Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Toán ứng dụng trong kinh tế

Chương I: Phép tính vi phân hàm một biến Hàm số và giới hạn của hàm số: Hàm số: Định nghĩa: Cho X là một tập con của tập số thực
. Một hàm số xác định trên X là một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm
với một giá trị duy nhất f(x)
. Ký hiệu:

X được gọi là tập xác định của hàm số f. Tập hợp
được gọi là tập giá trị của hàm số f. Đồ thị của hàm số: Cho hàm số f có tập xác định X. Tập hợp tất cả các điểm
với
được gọi là đồ thị của hàm số f. Hàm số đơn điệu: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b). ■ Nếu
thì f được gọi là hàm số tăng trên khoảng (a, b). ■ Nếu
thì f được gọi là hàm số giảm trên khoảng (a, b). Hàm số chẵn, hàm số lẻ: Cho hàm số xác định trên tập hợp X. ■ f được gọi là hàm số chẵn nếu
■ f được gọi là hàm số lẻ nếu
Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy, còn đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. Giới hạn của hàm số một biến: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) có thể trừ ra điểm
. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là A khi x tiến tới
nếu với mọi dãy
,
ta đều có
Ký hiệu:
Các phép toán về giới hạn: Cho f(x), g(x) là hai hàm số có giới hạn khi
. Khi đó:



Một số giới hạn cơ bản: a) Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp và x0 thuộc miền xác định của nó thì:
b)
,
c)
d)
e)
f)
g)
Ví dụ: Tính các giới hạn sau: a)
b)
c)
Giải Ta có: a)
b)
c)
1.2. Vô cùng bé, vô cùng lớn: 1.2.1. Vô cùng bé: Định nghĩa: Hàm
được gọi là vô cùng bé (VCB) khi
nếu
. Cho
,
là hai VCB khi
. Giả sử tồn tại
♦Trường hợp 1: Nếu A = 1 thì
,
là hai VCB tương đương. Ký hiệu:
khi
. ♦ Trường hợp 2: Nếu
thì
,
là hai VCB cùng cấp. ♦ Trường hợp 3: Nếu A = 0 thì VCB
gọi là cấp cao hơn VCB
khi
. Ký hiệu:
khi
. Ví dụ: Ta có:

khi
Ví dụ: Ta có:
nên
cấp cao hơn x. 1.2.2. Vô cùng lớn: Định nghĩa: Hàm
gọi là vô cùng lớn ( VCL ) khi
nếu
Dễ thấy rằng nếu
là VCL thì
là VCB, ngược lại nếu
là VCB thì
là VCL
Như vậy, việc nghiên cứu các VCL có thể chuyển sang các VCB. 1.3. Hàm số một biến liên tục: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b),
. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu
. Trường hợp
thì ta nói hàm số liên tục bên trái tại điểm x0,
thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm x0. Vậy f liên tục tại x0
. Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì f được gọi là gián đoạn tại điểm x0. Vậy f gián đoạn tại điểm x0 khi không tồn tại
hoặc
Định lí: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó: f bị chặn trên đoạn [a, b], nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho:
f có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a, b].
Nếu f(a).f(b) < 0 thì tồn tại
1.4. Đạo hàm: 1.4.1. Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b),
. Cho x0 một số gia
. Đặt
. Nếu tồn tại giới hạn
thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0. Ký hiệu:
Hàm số có đạo hàm gọi là hàm khả vi. Đạo hàm của hàm số
được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x). Ký hiệu:
Tổng quát: đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là
1.4.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của hàm số tại điểm
có phương trình:
1.4.3. Cách tính đạo hàm: Các đạo hàm cơ bản:
Các quy tắc tính đạo hàm:
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a)
b)
c)
d)
1.4.4. Vi phân của hàm một biến: Định nghĩa: Hàm f khả vi tại x0 nếu và chỉ nếu f có đạo hàm tại x0. Vi phân của hàm y = f(x) là
Vi phân cấp cao: Nếu hàm số f có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số f là:
Ví dụ: Cho hàm số
. Khi đó:
1.5. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân: 1.5.1. Khử dạng vô định trong tính giới hạn: Định lí: Quy tắc L’Hospital Nếu
có dạng
hoặc
thì
Ví dụ: Tính
(dạng
) Tính
(dạng
) Tính
(dạng
) 1.5.2. Cực trị của hàm một biến: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và
. Điểm
được gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại khoảng mở
sao cho:
Điểm
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại khoảng mở
sao cho:
Điểm x0 được gọi là điểm cực trị nếu nó là điểm cực đại hoặc cực tiểu. Định lí: Nếu x0 là điểm thỏa
và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số. Nếu x0 là điểm thỏa
và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x0 là điểm cực đại của hàm số Định lí: Nếu x0 là điểm mà tại đó
và
thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0. Nếu x0 là điểm mà tại đó
và
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0. 1.5.3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định là liên tục trên đoạn [a, b] và f khả vi trong (a, b). Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b] ta làm như sau: Bước 1: Tính
Bước 2: Giải phương trình
tìm các nghiệm
Bước 3: Tính f(a), f(b), f(xi) Khi đó:

