Giáo án Đại số đại cương

CHƯƠNG 1 NỬA NHÓM VÀ NHÓM 1. NỬA NHÓM MỤC ĐÍCH YÊU CẦU: Sinh viên nắm được khái niệm phép toán hai ngôi, nửa nhóm. Biết nhận biết các khái niệm trên trong các trường hợp cụ thể. Sinh viên có kỹ năng vận dụng khái niệm trên giải các bài tập . 1.1.Phép toán hai ngôi: Ví dụ: 1.xét tập số tự nhiên N, với phép toán cộng thông thường. Ta thấy: " a, b Î N luôn có: a+b = c Î N. Có thể nói phép cộng trong N là một ánh xạ được không? Hãy lập ánh xạ đó. ( +: NxN ® N (a,b) a c ) 2.Cũng hỏi như trên với Phép mũ hoá trong N? Phép trừ trong N ?phép nhân trong N ? T: NxN ® N (a,b) a c= ab ) các phép toán trên ( trừ phép trừ) đều là các phép toán hai ngôi. Định nghĩa 1: SGK(37) Để cho tiện từ nay về sau ta ký hiệu cái hợp thành của x và y là xy. Nếu không có lý do nào khiến ta phải viết khác. Định nghĩa 2: sgk(38) A Ì X đgl ổn định với phép toán hai ngôi trong X. Û " x,y Î A ® xy Î A . (Ta còn nói phép toán trên X đối với bộ phận ổn định A là phép toán cảm sinh trên A ) Trong các ví dụ trên phép toán nào có các tính chất: kết hợp; Giao hoán ? Định nghĩa 3: Tr 38. Trong các phép toán trên hãy tìm các cặp phần tử có cái hợp thành chính là một trong hai phần tử đó ? +: NxN ® N . : NxN ® N T: NxN ® N (a,o ) a a (a , 1) a a (a , 1)a a1=a Định nghĩa 4: tr 39 Hãy cho nhận xét trong các phép toán nêu trên cái nào có phần tử đơn vị trái, phải? Một phép toán vừa có đơn vị trái, vừa có đơn vị phải thì phần tử đơn vị trái và đơn vị phải có quan hệ gì với nhau? Hãy chứng minh? ( tr 39). Định lý1: tr39. Hệ quả: tr39. 1.2.Nửa nhóm: Định nghĩa 5: tr39 Hãy chỉ ra trong các ví dụ trên tập N với các phép toán nào là một nửa nhóm ? ( trừ phép mũ hoá- phép toán trừ ). * Mọi bộ phận ổn định A của một nửa nhóm X cùng với phép toán cảm sinh trên A là một nửa nhóm. Gọi là nửa nhóm con của nửa nhóm X. Trong một nửa nhóm X: Ta viết: (xy)z = x(yz) = xyz giọ là tích của 3 phần tử lấy theo thứ tự đó. Tổng quát : x1x2…..xn-1xn = (x1x2…..xn-1)xn gọi là tích của n phần tử lấy theo thứ tự đó. Định lý 2: (sinh viên tự CM) tr40. Định nghĩa 6: X là nửa nhóm: n Î N, n ¹ 0 " a Î X ; an gọi là tích của n phần tử bằng a. Do tính kết hợp ta có: am.an = a m+ n ; (am)n = am.n ( Sinh viên tự CM) Nếu phép toán hai ngôi của X ký hiệu là + thì tổng của n phần tử đều bằng a gọi là bội của n . Ký hiệu là: na. Hãy viết quy tắc trên dưới dạng tổng: ( ma + na = (m + n )a ; n(ma) = m.n a ) Định lý 3: tr41. Sinh viên tự trả lời các ví dụ 1, 2 tr 42. * Bài tập: 1 ® 5 tr 42-43. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Trang 42: Bài 1: X là nửa nhóm. a Î X ; b Î Xsao cho: ab = ba. a) CMR: (ab)n = anbn " n > 1 ; n Î N b) Nếu (ab)2 = a2b2 thì có suy ra được ab = ba không ? Bài giải: a).Quy nạp theo n: Với n = 1 ta có ab = ba. Giả sử với m = n-1 có: (ab)n-1 = an-1bn-1 Ta CM đúng với m = n. Có (ab)n = (ab)n-1(ab) = an-1bn-1(ab) = an-1(bn-1b)a =an-1bna. (1) Như vậy nếu có bna = abn thì từ (1) suy được ra điều phải CM. Ta đi CM điều đó: Bằng quy nạp theo n: Với n =1 ta có ab = ba Với m = n-1 giả sử có : an-1b = ban-1 Ta CM đúng với m = n. Có : a n b = a(an-1b) = a(ban-1) = a(an-1b) = (aan-1)b = anb (2) áp dụng (2) vào (1) ta có ĐPCM. b). Nếu X có nhiều hơn 1 phần tử. Chẳng hạn " a, b Î X : a ¹ b Xét nửa nhóm X với phép toán ab = a " a,b Î X. Ta có : a2 = a , b2 = b , ab = a , a2b2 = a2 = a . Nên: (ab)2 = a = a2b2 Nhưng: ab = a ¹ ba = b. Bài 2: Gọi X là tập thương Z/nZ = {, ,... } ; ( a º b (modn) . a và b chia cho n có cùng số dư. Hay : a - b chia hết cho n. ). Với mỗi cặp ( , ) cho tương ứng với lớp tương đương . a). CM R có một ánh xạ từ X2 đến X b). X là một vị nhóm giao hoán đối với phép toán xác định ở câu a) c) Nếu với mỗi cặp ( , ) cho tương ứng với lớp Thì X cũng là một vị nhóm giao hoán. Bài giải: a).Ta CM tương ứng ( , ) ® . Không phụ thuộc vào các đại diện a, b của các lớp tương đương , . Nếu = thì: a - a’ chia hết cho n Nếu = thì: b-b’ chia hết cho n Suy ra: (a+b)-(a’+b’) cũng chia hết cho n hay = Vậy ta có ĐPCM. b)Ta ký hiệu phép tóan trên là +: X2 ® X ( , ) ® = Kiểm tra t/c kết hợp: " , , : Phần tử không là : . c) Sinh viên tự CM. Bài 3: X là tập tuỳ ý. Xét ánh xạ:T: X.X ® X (x,y) ® x. CMR: X là một nửa nhóm đối với phép toán trên. Nửa nhóm đó có giao hoán không ,có phần tử đơn vị không? Bài giải: " x, y, z Î X ta có: xT(yTz) = xYy = x (xTy)Tz = xTz = x Vậy: xT(yTz) = (xTy)Tz Nên X là nửa nhóm. Nếu X có nhiều hơn 1 phần tử. " x, y Î X, x ¹ y ta có xTy = x ¹ yTx =y nên X không giao hoán. Không có đơn vị vì: giả sử e là đơn vị thì: eTx = e ¹ x " x Î X. Bài 4: Gọi X là tập thương của ZxN* trên quan hệ tương đương S xác định bởi: (a,b) S(c,d) ad = bc . Ta ký hiệu các phần tử C(a,b) của X bằng a/b, (a,b) Î ZxN* a). f: XxX ® X (a/b , c/d) a (ad+bc)/bd Là một ánh xạ. b). CMR X là một vị nhóm giao hoán với phép toán ở câu a). c). Nếu với mỗi cặp (a/b , c/d) cho tương ứng với lớp tương đương ac/bd. CMR lúc đó X cũng là một vị nhóm giao hoán. Bài giải:: 2. NHÓM (Số tiết: 18 = 9 + 9) MỤC ĐÍCH YÊU CẦU: Sinh viên nắm vững khái niệm nhóm, biết nhận biết các nhóm . biết chứng minh các tính chất về nhóm. Sinh viên có kỹ năng vận dụng lý thuyết giải các bài tập về nhóm. PHƯƠNG PHÁP: Thuyết trình - Luyện tập.- Đàm thoại CHUẨN BỊ: SGK- SBT môn ĐSĐC NỘI DUNG: 2.1. Nhóm: 2.1.1. Định nghĩa 1: X là nửa nhóm. $ e Î X: " x Î X : ex = x " x Î X , $ x' Î X : x'x = xx' = e Khi ấy X là một nhóm. X là nhóm hưu hạn nếu nó có số phần tử là hữu hạn. Số phần tử của X còn gọi là cấp của nhóm X Phép toán trong X là giao hoán thì X gọi là nhóm giao hoán ( aben ) Ví dụ: SGK tr 44 2.1.2. Các tính chất: 1.Trong một nhóm X mỗi phần tử có duy nhất một phần tử đối. CM: " x Î X giả sử có hai phần tử đối