Giải tích 2 - Chương 7. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 2 Chương 7. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn . Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Khái niệm chuỗi số. III- Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội II – Chuỗi không âm. IV- Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẩn V- Chuỗi luỹ thừa. Bán kính tụ tuyệt đối. Leibnitz. và miền hội tụ. II. Chuỗi không âm Định nghĩa chuỗi không âm Chuỗi số không âm là chuỗi Nhận xét Với chuỗi không âm, dãy tổng Vậy chuỗi không âm hội tụ khi 1 , ) 0,n n n a n a     ( riêng là dãy không giảm và chỉ khi bị chặn trên. nS Tiêu chuẩn so sánh 1 Hai chuỗi thoả điều 1 1 ,n n n n a b       1) Nếu chuỗi hội tụ, thì 1 n n b    2) Nếu chuỗi phân kỳ, thì 1 n n a    Chuỗi hội tụ nên 1 n n b     ' 0 0 n n n n n n k k S a b S        CM dãy bị tụ kiện 00 ,n na b n n    chuỗi hội tụ. 1 n n a    chuỗi phân kỳ. 1 n n a    dãy tổng riêng bị chặn trên nS tổng riêng của chặn trên, vậy chuỗi hội . 1 n n a    Tiêu chuẩn so sánh 2 Hai chuỗi 1 1 ,n n n n a b      ( 1) (2) lim n K   1) Nếu chuỗi (2) hội tụ,0 :K  2) hữu hạn, : Chuỗi (1)K 0 3) Nếu chuỗi (1) HT,:K   thoả 00 ,n na b n n    n n a b thì chuỗi (1) hội tụ. và (2) cùng HT hoặc cùng PK thì chuỗi (2) HT. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của Chuỗi dương 2cos 1 1 ( 1) ( 1) n n n n n     Chọn chuỗi số 2 1 1 1 n n b n       lim 1n n n a b  hữu hạn, khác Suy ra hai chuỗi 1 1 ,n n n n a b       Vì chuỗi hội2 1 1 1 n n n b n       chuỗi 2 1 1 cos ( 1) n n n n a n n         2n n không. cùng tính chất hội tụ. tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của Chuỗi dương 3 3 5 3( 1) 8 1 0 2 2 2 n n n n       Vì chuỗi hội 1 1 1 , | | 1 22nn q     Chuỗi dương 3 32 ln 2 n n n n e n e e n     chuỗi FK, 1 , | | 1 2 2 n n e e q           Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 3 1 1 5 3( 1) 2 n nn n n a          tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. 2 n       nên chuỗi đã cho FK. chuỗi 3 3 1 12 ln n nn n n e n a n          Ví dụ Khảo sát sự hội tụ n n   Chuỗi dương 2 2 ln(1 sin(1/ ) 1/ 1 ln n n n n n     Vì chuỗi hội tụ, nên 2 1 1 n n    cosh 1na n n        chuỗi HT, nên chuỗi 2 3/ 2 1 2n n    Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 1/ 2 1 1n           2 1 1 ln(1 sin(1/ ) ln n n a n n        n chuỗi đã cho hội tụ. đã cho HT. 1 1 cosh 1 n n n n a n              2 2 2 3/ 22 2n n   Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 1 1n n        1 ln cosh(1/ )na n n   Vì chuỗi hội tụ, nên 3/ 2 1 1 2n n    2 2 arctan( 2 ) 3 n n n n a n    chuỗi HT, nên chuỗi 