Giới thiệu về tín hiệu và hệ thống

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG Nội dung Phân loại tín hiệu Các mô hình và phép tính tín hiệu Phân loại hệ thống Mô hình hệ thống: Mô tả quan hệ ngõ vào – ngõ ra hệ thống Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Chương trình bày một số đặc tính cơ bản của tín hiệu, đồng thời giới thiệu các ý niệm cơ bản chính và giải thích định tính phương thức hoạt động của hệ thống, tạo cơ sở cho phần còn lại của tài liệu. Tín hiệu Tín hiệu là tập các thông tin hay dữ liệu, Thí dụ tín hiệu trong điện thoại hay truyền hình, doanh số bán của một công ty, hay chỉ số giá chứng khoán hàng ngày (thí dụ chỉ số Dow Jones). Các thí dụ trên cho thấy tín hiệu là hàm theo biến thời gian độc lập, tuy không phải lúc nào cũng đúng. Thí dụ điện tích được phân bố trong một vật thì tín hiệu là điện tích lại phụ thuộc nhiều vào yếu tố không gian, không phải là thời gian. Tài liệu này quan tâm chủ yếu đến các tín hiệu phụ thuộc theo thời gian. Tuy nhiên, phương thức này còn áp dụng được cho các dạng biến độc lập khác. Hệ thống Hệ thống xử lý các tín hiệu, nhằm thay đổi hay lấy thêm thông tin từ tín hiệu. Thí dụ, người lính phòng không cần thông tín từ mục tiêu di động của đối phương mà radar của mình đang theo bám. Thông qua xử lý đúng tín hiệu radar (ngõ vào), anh ta có thể ước lượng được vị trí sắp tới của mục tiêu. Như thế, hệ thống là một thực thể (entity) nhằm xử lý tập các tín hiệu (ngõ vào) để tạo một tập tín hiệu khác (ngõ ra). Hệ thống có thể được tạo lập từ các thiết bị vật lý, như các hệ thống điện, hệ thống cơ, hay thủy lực (phần cứng), hay có thể là một thuật toán để tính toán ngõ ra khi có tín hiệu ngõ vào (phần mềm). Kích thước của tín hiệu (đo lường tín hiệu) Kích thước của một thực thể là con số nhằm chỉ thị độ lớn hay cường độ của thực thể này. Nói chung, biên độ tín hiệu thay đổi theo thời gian. Như thế, làm cách nào để đo lường một tín hiệu tồn tại trong một khoảng thời gian với biên độ có thay đổi dùng chỉ một con số nhằm chỉ thị kích thước hay cường độ của tín hiệu? Đo lường này không chỉ xem xét về tín hiệu biên độ, mà còn xem xét đến thời gian tồn tại. Thí dụ nếu ta có ý định chỉ dùng một số V để đo kích thước của con người, ta không chỉ xem xét vòng ngực mà còn phải xem thêm về chiều cao. Nếu ta dùng giả thiết là hình dạng con người là một hình khối tròn có bán kính r (thay đổi theo chiều cao h) thì đo lường hợp lý kích thước của người có chiều cao H là thể tích V, cho theo công thức: Năng lượng tín hiệu Từ đó, tiếp tục xem xét vùng điện tích của tín hiệu f(t) như phép đo kích thước, do phần này không chỉ dùng biên độ, mà còn quan tâm đến thời gian tồn tại của tín hiệu. Tuy nhiên, phương pháp này có thể cho kết quả đo lường sai khi f(t) là tín hiệu lớn, tạo các vùng diện tích có giá trị dương và giá trị âm, có khả năng triệt tiêu nhau, làm cho phép đo có giá trị nhỏ hơn giá trị thực. Vấn đề này được hiệu chỉnh bằng cách định nghĩa kích thước của tín hiệu là vùng điện tích của f2(t), là vùng điện tích luôn có giá trị dương. Gọi đo lường này là năng lượng tín hiệu Ef, được định nghĩa (cho tín hiệu thực) là: (1.1) Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát: (1.2) Tuy còn có thể đo lường tín hiệu bằng nhiều cách khác, thí dụ như vùng điện tích của , nhưng phép đo năng lượng với khả năng biểu