Hàm số nhiều biến số

CHƯƠNG III. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ §1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số D là một tập hợp trong 2 , người ta gọi ánh xạ :f D  , tức là một quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số thực  ,x y D một số thực duy nhất z , ký hiệu là  ,f x y là hàm số hai biến số, x và y là hai biến số độc lập. Ta ký hiệu    : , ,f x y z f x y D được gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp       , , ,f D z z f x y x y D     gọi là miền giá trị của hàm số f . Chú ý: Theo định nghĩa trên thì miền xác định của f thuộc 2 , còn miền giá trị của nó thuộc  . Hàm số n biến số  1 2, ,..., nf x x x được định nghĩa tương tự. 1.2. Miền xác định Nếu người ta cho hàm số hai biến số bởi biểu thức  ,z f x y mà không nói gì về miền xác định của nó thì miền xác định của hàm số đó được hiểu là tập hợp những cặp  ,x y sao cho biểu thức  ,f x y có nghĩa. Ví dụ 1: Hàm số 2 3 5z x y   xác định với mọi cặp   2,x y  , miền xác định của nó là toàn bộ mặt phẳng. Ví dụ 2: Hàm số 2 21z x y   xác định khi 2 21 0x y   hay 2 2 1x y  , miền xác định của nó là hình tròn đóng, tâm O , bán kính I ( hình 1). Ví dụ 3: Hàm số  ln 1z x y   được xác định khi 1 0x y   hay 1x y  , miền xác định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng 1x y  (hình 2). 1O y x 1 1O y x ( hình 1) (hình 2) 1.3. Giới hạn của hàm số hai biến số Ta nói rằng điểm  ,n n nM x y dần tới diểm  0 0,oM x y trong 2 và viết 0nM M (hay    0 0, ,n nx y x y )khi n nếu    2 20 0lim 0n n n x x y y     Cho hàm số    ,f M f x y xác định trong miền D chứa điểm  0 0 0,M x y , có thể trừ điểm 0M . Ta nói rằng L là giới hạn của  ,f x y khi điểm  ,M x y dần tới điểm 0M là      0 0, ,lim ,x y x y f x y L  hay  0limM M f M L  . Ví dụ 4: Tính      , 0,0lim ,x y f x y với   2 2, xyf x y x y  Giải: Hàm số  ,f x y xác định trên  2 \ 0,0 . Vì     2 2 1, , 0,0 x x y x y    , nên       2 2 , , , 0,0 xf x y y y x y x y     Do đó với mọi dãy   ,n nx y dần tới  0,0 , ta đều có    , 0,0lim 0n nx y   . Vậy    , 0,0lim 0x y   Ví dụ 5: Tính      , 0,0lim ,x y g x y với   2 2, xyg x y x y  . Giải: Hàm số  ,g x y xác định trên  2 \ 0,0 . Ta thấy rằng      , 0,0lim ,x y g x y không tồn tại. Thật vậy, ta có: + Với dãy   ,n nx y dần tới  0,0 , ta chọn 0ny  , do đó  ,0 0, 0n ng x x   thì      , 0,0lim , 0n n n nx y g x y  + Với dãy   ,n nx y dần tới  0,0 , ta chọn n ny x , do đó   22 1, , 02 2nn n nn xg x x x x     thì      , 0,0 1lim , 2n n n nx y g x y  . Vì 10 2  nên không tồn tại      , 0,0lim ,x y g x y . 1.4. Tính liên tục của hàm số hai biến số Cho hàm số  ,f x y xác định trong miền D .  