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
Ta có:

Mặt khác:
Vậy
và
Ví dụ: Một nhà máy sản xuất máy tính xác định rằng để bán x sản phẩm mới, giá mỗi sản phẩm phải là: p = 1000 – x. Nhà sản xuất cũng xác định được tổng giá trị của x sản phẩm làm ra cho bởi C(x) = 3000 + 20x Tìm tổng thu nhập R(x) Tìm tổng lợi nhuận P(x) Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt max. Lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu trong trường hợp câu c) Giá mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận đạt max. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG KINH TẾ Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu: Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, h là chi phí lưu kho cho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng, còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng ( kích thước của mỗi lô hàng ). Ta xem n, h, p là những hằng số, còn Q là biến số, lúc này tổng chi phí trong một năm của cửa hàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số C
bao gồm 2 loại chi phí: chi phí lưu kho và chi phí cho các chuyến hàng. ■ Chi phí lưu kho:
■ Chi phí cho các chuyến hàng:
Ví dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gởi trong kho là $ 10 một cái trong một năm. Để đặt hàng, chi phí cố định là $20, cộng thêm $9 mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ? Giải Ta có: n = 2500, h = 10. Gọi Q là số tivi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần. Khi đó: Q
. Khi đó, số lượng tivi trung bình gởi trong kho là
. Do đó, chi phí lưu kho mỗi năm là 10.
= 5Q (1) Số lần đặt hàng mỗi năm là:
. Do đó, chi phí đặt hàng mỗi năm là: (20 + 9Q)
=
+ 22500 (2) Từ (1) và (2) suy ra chi phí của cửa hàng là: C(Q) = 5Q +
+ 22500 Ta có :


Vì Q
nên ta loại Q = - 100
với Q>0 nên
Khi đó, số lần đặt hàng mỗi năm là
. Vậy, để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và mỗi lần đặt 100 cái tivi. Ví dụ: Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000 sản phẩm, chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là $2, chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng là $10. Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí của cửa hàng là nhỏ nhất. Ý nghĩa của đạo hàm: Giả sử hai biến x và y có mối quan hệ hàm y = f(x) ( chẳng hạn x là giá của một loại hàng hóa và y là số lượng hàng đó bán ra ). Trong thực tế người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến y tại x0 khi x thay đổi một lượng nhỏ
. Lượng thay đổi của y khi x thay đổi một lượng
là:
Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x trong khoảng từ x0 đến x0 +
là:
Tốc độ thay đổi tức thời của y theo x tại điểm x0 là:
Khi
khá nhỏ thì
hay
Vậy x thay đổi một lượng
thì y thay đổi một lượng xấp xỉ bằng
( chẳng hạn giá thay đổi một lượng
thì số hàng bán ra thay đổi một lượng là
) Ví dụ: Hàm cầu của một loại sản phẩm là
. Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu Q thay đổi. Giá thay đổi như thế nào khi Q = 1 ? Giải Tốc độ thay đổi của giá P theo Q là:
. Do đó:
. Điều này có nghĩa là khi lượng cầu tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm thì giá giảm trên một đơn vị sản phẩm là 2 đơn vị tiền. Ý nghĩa của vấn đề: Khi giá sản phẩm cao thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ giảm, ngược lại khi giá sản phẩm xuống thấp hơn thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ tăng lên. Lãi suất ngân hàng cuối năm 2007 là 1,25% / tháng thì có nhiều người mua đất cất nhà hơn. Đến tháng 5 năm 2008 lãi suất ngân hàng là 1,75% / tháng thì số người mua đất cất nhà sẽ giảm đi. Giá trị cận biên: Trong kinh tế, đại lượng đo tốc độ thay đổi của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x thay đổi một lượng nhỏ gọi là giá trị cận biên của y đối với x, ký hiệu: My(x). Từ định nghĩa của đạo hàm ta có:
Ta thường chọn xấp xỉ
tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi
của y khi x tăng lên một đơn vị.
Giá trị cận biên của chi phí: Cho hàm chi phí C = C(Q). Khi đó ta gọi MC(Q) là giá trị cận biên của chi phí. Giá trị này có thể coi là lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên một đơn vị. Ví dụ: Cho chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là:
Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với Q sản phẩm. Áp dụng Q = 50. Giải Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là:
Giá trị cận biên của chi phí là:
Khi Q = 50 thì:
. Như vậy nếu Q tăng lên một đơn vị từ 50 lên 51 thì chi phí tăng lên 3,75 đơn vị. Giá trị cận biên của doanh thu: Cho hàm doanh thu R = R(Q). Khi đó ta gọi MR(Q) là giá trị cận biên của doanh thu. Ví dụ: Số vé bán được Q và giá vé P của một hãng xe bus có quan hệ Q = 10000
125P. Tìm doanh thu cận biên khi P = 30, P = 42. Giải Theo giả thiết: Q = 10000
125P (1)
(2) Ta có doanh thu:
(3) Thế (2) vào (3)