diễn dạng toán học, còn có ý nghĩa chỉ thị năng lượng của tín hiệu (sẻ được minh họa ở phần sau). Công suất tín hiệu Năng lượng tín hiệu cần hữu hạn để đo lường được kích thước tín hiệu, Điều kiện cần để năng lượng hữu hạn là biên độ tín hiệu khi (xem hình 1.1a), nếu không tích phân trong phương trình (1.1) sẽ không hội tụ. Trong một số trường hợp, thí dụ khi biên độ của f(t) không khi , (hình 1.1b), thì năng lượng tín hiệu là vô hạn. Trường hợp này, cần đo kích thước tín hiệu theo trị trung bình theo thời gian của năng lượng, nếu tồn tại. Đo lường này gọi là công suất của tín hiệu. Định nghĩa công suất Pf của tín hiệu f(t) là: (1.3) Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát: (1.4) Ta thấy là công suất tín hiệu Pf là trung bình theo thời gian của bình phương biên độ tín hiệu, tức là trị bình phương trung bình của f(t). Hơn nữa, căn bình phương của Pf là trị rms (root mean square) của f(t). Trung bình của tín hiệu trong khoãng thời gian dài vô hạn tồn tại nếu tín hiệu là tuần hoàn hay statistical regularity. Khi không thỏa điều kiện này thì có thể không tồn tại trị trung bình. Thí dụ, tín hiệu hàm dốc f(t) = t tăng vô hạn khi , như thế không tồn tại công suất cũng như năng lượng của tín hiệu này. Nhận xét Năng lượng tín hiệu được định nghĩa từ phương trình (1.1) và (1.2) không chỉ thị năng lượng thực của tín hiệu do năng lượng tín hiệu không chỉ phụ thuộc vào tín hiệu mà còn phụ thuộc vào tải của tín hiệu. Năng lượng này có thể được biểu diễn như năng lượng tiêu tán (dissipated) của một tải chuẩn hóa với giá trị 1 ohm khi áp điện áp f(t) vào hai đầu trở (hay khi cho dòng f(t) qua trở 1 ohm này). Trường hợp này đo lường “năng lượng” chỉ thị khả năng của năng lượng chứ không là năng lượng thực. Như thế, các ý niệm về bảo toàn năng lượng không dùng được cho ý niệm “năng lượng tín hiệu” này. Lý luận tương tự cho trường hợp “công suất tín hiệu” theo định nghĩa (1.3) và (1.4). Các đo lường này không chỉ thị thích hợp cho kích thước tín hiệu, là ý niệm hữu ích trong nhiều ứng dụng. Thí dụ, ta xấp xỉ tín hiệu f(t) bằng tín hiệu g(t), sai số xấp xỉ là e(t) = f(t) –g(t). Năng lượng (hay công suất) của e(t) là chỉ thị thích hợp tính đúng của phép xấp xỉ, nhằm cung cấp cho ta một đo lường định lượng nhằm xác định tính khớp của phép xấp xỉ. trong hệ thống thông tin, khi truyền qua kênh truyền, tín hiệu tin tức bị sai lệch do tín hiệu không mong muốn (nhiễu). Chất lượng tín hiệu thu được được đánh giá thông qua kích thước tương đối của tín hiệu mong muốn và tín hiệu không mong muốn (nhiễu). Trường hợp này, tỉ số giữa công suất tín hiệu mang tin tức và công suất nhiễu (tỉ số tín hiệu trên nhiễu) là chỉ thị tốt để đánh giá chất lượng tín hiệu thu được. Đơn vị đo năng lượng và công suất: Phương trình (1.1) và (1.2) chưa có thứ nguyên đúng, do ta không dùng ý niệm năng lượng theo nghĩa qui ước, mà chỉ dùng chỉ thị kích thước tín hiệu. Tương tự cho trường hợp công suất ở (1.3) và (1.4). Trường hợp này, đơn vị của năng lượng và công suất được định nghĩa theo bản chất của tín hiệu f(t). Nếu f(t) là tín hiệu điện áp, thì năng lượng Ef có thứ nguyên là V2s (vôn bình phương-giây) và công suất Pf có thứ nguyên là V2 (vôn bình phương). Khi f(t) là tín hiệu dòng điện, thì năng lượng Ef có thứ nguyên là A2s (vôn bình phương-giây) và công suất Pf có thứ nguyên là A2 (ampe