0 0 0,M x y là điểm thuộc D . Ta nói rằng hàm số  ,f x y liên tục tại 0M nếu: i) Tồn tại      0 0, ,lim ,x y x y f x y , ii)      0 0 0 0, ,lim ,x y x y f x y  (1.1) Hàm số  ,f x y được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền D . Ví dụ 6: Xét tính liên tục của hàm số           2 2 , , 0,0 , 0, , 0,0 xy x y x yG x y x y       Giải:  ,G x y xác định trên toàn 2 . Nó liên tục tại mọi điểm    , 0,0x y  vì nó là thương của hai hàm sô liên tục với mẫu số khác 0. Chỉ còn phải xét tính liên tục của  ,G x y tại  0,0 . Vì không tồn tại     2 2, 0,0limx y xyx y  (xem ví dụ 5) nên  ,G x y không liên tục tại  0,0 . Tóm lại  ,G x y liên tục tại mọi điểm    , 0,0x y  . Chú ý: Nếu đặt 0 0,x x x y y y      , ta có    0 0, ,f x y f x x y y     Lại đặt    0 0 0 0, ,f f x x y y f x y       . Khi đó công thức (1.1) có thể được viết là    , 0,0lim 0x y f     (1.2) Nói cách khác, hàm số  ,f x y liên tục tại  0 0 0,M x y nếu hệ thức (2) được thỏa mãn. §2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN TOÀN PHẦN 2.1. Đạo hàm riêng 2.1.1. Định nghĩa:  ,z f x y là một hàm số xác định trong miền D ,  0 0,x y là một điểm thuộc D . Nếu cho 0 0,y y y là hằng số, mà hàm số một biến số  0,x f x y có đạo hàm tại 0x x thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng đối với x của hàm số  ,f x y tại  0 0,x y và được ký hiệu là:  0 0,xf x y hay  0 0,f x y x   . Vậy theo định nghĩa của đạo hàm hàm số một biến số, ta có:      0 0 0 00 0 0 , ,, limx x f x x y f x yf x y x      Tương tự, đạo hàm riêng đối với y của hàm số  ,f x y tại  0 0,x y ký hiệu là      0 0 0 00 0 0 , ,, limy y f x y y f x yf x y y      Như vậy khi tính đạo hàm riêng đối với x của f , chỉ việc xem y là hằng số và lấy đạo hàm của f đối với x ; khi tính đạo hàm riêng đối y của f chỉ việc xem x là hằng số và lấy đạo của f đối với y . Ví dụ 1: Tính các đạo hàm riêng của 4 3 2 45 2z x x y y   Giải: 3 2 2 3 34 15 ; 10 8z zx x y x y y x y        Ví dụ 2: Tính đạo hàm riêng của   0yz x x  . Giải: 1; lny yz zyx x x x y     Ví dụ 3: Tính đạo hàm riêng của cos , 0xz y y      Giải: 1 sin . .sinz x x x x y x y y y           2sin . sin z x x x x y y y y y y          Chú ý 1: Đạo hàm riêng của hàm số  2n  biến số được định nghĩa tương tự. Khi tính đạo hàm riêng của f đối với một biến số nào đó, ta xem các biến số khác là hằng số và tính đạo hàm của f đối với biến số ấy. Ví dụ 4: Tính các đạo hàm riêng của hàm số 2 cosx yu e z Giải: 2 2 22 .2 cos ; cos ; sinx y x y x yu u ue x z e x z e z x x z         2.1.2. Đạo hàm riêng cấp cao Các đạo hàm riêng ,x yf f gọi là đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số  ,z f x y . Chúng là những hàm số của  ,x y . Vì vậy có thể xét các đạo hàm riêng của chúng:  x xf ,  x yf ,  y xf ,  y yf gọi là đạo hàm riêng cấp hai của  ,f x y . Ta dùng các ký hiệu sau:   2 22 2x xxx f f zf f x x x x                2 2x xyy f f zf f y x x y x y                  2 2y yxx f f zf f x y x y x y                 2 22 2y yyy f f zf f y y y y             Ví dụ 5:   2 3 2 5, yf x y x e x y y   Giải: 2 22 3yxf xe x y  , 2 3 42 5yyf x e x y y   22 6yxxf e xy  22 6yxyf xe x y  22 6yfyx xe x y  2 3 32 20yyyf x e x y   Các đạo hàm riêng cấp cao hơn được định nghĩa tương tự. Chẳng hạn:   2 32xyy xy y f ff f y y x y x            Ta thừa nhận mà không chứng minh định lý quan trọng sau Định lý 1(Schwarz): Nếu