Hệ giải toán hình học giải tích 3 chiều

1 2 • Giải các bài toán trong hình học giải tích 3 chiều • Xây dựng ngôn ngữ nhập đề bài 3 • Ví dụ 1 : Trong hệ trục Oxyz cho 2 điểm E, F và đường thẳng (d) . Giả sử E, F và (d) xác định. P là mặt phẳng thoả các quan hệ sau : E thuộc (P), F thuộc (P) và (d) // (P). Tìm phương trình tổng quát cuả mặt phẳng (P). • Ví dụ 2 : Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) đi qua M( 2, 1, -2) nhận a = ( 3, -5, 2) làm vector chỉ phương và đường thẳng (d’) đi qua N( 2, -1, 3) nhận b = ( 4, -6, 1) làm vector chỉ phương. 4 • Ví dụ 3 : Lập phương trình đường thẳng (d1), (d2): a/. Qua A( 1, 2, -1) và song song với đường thẳng (d) có phương trình x - 2y -z - 3 = 0; 2x + y + z + 5 = 0; b/. Qua B( 2, 0, 3) và song song với đường thẳng (d’) có phương trình ( x - 3)/(-1) = y/2 = (z + 1)/3. • Ví dụ 4 : Tính khoảng cách từ M( 2, 1, -3) đến mặt phẳng (P) và (Q). (P): 2x - 3y +7z -10 = 0 ; (Q): x = 1 - t1 + t2 y = 2t1 - t2 z = 2 - t1 - t2 5• VECTOR TRONG KHÔNG GIAN – Vector đồng phẳng: – Vector không đồng phẳng • TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Hệ trục tọa độ Đềcác – Tọa độ của điểm – Tọa độ một vector – Liên hệ giữa tọa độ của điểm và của vector a mb nc= + rr r x y z o e1 e2 e3 AB = ( xb - xa, yb - ya, zb - za) 6 • LIÊN HỆ TỌA ĐỘ GIỮA CÁC VECTOR – Vector không – Vector bằng nhau, đối nhau – Tổng, hiệu hai vector – Điều kiện cùng phương của 2 vector – Tích của một số thực và một vector – Tọa độ chia AB theo tỉ k ≠ 1 7 • TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VECTOR • VECTOR CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG • VECTOR CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG • PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG – Phương trình tham số – Phương trình tổng quát • PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG – Phương trình tham số – Phương trình chính tắc – Phương trình tổng quát 8 • CÁCH CHUYỂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT SANG DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ • CÁCH TÌM VTCP CỦA MỘT ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG • CÁCH TÌM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG - ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 9• SỰ SONG SONG – Hai đường thẳng song song với nhau – Đường thẳng song song với mặt phẳng – Hai mặt phẳng song song với nhau • HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU - ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG • CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐƯỜNG THẲNG LÊN MỘT MẶT PHẲNG 10 • CÁCH TÌM KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐIỂM - ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG • KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG - VỊ TRÍ CỦA HAI ĐIỂM ĐỐI VỚI MỘT MẶT PHẲNG • ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM - QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG - QUA MỘT MẶT PHẲNG • TỔNG SỐ KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT • GÓC TRONG KHÔNG GIAN 11 • Một bài toán gồm – Giả thiết – Kết luận: Yêu cầu hay mục tiêu của bài toán 12 • Giả thiết – Cho các đối tượng trong đó có một số đối tượng đã được xác định và các đối tượng khác thì chưa được xác định Ví dụ: cho điểm A(1, 2, 3) và mặt phẳng (P) có phương trình : 2x + 3y - z +5 = 0 là các đối tượng đã được xác định, đường thẳng (d) có duy nhất sự kiện là qua điểm A thì chưa được xác định. – Một số các thuộc tính của đối tượng có thể cho như các tham số. 13 • Giả thiết – Có thể có một số quan hệ hình học giữa các đối tượng được cho trong giả thiết Ví dụ như, cho đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P). – Một số quan hệ tính toán có thể được cho trong giả thiết Ví dụ như, u + v = w.