Dùng tính duy nhất của hình để giải một số bài tập hình học

1 DÙNG TÍNH DUY NHẤT CỦA HÌNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC I-Kiến thức cơ sở: 1. Qua hai điểm phân biệt chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng. 2. Hai đường thẳng phân biệt nếu có điểm chung thì có duy nhất một điểm chung. 3. Qua điểm A ở ngài đường thẳng d chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với d. Hệ quả: Cho điểm A và đường thẳng d, chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng qua A và vuông góc với d. 4. Trên tia Ox có duy nhất một điểm M sao cho OM = m (đvđd) . Tính chất: Cho đoạn thẳng AB và số k không âm, có duy nhất một điểm M chia trong hay chia ngoài đoạn AB theo tỉ số k. Chứng minh: Xét trường hợp M chia trong đoạn AB. Ta có . 1 MA k ABk MA MB k     Do AB không đổi, k cho trước nên M là duy nhất. Xét trường hợp M chia ngoài đoạn AB. Chứng minh tương tự. 5. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có duy nhất một tia Oy sao cho góc xOy = m. (0°<m<180°). II- Một số bài tập Phương pháp này thường được áp dụng khi giải các bài toán đảo, các bài toán liên quan đến chứng minh tính thẳng hàng và đồng quy. Bài 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, lấy I trên đoạn AM sao cho 2 3 AI AM . Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC 2 Hướng giải: Dựng trung tuyến BN cắt AM tại G thì G là trọng tâm tam giác ABC và AG = (2/3)AM. Suy ra AG = AI, do I, G cùng nằm trên đoạn AM nên I trùng G. Vậy I là trọng tâm tam giác ABC. Bài 2: Cho góc xOy khác góc bẹt, trên tia Ox lấy hai điểm A, B, trên tia Oy lấy điểm C: góc OCA = góc ABC. Chứng minh CO là tiếp tuyến của (ABC) Hướng giải: m A C O B Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa BC dựng tia Cm sao cho Cm là tiếp tuyến của (ABC). Thế thì góc ACm = góc ABC (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung), nhưng góc OCA = góc ABC (gt), suy ra góc OCA = góc ACm. Hai tia CO và Cm cùng tạo với tia CA hai góc bằng nhau nên chúng trùng nhau. Mà Cm là tiếp tuyến của (ABC) nên CO là tiếp tuyến của (ABC). Cách khác: Kẻ đường kính CD của (ABC), thế thì góc ABC = góc ADC = góc OCA và góc CAD = 1v. Suy ra được góc OCD = 1v, hay CO là tiếp tuyến của (ABC) Nhận xét: Hiển nhiên, dùng tính duy nhất của hình không phải là cách duy nhất để giải bài tập. G I N M A B C m D A C O B 3 Bài 3: Cho tam giác ABC, trên đoạn thẳng BC lấy điểm D sao cho (DB/DC)= (AB/AC). Chứng minh AD là phân giác góc A. Hướng giải: Dựng tia phân giác của góc A, cắt BC tại D'. Ta đi chứng minh D trùng D'. Do AD' là phân giác góc A nên theo t/c phân giác ta có: (D'B/D'C)= (AB/AC). Suy ra (DB/DC)= (D'B/D'C). D và D' chia trong đoạn DC theo cùng một tỉ số nên D trùng D'. ta có đpcm Bài 4: Từ điểm A bên ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC tới (O). Cát tuyến AEF không qua O. Chứng minh hai tiếp tuyến tại E và F của (O) cắt nhau tại một điểm trên BC. Hướng giải: Do cát tuyến không qua O nên các tiếp tuyến tại E, F cắt nhau tại P, Khi đó dễ thấy OP vuông góc với EF tại H. Giả sử OH cắt BC tại Q ta sẽ chứng minh P trùng Q bằng cách chứng minh QE, QF cũng là tiếp tuyến của (O). Dễ thấy OA vuông góc với BC tại I. D A B C I H P=Q E C B O A F 4 Ta cũng c/m được OH.OQ = OI.OA = OB2=OF2 Suy ra △OHF đồng dạng △OFQ ⇒ góc OFQ = 1v ⇒ QF là tiếp tuyến của (O). Tương tự QE cũng là tiếp tuyến của (O). Do P và Q cùng là giao điểm hai tiếp tuyến tại E, F nên P trùng Q, cũng do Q thuộc BC nên P thuộc BC, ta có đpcm. Bài 5: Cho △ABC, D nằm trên cạnh BC thỏa mãn AB + CD = AC + BD. Chứng minh hai đường tròn nội tiếp △ABD và △ACD tiếp xúc nhau tại một điểm trên AD. N M CB A D Hướng giải: Giả sử đường tròn nội tiếp △ABD và △ACD tiếp xúc với AD tại M, N. Trước hết ta c/m được các kết quả quen thuộc: AM =(AB+AD-BD)/2, AN = (AC+AD-DC)/2. Ta đi c/m M trùng N bằng cách c/m AM = AN. Muốn vậy chỉ cần c/m AB-BD = AC-DC hay AB+CD = AC+BD, mà điều này đúng theo giả thiết. Bài 6: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O), các tiếp điểm của (O) với BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Từ B hạ BH vuông góc với EF, đường trung trực của BC cắt EF tại M. Chứng minh BHMC là tứ giác nội tiếp. Hướng giải: 5 2 1 N K I H D F E B A C M Giả sử (BHC) cắt FE tại N. Ta cần c/m M trùng N bằng cách chỉ ra N cũng thuộc trung trực của BC góc NBC = góc NCB (do hai đường thẳng phân biệt chỉ cắt nhau tại đúng một điểm) Khai thác đoạn DH. Dựng CI, BK vuông góc với FE. Dễ thấy △KFB đồng dạng △IEC (g.g) ⇒(EC/FB) =(IC/KB) = (CD/BD). Dễ c/m (CD/BD) = (IH/KH) nên (IC/KB) = (IH/KH). suy ra △IHC đồng dạng △KHB (c.g.c) ⇒ góc H[1]= góc H[2]. Ta có góc NBC = góc H[2] (góc nội tiếp) = góc H[1], nhưng góc H[1] = góc NCB (góc ngoài của tgnt) nên góc NBC = góc NCB ⇒ N thuộc trung trực của BC, ta có đpcm. Bài 7: Cho ABCD là tgnt (O) sao cho AC là đường kính của (O), đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E, Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại N, EN cắt AC tại K. Chứng minh EK vuông góc với AC. Hướng giải: Bài toán có tính đối xứng đối với các cặp đường thẳng AB, CD và AD, BC, nên gọi F là giao điểm của AD và BC. Ta nhận ra AC vuông góc với FE. Muốn c/m EK vuông góc với AC ta đi c/m EN trùng EF hay E, N, F thẳng hàng. Giả sử (N, NB) cắt AB, AC tại P, Q. Ta sẽ c/m P trùng E và Q trùng F. Thật vậy: Góc PDQ = góc A + góc APD = (góc BOD)/2 + (góc BND)/2 = 1v. Suy ra DP trùng DE hay P trùng E. Tương tự Q trùng F và góc PDQ = 1v. 6 Từ đây cũng dễ c/m được P, N, Q thẳng hàng và có đpcm. Bài 8: Cho tam giác ABC có các góc nhọn nội tiếp (O), ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi K là giao điểm của FE và AD, I là trung điểm của AH. Chứng minh K là trực tâm tam giác IBC. Hướng giải: Để giải quyết bài toán ta đi c/m BK vuông góc với IC. Dễ thấy BFEC nội tiếp đường tròn có tâm M là trung điểm của BC. Gọi Q là giao điểm của (M) và IC. Ta sẽ c/m QB và QK cùng vuông góc với IC để suy ra QK trùng QB. Dễ thấy QB vuông góc với IC. Cần c/m góc KQC = 1v △IQK đồng dạng △IDC K Q P F E C O A B D N Q K E M F I D H O A B C 7 (IQ/ID) = (IK/IC ) IQ.IC = IK.ID (*) Do I là trung điểm của AH nên ta c/m được IE là tiếp tuyến của (M) IE2 = IQ.IC, để có (*) ta chỉ cần c/m IE2 =IK.ID (IE/IK) = (ID/IE) △IKE đồng dạng △IED góc IEK = góc IDE Điều này đúng do góc IEK = góc ECF (hệ quả góc tạo bởi...) và góc IDE = góc ECF (HECD là tgnt). Một cách giải khác: M K E F I D H O A B C Giả sử AD cắt (O) tại M. Ta dễ c/m được M đối xứng với H qua BC. Cần c/m BK vuông góc với IC. (*) Để ý rằng CF vuông góc với AB nên để có (*) ta chỉ cần c/m góc FBK = góc FCI. Ta sẽ c/m hai góc này cùng bằng góc FMI. BFKM và FICM là các tứ giác nội tiếp. Bằng biến đổi góc ta có: góc AFE = góc ACB = góc BHM = góc BMH. Suy ra BFKM là tứ giác nội tiếp. Cũng có: góc IFH = góc IHF = góc CHM = góc HMC. Suy ra FICM là tứ giác nội tiếp. Từ đây có đpcm. 8 Bài 9: Cho đường tròn (O) nội tiếp tứ giác ABCD, các tiếp điểm với các cạnh CD, CB, BA, AD lần lượt là E, F, G, H. Chứng minh: các đường chéo và đường thẳng nối các tiếp điểm các cạnh đối của tứ giác cùng đi qua một điểm. JK CD B A O H E F G Hướng giải: Giả sử I, J là giao điểm của AC và HF, EG. Trước hết ta c/m EG, HF, BD đồng quy bằng cách c/m I trùng J. Ta sẽ c/m I, J chia đoạn AC theo cùng một tỉ số. Thật vậy: Dựng AK//BC, khi đó dễ c/m △AHK cân tại A. Ta có (JA/JC) = (AK/FC) = (AH/FC). Bằng cách tương tự và biến đổi đoạn thẳng ta cũng có (IA/IC) = (AH/FC). Suy ra I trùng J, tức là AC đi qua giao điểm của HF và EG. Tương tự BD cũng đi qua giao điểm của HF và EG và ta có đpcm. Bài 10: Cho hai đường tròn (I), (J) ở ngoài nhau, tiếp tuyến chung ngoài AB cắt tiếp tuyến chung trong CD tại L (Hình vẽ). Chứng minh AD, BC, IJ đồng quy. 9 N KM L C D A B I J Hướng giải: Từ giả thiết ta c/m được MLKN là h.c.n và △AIL đồng dạng △CLJ. (*) Gọi N là giao của AD và BC, ta đi c/m I, N, J thẳng hàng IN trùng IJ góc MIN = góc LIJ △MIN đồng dạng △LIJ (MI/MN) = (LI/LJ). Điều này được suy ra từ (*), ta có đpcm. Bài 11: Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (I) đường kính AC cắt đường tròn (J) đường kính BD tại X, Y. Gọi P là điểm trên XY, tia CP cắt (I) tại M, tia BP cắt (J) tại N. Chứng minh AM, DN, XY đồng quy. 10 K J=I N M Y X DCA B P Hướng giải: Xét P nằm ngoài đoạn XY. Gọi J là giao điểm của DN và XY, I là giao điểm của AM và XY. Ta sẽ c/m I trùng J PI = PJ. Gọi K là giao điểm của XY và AB, dễ c/m được các góc N, M, K vuông, do đó các tứ giác BNJK, CMIK nội tiếp. Vì thế cũng c/m được: PI.PK = PM.PC = PX.PY = PN.PB = PJ.PK. Suy ra PI = PJ. Lưu ý rằng P nằm ngoài đoạn XY nên J, I thuộc đoạn XY tức là I, J nằm cùng phía đối với P. Vậy I trùng J (đpcm) Xét P nằm trong đoạn XY. C/m tương tự. III. Một số bài tập rèn luyện Bài 1: Cho góc xOy = m (0°<m<180°), trong góc xOy vẽ tia Oz sao cho góc xOz = m/2. Chứng minh OZ là tia phân giác của góc xOy. Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD): AD+BC=DC. Chứng minh hai tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại một điểm trên cạnh CD. Bài 3: Tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB và AC lấy M và N sao cho AM = CN. Gọi I là trung điểm của MN, AI cắt BC tại D. Chứng minh AMDN là hình bình hành. (Hướng dẫn: Dựng ME//AC (E thuộc BC). Đi c/m E trùng D). 11 Bài 4: Giải lại bài toán 7 bằng cách gọi M là trung điểm của EF rồi c/m M trùng N bằng cách c/m MB, MD là tiếp tuyến của (O). (Hướng dẫn: △DEF đồng dạng △ADC => góc EDM = góc ODA). Bài 5: Giải lại bài toán 7 bằng cách gọi K' là giao điểm của AC và EF rồi c/m E, K', N thẳng hàng, suy ra K trùng K'. (Hướng dẫn: K'NDB nội tiếp =>E, K', N thẳng hàng =>EK' trùng EN, AC cắt EN tại K và K' nên K trùng K'). Bài 6: ABCD là tgnt: AD.BC = AB.CD, AC không là đường kính. Chứng minh hai tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau tại một điểm trên BD. (Hướng dẫn: G/S hai tiếp tuyến tại A và C cắt DB tại M và N. Chứng minh M, N chia ngoài đoạn DB theo cùng một tỉ số.) Bài 7: Cho tam giác ABC, đường tròn (O) nội tiếp và (I) bàng tiếp góc A tiếp xúc với BC tại D và E. Kẻ đường kính DF của (O). Chứng minh A, F, E thẳng hàng. (Hướng dẫn: C/m góc OAF = góc IAE). Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, từ điểm S nằm trong hình bình hành kẻ các đường thẳng MN, PQ (M, N thuộc BC, AD. P, Q thuộc AB, CD) song song với các cạnh của hình bình hành. Chứng minh DM, BQ, AS cùng đi qua một điểm. Bài 9: Từ điểm A bên ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC, cát tuyến ADE, APQ tới (O). Chứng minh BC, EP, DQ cùng đi qua một điểm. Bài 10: Cho A nằm ngoài (O), vẽ các cát tuyến AEB, ADC với (O) (E nằm giữa A và B, D nằm giữa A và C). Gọi H là giao điểm của BD và CE, vẽ các tiếp tuyến AM, AN với (O) (B và M cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AH). Chứng minh rằng AH, BN, CM đồng quy. Bài 11: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC). Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC , đường tròn này cắt AB và AC lần lượt tại E và D . Gọi H là giao điểm của BD và CE . Chứng minh: 1) AE.AB=AD.AC và AH vuông góc với BC. 2) Tứ giác AEHD nội tiếp , xác định tâm I. 3) DI là tiếp tuyến của (O). 12 4) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt DI tại K , AK cắt BC tại M , MH cắt BK tại N. Chứng minh: a) N,E,I thẳng hàng; b) M,E,D thẳng hàng; 5) Kẻ tiếp tuyến AS đến (O) (S là tiếp điểm, S thuộc cung nhỏ DC). Chứng minh M,H,S thẳng hàng.