Giáo trình Điện từ học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT TS. LƯU THẾ VINH ĐIỆN TỪ HỌC Đà Lạt 2006 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT TS. LƯU THẾ VINH ĐIỆN TỪ HỌC Đà Lạt 2006 - 2 - ĐIỆN TỪ HỌC LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình “ Điện từ học” được biên soạn theo chương trình khung của Bộ Giáo dục & Đào tạo ban hành năm 2004 dành cho hệ đào tạo cử nhân Vật lý, dựa vào các bài giảng mà tác giả đã trình bày cho sinh viên khoa Vật lý trường Đại học Đà lạt trong những năm gần đây và dựa vào cuốn giáo trình Điện học mà tác giả đã viết năm 1987. Để giúp cho sinh viên dễ dàng nắm bắt được các vấn đề cốt lõi của kiến thức về điện từ học, tài liệu được trình bày ngắn gọn, xúc tích, chú trọng nhiều đến bản chất vật lý của hiện tượng mà không đi sâu vào mô tả các quá trình thực nghiệm cũng như những minh họa kèm theo (sinh viên có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo). Những tính toán lý thuyết trong giáo trình sử dụng các kiến thức toán học giải tích tối thiểu mà sinh viên đã được trang bị trong các học phần về toán học. Các ví dụ trong sách ngoài việc minh họa ứng dụng các định luật còn nhằm mục đích rèn luyện kỹ năng tính toán, củng cố kiến thức và khả năng giải quyết các bài toán thực tiễn. Nội dung giáo trình được chuẩn bị cho 5 đơn vị học trình tương ứng với 75 tiết lên lớp, trong đó có 60 tiết lý thuyết và 15 tiết bài tập. Nội dung bài tập sinh viên sẽ được trang bị trong các sách bài tập riêng. Giáo trình là tài liệu học tập cho sinh viên khoa Vật lý, đồng thời có thể sử dụng để tham khảo cho sinh viên các ngành kỹ thuật khi học chương trình Vật lý đại cương. Đà lạt, 2006 TÁC GIẢ ĐIỆN TỪ HỌC - 3 - Chương 1. ĐIỆN TRƯỜNG TRONG CHÂN KHÔNG § 1.1. ĐIỆN TÍCH, ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐIỆN TÍCH VẬT DẪN ĐIỆN VÀ VẬT CÁCH ĐIỆN I. Khái niệm điện tích, điện tích nguyên tố. - Các hiện tượng về sự nhiễm điện đã được biết đến từ thời cổ xưa, chúng cho thấy một vài tính chất điện của vật chất: Một số vật liệu (thủy tinh, êbônít, … ) sau khi cọ sát vào lông thú có thể hút được các vật nhẹ. Ta nói chúng đã bị nhiễm điện. - Tương tác giữa các vật nhiễm điện cho thấy trong tự nhiên tồn tại 2 loại điện tích: điện tích dương và điện tích âm. Các điện tích cùng dấu thì đẩy nhau, khác dấu thì hút nhau. Điện tích tồn tại dưới dạng các hạt sơ cấp mang điện. Điện tích bé nhất tồn tại trong tự nhiên gọi là điện tích nguyên tố (ký hiệu là e: elementary), có giá tri: (a) e = 1,6 × 10 −19 C 1.1) - Hạt cơ bản mang điện tích nguyên tố âm là electron: cấu thành vỏ nguyên tử. - Hạt cơ bản mang điện tích nguyên tố dương là prôton (p): là một trong hai thành phần cấu tạo nên hạt nhân nguyên tử. - Hạt cơ bản không mang điện cùng prôton cấu thành hạt nhân nguyên tử là nơtrôn (n) (trừ nguyên tử