(tổng vector u và v bằng vector w ) 14 • Yêu cầu hay mục tiêu của bài toán – Xác định một đối tượng hay một thuộc tính (hay vài thuộc tính) của một đối tượng – Tính giá trị của các tham số – Chứng minh quan hệ giữa các đối tượng – Chứng minh biểu thức liên hệ giữa các đối tượng – Tìm một số quan hệ giữa các đối tượng – Tìm biểu thức liện hệ giữa các đối tượng 15 • Một bài toán có thể được biểu diễn bằng các tập dưới đây: O = { O1, O2, ……, On }, R = { r1, r2, ……, rm }, F = { f1, f2, ……, fp }. • tập O gồm n đối tượng • R là tập của các sự kiện trên các quan hệ hình học giữa các đối tượng • F là tập gồm các biểu thức tính toán trên các đối tượng hay các thuộc tính của chúng 16 • Mục tiêu của bài toán: – Xác định một đối tượng. – Xác định một thuộc tính(hay một số thuộc tính) của một đối tượng. – Xem xét một quan hệ giữa các đối tượng. – Tìm mối quan hệ giữa các đối tượng. – Tìm một biểu thức liện hệ đến một số đối tượng. – Tính một tham số (hay một vài tham số). – Tính một giá trị liên hệ đến các đối tượng như khoảng cách giữa một điểm và một đường thẳng. 17 • Cho các điểm E và F, và đường thẳng (d). Giả sử rằng E, F, và (d) đã được xác định. (P) là mặt phẳng thỏa các quan hệ : E ∈ (P), F ∈ (P), và (d) // (P). Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P). KhôngPMặt phẳng CóDĐường thẳng CóFĐiểm CóEĐiểm Tính xác địnhTên đối tượngLoại đối tượng 18 • Cho các điểm E và F, và đường thẳng (d). Giả sử rằng E, F, và (d) đã được xác định. (P) là mặt phẳng thỏa các quan hệ : E ∈ (P), F ∈ (P), và (d) // (P). Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P). PD// PF∈ PE∈ Tên đối tượngTên đối tượngLoại quan hệ 19 • Cho các điểm E và F, và đường thẳng (d). Giả sử rằng E, F, và (d) đã được xác định. (P) là mặt phẳng thỏa các quan hệ : E ∈ (P), F ∈ (P), và (d) // (P). Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P). Các biểu thức : không có. Mục tiêu của bài toán : Phương trìnhPMặt phẳngThuộc tính Thuộc tínhTên đối tượng Đối tượng Mục tiêu 20 Bước 1 : Ghi nhận các đối tượng trong bài toán và mục tiêu của bài toán. Bước 2 : Khởi tạo lời giải là rỗng. Bước 3 : Ghi nhận các sự kiện đã cho (từ giả thiết) : Tính xác định của các đối tượng. Các quan hệ giữa các đối tượng. Các biểu thức liên hệ đến các đối tượng. Các thuộc tính đã được xác định của các đối tượng. Bước 4 : Kiểm tra mục tiêu. if mục tiêu được đáp ứng then goto Bước 9. 21 Bước 5 : Tìm luật có thể áp dụng để phát sinh sự kiện hay đối tượng mới. Bước 6 : if tìm trong Bước 5 thất bại then Kết luận : “Không tìm thấy lời giải “, và kết thúc. Bước 7 : if tìm trong bước 5 thành công then Ghi nhận thông tin về luật vừa tìm vào lời giải, và sự kiện mới hay đối tượng mới được phát sinh bởi việc áp dụng các luật 22 Bước 8 : Goto Bước 4. Bước 9 : Biến đổi lời giải tìm được. 23 • Luật 1 (Rule 1) : Ưu tiên sử dụng các luật cho việc xác định đối tượng, các đặc trưng của đối tượng • Luật 2 (Rule 2) : Ưu tiên sử dụng các luật cho việc phát sinh các quan hệ mới liên quan đến mục tiêu. • Luật 3 (Rule 3) : Ưu tiên sử dụng các luật cho việc phát sinh các đối tượng mới liên quan đến mục tiêu • Luật 4 (Rule 4) : Ưu tiên sử dụng bước quay lui trong trường hợp nó có một nhánh. • Luật 5 (Rule 5) : Ưu tiên xác định đối tượng có quan hệ đến mục tiêu • Luật 6 (Ruel 6) : Nếu một tham số cần được xác định thì chúng ta sẽ sử dụng các luật cho việc tính toán và các phép toán • Luật 7 (Rule 7) :Nếu chúng ta không phát sinh đối tượng mới hay sự kiện mới thì sử dụng các tham số và phương trình 24 Luật 1 (Rule 1) : Ưu tiên sử dụng các luật cho việc xác định đối tượng, các đặc trưng của đối tượng • Một điểm có các tọa độ đã biết thì được xác định. • Một điểm là điểm đối xứng của một điểm xác định qua đường thẳng hay mặt phẳng xác định thì được xác định. • Một điểm là điểm chiếu của một điểm xác định lên đường thẳng hay lên mặt phẳng xác định thì được xác định. • Một vector có các tọa độ đã biết thì được xác định. • Một vector có điểm ngọn và điểm gốc đã xác định thì được xác định. • Một đường thẳng có phương trình đã biết thì được xác định • ………………. 