hàm số  ,f x y có các đạo hàm riêng xyf và yxf trong một miền D và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tịa điểm  0 0,x y D thì    0 0 0 0, ,xy yxf x y f x y Ta đã thấy kết quả này ở ví dụ 5. Từ định lý Schwarz dễ dàng suy ra rằng xyy yxy yyxf f f  nếu chúng liên tục. Đạo hàm riêng cấp cao của hàm số  2n  biến số được định nghĩa tương tự. Ví dụ 6: 2 x yzu z e  Giải: 2 x yz xu z e  2 x yzxxu z e   2 3.x yz x yzxxyu z e z z e      2 3 2 33 3x yz x yz x yz x yzxxyzu z e z e y z e yz e          2.2. Vi phân toàn phần 2.2.1. Định nghĩa: Biết rằng nếu hàm số của một biến số  f x xác định trong khoảng I   và nếu tồn tại đạo hàm  0 0' ,f x x I thì số gia      0 0 0f x f x x f x     , trong đó 0x x I   , có thể được biểu diễn dưới dạng:    0 0'f x f x x x     , trong đó 0  khi 0x  . Biểu thức  0'f x x ( phần chính của  0f x khi 0x  ) gọi là vi phân của  f x tại 0x . Vậy nếu đạo hàm  0'f x tồn tịa thì  f x khả vi tại 0x . Bây giờ, xét hàm số hai biến số  ,f x y xác định trong miền 2D   .  0 0 0,M x y và  0 0 0,M x x y y    là hai điểm thuộc D . Nếu số gia      0 0 0 0 0 0, , ,f x y f x x y y f x y       có thể biểu diễn dưới dạng:  0 0,f x y A x B y x y          , (2.1) trong đó ,A B là những số không phụ thuộc ,x y  , còn 0  và 0  khi    , 0,0x y   (tức là 0M M ) thì ta nói rằng hà số  ,f x y khả vi tại 0M , biểu thức A x B y   gọi là vi phân toàn phần của hàm số  ,f x y tại  0 0,x y ứng với các số gia ,x y  và được ký hiệu là  0 0,df x y . Nếu hàm số  ,f x y khả vi tại  0 0,x y thì nó liên tục tại đó, vì từ công thức (2.1) suy ra  0 0, 0f x y  khi    , 0,0x y   . Hàm số  ,f x y gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D . Chú ý 2: Nếu  ,f x y khả vi tại  0 0,x y thì nó tồn tại các đạo hàm riêng    0 0 0 0, , ,x yf x y f x y . Chú ý 3: Khác với hàm số một biến số, nếu hàm số hai biến số  ,f x y có các đạo hàm riêng  0 0,xf x y và  0 0,yf x y thì chưa chắc nó đã khả vi tại  0 0,x y . Chẳng hạn như, xét hàm số sau:           2 2 , , 0,0 , 0, , 0,0 xy x y x yG x y x y      Theo định nghĩa của đạo hàm riêng ta có         0 0 ,0 0,0 ,0 0,0 lim lim 0x h h G h G G h G h h     vì  ,0 0, 0G h h   Tương tự ta có:  0,0 0yG  . Vậy tồn tại các đạo hàm riêng    0,0 , 0,0x yG G , nhưng hàm số  ,G x y không liên tục tại  0,0 nên không khả vi tại  0,0 . 2.2.2. Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến số Định lý 2: Nếu hàm số  ,f x y có đạo hàm riêng trên một miền D chứa điểm  0 0 0,M x y và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại 0M thì hàm số  ,f x y khả vi tại 0M , vi phân toàn phần của  ,f x y tại 0M được tính bằng công thức:      0 0 0 0 0 0, , . ,x ydf x y f x y x f x y y    (2.2) Chú ý 4: Cũng như đối với hàm số một biến số, vì ,x y là biến số độc lập nên ta có ,x dx y dy    , do đó công thức (2.2) còn được viết là:      0 0 0 0 0 0, , . , .x ydf x y f x y dx f x y dy  Ví dụ 7: Tính vi phân toàn phần của hàm số 2 2z x y  . Giải: Hàm số xác định trên toàn 2 . Vì các đạo hàm riêng 2 