Giáo trình Sử dụng máy tính trong dạy học toán

1 ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA NGUYỄN THỊ TÂN AN GIÁO TRÌNH SỬ DỤNG MÁY TÍNH TRONG DẠY HỌC TOÁN HUẾ - 2012 2 Chương I CÁC MÔ HÌNH TOÁN HỌC TÍCH CỰC NHẰM HỖ TRỢ DẠY - HỌC TOÁN Các mô hình toán tích cực được thiết kế bằng những phương tiện công nghệ như máy tính bỏ túi, máy tính điện tử là những công cụ thiết yếu để dạy, học và làm toán. Đặc biệt, những mô hình toán tích cực được thiết kế bằng phần mềm động trên máy tính cung cấp những hình ảnh trực quan về các ý tưởng toán học, thúc đẩy việc sắp xếp, phân tích các dữ liệu và tính toán một cách hiệu quả, chính xác. Chúng có thể hỗ trợ những khảo sát toán của học sinh trong mọi lĩnh vực toán học, bao gồm hình học, đại số, giải tích, thống kê, đo đạc và số học. Với những công cụ công nghệ phù hợp, học sinh có thể tập trung vào việc đưa ra quyết định, phản ánh, suy luận và giải quyết vấn đề. Học sinh có thể học toán được nhiều hơn, sâu hơn với việc sử dụng mô hình toán tích cực. Chúng ta không nên dừng lại ở mức độ sử dụng mô hình toán tích cực để minh họa cho học sinh hiểu và hình thành những trực giác cơ bản mà nên dùng các mô hình đó để nâng cao việc hiểu và khắc sâu các trực giác có được. Trong những chương trình dạy toán, mô hình toán tích cực nên được sử dụng rộng rãi với mục đích làm phong phú việc học toán của học sinh. Sự tồn tại, tính linh hoạt và tiềm năng của mô hình toán tích cực làm cho chúng ta thấy cần thiết phải xem lại những kiến thức toán nào học sinh nên học bằng phương tiện công nghệ hiện đại, cũng như làm thế nào để các em học những kiến thức toán đó một cách tốt nhất. 1. Mô hình toán tích cực nâng cao chất lượng học toán Mô hình toán tích cực có thể giúp học sinh học toán. Ví dụ, với máy tính bỏ túi và máy tính điện tử, học sinh có thể xem xét nhiều ví dụ hay những dạng biểu diễn hơn là thao tác trên giấy bút, vì thế các em có thể đặt và khám phá các giả thuyết một cách dễ dàng hơn. Khả năng đồ họa của những mô hình toán tích cực cho phép học sinh dễ dàng tiếp cận các mô hình có tính trực quan tốt. Khả năng tính toán của các mô hình toán tích cực giúp học sinh có thể mở rộng phạm vi bài toán dễ dàng, tiến hành các phép tính quen thuộc nhanh và chính xác, như thế các em có nhiều thời gian hơn để hình thành các khái niệm mới và mô hình hóa toán học. Mô hình toán tích cực có thể nuôi dưỡng và thúc đẩy học sinh tham gia và làm chủ các ý tưởng toán học trừu tượng. Mô hình toán tích cực làm phong phú phạm vi và chất lượng khảo sát toán bằng cách cung cấp một phương tiện để nhìn thấy được các ý tưởng toán học từ nhiều khía cạnh khác nhau. Việc học của học sinh được trợ giúp bởi những phản ánh mà mô hình toán tích cực có thể cung cấp như: kéo rê một điểm trong môi trường hình học động, khi đó hình dáng của hình sẽ thay đổi; thay đổi công thức trong các bảng tính ta sẽ thấy ngay các yếu tố phụ thuộc sẽ thay đổi theo. Mô hình toán tích cực cũng cung cấp một tiêu điểm khi các học sinh thảo luận với nhau và với giáo viên về 3 các đối tượng toán trên màn hình và ảnh hưởng của những phép biến đổi mà mô hình toán tích cực cho phép. Mô hình toán tích cực tạo cho giáo viên những cơ hội để điều chỉnh việc dạy phù hợp với nhu cầu đặc biệt của học sinh. Những học sinh hay xao lãng với