1 1 3nn    Ví dụ Khảo sát sự hội tụ / 2 1 23 3n n     n n    1 ln cosh(1/ ) nn n a   chuỗi đã cho hội tụ. đã cho HT. 2 2 1 1 arctan( 2 ) 3 nn n n n n a n          2ln(1 1/(2 )) 3/ 2 1 2n   1 sin(1/ )na n n     na 3 1 1 1 ln ln 6n nn             1 n          Ví dụ Tìm để chuỗi HT Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ Ví dụ Tìm để chuỗi HT ln 1        Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ 3 1 1 3!n n        2 1 6 n     1 1 sin(1/ ) n n n      khi 1 2   1 1 1 lnsin ln n n n          2 1 6n        2 1 6 n   khi 1 2   3 2 1 1 1 (1/ 1/ 6 ) 2 na n n n n            2 2 1 1 1 1 1/ 6 2 na n n            Ví dụ Tìm để chuỗi HT n  2 2 1 1 1 1 6 2 na n n             Chuỗi đã cho hội tụ khi   1 1 cos(1/ ) sin(1/ ) n n n           2 2 1 3 n      và chỉ khi 1 2   Ví dụ Tìm để chuỗi HT ln(1 1/ )11 n n ne e e n         e e  1/ 2. ne e e  1 1 2 e e n            2 2 1 1 cos(1/ ) 4 n n     Chuỗi đã cho hội tụ khi và      2 1 1 1/ 1 cos(1/ ) n n e n n        2(1/ 1/ 2 )n n n 1 1/ 2ne e   2 e n 2 / 2 4 n e n a n    2 22 e n      chỉ khi 2 1 1     Tiêu chuẩn d'Alembert 1) chuỗi hội tụ.1:D  ) : không kết luận được,1D  Chuỗi dương . Giả sử 1 n n a    2) chuỗi có thể HT, hoặc PK. 1lim n n n a D a    chuỗi phân kỳ.1:D  Tiêu chuẩn Cô si 1) chuỗi hội tụ.1:C  3) : không kết luận được,1C  Chuỗi dương . Giả sử 1 n n a    2) chuỗi có thể HT, hoặc PK. lim n n n a C   chuỗi phân kỳ.1:C  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của 1 11 3 ( ! ( 1 1 ) ) n nn a n n        lim n n n a  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của 3 3 ( 1) ! ( 1) ( 1) n n n n n n         1 3 3 ! ( 1) 3 ! n n n n n n a n n a n n        3 (1 1/ )   53 2lim 4 3 n n n n n     3 4   chuỗi 1 1 3 !n nn n n n a n        Phân kỳ chuỗi 5 1 1 3 2 4 3 n n n n n a n             3 3 ! ( 1) n n n n     nn 3 1n e   1 HT theo t/c Cô si. 12 5 8 (3( ) 1) 1 6 11 (5( ) 4 1 1 ) n n n a            Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của 2 5 8 (3 1) 1 6 11 (5 4) n n a n           2 5 8 (3 1)(3 2) 1 6 11 (5 4)(5 1) n n n n            1 3 2lim lim 5 1 n n n n a n a n          Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn chuỗi 1 n n a    2 5 8 (3 2) 1 6 11 (5 1) n n         (3 2) (5 1) n n a n     3 1 5 d'Alembert. 1 1 2 5 8 (3( ) 2) 2 ( 1)! 1 1n na n n          Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của 2 5 8 (3 2) 2 ( 1)! n n n a n         2 5 8 (3 2) (3 5) 2 2 ( 1)!( 2)n n n n n            1 3 5lim lim 2 4 n n n n a n a n          Chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn chuỗi 1 n n a    2 5 8 (3 5) 2 2 ( 2)!n n n        (3 5) 2( 2) n n a n     3 1 2 d'Alembert. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của / 2 lim lim (ln( 1)) n n n nn n n a n         Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của 3 1 lim lim cos n n n n n n a n         lim cos n        1/ 2e 1 1 e   Hội tụ theo Cô chuỗi / 2 1 , 0 (ln( 1))nn n n        1 lim 0 1 ln( 1)n n  si với mọi  chuỗi 3 1 1 cos n n n          2 1 n n 2 2 1 2 2 1 2 1 lim 1 2 n n n n                si. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của 3 3 1 1 lim lim 1 n n nn n n n n a n            lim 1n   Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của 1 lim lim 3 3 1 3 nn n n n a n               chuỗi 4 3 1 1 1 1 n n n n n           42 3 1 ( 1) 1 22 1 n n n n n n                 si. chuỗi 2 1 1 2 3 3 n n n n n           1 ( 3) 3 1 nn n     Phân kỳ 2 1 e   3 1 e   II. Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối. Định nghĩa hội tụ tuyệt đối Chuỗi gọi là hội tụ tuyệt 1 n n a    Định lý Nếu chuỗi hội tụ, thì 1 n n a    Theo định lý: chuỗi hội tụ tuyệt Mệnh đề ngược lại không đúng tuy nhiên chuỗi của trị tuyệt đối đối nếu chuỗi hội tụ 1 n n a    chuỗi hội tụ. 1 n n a    đối thì hội tụ. : có những chuỗi hội tụ, không hội tụ. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của Chuỗi có dấu tuỳ ý. Xét chuỗi 3 7 (2 3) cos3 | | 1 n n n a n n     3 7 2 3n n n     Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của 4 6 | arctan( ) | | | 3 1 n n n a n n     6 / 4 / 2 n    chuỗi 3 7 1 (2 3)cos3 1n n n n n       là chuỗi dương 1 | |n n a    1 7 / 3 2n n  4 / 3 2 n   Hội tụ tuyệt đối chuỗi 4 6 1 arctan( ) 3 1 n n n n n       3/ 22n   Hội tụ tuyệt đối II. Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẫn Leibnitz. Định nghĩa chuỗi đan dấu hoặc 1 ( 1) , , 0n n n n a n a        Định nghĩa chuỗi Leibnitz Chuỗi đan dấu gọi 1 ( 1)n n n a    1) lim 0n n a   2) dãy là dãy giảm1( )n na   gọi là chuỗi đan dấu, 0nn a là chuỗi Leibnitz, nếu: . II. Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẫn Leibnitz. Định lý (Leibnitz) Chuỗi Leibnitz hội tụ. Tổng của chuỗi này thoả 10 | |S a  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của Chuỗi không hội tụ tuyệt đối. 1 1 2 nn         là dãy giảm. Đây Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của ln lim lim 0.n n n n a n    ln n n n         Chuỗi Leibnitz nên hội tụ (theo chuỗi 1 1 ( 1) ( 1) 2 n n n n n a n           1 lim lim 0 2 n n n a n     là chuỗi Leibnitz và hội tụ. 1 1 1 ( 1) ln ( 1) n n n n n n a n         1 dãy giảm (có thể k/s đạo hàm) tiêu chuẩn Leibnitz) Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi số Điều kiện cần khoâng