bình phương). ■ Thí dụ 1.1: Xác định đo lường thích hợp cho các tín hiệu trong hình 1.2 Trong hình 1.2a, biên độ tín hiệu khi , vậy đo lường thích hợp cho tín hiệu là năng lượng Ef, cho bởi: Trong hình 1.2b, biên độ tín hiệu không khi . Đồng thời, tín hiệu là tuần hoàn nên tồn tại công suất. Dùng công thức (1.3) xác định công suất. Đơn giản hóa phép tính do quan sát thấy tín hiệu tuần hoàn lập lại mỗi chu kỳ 2 giây (trong trường hợp này). Vậy: Nhắc lại: công suất tín hiệu chính là bình phương của trị rms. Do đó, trị rms của tín hiệu là .■ ■ Thí dụ 1.2: Xác định công suất và trị rms của: (a) , (b) , (c) . Tín hiệu tuần hoàn, chu kỳ . Đo lường thích hợp là công suất. Tín hiệu tuần hoàn, nên công suất là trung bình của năng lượng trong một chu kỳ . Tuy nhiên, để minh họa, ta giải theo cách lấy trung bình trong khoảng thời gian vô hạn, phương trình (1.3). Thừa số đầu tiên của vế phải là . Hơn nữa, thừa số thứ hai triệt tiêu do tích phân trong thừa số này là phần diện tích của tín hiệu sin trong khoãng thời gian rất lớn T và . Phần diện tích này bằng với phần diện tích của một bán kỳ do phần diện tích dương và âm của tín hiệu sin triệt tiêu nhau. Thừa số thứ hai là phần diện tích này nhân với với . Rõ ràng, thừa số này là zêrô, và: (1.5a) Trong chương 4, ta chứng minh được là tổng hai sin có thể là tuần hoàn hay không tuần hoàn, điều này tùy thuộc vào tỉ số là hữu tỉ hay không, Do đó, chưa xác định được chu kỳ của tín hiệu này. Như thế, xác định công suất dùng phép lấy trung bình của năng lượng trong T giây, với . Vậy: Tích phân thứ nhất và thứ hai của vế phải là các công suất của hai tín hiệu sin, có giá trị là và như tính toán ở phần (a). Tương tự trong phần (a), ta thấy thừa số thứ ba triệt tiêu, sau cùng: (1.5b) Và giá trị rms là . Có thể mở rộng kết quả này để tính tổng nhiều tín hiệu sin có tần số khác nhau. Như thế, nếu Với các tần số không giống nhau, thì (1.5c) Khi tín hiệu là phức, dùng phương trình (1.4) để tính công suất: Do nên , và (1.5d) Trị rms là . ■ Nhận xét: Phần (b) đã chứng minh được là công suất của tổng hai tín hiệu sin thì bằng tổng công suất các tín hiệu sin. Nhận thấy là công suất của là . Điều không may là kết quả này không phải luôn luôn đúng, mà chỉ đúng trong một số trường hợp (trực giao) sẽ được trình bày trong phần 3.1-3. Bài tập E 1.1 Chứng tõ năng lượng của các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c và d lần lượt là 4, 1, 4/3, và 4/3. Nhận thấy khi nhân đôi tín hiệu thì năng lượng tăng gấp 4, và khi dời tín hiệu theo thời gian không ảnh hưởng đến năng lượng. Chứng minh là công suất của tín hiệu trong hình 1.3e là 0,4323. Tìm trị rms của tín hiệu trong hình 1.3e? Bài tập E 1.2 Làm lại thí dụ 1.2a để tìm công suất tín hiệu sin bằng cách lấy trung bình năng lượng tín hiệu trong một chu kỳ (thay vì lấy trung bình trong khoãng thời gian vô hạn). Chứng tõ là công suất của tín hiệu hằng là và trị rms là . Bài tập E 1.3 Chứng tõ khi , thì công suất của là , không bằng giá trị . Phân loại tín hiệu Có nhiều lớp tín hiệu, trong tài liệu này ta chỉ quan tâm đến các lớp tín hiệu sau: Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian Tín hiệu analog và tín hiệu số Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên 1.2-1 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian Tín hiệu xác định với mọi giá trị của thời t (hình 1.4a) được gọi là tín hiệu liên tục theo thời gian, và tín hiệu chỉ xác định với các giá trị thời gian rời rạc (hình 1.4b) là tín hiệu rời rạc theo thời gian. Ngõ ra của máy điện thoại và máy ghi hình là tín hiệu liên tục theo thời gian (ngày nay, điều này là chưa đúng?!!), trong khi giá trị GNP theo quí, giá trị bán hàng của công ty, và chỉ số chứng khoán từng ngày là các tín hiệu rời rạc. 1.2-2 Tín hiệu analog và tín hiệu số Ý niệm về tín hiệu liên tục theo thời gian thường bị hiểu lầm là tín hiệu analog. Hai ý niệm này khác nhau, tương tự như ý niệm giữa tín hiệu rời rạc và tín hiệu số. Tín hiệu có biên độ với biên độ có thể có giá trị bất kỳ trong tầm liên tục thi được gọi là tín hiệu analog. Điều đó có nghĩa là biên độ tín hiệu analog có thể có vô hạn giá trị. Tín hiệu số, thì biên độ chỉ có thể có số hữu hạn các giá trị. Tín hiệu dùng trong máy tính số là tín hiệu số do chỉ có hai giá trị biên độ (tín hiệu nhị phân). Tín hiệu số có thể có M giá trị là tín hiệu bậc M, trong đó nhị phân (M=2) là một trường hợp đặc biêt. Cụm từ liên tục theo thời gian và rời rạc theo thời gian cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục thời gian (trục ngang). Cụm từ analog và số, thì lại cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục biên độ (trục dọc). Hình 1.5 vẽ tín hiệu analog rời rạc theo thời gian. Tín hiệu analog có thể chuyển thành tín hiệu số (qua bộ chuyển đổi ADC) qua quá trình lượng tử hóa (làm tròn giá tri) như giải thích ở phần 5.1-3. 1.2-3 Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn Tín hiệu f(t) là tuần hoàn khi có một số hằng số dương T0 với mọi giá trị t (1.6) Trị bé nhất của T0 thỏa điều kiện tuần hoàn (1.6) là chu kỳ của f(t). Các tín hiệu trong hình 1.2b và 1.3e là tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ lần lượt là 2 và 1, Tín hiệu không tuần hoàn là tín hiệu không có chu kỳ. Các tín hiệu trong hình 1.2a, 1.3a. 1.3b, 1.3c và 1.3d đều là tín hiệu không tuần hoàn. Từ định nghĩa, tín hiệu tuần hoàn f(t) không thay đổi khi dời một chu kỳ theo thời gian. Do đó, tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu từ , nếu không, giả sử khi bắt đầu từ , thì tín hiệu dời theo thời gian một chu kỳ sẽ bắt đầu từ và sẽ không giống tín hiệu . Như thế một tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu tại và liên tục không dừng, như vẽ ở hình 1.6 Một đặc tính quan trọng của tín hiệu tuần hoàn f(t) là f(t) có thể được tạo ra từ cách mở rộng tuần hoàn (periodic extension) một đoạn bất kỳ của f(t) với thời khoảng T0 (chu kỳ). Từ đó, ta có thể tạo f(t) từ bất kỳ đoạn nào của f(t) với thời khoảng một chu kỳ bằng cách đặt đoạn này và tái tạo tín hiệu. Hình 1.7 vẽ tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ T0 = 6. Phần tô đen trong hình 1.7a cho thấy một đoạn của tín hiệu f(t) bắt đầu tại và có thời khoảng một chu kỳ (6 giây). Đoạn này, khi lặp lại không dừng theo các hướng, tạo ra tín hiệu tuần hoàn f(t). Độc giả có thể kiểm nghiệm lại là có thể tạo với bất kỳ đoạn nào của f(t) , thời điểm nào với thời khoảng là một chu kỳ. Tín hiệu bắt đầu từ và tiếp tục không dừng được gọi là tín hiệu không dừng (everlasting signals). Như thế, tín hiệu không dừng tồn tại suốt trong khoãng . Các tín hiệu trong hình 1.1b và 1.2b là thí dụ về tín hiệu không dừng. Rõ ràng là từ định nghĩa thì tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu không dừng. Tín hiệu không bắt đầu trước khi t = 0, được gọi là tín hiệu nhân quả. Tức là, f(t) là tín hiệu nhân quả nếu: khi (1.7) Các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c cùng các hình 1.9a và 1.9b là các tín hiệu nhân quả. Tín hiệu khởi đầu trước t = 0 được gọi là tín hiệu không nhân quả; tuy nhiên tín hiệu không nhân quả trong hình 1.1 và 1.2 là tín hiệu dừng. Một tín hiệu có giá trị zêrô với mọi được gọi là tín hiệu phản nhân quả (anticausal signal). Nhận xét: Rõ ràng là trong thực tế, ta không tạo ra được tín hiệu không dừng thực. Như thế tại sao ta lại bận tâm đến chúng như thế? Các chương kế cho thấy một số tín hiệu (bao gồm cả các tín hiệu không dừng sin) tuy không tạo ra được trong thực tế nhưng lại rất hữu ích khi nghiên cứu về tín hiệu và hệ thống. 1.2-4 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất. Tín hiệu có năng lượng hữu hạn gọi là tín hiệu năng lượng, và tín hiệu có công suất hữu hạn và khác không thì được gọi là tín hiệu công suất. Các tín hiệu trong hình 1.2a và 1.2b lần lượt là các tín hiệu năng lượng và tín hiêu công suất. Nhận thấy công suất chính là trung bình theo thời gian của năng lượng. Khi lấy trung bình trong khoảng thời gian vô hạn, tín hiệu có năng lượng hữu hạn sẽ có công suất bằng không, và tín hiệu có công suất hữu hạn sẽ có năng lượng là vô hạn. Từ đó, một tín hiệu thì không thể vừa là tín hiệu công suất vừa là tín hiệu năng lượng. Nếu đã là tín hiệu công suất thì không thể là tín hiệu năng lượng và ngược lại. Trường hợp tín hiệu hàm dốc là một thí dụ. Nhận xét: Mọi tín hiệu thực tế đều có năng lượng hữu hạn nên là tín hiệu năng lượng. Một tín hiệu công suất thì cần phải có độ rộng vô cùng; công suất của chúng, tức là năng lượng trung bình trong thời khoảng lớn vô hạn, sẽ không tiến về giới hạn (khác không). Rõ ràng là không thể tạo ra được tín hiệu công suất thực trong thực tế do tín hiệu này có độ rộng vô hạn và năng lượng vô hạn. Đồng thời, do các tín hiệu tuần hoàn có vùng diện tích củatrong một chu kỳ là hữu hạn, nên là tín hiệu công suất; tuy nhiên, không phải mọi tín hiệu công suất đều là tín hiệu tuần hoàn. Bài tập E 1.4 Chứng minh là hàm mủ không dừng không thể là tín hiệu năng lượng hay tín hiệu công suất với mọi giá trị thực của a. Tuy nhiên, khi a là số phức, thì tín hiệu này lại là tín hiệu công suất có công suất , bất chấp giá trị của a. 1.2-5 Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên. Một tín hiệu là tín hiệu xác định khi biết được hoàn toàn mô tả vật lý của tín hiệu, dạng mô tả toán học hay dạng đồ thị. Một tín hiệu mà giá trị không thể dự báo được một cách chính xác nhưng chỉ biết được các thừa số về mô tả thống kê, như trị trung bình, trung bình bình phương, thì được gọi là tín hiệu ngẫu nhiên. Giáo trình này chưa nghiên cứu về các tín hiệu dạng này. Một số phép tính lên tín hiệu Phần này trình bày ba phép tính hữu ích cho tín hiệu: phép dời, phép tỉ lệ, và phép đảo. Do biến độc lập của tín hiệu là biến thời gian, nên các phép tính ở đây là: phép dời theo thời gian, phép tỉ lệ theo thời gian, và phép đảo theo thời gian (phép gấp). Tuy nhiên, phương pháp này còn dùng được cho biến độc lập dạng khác (thí dụ biến tần số hay biến cự ly). 