2 2 2 , z x z y x yx y x y      là liên tục tại mọi    , 0,0x y  nên z khả vi trên  2 \ 0,0 và 2 2 xdx ydydz x y   . Chú ý 5: Đối với hàm số  2n  biến số, định nghĩa hàm số khả vi, điều kiện khả vi của hàm số, công thức của vi phân toàn phần cũng tương tự như hàm số của hai biến số. Ví dụ 8: Tính vi phần toàn phần của hàm số yzu xe . Giải: Hàm số xác định trên toàn 3 . Các đạo hàm riêng: ; ,yz yz yz u u u e xze xye x y z        liên tục trên toàn 3 nên hàm số u khả vi trên toàn 3 và  xz yz xz yzdu e dx xze dy xye dz e dx xzdy xydz      2.2.3. Ứng dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng Từ định lý 2 ta có công thức:      0 0 0 0 0 0, , ,x yf x y f x y x f x y y x y          Ta thấy rằng    0 0 0 0, ,x yf x y x f x y y   là vô cùng bé bậc nhất đối với 2 2x y     khi 0 , còn x y    là vô cùng bé cấp cao đối với  . Vì vậy, khi ,x y  khá nhỏ, ta có thể xem    0 0 0 0, ,f x y df x y  , tức là:      0 0 0 0 0 0, , . ,x yf x y f x y x f x y y     Hay        0 0 0 0 0 0 0 0, , , ,x yf x x y y f x y f x y x f x y y         (2.3) Ví dụ 9: Cho hàm số   2 2, 2f x y x xy y   . Tính  ,f x y và  ,df x y , nếu 0 02, 3, 0.03, 0.02x y x y       . Giải:      , 2 2 . 2 2df x y x y x x y y             2,3 2.2 2.3 0.03 2.2 2.3 . 0.02 0.34df                2 2 2 22,3 2.03; 2.98 2,3 2.03 2.2,03.2,98 2.98 2 2.2.3 3 0.3434f f f                Ta thấy    2,3 2,3df f  nhưng tính  2,3df dễ hơn. Ví dụ 10: Tính gần đúng 1.02 0.95 arctg Giải: Ta cần tính  0 0,z x x y y    , trong đó 0 0, 1, 1, 0.05, 0.02yz acrtg x y x y x         Ta có 2 2 2 2 1 1 z y y x x x yy x              , 2 2 2 1 1 . 1 z x y x x yy x         Theo công thức (3)        1 0.05;1 0.02 1,1 1,1 1,1x yz z z x z y       hay 1.02 1.0,05 1.0,021 0.35 0.785 0.035 0.82 0.95 2 4 arctg arctg        radian 2.2.4. Điều kiện để biểu thức    , ,P x y dx Q x y dy là một vi phân toàn phần Ta biết rằng vi phân toàn phần của hàm số khả vi  ,f x y là . . f fdf dx dy x y     Bây giờ, cho hai hàm số  ,P x y ,  ,Q x y . Định lý sau cho ta biết khi nào biểu thức    , ,P x y dx Q x y dy là một vi phần toàn phần của một hàm số  ,f x y nào đó Định lý 3: Giả sử các hàm số  ,P x y ,  ,Q x y có các đạo hàm riêng liên tục trong một miền D nào đó. Biểu thức    , ,P x y dx Q x y dy là một vi phân toàn phần khi và chỉ khi: , , P Q x y D y x      (4) Chú ý 6: Nếu điều kiện (4) được thỏa mãn, ta có thể tìm được hàm số  ,f x y sao cho    , ,df P x y dx Q x y dy  . Việc tìm hàm số  ,f x y được trình bày trong ví dụ sau Ví dụ 12: Chứng minh rằng biểu thức sau đây là vi phân toàn phần a)    2 21 2 5 6 10x y dx y xy dy     , b)   322 3 1 ln 2 xx y dx y dyy        , với 0y  . Tìm các hàm số  ,if x y sao cho , 1, 2i idf i  . Giải: Ta có:    2 2, 2 5 , , 6 10P x y x y Q x y y xy    , do đó 10P Qy y x      . Vậy 1 là một vi phân toàn phần. ta phải tìm hàm số  1 ,f x y sao cho 1 1df  , do dó: 21 2 5f x y x    (*) 21 6 10f y xy y    (**) Lấy nguyên hàm theo x hai vế của (*) ta được    2 21 , 5f x y x y x y   (***) Trong