việc học toán có thể tập trung hơn với những vấn đề toán trên máy tính. Đối với những học sinh hay gặp khó khăn trong học toán, các em có thể thu được kết quả từ những sai lầm mà các em gây nên trong môi trường máy tính. Những học sinh hay gặp phải rắc rối với những quy tắc toán cơ bản có thể phát triển và trình bày những hiểu biết của mình về toán bằng một cách khác, mà những điều đó sẽ giúp các em hiểu được các quy tắc. Khả năng thu hút học sinh bằng những thách thức có tính cụ thể hóa trong toán tăng lên đáng kể khi sử dụng những mô hình tích cực được thiết kế một cách chuyên dụng. 2. Mô hình toán tích cực hỗ trợ việc dạy toán hiệu quả Việc sử dụng có hiệu quả mô hình toán tích cực trong lớp học phụ thuộc vào giáo viên. Mô hình toán tích cực không phải là phương thuốc bách bệnh. Cũng giống như mọi phương tiện dạy học khác, nó có thể được sử dụng tốt hay tồi. Giáo viên nên sử dụng mô hình toán tích cực để nâng cao những cơ hội học tập của học sinh. Giáo viên chọn và sáng tạo các nhiệm vụ toán nhằm tận dụng được các thế mạnh của mô hình toán tích cực như vẽ đồ thị và tính toán. Giáo viên có thể dùng các mô phỏng để học sinh thực hành với những tình huống có vấn đề mà khó có thể thực hiện được nếu không có mô hình toán tích cực. Giáo viên cũng có thể sử dụng các số liệu và tài liệu trên mạng internet để thiết kế các nhiệm vụ toán cho học sinh. Những bảng tính toán, phần mềm hình học động và máy tính là những công cụ hữu ích để đặt ra các bài toán có giá trị về mặt giáo dục. Mô hình toán tích cực không bao giờ có thể thay thế được vị trí của người giáo viên. Khi học sinh đang sử dụng các phương tiện với mô hình toán tích cực, các em thường dành thời gian làm việc theo những cách mà mới thoạt nhìn là độc lập với giáo viên, nhưng ấn tượng đó là không đúng. Giáo viên đóng vai trò quan trọng trong lớp học khi áp dụng mô hình toán tích cực, đưa ra những quyết định tác động đến việc học của học sinh theo những cách mang lại hiệu quả học tập tốt nhất. Khởi đầu, giáo viên phải quyết định, liệu nên dùng, khi nào dùng và dùng mô hình toán tích cực như thế nào? Khi học sinh sử dụng máy tính bỏ túi và máy tính, giáo viên có cơ hội để quan sát học sinh và chú trọng vào tư duy của các em. Khi các em làm việc với mô hình toán tích cực, các em có thể bộc lộ những phương pháp tư duy toán mà thường là khó có thể quan sát được. Như vậy, những trợ giúp của công nghệ trong đánh giá cho phép giáo viên xem xét những quá trình tư duy toán được sử dụng bởi học sinh trong khi thao tác trên máy tính. Những thông tin phản hồi như vậy cho phép giáo viên đưa ra các quyết định giáo dục tiếp theo một cách phù hợp. 3. Mô hình toán tích cực tác động và chi phối nội dung toán nào được dạy với máy tính Mô hình toán tích cực không chỉ tác động đến việc toán học được dạy và học như thế nào mà còn gây ảnh hưởng đến việc dạy cái gì và dạy khi nào với sự hỗ trợ của máy 4 tính đối với một chủ đề trong khung chương trình. Với mô hình toán tích cực trong tay, học sinh có thể khám phá và giải các bài toán liên quan đến các số lớn, hay có thể khảo sát các đặc trưng của các hình bằng cách dùng các phần mềm hình học động. Học sinh trung học phổ thông có thể dùng các mô hình mô phỏng để nghiên cứu các phân bố mẫu hay có thể làm việc với những hệ thống