Nên
(4) ■ Khi P = 30. Từ (1)

Từ (4)

■ Khi P = 42. Từ (1)

Từ (4)

Hàm cầu và tính co giãn của cầu: Ta gọi P là giá bán một sản phẩm và Q là số lượng sản phẩm bán được ( hay nhu cầu về loại sản phẩm đó ). Khi đó ta có thể coi Q là hàm số với biến số là P, và nhìn chung đây là hàm số nghịch biến vì giá bán càng cao thì nhu cầu càng thấp và ngược lại. Khi ta có hàm cầu: Q = f(P)

Hàm tổng doanh thu:
Ta lấy đạo hàm của R theo biến Q và gọi nó là hàm doanh thu biên tế, ký hiệu: MR. Hệ số co giãn của đại lượng Q theo đại lượng P được A. Marshall đặt là:
. (
đọc là eta)
được gọi là độ co giãn của cầu. Ví dụ: Cho hàm cầu
. Tìm hệ số co giãn của cầu tại P = 3. Giải Hệ số co giãn của cầu là:
Tại P = 3,
Lựa chọn tối ưu trong kinh tế: Nhiều bài toán về kinh tế được đưa về tìm cực trị của một hàm y = f(x). Ta gọi P là đơn giá, hàm sản lượng Q = Q(P), hàm doanh thu R = PQ, hàm chi phí C = C(Q), hàm lợi nhuận N = R – C Trong kinh tế ta thường gặp các bài toán sau: ■ Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa (cực đại) ■ Tìm P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa. ■ Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu) Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa Giả sử hàm cầu theo giá bán trong một đơn vị thời gian
và hàm tổng chi phí là: C = C(Q). Tìm sản lượng Q trong một đơn vị thời gian để lợi nhuận tối đa. Phương pháp giải: Để hàng bán hết xí nghiệp chỉ có thể bán với giá P sao cho
. Từ đó doanh thu của xí nghiệp là
và lợi nhuận của xí nghiệp là: N = R – C. Sản lượng Q muốn tìm chính là Q > 0 để N đạt giá trị lớn nhất. Ví dụ: Cho hàm cầu
và hàm chi phí
. Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất. Giải Ta có:
Doanh thu:
Lợi nhuận:

N

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi Q = 11. Định mức đánh thuế doanh thu: Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu trong một đơn vị thời gian
và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị thời gian là C = C(Q). Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm của xí nghiệp để thu được nhiều thuế nhất. Phương pháp giải: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t > 0. Ta có: Q = Q(P)
. Lợi nhuận của xí nghiệp là:
Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức Q = Q(t) để N đạt max. Do đó thuế thu được sẽ là T = Q(t).t. Ta cần xác định t để
Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 300 – P, hàm chi phí:
. Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại. b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất là 40 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu? Giải a) Ta có: Q = 300 – P
P = 300 – Q. Doanh thu của xí nghiệp là: R = P. Q = (300 – Q)Q = 300 Q – Q2 Thuế của xí nghiệp là: Q.t Lợi nhuận của xí nghiệp là: N = 300 Q – Q2 –
– Q.t =