25 Luật 2 (Rule 2) : Ưu tiên sử dụng các luật cho việc phát sinh các quan hệ mới liên quan đến mục tiêu • Cho vector u // v , u ⊥ w ⇒ v ⊥ w. • Cho vector u ⊥ v , u // w ⇒ v ⊥ w. • Đường thẳng (d) // mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) cùng phương với vector u ⇒ u // (P). • Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), đường thẳng (d’) // (P) và (d’) // (Q) ⇒ (d) // (d’). • Đường thẳng (d) ⊥ đường thẳng (d’) và (d’) // vector u. Khi đó, ta có : (d) ⊥ u. • ……………… 26 Luật 3 (Rule 3) : Ưu tiên sử dụng các luật cho việc phát sinh các đối tượng mới liên quan đến mục tiêu • Một mặt phẳng có 2 điểm đã xác định ⇒ phát sinh một vector chỉ phương của mặt phẳng. • Một đường thẳng (d) đã xác định và (d) // mặt phẳng (P) ⇒ phát sinh một vector chỉ phương của mặt phẳng. • Một đường thẳng (d) đã xác định và (d) ⊥ mặt phẳng (P) ⇒ phát sinh một vector pháp tuyến của mặt phẳng (P). • Một đường thẳng (d) đã xác định và (d) ⊂ mặt phẳng (P) ⇒ phát sinh một vector chỉ phương của mặt phẳng (P) và một điểm thuộc mặt phẳng (P). • …………… 27 Bước 1 : Ghi nhận các đối tượng trong bài toán và mục tiêu của bài toán. Bước 2 : Khởi tạo lời giải là rỗng. Bước 3 : Ghi nhận các sự kiện đã cho (từ giả thiết) : Tính xác định của các đối tượng. Các quan hệ giữa các đối tượng. Các biểu thức liên hệ đến các đối tượng. Các thuộc tính đã được xác định của các đối tượng. Bước 4 : Kiểm tra mục tiêu. if mục tiêu được đáp ứng then goto Bước 11. 28 Bước 5 : Sử dụng các luật heuristic để chọn hướng tốt cho việc phát sinh các sự kiện mới hay các đối tượng và đáp ứng một tình huống mới. Bước 6 : if chọn trong Bước 5 thành công then Ghi nhận một bước vào lời giải, và goto Bước 4. Bước 7 : Tìm luật nào đó có thể áp dụng để phát sinh các sự kiện mới hay các đối tượng mới. 29 Bước 8 : if tìm trong Bước 7 thất bại then Kết luận : “ Không tìm thấy lời giải “, và kết thúc. Bước 9 : if tìm trong Bước 7 thành công then Ghi nhận thông tin về luật đã tìm vào lời giải và các sự kiện mới hay các đối tượng mới được phát sinh bởi việc áp dụng luật. Goto 4 Bước 11 : Biến đổi lời giải tìm được. 30 • Mẫu 1 : Tìm mặt phẳng qua đường giao tuyến của 2 mặt phẳng và qua một điểm. • Mẫu 2 : Tìm mặt phẳng qua 2 đường thẳng. • Mẫu 3 : mặt phẳng vuông góc với 2 mặt phẳng và qua một điểm. • Mẫu 4 : Tìm đường thẳng là hình chiếu của một đường thẳng lên một mặt phẳng cho trước 31 • Thuật toán cho việc kiểm tra tính xác định của mặt phẳng (P ) • Thuật toán cho việc kiểm tra tính xác định đường thẳng (d) 32 1.Tính số điểm đã được xác định trong (P) : d. 2. Tính số vector đã được xác định vuông góc với (P) : n. 3. if (d ≥ 1) and (n ≥ 1) then (P) đã được xác định else continue bước 4. 4. if (d ≥ 3) and (ở đó 3 điểm thuộc (P) là không thẳng hàng) then mặt phẳng (P) đã được xác định. else continue bước 5. 5. Tính số vector đã được xác định song song với (P) : u. 6. if (d ≥ 1) and (u ≥ 2) and (ở đó 2 vectors u1, u2 không cùng phương ) then mặt phẳng (P) đã được xác định. 33 1. Tính số điểm đã được xác định trong (d) : p. 2. Tính số vector đã được xác định song song với (d) : u. 3. if (p ≥ 1) and (u ≥ 1) then đường thẳng (d) đã được xác định else continue bước 4. 