Hydrô). - Ở trạng thái bình thường nguyên tử trung hòa về điện: số prôtôn bằng số electrôn. Khi nguyên tử thu thêm electron nó trở thành iôn âm, ngược lại khi nguyên tử bị mất electron nó biến thành iôn dương. Một vật mang điện khi nguyên tử của nó thừa hoặc thiếu electron, hoặc do sự phân bố lại các điện tích chứa trong vật hoặc trong các phần khác nhau của vật (nhiễm điện do cọ sát, do tiếp xúc, do hưởng ứng … ). (a) Điện tích nguyên tố là một trong các hằng số vật lý quan trọng của tự nhiên.Hiện nay, khoa học đã biết rằng các hạt quark là thành phần cuối cùng của vật chất hạt nhân. Chúng mang các điện tích 3/2 hoặc3/ ee ±± . Nhưng các hạt này (các hạt thành phần của prôtôn và nơtrôn) không thể tồn tại một cách riêng biệt, nên không thể lấy chúng làm điện tích nguyên tố. Lưu Thế Vinh - 4 - ĐIỆN TỪ HỌC Điện tích của một vật bao giờ cũng bằng một bội số nguyên lần điện tích nguyên tố e : /q/ = ne, (n = 1, 2, 3 … ) (1.2) II. Định luật bảo toàn điện tích. Mọi hiện tượng về điện được biết cho đến nay đều tuân theo định luật bảo toàn điện tích: “Trong một hệ cô lập tổng điện tích của hệ là một lượng bảo toàn”. III. Vật dẫn điện và vật cách điện. Vật dẫn điện là những vật có chứa các hạt tích điện (các electron, các iôn âm, iôn dương), các điện tích này có thể di chuyển dễ dàng bên trong vật. Chẳng hạn trong kim loại, do cấu trúc của nguyên tử một số electron nằm ở lớp ngoài cùng liên kết yếu với hạt nhân có thể bứt ra khỏi nguyên tử trở thành điện tử tự do. Các điện tử này có thể chuyển động tự do bên trong khối kim loại. Ta nói kim loại là vật dẫn điện. Trong chất điện phân các hạt tải điện là các iôn dương và các iôn âm. v.v… . Vật cách điện là vật mà trong nó không chứa các điện tích tự do. § 1.2. TƯƠNG TÁC TĨNH ĐIỆN, ĐỊNH LUẬT COULOMB. 1. Điện tích điểm. Những vật tích điện mà có kích thước nhỏ hơn rất nhiều so với khoảng cách giữa chúng. 2. Tương tác tĩnh điện. Định luật Coulomb . Thực nghiệm chứng tỏ rằng: Các điện tích cùng dấu thì đẩy nhau, các điện tích khác dấu thì hút nhau. Năm 1785 C. A. Coulomb bằng thực nghiệm trên cân xoắn đã tìm ra định luật tương tác giữa hai điện tích điểm q1 và q2 đặt cách nhau một khoảng r (Hình 1.1): (1.3) 2 21 r qq kF = Trong đó k là hệ số tỷ lệ, có giá trị phụ thuộc vào hệ đơn vị đo. Trong hệ CGSE : k =1 Trong hệ SI : 04 1 πε=k = 9.10 9 N. m2/ C2 (1.4) Trong đó: ε 0 = 8,86.10 –12 C2 / N. m2 : Hằng số điện. Biểu diễn cả về phương chiều và độ lớn: ĐIỆN TỪ HỌC - 5 - 12 12 2 12 21 12 r r r qq kF ⋅= : Lực q1 tác dụng lên q2. (1.5) 21 21 2 21 21 21 r r r qq kF ⋅= : Lực q2 tác dụng lên q1. (1.6) Hình 1.1 Định luật coulomb: Lực tác dụng tương hỗ giữa hai điện tích điểm có độ lớn tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng, tỷ lệ với tích độ lớn của các điện tích; có phương là đường thẳng nối hai điểm tích, có chiều