Vậy để có lợi nhuận lớn nhất xí nghiệp phải sản xuất ở mức:
Do đó thuế thu được là:

Vậy để
ta chọn mức thuế là t = 100. Với mức thuế t = 100 thì xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức: Q =
sản phẩm trong một đơn vị thời gian. b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất 40 sản phẩm thì:
. Nghĩa là cần chọn mức thuế tối đa là 40 cho một đơn vị sản phẩm. Ví dụ: Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm biết hàm tổng chi phí
và hàm cầu Q =
. a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại. b) Muốn công ty sản xuất ít nhất là 200 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu? Bài tập: Tìm các giá trị cận biên: a)
tại Q = 3. b)
tại Q = 5. c)
tại Q = 5. 2. Cho hàm cầu
a) Xác định hệ số co dãn khi P = 4. b) Nếu giá giảm 2% ( từ 4 giảm còn 3,92) thì lượng bán ra thay đổi bao nhiêu phần trăm? 4. Doanh thu của một loại sản phẩm cho bởi
. Tìm Q để doanh thu đạt tối đa. 5. Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là: P = -5Q + 30. Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa. 6. Một loại sản phẩm có hàm cầu là: P = 42 - 4Q và hàm chi phí trung bình
a) Tìm mức sản xuất Q,
để có chi phí tối thiểu. b) Tìm mức sản xuất Q,
để có chi phí tối thiểu. 7. Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là P = 600 - 2Q và tổng chi phí là:
a) Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa. Tìm mức giá P và lợi nhuận lúc đó. b) Chính quyền thành phố đặt thuế là 22 đơn vị tiền cho một đơn vị sản phẩm. Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa, tìm mức giá và lợi nhuận trong trường hợp này. 8. Xác định lợi nhuận tối đa, khi biết các hàm tổng doanh thu R và tổng chi phí C. a)
b)
c)
9. Xác định chi phí trung bình nhỏ nhất, nếu biết các hàm tổng chi phí là: a) C =
b) C =
Chương 2: Phép tính vi phân hàm nhiều biến 2.1. Khái niệm hàm hai biến: Cho E là một tập hợp con của
. Một hàm hai biến xác định trên E là một quy luật f đặt tương ứng mỗi điểm
với một số thực duy nhất z = f(x, y) Ký hiệu:

E được gọi là tập xác định của f. Ví dụ: Hàm số
có tập xác định là hình tròn đóng
2.2. Giới hạn của hàm hai biến: 2.2.1. Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên miền D, có thể trừ ra điểm
( D là tập mở). Ta nói hàm số f(x, y) có giới hạn là A khi
tiến đến
nếu với mọi dãy điểm
ta đều có
Nếu f(x, y) có giới hạn là A khi
thì ta ký hiệu
2.2.2. Tính chất:


Ví dụ: Chứng minh rằng:
Giải Ta có:
Do
nên
Ví dụ: Chứng minh rằng không tồn tại
Lấy hai dãy
sao cho
thì
khi
. Khi đó:
nên
Lấy hai dãy
sao cho
thì
khi
. Khi đó:
nên
Vậy không tồn tại
2.3. Sự liên tục của hàm hai biến: 2.3.1. Định nghĩa: Hàm
được gọi là liên tục tại điểm (x0, y0) nếu
. Hàm f(x, y) được gọi là liên tục trên tập E nếu nó liên tục tại mọi điểm
. 2.3.2. Định lí: Cho hàm số f(x, y) liên tục trên trên miền đóng, bị chặn E. Khi đó: f bị chặn trên E, nghĩa là tồn tại M sao cho

f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên E. 2.4. Đạo hàm riêng cấp một và đạo hàm riêng cấp cao: 2.4.1. Định nghĩa đạo hàm riêng: Cho hàm
xác định trên miền D,
. Nếu tồn tại giới hạn
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm
tại điểm (x0, y0). Ký hiệu:
hoặc
Tương tự: Đạo hàm riêng theo biến y của hàm
tại điểm (x0, y0) là:
=