đó  y là một hàm số khả vi bất kì của biến số y ,  y được xem là hằng số tùy ý đối với x , vì x và y là hai biến số độc lập. Lấy đạo hàm đối với y của hai vế của (***) ta được:  1 10 'f xy y y     (****) So sánh (**) và (****) ta được   2' 6y y  . Do đó   32y y C   , C là một hằng số tùy ý. Thay  y vào (***) ta được:   2 2 31 , 5 2f x y x xy y C    Lưu ý rằng ta cũng có thể bắt đầu tính bằng cách lấy nguyên hàm theo y hai vế của (**) như trong phần b) dưới đây b) Ta có       32, 3 1 ln , , 2xP x y x y Q x y y y     . Do đó 23P x Q y y x     Vậy 2 là một vi phân toàn phần. Ta sẽ tìm hàm số  2 ,f x y sao cho 2 2df  , do đó\  22 3 1 lnf x y x    (i) 3 2 2f x y y y    (ii) Lấy nguyên hàm theo y hai vế của (ii) ta được    3 22 , .lnf x y x y y x   , (iii) trong đó,  x là một hàm số khả vi bất kì. Lấy đạo hàm theo x hai vế của (iii) ta được:  22 3 ln 'f x y x x    (iv) So sánh (iv) với (i), ta được   2' 3x x  . Do đó   3x x C   , C là một hằng số tùy ý. Thay  x vào (iii) ta được:    3 22 , 1 lnf x y x y y C    §3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SÔ HỢP – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ẨN 3.1. Đạo hàm của hàm số hợp 3.1.1. Cho hàm số  ,z f u v trong đó    ,u u x v v x  là những hàm số của x . Ta nói rằng     ,z f u x v x là hàm số hợp của x qua các biến số trung gian ,u v . Định lý sau đây cho ta quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp     ,z f u x v x . Định lý 1: Nếu  ,z f u v là hàm số khả vi của ,u v và nếu    ,u u x v v x  là những hàm số khả vi của x thì z là hàm số khả vi của x và ta có dz f du f dv dx u dx v dx     Ví dụ 1: Tính dz dx nếu 2 22 , , sinxz u uv v u e v x     . Giải: Theo công thức trên ta có:          2 4 cos 2 sin 4sin cosx x x xdz z du z dv u v e u v x e x e x e xdx u dx v dx                   Chú ý 1: Nếu  ,z f x y là hàm số khả vi của ,x y và nếu  y y x là hàm số khả vi của x thì   ,z f x y x là hàm số hợp của x , khả vi dối với x và ta có: dz z z dy dx x y dx     (3.1) Đạo hàm dz dx ở vế trái gọi là đạo hàm toàn phần của z đối với x , còn đạo hàm z x   ở vế phải là đạo hàm riêng của  ,z f x y đối với x . Ví dụ 2: Tính dz dx nếu  2 2 2ln , sinz x y y x   . Theo công thức trong chú ý 1 ta có 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4sin cos .2sin cos sin dz z z dy x y x x x x x dx x y dx x y x y x x            3.1.2. Bây giờ xét hàm số  ,z f u v trong đó  ,u u x y ,  ,v v x y là những hàm số của hai biến độc lập ,x y . Khi đó     , , ,z f u x y v x y là hàm số hợp của ,x y thông qua các biến số trung gian ,u v . Để tính đạo hàm riêng của x đối với hàm số z ta xem y không đổi, khi đó     , , ,z f u x y v x y là hàm số hợp của một biến số độc lập x thông qua hai biến số trung gian ,u v . Do định lý 1, ta có . . z f u f v x u x v x           . Cũng lập luận tương tự như vậy khi tính z y   , ta được định lý sau: Định lý 2: Nếu hàm số  ,z f v u là hàm số khả vi của ,u v và các hàm số    , , ,u u x y v v x y  có các đạo hàm riêng như , , ,x