phụ thuộc vào dấu của hai điện tích. 3. Áp dụng. Ta hãy so sánh tương tác tĩnh điện và tương tác hấp dẫn. Định luật Coulomb (1-3) có dạng toán học giống hệt như định luật vạn vật hấp dẫn. Tuy nhiên cường độ của chúng lại rất khác nhau. Ta áp dụng cho trường hợp tương tác giữa 2 electron. – Hằng số hấp dẫn G = 6,67.10-11 N. m2/ kg2 – Hằng số tương tác tĩnh điện: k = 9.109 N. m2/ C2 – Điện tích của electron: e = –1,6.10-19C. – Khối lượng của electron: m = 9,1.10-31kg. Tương tác hấp dẫn giữa 2 electron: 2 2 2 21 r mG r mm GFg == Tương tác tĩnh điện giữa 2 electron: 2 2 2 21 r ek r qq kFc == 2112 - FF = q1 q2r 12F21F r 21F 12F q1 q2 Lưu Thế Vinh - 6 - ĐIỆN TỪ HỌC 4211 92 31 192 102,4 1067,6 109 101,9 106,1 ⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ⋅−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= −− − G k m e F F g c Kết quả cho thấy cường độ tương tác hấp dẫn vô cùng bé so với tương tác tĩnh điện. Điều này giải thích tại sao khi nghiên cứu chuyển động của các điện tích ta không quan tâm tới tương tác hấp dẫn. 1.5. ĐIỆN TRƯỜNG TRONG CHÂN KHÔNG 1. Khái niệm điện trường. Để giải thích cơ chế tương tác giữa các điện tích trong lịch sử Vật lý học xuất hiện 2 thuyết: – Thuyết tác dụng xa: Cho rằng tương tác giữa các điện tích không cần một môi trường vật chất trung gian nào và tương tác được truyền đi một cách tức thời. Khi chỉ có một điện tích thì môi trường xung quanh không xảy ra biến đổi nào. – Thuyết tác dụng gần: Cho rằng tương tác giữa các điện tích phải thông qua một môi trường vật chất trung gian bao quanh các điện tích. Lực tương tác được truyền từ phần này sang phần khác của môi trường với vận tốc hữu hạn (vận tốc truyền tương tác). Khi chỉ có một điện tích thì môi trường xung quanh đã có những biến đổi. Theo quan điểm duy vật biện chứng ta thấy rõ thuyết tác dụng xa đã công nhận tồn tại chuyển động phi vật chất. Điều này không thể có được. Vật lý học hiện đại đã bác bỏ thuyết tác dụng xa và công nhận thuyết tác dụng gần. Để giải thích cơ chế tương tác giữa các điện tích cần phải công nhận một thực thể vật lý làm môi trường trung gian truyền tương tác giữa chúng. Thực thể vật lý này chính là điện trường. Khi có mặt điện tích thì xung quanh nó xuất hiện một điện trường. Điện trường này lan truyền trong không gian với tốc độ hữu hạn. – Tính chất cơ bản của điện trường: tác dụng lực lên bất kỳ điện tích nào đặt trong nó. Cơ chế tác dụng này được giải thích như sau: Mỗi điện tích tạo ra xung quanh nó một điện trường, điện trường này tác dụng lực lên điện tích đặt trong nó và ngược lại. Trong phần sau khi nghiên cứu từ trường và trường điện từ ta sẽ thấy điện trường chỉ là một biểu hiện của trường điện từ. Đó là một dạng của vật chất có đầy đủ các thuộc tính xác định mà con người có thể nhận thức được: năng lượng, khối lượng và xung