1.3-1 Phép dời theo thời gian. Xét tín hiệu f(t) trong (Hình 1.8a) và tín hiệu dời T giây theo thời gian (Hình 1.8b) được gọi là . Thay đổi của f(t) tại thời điểm t cũng là thay đổi của tại thời điểm t+T. Vậy: (1.8) Và (1.9) Do đó, khi dời tín hiệu một khoảng T, ta thay t bằng t – T. Vậy f(t – T) biểu diễn tín hiệu f(t) được dời một khoảng T giây. Nếu T > 0, ta có phép dời phải (phép trễ: delay). Nếu T < 0, ta có phép dời trái (phép sớm: advanced). Do đó, f(t – 2) là phép làm trễ f(t) 2 giây (dời phải 2 giây) và f(t + 2) là phép làm sớm f(t) 2 giây (dời trái 2 giây). ■ Thí dụ 1.3: Hàm mủ vẽ ở hình 1.9a đã được là trễ 1 giây. Vẽ tìm mô tả toán học của hàm này. Làm lại bài tập khi f(t) được làm sớm 1 giây. Hàm f(t) có mô tả toán học như sau: (1.10) Gọi là hàm f(t) được làm trễ (dời phải) một giây như hình 1.9b. Hàm này là f( t - 1); mô tả toán học có được từ f(t) bằng cách thay t bằng t – 1 vào (1.10). Vậy: (1.11) Gọi là hàm f(t) được làm sớm (dời trái) một giây như hình 1.9c. Hàm này là f(t+1); mô tả toán học có được từ f(t) bằng cách thay t bằng t+1 vào (1.10). Vậy: (1.12) ■ Bài tập E 1.5 Viết mô tả toán học của tín hiệu của hình 1.3c. Tín hiệu này được làm trễ đi 2 giây. Vẽ tín hiệu trễ. Chứng minh tín hiệu trễ có thể mô tả toán học thành với , và bằng 0 trong các trường hợp khác. Làm lại khi tín hiệu được làm sớm 1 giây. Chứng minh tín hiệu sớm có thể mô tả toán học thành với , và bằng 0 trong các trường hợp khác. Phép tỉ lệ theo thời gian. Tỉ lệ là phép nén hay giãn tín hiệu theo thời gian. Xét tín hiệu f(t) trong hình 1.10a. Tín hiệu trong hình 1.10b là f(t) nén theo thời gian với tỉ lệ 2. Như thế, thay đổi của f(t) tại thời điểm t cũng xuất hiện trong tại thời điểm t/2, nên (1.13) Và (1.14) Do tại thời điểm và , ta cần có tại và như hình 1.10b. Nếu tín hiệu f(t) được ghi vào băng từ và phát lại với tốc độ hai lần tốc độ lúc ghi, ta sẽ có f(2t). Thông thường, nếu f(t) được nén theo thời gian theo tỉ lệ a (), tín hiệu được cho bởi: (1.15) Tương tự, khi tín hiệu f(t) được giãn ra theo thời gian với tỉ lệ a (a>1) thì (1.16) Hình 1.10c vẽ , với f(t) giãn theo thời gian với tỉ lệ 2. Trong phép tỉ lệ theo thời gian, tại gốc t = 0, f(t)= f(at)= f(0). Tóm lại, khi tỉ lệ tín hiệu theo thời gian với tỉ lệ a, ta thay t bằng at. Nếu a >1, phép tỉ lệ này là phép nén theo thời gian, nếu a<1, thì phép tỉ lệ này là phép giãn theo thời gian. ■ Thí dụ 1.4: Hình 1.11a vẽ tín hiệu f(t). Vẽ và viết mô tả toán học tín hiệu sau khi nén theo thời gian với tỉ lệ 3. Làm lại khi tín hiệu được làm giãn theo tỉ lệ 2. Tín hiệu f(t) có thể được mô tả theo (1.17) Hình 1.11b vẽ , là tín hiệu f(t) được nén theo thời gian với tỉ lệ 3, nên mô tả toán học là f(3t), có được bằng cách thay t bằng 3t trong vế phải của phương trình 1.17 (1.18a) Nhận thấy là tại thời điểm t = -1,5 và 3 của f(t) tương ứng với t = -0,5 và 1 của tín hiệu nén f(3t). Hình 1.11c vẽ , là tín hiệu f(t) được giãn theo thời gian với tỉ lệ 2; nên có mô tả toán học là , thay t bằng t/2 trong f(t). Vậy (1.18b) Nhận thấy là tại thời điểm t = -1,5 và 3 của f(t) tương ứng với t = - 3 và 6 của tín hiệu giãn f(t/2). ■ Bài tập E 1.6 Chứng tõ khi nén tín hiệu sin với tỉ lệ n (n > 1) ta có tín hiệu sin với cùng biên độ và pha, nhưng có tần số tăng n lần. Tương tự, khi giãn tín hiệu sin với tỉ lệ n (n > 1) ta có tín hiệu sin với cùng biên độ và pha, nhưng có tần số giảm n lần. Minh họa bằng cách vẽ tín hiệu sin 2t và các t