y x yu u v v thì tồn tại các đạo hàm riêng ,z z x y     và ta có . . z f u f v x u x v x           . . z f u f v y u y v y           Ví dụ 3: Tính ,z z x y     , nếu cos , , u xz e v u xy v y    . Giải: Ta có: 2 1 cos , sin , , , ,u uz z u u v v xe v e v y x u v x y x y y y                   Do đó: 1 1 cos . .sin . cos sinxy xy xyz x x x xe y e e y x y y y y y y                               2 2cos . .sin . cos sin xy xy xyz x x x x x xe x e e x y y y y y y y                                      Chú ý 2: Quy tắc tính đạo hàm của ham số hợp cũng được mở rộng cho trường hợp hàm số f phụ thuộc vào nhiều biến số trung gian hơn và các biến số trung gian phụ thuộc nhiều biến số độc lập hơn. 3.2. Đạo hàm của hàm số ẩn 3.2.1. Giả sử hai biến số ,x y được ràng buộc với nhau bởi phương trình  , 0F x y  (3.2) Nếu  y f x là một hàm số xác định trong một khoảng nào đó sao cho khi thế  y f x vào phương trình (3.2) ta được một đồng nhất thức thì ta nói rằng  y f x là hàm số ẩn xác định bởi phương trình (2). Chẳng hạn phương trình 2 2 2 0x y a   xác định hai hàm số ẩn 2 2y a x  và 2 2y a x   trong khoảng a x a   , vì khi thế chúng vào phương trình 2 2 2 0x y a   ta được đồng nhất thức.    2 2 2 2 0, ,x a x a x a a       Chý ý rằng không phải mọi hàm số ẩn đều có tể biểu diễn được dưới dạng  y f x . Chẳng hạn, hàm số ẩn xác định bởi phương trình: 0x yxy e e   không thể biểu diễn dưới dạng  y f x . Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số  ,F x y khả vi trừ một số điểm, hàm số  y f x khả vi. Lấy đạo hàm hai vế phương trình  , 0F x y  theo x , công thức (3.1) cho ta:    , , . ' 0x yF x y F x y y  Do đó  , 0yF x y  ta có     , ' , x y F x y y F x y   (3.3) Ví dụ 4: Tính 'y nếu 3 3 3 0x y axy   . Giải: Vì   3 3, 3F x y x y axy   khả vi trên toàn 2 nên theo công thức (3.3) ta có     2 2 2 2 , 3 3 ' , 3 3 x y F x y x ay x ayy F x y y ax y ax         nếu 2 0y ax  Ví dụ 5: Tính 'y nếu 0x yxy e e   Giải: Vì  , x yF x y xy e e   khả vi trên toàn 2 nên     , ' , x x y y F x y y ey F x y x e      nếu 0 yx e  3.2.2. Ta nói rằng hàm số hai biến số  ,z f x y là hàm số ẩn xác định bởi phương trình:  , , 0F x y z  (3.4) nếu   , , , 0F x y f x y  Với mọi ,x y thuộc miền xác định của f . Cũng như trong trường hợp trước, nếu  , ,F x y z khả vi thì trừ tại một số điểm đặc biệt hàm số  ,f x y khả vi. Lấy đạo hàm hai vế phương trình (3.4) đối với x và đối với y ta được lần lượt    , , , , . 0F F zx y z x y z x z x          , , , , . 0F F zx y z x y z y z y       Do đó, nếu  , , 0F x y z z   ta có     , , , , x z F x y zz x F x y z        , , , , y z F x y zz y F x y z    Ví dụ 6: Tính ,z z x y     , nếu  cosxyz x y z   . Giải: Vì    , , cosF x y z xyz x y z    khả vi trên 3 nên công thức trên cho ta         , , sin , , sin x z F x y z yz x y zz x F x y z xy x y z                  , , sin , , sin y z F x y z xz x y zz y F x y z xy x y z          §4. CỰC TRỊ 4.1. Cực trị của hàm số hai biến số 4.1.1. Định nghĩa: Ta nói rằng hàm số  ,z f x y đạt cực trị