xứng là a và b. Ta có: xa = ax = e , xb = bx = e nên: bxa = be hay ea = b hay a = b. Phép toán ký hiệu bằng dấu . phần tử đối xứng của x còn gọi là phần tử nghịch đảo. Viết x-1 Phép toán ký hiệu bằng dấu + phần tử đối xứng của x còn gọi là phần tử đối. Viết - x Vậy (x-1)-1 = x ; (- (-x) = x. Nếu X là aben thì : (.): xy-1 = y-1x nên còn viết x/y gọi là thương của x trên y (+): x-y = -y + x viết x - y gọi là hiệu của x và y. 2. (Luật giản ước) Trong một nhóm X : " x , y , z Î X. Nếu xy = xz ( yx = zx ) thì: y = z CM: nếu :xy = xz Ta có: x-1(xy) = x-1(xz) hay (x-1x)y = (x-1x)z hay ey = ez hay y = z. 3. trong một nhóm X phương trinh ax = b và ya = b có nghiệm duy nhất x= a-1b ( y = ba-1) CM: Ta có: ax = a(a-1b) = (aa-1) b = eb =b hay x = a-1b là nghiệm. Nghiệm này là duy nhất vì Nếu có c là một nghiệm khác tức: ac = b thì: ax = ac = b thực hiện luật giản ước ta được: x = c. 4. X là nhóm: " x , y Î X ta có (xy)-1 = y-1x-1 CM: (xy)( y-1x-1) =x(yy-1)x-1 = xex-1 = xx-1 = e (y-1x-1)(xy) = y-1(x-1x)y = y-1ey = y-1y = e Vậy có (xy)-1 = y-1x-1 Tổng quát: (x1.x2..xn)-1 = xn-1x-1n-1..x2-1x1-1. Đặc biệt (an)-1 = (a-1)n " n Î N, n ¹ 0 Quy ước viết : a-n Đặt a0 = e CMR: " l , m Î Z: l a + ma = (l + m )a m (l a) = m l a. 5. Một nửa nhóm X là một nhóm khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thoả mãn: i)" x Î X , ex = x ( X có đơn vị trái) ii) " x Î X, có một x’ Î X Sao cho: x’x = e CM: ® Đ/k cần là hiển nhiên. Đ/ k đủ: " x Î X theo ii) $ x’ Î X: x’x = e. cũng theo ii) $ x’’ Î X: x’’x’ = e Ta có: xx’ = exx’ = x’’x’xx’ = x’’ex’ = x’’x’ = e . Mặt khác: xe = xx’x = ex = e Vây : X là nhóm. Sinh viên tự phát biểu và cm cho trường hợp ứng với phần tử đơn vị phải. 6. Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm khi và chỉ khi: các phương trình ax =b và ya = b có nghiệm trong X CM: ® : đã cm trong t/c 3 Đủ: Do X ¹ f nên $ a Î X vì phương trình ya = b có nghiệm nên phương trình ya = a có nghiệm. Giả sử nghiệm đó là e, ta CM e là phần tử đơn vị trái của X. Thật vậy: " b Î X phương trình ax = b có nghiệm, gọi nghiệm này là c Ta có: eb = e(ac) = (ea) c = ac = b. hay e là đơn vị trái. " b Î X xét phương trình yb = e theo (gt) phương trình này có nghiệm trong X nên $ b’ sao cho : b’b = e Theo đ/ lý 5 ta có đpcm. Bài tập 3,5,7,10 tr 70. Bài tập 2 sinh viên làm tại lớp. 2.2.Nhóm con: Nhóm cộng các số thực R, tập Z các số nguyên. Z Ì R, Z cùng phép cộng cũng là một nhóm. Ta còn gọi đó là một nhóm con của nhóm cộng các số thực R Định nghĩa 2: X là một nhóm, A là một bộ phận ổn định của X. A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm Thì A gọi là một nhóm con của nhóm X. Nếu A là nhóm con của X thì liệu phần tử trung lập của A có phải là phần tử trung lập trong nhóm X không? Phần tử nghịch đảo của một phần tử x trong A có trùng với phần tử nghịch đảo của x trong X