 4,1  Del Adel(1987)  2 23 1160    d   3 2 1160   2 2,2  Soulsby    18,19 27,4 d   7,4 18,19     7,4 1956,0   Nhiều biểu thức đã được đề xuất để biểu thị độ thấm của cát, sỏi và đá dưới dạng đường kính hạt d và độ xốp . Một trong số đó được tổng kết và thẩm định bởi Van Gent (1993). Chúng được viết lại dưới dạng những hệ số KI, ap và bp trong bảng 6, và được vẽ trong hình 7. Một phiên bản mới (Soulsby) cũng được kể đến, tuân theo cùng các