Vậy để tính đạo hàm riêng của hàm
theo biến x ta coi y là hằng số, đạo hàm riêng của hàm
theo biến y ta coi x là hằng số. Ví dụ: Cho hàm số
. Tính
Ta có:
,
Ví dụ: Cho
. Tính
Ta có:
2.4.2. Đạo hàm riêng cấp cao: Nếu hàm
có đạo hàm riêng theo biến x thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng cấp hai theo biến x. Ký hiệu:
hoặc
Nếu hàm
có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng cấp hai theo biến y. Ký hiệu:
hoặc
Nếu hàm
có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm hỗn hợp theo x và y. Ký hiệu:
hoặc
Nếu
và
tồn tại và liên tục trong miền mở G thì chúng bằng nhau. Ví dụ: Cho
.Tính
Giải Ta có:
,

2.5. Vi phân toàn phần của hàm hai biến: 2.5.1. Định lí: i) Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại điểm (x0, y0) thì f(x, y) có các đạo hàm riêng tại (x0, y0) ii) Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng trong một miền chứa (x0, y0) và các đạo hàm riêng này liên tục tại (x0, y0) thì f(x, y) khả vi tại (x0, y0) và
♦ df được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại (x0, y0). Ví dụ: Cho hàm số
. Tính df Giải Ta có:
2.5.2. Vi phân cấp cao: Vi phân cấp hai của hàm f là vi phân của df nếu coi dx, dy là hằng số.


Tổng quát: Vi phân toàn phần cấp n được định nghĩa là:
2.6. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân của hàm hai biến: 2.6.1. Cực trị của hàm hai biến: Cho
là một hàm hai biến xác định trong miền D, điểm
. Điểm
được gọi là điểm cực đại ( cực tiểu ) của hàm f nếu tồn tại miền con
sao cho:
Nếu f có cực đại hay cực tiểu thì ta nói hàm số có cực trị tại điểm
Định lí: Nếu f(x, y) có cực trị tại
mà tại đó tồn tại các đạo hàm riêng thì
. Các điểm
mà tại đó
gọi là các điểm dừng. Đặt
Định lí: Nếu tại điểm dừng
có: ■
thì hàm số không có cực trị ■
thì hàm số có cực trị. Khi hàm số có cực trị và A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu, còn A < 0 thì hàm số đạt cực đại tại
. Lưu ý: Khi
thì chưa kết luận được cực trị, ta gọi đây là điểm nghi ngờ cần xét thêm. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số:
Giải Ta có:


Tại điểm O(0, 0)
nên hàm số không có cực trị tại O(0, 0). Tại điểm M(1, 1)
và A > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại M(1, 1) và
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm
Giải Ta có:
Vậy các điểm dừng nằm trên hai trục tọa độ.

Tại các điểm dừng trên hai trục tọa độ thì AC
B2 = 0 Rõ ràng:
, còn điểm tới hạn thì z = 0. Nên các điểm giới hạn đều là điểm cực tiểu và
. 2.6.2. Cực trị có điều kiện của hàm hai biến: Cho hàm
xác định trên miền D,
là một hàm xác định trên D. Tìm cực trị của hàm
với điều kiện
Phương pháp giải: Đặt
Giải hệ phương trình:
(1) tìm
. Số
được gọi là nhân tử Lagrange. Giả sử tại điểm
tồn tại vi phân cấp hai:
Định lí: Cho điểm
thoả hệ phương trình (1). Khi đó nếu:
thì f(x, y) có cực tiểu.
thì f(x, y) có cực đại. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm f(x, y) = 6
4x
3y với điều kiện x2 + y2 = 1 Giải Đặt
Giải hệ phương trình:


Mặt khác:
■ Với
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại
và fCT = 1. ■ Với
Vậy hàm số đạt cực đại tại
và fCĐ = 11. 2.6.3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến: Cho hàm
liên tục trong miền đóng bị chặn
và có các đạo hàm riêng cấp 1 trên D. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
ta tìm các điểm dừng của hàm
trong D. Tìm các giá trị của hàm tại các điểm nghi ngờ có cực trị trên
. So sánh các giá trị trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm:
trong hình tròn
Các ứng dụng của hàm số nhiều biến số: Cực trị của hàm nhiều biến: Ví dụ: Giả sử chi phí C của một công ty phụ thuộc vào hai biến số x và y là số lượng sản phẩm từng loại mà công ty sản xuất ra. Giả sử bằng cách tính gần đúng ta xác định được công thức của hàm chi phí:
Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện cạnh tra