không? Sinh viên tự CM. A nhóm con X hiển nhiên có: " x, y Î A, xy Î A Giả sử b là phần tử trung lập của A thì " x Î A bx = x; mặt khác do x Î X nên ex = x ( với e là trung lập của X) Do đó: bx = ex áp dung luật giản ước trong nhóm ta có: b = e. " x Î A giả sử có x’ Î A mà x’x = e ta cũng có x-1x = e nên x’x = x-1x hay: x’= x-1. Ngược lại nếu A là một bộ phận của X Thoả các điều kiện 1, 2, 3 thì A là một nhóm ( tính chất 5), do đó là một nhóm con của nhóm X. Định lý 1: X là một nhóm; A Ì X 1. " x, y Î A, xy Î A A là nhóm con của X Khi và chỉ khi 2. e Î A, với e là phần tử TLập của X 3. " x Î A, x-1 Î A Hệ quả: X là một nhóm. A ¹ f , A Ì X các mệnh đề sau là tương đương a) A là một nhóm con của X a) b) " x, y Î A, xy Î A, x-1 Î A c) " x, y Î A, xy-1 Î A c) b) CM: ® b): theo đ/lý trên. ® c) : do x, y Î A nên theo b) y-1 Î A, và cũng theo b) xy-1 Î A ® a): vì A ¹ f nên $ x Î A theo c): xx-1 = e Î A " x Î A ,do e Î A, cũng theo c): ex-1 = x-1 Î A " x, y Î A theo trên y-1 Î A nên x(y-1)-1Î A hay xy Î A Vởy A là nhóm con của nhóm X Các ví dụ : Tr 49 Sinh viên tự đọc tại lớp (5 phút). Định lý 2: Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của nhóm X là một nhóm con của nhóm X CM: Gọi A = Ç Ai , trong đó Ai Î I là họ các nhóm con tuỳ ý của nhóm X A¹ f vì e Î Ai " i Î I nên e Î A " x, y Î A, nên x , y Î Ai " i Î I suy ra xy-1 Î Ai " i Î I ( do Ai là các nhóm con ) từ đó xy-1 Î A (theo hệ quả đ/l 1). cho đpcm. * Giả sử U là một bộ phân của một nhóm X thế thì U chứa trong ít nhất một nhóm con của X ( chẳng hanj chính nhóm con X) theo đ/l 2 giao A của tất cả các nhóm con của X chứa U cũng là một nhóm con của X chứa U. Đó là nhóm con bé nhất của X chứa U. định nghĩa 3: U Ì X, X là một nhóm; A là nhóm con bé nhất của X chứa U .Khi ấy A gọi là nhóm con sinh ra bởi U. Nếu A = X ta nói U là một hệ sinh của X; X được sinh ra bởi U Nếu U = {a}, a Î X. Tập hợp A = { ak : k Î Z }là Nhóm con sinh ra bởi U Thật vậy: - Hiển nhiên A ¹ f , vì a Î A " x, y Î A ® x = ak ; y = a l ® xy-1 = ak(al)-1 = aka-l = ak-l Î A A là nhóm con bé nhất của X chứa U. Vì: " nhóm con B của X chứa U = {a} đều chứa các luỹ thừa của a. A còn gọi là nhóm con sinh ra bởi a. Định nghĩa 4: X gọi là nhóm xyclic Û X ={ ak : k Î Z ; a Î X}; phần tử a gọi là phần tử sinh của X Ví dụ1: Cho nhóm các phép thế bậc ba: S3 e = (1) ; f1 = (1 2 3); f2 = (1 3 2 ) f3 = (1 2 ) ; f4 = (1 3 ) f5 = (2 3 ) Tìm các nhóm con là xyclic sinh ra bởi : e; f1; f2; f3; f4; f5. Giải: Giả sử A = { f1k : k Î Z } Ta có : f12 = (1 2 3 )(1 2 3 ) = (1 3 2 ) = f2 f13 = ( 1 2 3 )(1 3 2 ) = e " k Î Z: f1 k = f13q+ r =f13qf1r = (f13)qf1r = eqf1r = f1r trong đó 0 £ r < 3. Từ đó suy ra A = { f1k : k Î Z } = {f10 = e ; f11= f1; f12= f2 } ( các trường hợp còn lại sinh viên tự CM) Ví dụ 2: Nhóm cộng số nguyên Z là một nhóm xyclic sinh bởi phần tử 1 hoặc -1 (Sinh viên tự CM) Giả sử X là một nhóm với phần tử đơn vị e ; a Î X. Nếu không có một số nguyên dương n nào sao cho an = e thì nhóm con sinh bởi phần tử a là vô hạn, vì ak ¹ al " k ¹ l. Trong trường hợp ngược lại gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho am = e thì nhóm con sinh ra bởi a có nm phần tử: a0, a1, a2,….am-1. Định nghĩa5: X là một nhóm; " a Î X; A là nhóm con sinh ra bởi a a gọi là có cấp vô han nếu A vô hạn. Khi ấy: ∄ n: an = e a gọi là có cấp m nếu A có cấp m . Khi ấy $ m là số nguyên dương bé nhất sao cho: am = e 2.2.3.Nhóm con chuẩn tắc- nhóm thương: X là một nhóm; A là nhóm con của X. Ta định nghĩa quan hệ ~ trong X như sau: " x, y Î A, x~y Û x-1y Î A. Bổ đề 1: Quan hệ ~ trong X là một quan hệ tương đương. CM: -Phản xạ: " x Î A , x-1x = e Î A ® x~x - đối xứng: " x, y Î A, x ~ y tức x-1y Î A. ta có: (x-1y)-1Î A hay y-1x Î A ® y~x -Bắc cầu: " x~y, y~z , tức x-1y Î A, y-1z Î A ® (x-1y)(y-1z) = x-1z Î A ® x~z Ký hiệu: - với mỗi x Î X, ta ký hiệu: = - xA = { a Î A , a chạy khắp A Bổ đề 2: = xA CM: " y Î thì: x~y tức x-1y = a Î A ® y = xa Î xA vậy Ì xA " y = xa Î xA ® x-1y = a Î A Vậy xA Ì Định nghĩa 6: Các bộ phận xA gọi là các lớp trái của nhóm con A trong X; tương tự các lớp phải Ax của nhóm con A trong X là tập gồm các phần tử có dạng ax với a Î A Tương tự cũng có x ~y Û xy-1 Î A Hệ quả: X là một nhóm, " x, y Î X khi ấy: + xA = yA Û x-1y Î A + xA Ç yA = f Û x-1y Ï A Tập hợp thương của X trên quan hệ tương đương ~ gọi là tập thương của nhóm X trên nhóm con A, Kí hiệu: X/A. các phần tử của X/A là các lớp trái xA Định lý 3: ( đ/l Lagrănggiơ) Cấp của một nhóm X hữu hạn là bội của cấp mọi nhóm con của nó. CM: Giả sử X có cấp n, A là nhóm con của X và có cấp là m. A = { x1, x2,….,xm } khi ấy " x Î X, mọi lớp trái xA có đúng m phần tử dạng: xx1, xx2,…., xxm. các phần tử này là phân biệt vì nếu xx1 = xx2 thì ® x1 = x2. Do X là hữu hạn nên có số các lớp trái xA là hữu hạn. gọi số các lớp trái là l và do các lớp trái là rời nhau nên n = ml. Số l các lớp trái xA gọi là chỉ số của nhóm con A trong X Hệ quả 1: Cấp của một phần tử tuỳ ý của một nhóm hữu hạn X là ước của cấp của X Hệ quả 2: Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic và được sinh ra bởi một phần tử bất kỳ, khác phần tử trung lập của nhóm .(sinh viên tự CM) ( Số nguyên tố p chỉ có ước là 1 và chính nó. Nên một nhóm hh có cấp nguyên tố p thì mọi phần tử tuỳ ý của nó chỉ có thể có cấp là 1 hoặc p. loại trừ e thì các phần tử tuỳ ý còn lại đều có cấp p và do đó chính nhóm đã cho được sinh bởi phần tử đó.Hay đó là một nhóm xyclic) Ví dụ : SGK tr 54- (Sinh viên tự đọc 05 phút) Định nghiã 7: X là một nhóm, A là nhóm con của X. A gọi là chuẩn tắc Û x-1ax Î A, " a Î A và " x Î X Định lý 4: X là một nhóm, A là nhóm con chuẩn tắc của X, thì: i) Quy tắc sau là một ánh xạ: X/A xX/A ® X/A (xA, yA) ↦ xyA ii) X/A cùng với phép toán hai ngôi: (xA, yA) ↦ xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X/A. CM: Giả sử có xA = x1A và yA = y1A ta phải CM: xyA = x1y1A. Theo hệ quả bổ đề 2 ta có: x-1x Î A, y-1y Î A . Nên (xy)-1(x1y1) = y-1(x-1x1)y1 = y-1(x-1x1)y(y-1y1) Î A, (vì A là chuẩn tắc nên y-1(x-1x1)y Î A) + " x, y, z Î X ta có: (xA.yA)zA = xyzA = xA.