4. if (p ≥ 2) then đường thẳng (d) đã được xác định. else continue bước 5. 5. Tính số vector đã được xác định vuông góc với (d) : n. 6. if (p ≥ 1) and (n ≥ 2) and (ở đó 2 vectors n1, n2 không cùng phương ) then đưòng thẳng (d) đã được xác định. 34 • Ví dụ 1 : Cho điểm E và F, và đường thẳng (d). Giả sử rằng E, F và (d) đã được xác định. (P) là mặt phẳng thỏa các quan hệ sau : E ∈ (P), F ∈ (P) và (d) // (P). Tìm phương trình tổng quát của (P). 1. E ∈ (P), F ∈ (P) phát sinh một vector v // (P). (Luật 2 & 3) 2. (d) // (P) phát sinh một vector u // (P). (Luật 3) 3. (P) đã được xác định. (Luật 1) 4. Chúng ta có phương trình của (P) từ đối tượng (P). (Luật 1) 35 • Cho mặt phẳng (Q1) và (Q2), và đường thẳng (d). Giả sử rằng, (Q1), (Q2), và (d) đã được xác định. (P) là mặt phẳng thỏa các quan hệ : (d) // (P), và (P) qua giao tuyến của (Q1) và (Q2). Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P).(d) // (P) phát sinh một vector u // (P). (Luật 3) Phát sinh một đường thẳng (d’) sao cho : (d’) ⊆ (P), (d’) ⊆ (Q1), (d’) ⊆ (Q2). (d’) đã được xác định. Phát sinh một điểm M đã xác định trong (P) và vector v // (P). (P) đã được xác định. (Luật 1) Chúng ta có phương trình của (P) từ đối tượng (P). (Luật 1) 36 • Cho 2 đường thẳng (d) và (d’), vector u. Giả sử rằng (d), u đã được xác định và có các quan hệ : vector u cùng phương với (d’). (P) là mặt phẳng thỏa : (d) ∈ (P) và (d’) // (P) ((d) không // (d’)). Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P). 1. (d) ∈ (P) phát sinh một vector v // (P) và một điểm M đã xác định trong (P). (Luật 3) 2. (d’) // (P) và (d’) chưa xác định, mà (d’) // u. 3. Phát sinh một vector u // (P). (Luật 2) 4. (P) đã được xác định. (Luật 1) 5. Chúng ta có phương trình của (P) từ đối tượng (P). (Luật 1) 37 38 Hypothesis Objects …… các khai báo kiểu đối tượng. Relation …….các quan hệ hình học giữa các đối tượng. Expression ……..các biểu thức. Determination ……..các đối tượng đã được xác định. EndHypothesis Goal ………các mục tiêu của bài toán. EndGoal 39 • Hypothesis : Từ khóa này chỉ định bắt đầu giả thiết của bài toán. • EndHypothesis : Từ khoá chỉ định kết thúc giả thiết của bài toán. 40 Ví dụ 1 : Trong Oxyz, cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). Với giả thiết trên của bài toán, ta sẽ đặc tả như sau : Objects Plane P ; Line d ; Ví dụ 2 : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1, 2, 3) và mặt phẳng (P) có phương trình : 3x + 2y + 5z + 10 = 0. Với giả thiết trên, ta sẽđặc tả như sau : Objects Point A(1, 2, 3) ; Plane P( 3*x + 2*y + 5*z + 10 = 0 ) ; 41 Relation : từ khóa chỉ định khai báo các quan hệ hình học (nếu có) trong bài toán (chẳng hạn : quan hệ song song, vuông góc …..). • Ví dụ : Cho đường thẳng (d) song song mặt phẳng (P) • Relation • d par P ; // par sẽ giới thiệu trong phần tiếp theo 42 • Expression : khai báo các biểu thức có trong bài toán – Expression u + v = w ; • Determination : chỉ định các đối tượng được khai báo trên Objects đã được xác định. Cho cả trường hợp đối tượng xác định chung. – Determination E, F ; 43 • Goal : chỉ định bắt đầu yêu cầu hay mục tiêu cuả bài toán. • EndGoal : Kết thúc yêu cầu hay mục tiêu cuả bài toán. – Ví dụ: : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1, 2, 3) và vector u = ( 4, 5, 6). Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và nhận u làm vector chỉ phương. Goal d ; EndGoal 44 • Các từ khoá kiểu đối tượng: Point, Vector, Plane, Line và Pram • Các từ khoá quan hệ: bel, per(vuông góc), par (song song), des, src, align • Các từ khoá quan hệ biểu thức: cut, pro, sym, % , mid , cor, dir, • Các từ khoá mục tiêu Goal: : ProveRel , ProveExp , FindRel , FindExp 45 • Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 1, 2, 3) – Objects Point A( 1, 2, 3) ; • Trong không gian Oxyz, cho vector u( 2, 3, 4). – Objects Vector u( 2, 3, 4); • Cho mp (P) : x + y - z + 1 = 0 – Objects Plane P(x + y - z + 1 = 0); 46 • Cho đường thẳng (d) : x + y - z + 1 = 0 , 2x + 3y -5z -1 = 0. – Objects Line d(x + y - z + 1 = 0 , 2*x + 3*y -5*z -1 = 0); • Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1, 2, m), với m là tham số. – Objects Point A(1, 2, m) ; Pram m ; 47 • Cho A( 1, 2, 3) thuộc đường thẳng (d) – Relation A bel d ; • Cho đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng (P) – Relation d per P ; • Cho mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) – Relation P par Q; 48 • Cho vector v được tạo thành từ hai điểm A và B – Relation A des v ; B src v ; • Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng – Relation align ( A, B, C) ; 49 • cut : phép giao của đường thẳng - đường thẳng ; đường thẳng - mặt phẳng ; mặt phẳng - mặt phẳng – đối_tượng1 cut đối_tượng2 = đối_tượng3 Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) với đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). – Relation P cut Q = d ; 50 • pro : phép chiếu cuả một điểm lên đường thẳng - mặt phẳng hay đường thẳng lên mặt phẳng – đối_tượng1 pro đối_tượng2 = đối_tượng3 – cho đường thẳng (d) không vuông góc với mặt phẳng (P), (d) có hình chiếu lên (P) là đường thẳng (d’) – Relation d pro P = d’; 51 • sym : phép đối xứng cuả một điểm qua đường thẳng - mặt phẳng hay cuả đường thẳng qua mặt phẳng – đối_tượng1 sym đối_tượng2 = đối_tượng3 – cho điểm A không thuộc mặt phẳng (P), điểm B là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P) – Relation A sym P = B; 52 • % : chỉ khoảng cách giữa hai đối tượng điểm - điểm ; điểm - đường thẳng ; điểm - mặt phẳng – đối_tượng1 % đối_tượng2 = đối_tượng3 – Trong không gian Oxyz, cho điểm A và đường thẳng (d) có khoảng cách là h . Objects Point A ; Line d ; Pram h; Relation A % d = h ; 53 • mid : trung điểm của hai điểm – đối_tượng1 mid đối_tượng2 = đối_tượng3 • cor : góc giữa 2 vector, 2 đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, 2 mặt phẳng – đối_tượng1 cor đối_tượng2 = đối_tượng3 • dir : tích hữu hướng của hai vector – đối_tượng1 dir đối_tượng2 = đối_tượng3 54 • ProveRel(…) : chứng minh mệnh đề quan hệ giữa các đối tượng hình học. – ProveRel( mệnh đề quan hệ 1, mệnh đề quan hệ 2,…) – Ví dụ : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) vuông góc với vector u và mặt phẳng (P) nhận u làm vector pháp tuyến. Chứng minh rằng : đường thẳng (d) song song mặt phẳng (P). Goal ProveRel( d par P); EndGoal 55 • ProveExp(…) : chứng minh biểu thức liên hệ giữa các đối tượng hình học hay tham số – ProveExp( biểu thức 1, biểu thức 2,….) – Ví dụ: Trong không gian Oxyz,cho vector u = ( 1, 2, 3), vector v=( 2, 3, 4) và vector w = ( 3, 5, 7). Chứng tỏ : u + v = w Goal ProveExp( u + v = w ); EndGoal 56 • FindRel(…) : Tìm quan hệ giữa các đối tượng hình học – FindRel( đối_tượng1, đối_tượng2,…) • FindExp(…) : Tìm biểu thức liên hệ giữa các đối tượng – FindExp( đối_tượng1, đối_tượng2, ….) 57 Các qui ước chung cho ngôn ngữ qui ước(SAG) • Khai báo tên biến – Mỗi biến đối tượng sử dụng trong phần đặc tả bài toán đều được lưu trữ bằng tên của chúng được gọi là tên biến đối tượng – Tên biến đối tượng phân biệt chữ in và chữ thường • Khai báo biến – Kiểu_đối_tượng dsách_tên_đối_tượng – Trong khi khai báo tên biến đối tượng có thể gán tọa độ hay phương trình của đối tượng ngay sau tên biến Point A(1, 2, 3) ; 58 • Các toán tử số học: – Phép toán cộng (+), trừ (-) : – Phép nhân (*), chia (/