lượng. ĐIỆN TỪ HỌC - 7 - 2. Cường độ điện trường. Để đặc trưng cho trường về phương diện tác dụng lực người ta đưa ra khái niệm cường độ điện trường. Xét điện trường tạo ra bởi một điện tích Q. Ta hãy dùng một điện tích thử q0 đặt vào trong điện trường, q0 sẽ chịu tác dụng một lực F0. Bây giờ nếu tại cùng một điểm của trường ta lần lượt thay q0 bằng các điện tích thử q1, q2 , … thì tác dụng lực lên các điện tích tương ứng là F1, F2, … Giá trị các lực là khác nhau. Nhưng nếu lập tỷ số: const 2 2 1 1 0 0 =⋅⋅⋅=== q F q F q F . Tỷ số trên tại mỗi điểm của trường là không đổi, nó đặc trưng cho trường về phương diện tác dụng lực và được gọi là cường độ điện trường qFE / = , hay dưới dạng véc tơ: q FE rr = (1.7) Cường độ điện trường gây bởi một điện tích điểm Q được xác định theo đinh luật Coulomb. – Tương tác giữa Q và q : q E r qQkF 2 == Từ đó: 2r Qk q F E == Hay dưới dạng véc tơ: 2 3 0 1 4 Q r QE k rr rπε r= ⋅ = ⋅ ⋅ rr r (1.8) – Nếu Q =1 đ.v.đ.t. thì E = F. Như vậy: Cường độ điện trường tại một điểm là một đại lượng vật lý đặc trưng cho trường về phương diện tác dụng lực, có độ lớn bằng lực tác dụng lên 1 đơn vị điện tích dương đặt tại điểm đó và có hướng của lực này (hình 1-2). Đơn vị của điện trường: Vôn / mét (V/m) Lưu Thế Vinh - 8 - ĐIỆN TỪ HỌC M N +1 +1 3. Đường sức điện trường. Dùng để mô tả hình ảnh điện trường. Đó là những đường mà tiếp tuyến với nó tại mỗi điểm có phương trùng với véc tơ cường độ điện trường tại điểm đó. Chiều của đường sức chỉ chiều của điện trường. Các tính chất của đường sức: – Đường sức điện trường là những đường cong hở, chúng bắt đầu trên các điện tích dương và kết thúc trên các điện tích âm (hình 1-3). – Các đường sức không cắt nhau. – Mật độ đường sức (số đường sức đi qua một đơn vị diện tích đặt vuông góc với trường) cho biết giá trị của cường độ điện trường tại mỗi điểm. Trên hình 1-3 là sơ đồ đường sức điện trường của một số hệ điện tích: điện tích điểm dương (a), điện tích điểm âm (b) và điện trường giữa 2 mặt phẳng song song tích điện đều trái dấu (c). 4. Nguyên lý chồng chất điện trường. Xét một hệ điện tích điểm q1. q2. … qi ,… , qn . Lực tác dụng của hệ lên một điện tích thử q0 bằng tổng véc tơ các lực thành phần: ∑∑∑ === iiiii EqEqFF rrrr Hay: ∑= iEE rr (1-9) E uur E uur Q > 0 Q < 0 Hình 1-2 + + + + + + - - - - - - Hình 1-3 a) b) c) ĐIỆN TỪ HỌC - 9 - Nếu hệ điện tích phân bố liên tục trên một miền S nào đó thì điện trường của hệ sẽ là: S E dE= ∫uur uur (1-10) – Nếu điện tích phân bố dọc một dây dẫn với mật độ dài : dl dq=λ 3 0 1 4 dlE r r λ πε= ∫uur u L r (1-11) – Nếu điện tích phân bố trên bề mặt vật dẫn với mật độ điện mặt ds dq=σ 3 0 S 1 4 dSE r r σ πε= ∫∫uur r (1-12) – Nếu điện tích phân bố theo thể tích vật dẫn với mật độ điện khối Ω= d dqρ 3 0 1 4 dE r r σ πε Ω Ω= ∫∫∫uur r (1-13) 5. Điện trường của một số hệ điện