đại số mà máy tính thể hiện một cách có hiệu quả hầu hết các tính toán bằng chữ, các chương trình này đặt trọng tâm vào các chủ đề của toán học truyền thống ở trường trung học phổ thông. Việc học đại số không chỉ còn giới hạn trong những tình huống đơn giản mà học sinh chỉ cần sử dụng trực tiếp các tính toán bằng chữ. Sử dụng công cụ của mô hình toán tích cực, học sinh có thể lập luận về các vấn đề tổng quát hơn, như thay đổi tham số, lập mô hình và giải các bài toán phức tạp mà trước đây khó có thể tiếp cận được. Mô hình toán tích cực cũng làm xuất hiện lờ mờ những tách biệt giả tạo giữa các chủ đề trong đại số, hình học và phân tích dữ liệu bằng cách cho phép học sinh dùng các ý tưởng từ một lĩnh vực toán này để hiểu tốt hơn một lĩnh vực toán khác. Mô hình toán tích cực có thể giúp giáo viên liên hệ sự phát triển các kỹ năng và quy tắc toán với sự phát triển tổng quát hơn của việc hiểu toán. Chẳng hạn như, một vài kĩ năng được xem là chính yếu khi chưa có mô hình toán tích cực lại là ít cần thiết hơn khi dùng các công cụ công nghệ, học sinh có thể được yêu cầu làm việc ở những mức độ cao hơn về tổng quát hóa và trừu tượng hóa. Làm việc với những đồ dùng thao tác được (các mô phỏng trên máy tính hay đồ dùng dạy học thực) hay với một số phần mềm cho phép học sinh mở rộng các kinh nghiệm thực tiễn và hình thành hiểu biết bước đầu về các ý tưởng có ý nghĩa như việc sử dụng các thuật toán. Phần mềm hình học cơ hoạt có thể cho phép các thực nghiệm đối với những họ các đối tượng hình học với trọng tâm là các phép biến đổi hình học. Một cách tương tự, những chức năng vẽ đồ thị thúc đẩy việc khám phá những đặc trưng của các lớp hàm cụ thể trong chương trình như hàm bậc hai, bậc ba, hàm mũ, hàm logarit. 4. Mô hình toán tích cực - chiếc cầu nối giữa dạy và học Mối quan hệ giữa công nghệ thông tin với dạy - học toán đã và đang được nhiều nhà giáo dục toán quan tâm nghiên cứu. Ngay cả những giáo viên có kinh nghiệm dạy học nhất, đôi khi cũng phải mất nhiều thời gian hơn một lần để giải thích một cách rõ ràng giúp học sinh nắm bắt và hiểu được khái niệm toán nào đó. Để học sinh nắm bắt và đưa ra được mối quan hệ giữa các khái niệm, giáo viên không chỉ đơn giản nói cho các em biết các quan hệ đó. Con đường hình thành khái niệm của một học sinh ở giai đoạn đầu thường khác với con đường mà thầy giáo dự định, hoặc không theo một thứ tự được biết của toán học. Giải quyết vấn đề, những công việc thực tế phù hợp, thảo luận, khảo sát là những khía cạnh cần thiết của môi trường học toán ở mọi cấp học. Công nghệ thông tin trong dạy và học toán có thể được xem như là sự hỗ trợ đặc tính tương tác giữa học sinh và giáo viên bởi các đồ dùng dạy học phù hợp. Những phương tiện dạy học thông tin điện tử đem lại những khả năng có tính động cơ, kích thích sự thích thú, lôi cuốn học sinh vào việc học và hiểu toán. 5 Nếu việc dạy toán được xem như là một quá trình truyền thụ thì công nghệ thông tin được sử dụng để trình bày, giải thích và làm sáng tỏ các ý tưởng toán học mà giáo viên tìm cách để thuyết phục học sinh. Còn nếu việc dạy toán được xem như là một quá trình kiến tạo, thì công nghệ thông tin được sử dụng gắn liền với người học, nó khuyến khích tính độc lập suy nghĩ, tinh thần dám đặt câu hỏi và phản ánh của học sinh. Như vậy, những