Chuỗi dương có có không đan dấu có Leibnitz không 1n a   không Đ/nghĩa, các t/chuẩn khác Phân kỳ thô Sử dụng các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi dương không có Hội tụ hội tụn có HT tuyệt đối II. Chuỗi luỹ thừa. Định nghĩa chuỗi luỹ thừa Chuỗi luỹ thừa là chuỗi 0n    Khi ta có chuỗi luỹ thừa0 0x  Cho một giá trị cụ thể tax  Định nghĩa miền hội tụ chuỗi Tập hợp các giá trị của x, khi được chuỗi số hội tụ, gọi là miền 0( ) n n na x x a R , (1) 0 n n n n a x a R    , (2) có chuỗi số 0 n n n a     luỹ thừa thay vào chuỗi (1) hoặc ( hội tụ của (1) hoặc (2) Bổ đề Abel Nếu chuỗi hội tụ tại 0 n n n a x    x trong khoảng . 0 0| |,| |x x , thì nó hội tụ tuyệt đối 0 0 Chứng minh Định lý Cho chuỗi . Khi đó tồn 0 n n n a x    1) Chuỗi hội tụ ,x x R  tại duy nhất thoả0 R   2) Chuỗi phân kỳ ,x x R  Định nghĩa Số trong định lý gọi là bánR Định lý (dấu hiệu d'Alembert để Cho chuỗi . Giả sử 0 n n n a x    1lim n n n a a        Khi đó, (Qui ước: )1 1, 0 0     Chứng minh. kính hội tụ của chuỗi 0 n n n a x    tìm bán kính hội tụ) và0 0, : 0nn n n a bán kính hội tụ 1 R   Định lý (dấu hiệu Côsi- Hadamard Cho chuỗi . Giả sử 0 n n n a x    Khi đó, bán kính hội tụ R  (Qui ước: )1 1, 0 0     Chứng minh tìm bán kính hội tụ) lim n n n a    1  Ví dụ Tìm bán kính hội tụ của 1 (2 1)!! !lim lim ( 1)! (2 1)!! n n n n a n n a n n           Ví dụ Tìm bán kính hội tụ của 1lim n n n a a     1 1 1 1 1 2 3 1lim 1 1 1 1 2 3 n            1 (2 1)!! ! n n n x n     2 1 1 2 R     1 1 1 1 1 2 3 n n x n              n n n   1 1 1R     Ví dụ Tìm bán kính và miền ( 1) lim lim 2 1 n n n n n n a n          Tại có chuỗi số1X  1 1 2 1n n    Miền hội tụ của đã cho 1 1x   Tại có chuỗi số1X   1 ( 1) 2 1n    hội tụ của 1 ( 1) (1) 2 1 n n n x n      1 lim 1 2 1n n  1 1R      Phân kỳ theo so sánh hội tụ theo Leibnitz n n   Ví dụ Tìm bán kính và miền 5 ( 3) lim lim 1 n n n n n n n a n         Tại có chuỗi số 1 5 X  1 5 ( 2) ( 1) 5 n n n n        Miền hội tụ của đã cho 1 1 5 5    Tại có chuỗi 1 5 X   1 5 ( 2) ( 1) ( 1) 5 n n    hội tụ của 1 5 ( 2) (1) 1 n n n n x n       5 1 1 5 R     n Phân kỳ theo so sánh hội tụ (tách ra tổng) x n n nn     Ví dụ Tìm bán kính và miền Đặt 1X x  Xét chuỗi 1 1n nn n       2 2 lim lim ln ( 1) n n n n n n a n n       Tại có chuỗi số 1 2 X  1 ln ( 1)n n n    Tại có chuỗi số 1 2 X   1 ln ( 1)n n n    Miền hội tụ của (1) 1 1 2 2    hội tụ của 2 1 2 ( 1) (1) ln ( 1) n n n x n n      2 2 (2) ln ( 1) n n n n X a X  2 1 1 2 R     2 2 1 2 nn        hội tụ. 2 2 1 2 nn        hội tụ tuyệt đối 1x  3 1 2 2 x     Ví dụ Tìm miền hội tụ của n    Đặt 1X x  Xét chuỗi 1 1n n       1 