(yA.zA) do đó phép toán đã cho là kết hợp + Xét lớp trái eA = A trong đó e là phần tử trung lập của nhóm X Ta có: eA.xA = exA = xA, " xA Î X/A vậy eA = A là phần tử đơn vị trái của X/A +" xA Î X/A ta có: x-1A.xA = x-1xA = eA = A. Vậy xA nhận x-1A là phần tử nghịch đảo trái Định lý 4: X là một nhóm, A là nhóm con của X. Khi ấy: A là chuẩn tắc Û xA = Ax , " x Î X CM: ® : " xa Î xA ( a Î A) do A là chuẩn tắc nên: y-1ay Î A , " y Î X, lấy y = x-1 thì: xax-1 Î A, đặt xax-1 = a’ ® xa = a’x Î Ax Vậy xA Ì Ax " ax Î Ax, ( a Î A) do A là chuẩn tắc nên: x-1ax Î A, đặt x-1ax = a’ Î A , ta có: ax = xa’ Î xA, vậy Ax Ì xA. Do đó: Ax = xA. Ngược lại: " a Î A, " x Î X. Ta có: ax Î Ax = xA, nên $ a’Î A sao cho: ax = xa’ suy ra: x-1ax = a’ Î A, Vậy A là chuẩn tắc. Các ví dụ: tr 57 (sinh viên tự đọc 5 phút) 2.2.4. Đồng cấu: Định nghĩa 8: Một đồng cấu(nhom) là một ánh xạ f từ một nhóm X đến một nhóm Y sao cho: f(ab) = f(a).f(b), " a, b Î X + Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X. + Một đồng cấu là đơn ánh thì gọi là một đơn cấu. + Một đồng cấu là toàn ánh thì gọi là một toàn cấu + Một đồng cấu là song ánh thì gọi là một đẳng cấu. Ký hiệu: f: X : ® Y + Một tự đồng cấu là song ánh thì gọi là một tự đẳng cấu Ví dụ: Xét xem các ánh xạ sau ánh xạ nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu, tự đồng cấu, tự đẳng cấu: 1).A là nhóm con của nhóm X. Đơn ánh chính tắc: f: A ® X a a a 2). f: X ® X ( tự động cấu đồng nhất) x a x 3). Log : R+ ® R ; R+: là nhóm nhân các số thực dương; ( đẳng cấu) x a logx R :nhóm cộng các.số thực 4). A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X. ánh xạ: h : X ® X/A ( toàn cấu) x a h(x) = xA 5) X, Y là hai nhóm tuỳ ý: f: X ® Y x a e , e là đơn vị của Y ( là đồng cấu tầm thường) 6) f: X ® Y là một đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Hỏi f-1: Y ® X có là đẳng cấu không ? (f-1 là song ánh. Mặt khác: " y, y1 Î Y , đặt x = f-1(y) ; x1 = f-1(y1). Ta có: f(x) = y; f(x1) = y1 vì f là một đồng cấu nên: f(xx1) = f(x).f(x1) = y.y1 ; do đó: f-1(y.y1) = xx1 = f-1(y)f-1(y1). Vậy f-1 là một đẳng cấu. Định nghĩa 9: f: X ® Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, ex,, ey tương ứng là các phần tử trung lập của nhóm X, nhóm Y. Ta ký hiệu: Imf = f(X) Kerf = { x Î X { f(x) = ey } = f-1( ey) Gọi imf là ảnh của đồng cấu f; còn Kerf là hạt nhân của đồng cấu f Các tính chất của đồng cấu: Định lý 5: X,Y, Z là các nhóm . f: X ® Y; g: Y ® Z là các đồng cấu. Thế thì ánh xạ tích gf: X ® Z là một đồng cấu. CM: " a, b Î X ta có: gf(ab) = g(f(ab)) = g(f(a).f(b)) = g(f(a))g(f(b)) = gf(a)gf(b) Định lý 6: f: X ® Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Thế thì: i) f(ex) = ey ii) f(x-1) = [f(x)]-1 , " x Î X CM: i) " x Î X ta có: f(x). f(ex) = f(x. ex) = f(x) = f(x) ey ® f(ex) = ey (sau khi thực hiên luật giản ước) ii) " x Î X. ta có: f(x).f(x-1) = f(xx-1) = f(ex) = ey = f(x).