điều đó đang thay đổi môi trường sư phạm, nó cho phép giáo viên sử dụng công nghệ thông tin một cách phù hợp và có ý thức trong dạy học toán nhằm giúp các em tự kiến tạo tri thức. 5. Thiết kế nhiệm vụ học tập trong môi trường máy tính Một trong những mục đích nghiên cứu của giáo dục toán là khảo sát mối quan hệ giữa dạy và học toán. Người ta thường quan sát và rút ra kết luận học sinh không học được những gì mà thầy cô giáo mong đợi các em phải đạt được. Các em có thể học được một điều gì khác mà nó không nằm trong nội dung cần dạy, và đôi khi lại học được một điều gì đó không đúng. Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng, lắng nghe bài giảng của thầy giáo, xem một bài trình bày toán mạch lạc, chưa đảm bảo là việc học sẽ xảy ra như mong đợi. Theo những quan điểm của lý thuyết kiến tạo được nhiều nhà giáo dục toán chia sẻ một cách rộng rãi thì kiến thức được xây dựng một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức khi đang tương tác với những môi trường học tập toán. Khái niệm về môi trường học tập toán nên được hiểu theo một nghĩa rộng, môi trường là một trạng thái mang tính vật chất và cũng là một trạng thái mang tính trí tuệ. Các bài toán là một phần của những môi trường như vậy, chúng có thể đóng một vai trò quan trọng trong việc hình thành các kiến thức toán bởi người học. Trong môi trường này, người học tạo ra được cơ hội dùng các ý tưởng của chính mình để kiểm chứng tính hiệu quả và tính giá trị khi nỗ lực tìm lời giải. Brousseau (1986) đã xem xét quá trình phân tích lời giải bởi người học, khi sự tương tác giữa người học với “hoàn cảnh” cho phép người học thể hiện một số hành động đã có sẵn để giải quyết vấn đề và đưa ra phản ánh về những hành động của mình. Thuật ngữ “hoàn cảnh” ở đây được hiểu là một hệ thống mà học sinh giao tiếp trực tiếp với nó. Một ví dụ điển hình về “hoàn cảnh” được đưa ra trong tình huống ghép hình. Học sinh cần phải phóng to một trò chơi ghép hình trí uẩn trong một hình vuông, gồm các hình đa giác (tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình thang, hình bình hành…) sao cho hình ghép gốc có chiều rộng 4 cm trở thành hình ghép mới có chiều rộng 7 cm. Cách giải đầu tiên thường gặp là học sinh cộng thêm 3 cm cho mỗi cạnh mà lại giữ nguyên bản chất của các hình. Nhưng khi các em ghép chúng lại với nhau thì có một hình không khít. Hoàn cảnh đó tạo ra một cơ hội để học sinh phản ánh lại kiến thức mà các em đã có về một hình ghép là các mảnh phải khít với nhau. Máy tính là môi trường giúp giải quyết vấn đề xảy ra ở trên. Hiện nay, những khả năng về tính toán và đồ họa của một số phần mềm cho phép tạo “vật cụ thể hoá” mà ta hay gọi là mô hình toán tích cực về các khái niệm trừu tượng, và nói riêng là các đối tượng toán học, mà khi ta thao tác trên các đối tượng đó sẽ thu được nhiều thông tin phản hồi. Khi máy tính tạo cơ hội cho người học thao tác trên những đối tượng này, thì 6 sẽ thay đổi chính đối tượng. Sự phản ánh của đối tượng được xem xét cũng có thể có bản chất khác. Có thể dễ hiểu hơn khi ta so sánh tình huống giấy bút với tình huống máy tính. Việc thiết kế một tình huống có vấn đề trong môi trường dựa trên máy tính đòi hỏi một cách phân tích mới các đối tượng toán, các phép toán, phép biến đổi và sự phản ánh sư phạm liên quan