tích. Áp dụng nguyên lý chồng chất ta có thể xác định được điện trường của một số hệ điện tích phân bố đơn giản sau đây. a) Ví dụ 1. Tính cường độ điện trường gây bởi một mặt phẳng tích điện đều vô hạn, với mật độ điện mặt σ, tại một điểm M cách mặt phẳng một đoạn h. Ta hãy chia mặt phẳng thành các nguyên tố hình vành khăn, có tâm là chân đường vuông góc hạ từ M xuống mặt phẳng (O). Dùng hệ trục toạ độ trụ, có trục Oz ≅ OM, bán kính cực r, góc ϕ (hình 1-4). Xét nguyên tố dS = rdrdϕ chứa điện tích dq = σ rdrdϕ gây ra tại M một điện trường vi phân: 22 l rdrd k l dqkdE ϕσ⋅== dE uur có phương là đường thẳng nối dS và M, chiều hướng từ dS đến M nếu σ > 0 và ngược lại. Điện trường do toàn mặt phẳng gây ra tại M là: n t S S S E dE dE dE= = +∫ ∫ ∫uur r r r Lưu Thế Vinh - 10 - ĐIỆN TỪ HỌC Do tính chất đối xứng nên dễ thấy rằng: Nếu lấy một nguyên tố dS ’ đối xứng với dS qua O thì trường do nó sinh ra là 'Ed có cùng độ lớn với Ed nhưng khác phương chiều. Phân tích ''' tn EdEdE rr += . Dễ thấy rằng: d tt EdEd rr −=' Xét cho toàn mặt phẳng thì: 0=∫ S tEd r . Từ đó: ∫= nEdE , và ∫= ndEE nEd 'EddE dE’t dEt α dS’ dO h dϕ l α S Hình 1-4 Từ hình vẽ ta có: dEn = dE cosα = αϕσ cos.2l rdrdk ⋅ Thay: l2 = r2 + h2, 22 cos hr h +=α ta có: ĐIỆN TỪ HỌC - 11 - dEn = h hr rdrdk . )( 2 322 +⋅ ϕσ Và: ∞∞ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + −⋅=+⋅⋅= ∫ ∫ 0220 2 0 0 22 0 12 4)(4 2 3 hr h hr rdrdhE ππε σϕπε σ π 02ε σ=E (1-14) Nhận xét: Giá trị điện trường E không phụ thuộc vị trí điểm M, do đó điện trường tại mọi điểm là như nhau, điện trường là đều. Véc tơ điện trường E vuông góc với mặt phẳng và hướng ra xa nếu σ>0 và hướng về mặt phẳng nếu σ<0. Dựa vào nguyên lý chồng chất ta cũng tính được điện trường của các hệ điện tích sau: b) Điện trường gây ra bởi một hệ các điện tích điểm q1, q2, … , qi, … , qn : i i n i i i i i r r r q EE ⋅== ∑∑ =1 204 1 πε (1-15) c) Điện trường gây ra bởi một quả cầu tích điện đều trên bề mặt với mật độ điện mặt σ trùng với điện trường gây bởi một điện tích điểm q đặt tại tâm quả cầu: r r r qE ⋅= 2 04 1 πε (1-16) d) Điện trường gây bởi lưỡng cực điện. Lưỡng cực điện là hệ hai điện tích bằng nhau về độ lớn nhưng ngược nhau về dấu đặt cách nhau một khoảng cố định l (hình 1-5). 3 00 44 )(3 r PrrPE ee πεπε −= (1-17) Trong đó lqP e = gọi là mômen lưỡng cực điện. e) Điện trường giữa 2 mặt phẳng vô hạn, song song, tích điện đều, trái dấu: + q – q E l _E + E Hình 1-5 M Lưu Thế Vinh - 12 - ĐIỆN TỪ HỌC 0ε σ=E (1-18) f) Điện trường gây bởi một quả cầu tích điện đều theo thể tích với mật độ điện khối ρ : rERr r r RERr r r 0 3 0 3 : )( 3 : ε ρ ε ρ =≤ =≥ (1-19) § 1.4. ĐIỆN DỊCH THÔNG – ĐỊNH LÝ OXTRÔGRATXKI – GAUSS. 