3 - 2 lim lim ln 3 21 n n n n n a n       Tại có chuỗi số1X  1n    Tại có chuỗi số1X   1n    Miền hội tụ của (1) 1 1 1  1 ( 1) 3 - 2 ln (1) 3 21 nx n nn   3 - 2 ln (2) 3 21 n n n X n a X nn   n n  1 1 1R     1 3 - 2 ln 3 21 n nn  hội tụ. ( 1) 3 - 2 ln 3 21 n n nn   hội tụ tuyệt đối x   2 0x    Ví dụ Tìm miền hội tụ của n    Đặt 3X x  Xét chuỗi 3 3 1 1 2 1 2 1 n n       3 32 1 2 1 lim limn nn n n n n a        Tại có chuỗi số1X  3 3 1 2 1 2 1 n    Tại có chuỗi1X   1 ( 1)n n    Miền hội tụ của (1) 1 3 1  3 3 1 2 1 2 1 ( 3) (1)n n n x n     ( 3)n nn n n x a X n      n 1 1 1R     n n n    Hội tụ. 3 32 1 2 1n n n    HT tuyệt đối x   4 2x     Tính chất của chuỗi luỹ thừa 1) Tổng của chuỗi luỹ thừa miền hội tụ của nó. 2) Trong khoảng hội tụ: Đạo các đạo hàm: ' 0 0 n n n n n n n n n a x a x na x                 3) Trong khoảng hội tụ: Tích các tích phân: 0 00 0 0 x x n n n n n n n n a t dt a t dt a                 là một hàm liên tục trên hàm của tổng bằng tổng   1 1'  phân của tổng bằng tổng   1 1 nx n     Ví dụ Tính tổng của 1 3nn n   Ta có 0 1 , ( 1,1) 1 n n x x x         Đạo hàm hai vế (đạo hàm đạo hàm) 2 1 1 (1 ) n nx x      1 9 4 3nn n  Cho ta có: 1 3 x  Nhân hai vế cho 1/3: 3 4 n  của tổng bằng tổng các 1n 1 1 3 n n  Ví dụ Tính tổng của 2 1 1 2 5 n n n n     Theo ví dụ trước: 2 1 (1 )x   1 875 2 81 n   Cho ta có: 2 5 x  Nhân hai vế cho 2/25: 70 2 81 Nhân hai vế cho x, đạo hàm 2 1 3 1 1 ( 1) n n x n x x        1 1 n n nx     1 15 n n n    1 1 5 n n n n      hai vế: Ví dụ Tính tổng của 3 2 1 3 4 5 n n n     Ta có: Từ ví dụ Nhân hai vế cho x, đạo hàm Số hạng cuối cùng tính trực 3 2 1 3 4 5 4nn n n     3 4 5 n n n            theo ví dụ vừa rồi. 2 3 1 4 1 4 1 ( 1) n n x x n x x          từ đây Qua 3 ví dụ, ta có thể tính tổng 4n này ta có: hai vế ta được: tiếp, số hạng thứ hai tính 3 2 1 1 1 1 4 4 4n n n n n 2 1 3 1 1 ( 1) n n x n x x        tính ra được số hạng đầu 0 ( )k n n P n a    Ví dụ Tính tổng của 1 1 2nn n     Xét chuỗi 1 ( ) n n x S x n    Miền Đạo hàm ta được: ' ( )S x x ( ) 1 dx S x x    ln 1 x C    ( ) ln 1S x x    1 1 2nn n     1 2 S        ln |1 1/ 2 |   hội tụ: 1 1x   0 n n    1 1 x   ( 1,1)x   (0) 0 0S C  Vì ln 2 Ví dụ Tính tổng của 1 2 ( 1) 3n n n      Xét chuỗi 1 1 ( ) ( 1) n n x S x n n      Đạo hàm ta được: ' ( ) n S x  ( ) ln(1 )S x x dx    (1 ) ln(1 )x x x C     ( ) (1 )ln(1 )S x x x x     1 2 ( 1) 3 n n n n n      2 3 S        2 2 2 3 3 3     n n Miền hội tụ: 1 1x   1 nx n   ln(1 )x   (0) 0 0 S C    1 ln 1             vdụ trước 2 ln3 3   Ví dụ Tính tổng của 4 ( 4 3) 3n I     4 ( 1) ( 3)( 1) 3 n n n I n n         4 4 1 ( 1) 1 ( 1) 2 2( 3) 3 ( 1) 3n n        4 1 ( 1) ( 1) ( 3) 3 3n N J n N             Đặt , ta có:3N n  1 ln 1 n n x n     Thay vào 1 3 x   4 3 ( 1) ( 1) ( 1) 3 3n N K n N             Đặt , ta có:1N n  Tương tự J, tính được K. 2 ( 1) n nn n     n n n nn n       3 3 n N n N   1 1 ( 1) 27 3n n        x ta được .J 1 1 n N n N   3 1 ( 1) 3 3n n        III. Chuỗi Taylor Maclaurint. Định nghĩa chuỗi Taylor Hàm có đạo hàm vô ( ) 0 0 ( ) ( ) !    n n f x x x n ( )y f x điểm . Chuỗi0x của hàm tại lân cận( )y f x Chuỗi Taylor trong lân cận của hạn lần trong lân cận của 0 (1)  n gọi là chuỗi Taylor của .0x gọi là chuỗi Maclaurint 0 0x III. Chuỗi Taylor Maclaurint. Định lý Nếu hàm cùng các đạo( )y f x chặn trong lân cận của điểm trong lân cận của ta có0x thì ( ), ( )   ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) !     n n f x f x x x n hàm mọi cấp của nó bị , tức là tồn tại số thực M,0x ( )nn N f x M 0 n Chuỗi Maclaurint của một số 0 1) !     n x n x e n 1 ( 1) 2) ln(1 )      n n n x x n   2 1 0 3) sin 1 (2 1)!       n n n x x n   2 0 4) cos 1 (2 )!     n n n x x n hàm thông dụng: Miền hội tụ: R Miền hội tụ:  1,1 Miền hội tụ: R Miền hội tụ: R 01 6) 1      n n x x 0 1 7) ( 1) 1       n n n x x   2 1 0 8) arctan 1 2 1       n n n x x n 2 0 9) cosh (2 )!     n n x x n 0 ( 1) ( ( 1)) 5) (1 ) !             n x n Miền Miền 2 1 0 10) sinh (2 1)!      n n x x n nn x Miền hội tụ: ( 1,1) hội tụ: ( 1,1) hội tụ: ( 1,1) Miền hội tụ:  1,1 Miền hội tụ: R Miền hội tụ: R Ví dụ Tìm chuỗi luỹ thừa của trong lân cận của 0 1.x  Đặt 1X x  Tìm khai triển Maclaurint của x X   ln(5 3 )f X  3 3 ln5 1 ln5 ln 1 5 5 X X                 1 1 3 / 5 ln5 ( 1) n n n X f n          hàm ln(2 3 )y x  hàm ln(2 3( 1))f X   1  1 1 3 1 ln5 ( 1) 5 nn n n n x n        Ví dụ Tìm chuỗi luỹ thừa của trong lân cận của 0 2.x  Đặt 2X x  Tìm khai triển Maclaurint của 2x X   1 1 2 3 f X X     1 1 1 1 2 1 / 2 2 1 /3X X       0 0 1 1 ( 1) ( 1) 2 22 3 n n n n n n n n X X f             0 1 1 1 ( 1) 2 2 2 3 n n n n f x              hàm 2 2 1x y x x    hàm 2 5 ( 2)( 3) X f X X      n Ví dụ Tìm chuỗi Maclaurint của Ta có 0 1 1 n n x x      Đạo hàm hai vế (trong miền bằng tổng các đạo hàm )   1 2 1 1 1 n n nx x       0 ( 1) n n x     hàm 2 1 , | | 1 (1 ) y x x    hội tụ, đạo hàm của tổng n Ví dụ Tính tích phân 1 0 I dx  2 2 2 2 1 1 1 1 , 6 8(2 1) n nn n          biết rằng Ta có 1 1 1 0 ( 1)n n n x n I dx x        11 2 1 0 ( 1)n n n I x n     1 2 1 ( 1)n n n       ln(1 )x x  1 1 1 10 ( 1)n n n x dx n      2 2 1 1 1 1 1 4(2 1)n nn n       2 12   Ví dụ Tính tích phân 1 0 I dx  Ta có 1 0 ln(1 )I x dx   1 10 ( 1) n     1 1 1 0 1 ( 1) n n I x n n 