trong tình huống này. Điều đó giải thích tại sao đôi khi giáo viên ngại dùng máy tính trong lớp học của mình, mặc dù một phân tích về những tác dụng đem lại bởi máy tính được trình bày trong nhiều bài nghiên cứu nhưng nó không phải của giáo viên thực sự đứng lớp. 6. Một mối liên hệ khác của các đối tượng hình học thông qua máy tính Người ta thường cho rằng bản chất của hình học là có tính đối ngẫu: những bài toán hình học có thể mang bản chất thực hành cũng như lý thuyết. Từ khởi nguồn của việc đo đạc các đồng lúa bị ngập lụt ở sông Nile - Ai Cập, môn hình học bắt đầu được hình thành như là một cách để điều khiển các mối quan hệ với không gian vật lý. Nhưng rồi hình học đã được phát triển như một lĩnh vực lý thuyết gắn liền với các đối tượng trừu tượng. Điều này đã trở nên rõ ràng hơn khi hình học phi Euclide xuất hiện như là một lý thuyết khả dĩ để mô hình hóa thế giới thực tiễn. Thông thường, để làm việc với các đối tượng trừu tượng trong hình học, người ta dựa trên các biểu diễn tượng hình mà ta gọi là các hình. Mối liên hệ giữa các nhà toán học với các biểu diễn tượng hình này là phức tạp và nó phản ánh bản chất đối ngẫu của hình học. Những người làm toán vẽ các hình, làm việc trên các hình đó như những đối tượng vật chất (theo nghĩa là một loại thực nghiệm) nhưng suy luận của họ lại thực sự không gắn chặt với các hình mà là với các đối tượng lý thuyết. Ta thấy cũng cùng một hình nhưng suy luận trong hình học Euclide và trong hình học xạ ảnh lại hoàn toàn khác nhau. Những phần mềm hình học cho phép vẽ các hình trên màn hình máy tính giúp ta hiểu tốt hơn sự phân biệt này. Từ việc vẽ đến hình Như là một thực thể vật chất thì một hình vẽ là không hoàn hảo, chẳng hạn những đường thẳng là không thực sự thẳng. Nhưng các nhà toán học đã bỏ qua những cái không hoàn hảo đó và làm việc trên một “hình vẽ lý tưởng”. Những câu hỏi sau đây, mà cho đến bây giờ vẫn chưa được nghiên cứu và trả lời một cách thỏa đáng, đang trở nên đáng lưu ý cho những người thiết kế các hình biểu diễn đồ họa trên màn hình máy tính. - Đến giai đoạn nào thì sự không hoàn hảo của một hình vẽ sẽ làm cho người sử dụng có ý kiến và không ngăn cản người sử dụng xâm nhập vào hình vẽ lí tưởng? - Đến giai đoạn nào thì một dãy gồm những đoạn nhỏ được thừa nhận như là đại diện của một đường thẳng? Giữa những giới hạn nào thì độ mịn của đường trên máy tính cho ta hình ảnh trực quan của một đường thẳng? - Giới hạn trên của độ dài một đoạn thẳng, một đường tròn và những đường thẳng tiếp xúc của chúng là bao nhiêu? Máy tính thực sự bộc lộ một hiện tượng quan trọng đối với học sinh quen với các tình huống trên giấy bút. Đối với các học sinh làm việc trên giấy bút thì những sự không 7 hoàn hảo của một hình vẽ là không ảnh hưởng lớn đến việc làm toán, vì nó thực sự đòi hỏi các kiến thức toán học. Một hình vẽ lý tưởng có thể đưa đến nhiều hình vẽ phụ thuộc vào các khía cạnh phù hợp với bài toán cần được giải. Đối tượng toán học gắn liền với một hình vẽ không thể được suy ra chỉ từ hình vẽ mà còn từ một đoạn văn theo một cách không rành mạch. Có hai lý do để giải thích điều này: i/ Tính không phù hợp của một vài tính chất của hình vẽ Một số quan hệ rõ ràng trên hình vẽ có thể không phản ánh tính chất của hình hình học. - Vị trí của hình vẽ trên giấy thường