1) Véc tơ điện dịch Ngoài véc tơ cường độ điện trường E r , khi xác định điện trường trong một môi trường bất kỳ người ta thường sử dụng véc tơ điện dịch r (còn gọi là véc tơ cảm ứng điện D D r ). - Trong chân không: D r = ε0 Er . - Trong môi trường bất kỳ: D r = ε0 Er + Pr Trong đó P r là véc tơ phân cực điện môi ( xem trong chương điện môi). 2) Điện dịch thông. Điện dịch thông là thông lượng của véc tơ điện dịch D r xuyên qua một đơn vị diện tích đặt vuông góc với điện trường. n Dn - Dòng véc tơ điện dịch gửi qua một điện tích nguyên tố dS là (hình 1-6): α dS D r (1-20) cos nd D dS DdS D dαΦ = = = S rr Điện dịch thông đi qua một diện tích S bất kỳ: Hình 1-6 ∫ ∫∫ =⋅=Φ=Φ S SS DdSSdDd αcosrr . (1-21) Nếu điện trường là đều và mặt phẳng S vuông góc với điện trường thì: SD ⋅=Φ (1-22) ĐIỆN TỪ HỌC - 13 - 3) Định lý Oxtrogratxki - Gauss Bài toán cơ bản của tĩnh điện là xác định cường độ điện trường E r và điện dịch r tại mỗi điểm của trường tạo bởi hệ điện tích đã cho. Trong nhiều trường hợp khi hệ điện tích có tính chất đối xứng, để tính điện trường ngoài phương pháp dùng nguyên lý chồng chất ta có thể sử dụng định lý O-G. D Xét một điện tích điểm q > 0. Bao quanh điện tích bằng một mặt cầu Σ1 có tâm tại điểm đặt điện tích (hình 1-7). Do tính chất đối xứng nên ta thấy điện trường tại mọi điểm của mặt cầu là như nhau và có phương vuông góc với mặt cầu. Giá trị của véc tơ điện cảm D tại mọi điểm của mặt cầu là: EqD 0 04 επε == Điện dịch thông qua mặt cầu có giá trị: 7 Hình 1- Σ1 Σ2 q qr r qdSDdSD S n S n =⋅===Φ ∫∫ 22 44 ππ Giá trị của điện dịch thông không phụ thuộc vào bán kính của mặt cầu r. Do đó điện dịch thông đi qua mọi mặt cầu đồng tâm đều như nhau. Xét một mặt kín Σ2 bất kỳ bao quanh điện tích q. Dễ thấy rằng điện dịch thông qua nó cũng bằng q, không phụ thuộc vào vị trí của điện tích q bên trong nó. Nếu xét một mặt kín Σ3 không bao quanh điện tích q, ta thấy rằng có bao nhiêu đường sức đi vào thì cũng có bấy nhiêu đuờng sức đi ra khỏi nó. Do vậy điện dịch thông toàn phần qua Σ3 là bằng 0. Tóm lại: Điện dịch thông qua một mặt kín bất kỳ không phụ thuộc vào vị trí của điện tích đặt trong nó. Kết quả trên cũng đúng với trường hợp khi có nhiều điện tích chứa trong mặt kín với q = Σqi. Ta có định lý Oxtrogratxki – Gauss: Dòng véc tơ điện dịch gửi qua một mặt kín bất kỳ bằng tổng đại số các điện tích tự do chứa trong mặt kín đó. ∑∫ ==Φ i i S qSdD rr (1-23) Lưu Thế Vinh - 14 - ĐIỆN TỪ HỌC 4) Dạng vi phân của định lý O-G. Phương trình Poisson. Áp dụng định lý O-G cho một thể tích vô cùng bé dV = dxdydz. Trong đó dx, dy, dz là 3 vi phân độ dài hướng theo 3 trục x, y, z của hệ tọa độ Đề các, có gốc là M (x, y, z). Tại M, véc tơ điện cảm có giá trị: D = D (x,y,z). Ta hãy tính điện dịch thông qua các mặt xung quanh hình hộp dV (hình 1-8). M (x,y,z) z – Qua mặt 1 (dy, dz): dΦ1 = –Dx dy dz (có dấu – vì cos π = –1) – Qua mặt 2 ( dy, dz): dydz dx x D Dd xx ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+=Φ 2 Đ