[f(x)]-1 (sau khi thực hiên luật giản ước) Định lý 7: f: X ® Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A là nhóm con của X, B là một nhóm con chuẩn tắc của Y. Thế thì: i) f(A) là một nhóm con của Y. ii) f-1(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X CM: i).f(A) ¹ f , vì ex Î A, f(ex) = ey Î f(A) " y, y1 Î f(A) ® $ x, x1 Î A sao cho: y = f(x), y1 = f(x1); xét yy1-1 = f(x).[f(x1)]-1 = f(x).f(x1-1) = f(xx1-1) Î f(A) ( vì A là nhóm con nên xx1-1 Î A ), ® f(A) là nhóm con của nhóm Y. ii) f-1(B) ¹ f , vì f(ex) = ey Î B nên ex Î f-1(B) " x, x1 Î f-1(B) , ta có: f(xx1-1) = f(x).f(x1-1) = f(x)[.f(x1)]-1. Do B là nhóm con nên từ f(x), f(x1) Î B ® f(x).f(x1-1) Î B vậy: f(xx1-1) Î B ® xx1-1 Î f-1(B) do đó f-1(B) là một nhóm con của X Hơn thế f-1(B) còn là chuẩn tắc, vì: " a Î f-1(B) ( có: f(a) Î B ), " x Î X. xét: f(x-1ax) = f(x-1)f(a)f(x) = f(x)-1f(a)f(x) Î B ( do B là chuẩn tắc trong Y) ® x-1ax Î f-1(B) Hệ quả: f: X ® Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Thế thì imf là nhóm con của Y, còn Kerf là nhóm con chuẩn tắc của X. (sinh viên tự CM) Định lý 8: f: X ® Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y,thế thì: i) f là toàn ánh Û imf = Y ( = f(X) ) ii) f là đơn ánh Û Kerf = { ex } CM: i) theo định nghĩa toàn ánh. ii) giả sử f là đơn ánh khi ấy " y Î Y ,$ ! x Î X sao cho: f(x) = y vậy với ey , $ ! exÎ X sao cho: f(ex) = ey, hay kerf = { ex } Ngược lại: giả sử Kerf = { ex } , " x, y Î X, f(x) = f(y) . ta có : f(x).f(y)-1 = ey Nên: f(x)f(y)-1 = f(x).f(y-1) = f(xy-1) = ey suy ra: xy-1 Î Kerf = { ex }, hay: xy-1 = ex ® y-1 =x-1 hay y = x tức f là đơn ánh. Định lý 9: f: X ® Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, p: X ® X/Kerf là toàn cấu chính tắc từ nhóm X đến nhóm thương của X trên hạt nhân của f. Thế thì: i) có một đồng cấu duy nhất : X/Kerf ® Y sao cho f = p f X Y P ( tam giác này là giao hoán ) X/Kerf ii) Đồng cấu là một đơn cấu và im = f(X) ( sinh viên đọc trước lời CM - sẽ CM trên lớp vào tiết tiếp theo) CM đ/l 9: i). Đặt Kerf = A cho tương ứng mõi phần tử xA của nhóm X/A với một phần tử f(x) của Y. Quy tắc này là một ánh xạ. Thật vậy : Giả sử " xA = yA ® x-1y Î A. Nhưng A = Kerf nên f(x-1y) = f(x-1)f(y) = ey = f(x-1)f(x) ® f(y) = f(x). Ta đặt : X/A ® Y xA ↦ (xA) = f(x) . là một đồng cấu. Thật vậy: " xA, yA Î X/A, (xAyA) = (xyA) = f(xy) = f(x)f(y) = (xA) (yA) (Do f là đồng cấu nên f(xy) = f(x)f(y)) Từ (xA) =