là không quan trọng đối với một bài toán hình học. Một hình vẽ là mô hình của một hình, và cũng giống như mọi mô hình, tất cả các mối quan hệ được thể hiện trong hình vẽ không thể giải thích được hết các mối quan hệ của hình. Việc giải thích hình vẽ có ý nghĩa như thế nào được xác định bởi lý thuyết mà người dùng hình vẽ sử dụng. - Trong hình học xạ ảnh, tính song song trên hình vẽ là không phù hợp vì mọi đường thẳng đều cắt nhau. Trong hình vẽ phối cảnh của các hình ba chiều, giao của hai đường thẳng không được xem là giao điểm của các đường thẳng tương ứng trong không gian. ii/ Tính chất thay đổi được của các phần tử của một hình Một khía cạnh quan trọng của những hình hình học là nó liên quan đến những phần tử thay đổi trong các tập con của mặt phẳng (xem như là một tập các điểm). Một hình vẽ không thể miêu tả tính chất thay đổi của các phần tử của nó. - Một điểm của một đoạn thẳng trên hình vẽ là thuộc vào đoạn thẳng hay đường thẳng chứa đoạn thẳng đó? - Những cát tuyến của đường tròn trên hình vẽ có nhất thiết phải được xem là cát tuyến của bài toán? Việc mô tả một hình theo ngôn ngữ tự nhiên hay theo một ngôn ngữ hình tượng nào đó đều cần đến việc giải thích bởi một hình vẽ. Những hình hình học phía sau màn hình Máy tính đã và đang được sử dụng để thiết kế các chương trình cho phép có vô số hình vẽ gắn liền với một hình hình học đã cho, và chúng ta có thể thao tác trên các hình vẽ đó. Người ta có thể làm điều đó bằng nhiều phương tiện như ngôn ngữ lập trình hay lặp lại các phương trình có sẵn. Sự tiến bộ của các phương tiện công nghệ đã cho phép những thao tác trực tiếp và hình vẽ trên màn hình có thể được thay đổi bằng cách kích chuột và kéo rê các hình vẽ trong khi các tính chất hình học được sử dụng để dựng hình vẽ đó được bảo toàn. Một tính chất chung của những phần mềm động là cách sử dụng chúng để mô tả tường minh các hình: một hình vẽ tạo được trên màn hình là kết quả của một quá trình thể hiện bởi người học, các em đã làm tường minh định nghĩa của đối tượng. Những phần mềm động như vậy khác với các chương trình vẽ hình mà quá trình 8 của nó chỉ liên quan đến những gì xuất hiện trên màn hình chứ không có mối liên hệ giữa các phần tử. Học sinh học trong môi trường phần mềm động Bản chất đối ngẫu của hình học đã dược nhấn mạnh ở trên. Nó là một bộ phận lý thuyết của hiện tượng có tính đồ họa và không gian thông qua các mô hình tri thức, nhưng nó cũng phát triển trong chính nó. Chúng ta biết rằng, cách dạy hình học truyền thống thường chú trọng vào vai trò của những kiến thức lý thuyết mà bỏ qua hoặc đánh giá thấp những mối liên hệ giữa vẽ hình và lý thuyết hình học. Hình học không được trình bày như là kiến thức cho phép sự lý giải các hiện tượng trực quan hay ngay cả để điều khiển và dự đoán chúng. Vai trò của những hình vẽ chỉ được thừa nhận như là một minh họa cho các khái niệm hình học. Học sinh không được dạy cách làm thế nào để lý giải một hình vẽ theo những thuật ngữ hình học, làm thế nào để phân biệt những tính chất không gian là thích đáng, không theo một quan điểm hình học mà gắn liền với hình vẽ. Đó là lý do tại sao đôi khi xuất hiện một số hiểu nhầm giữa giáo viên và học sinh. Khi giao cho học sinh một bài toán dựng hình, người giáo viên thường tin rằng nhiệm vụ đó liên quan đến việc