Hệ thống hóa các bài tập về Vectơ

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh Khoa Toán – Tin học HỆ THỐNG HÓA CÁC BÀI TẬP VỀ VECTƠ Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Mục lục Mục lục.............................................................................................................. 2 I. Hệ thống những dạng toán có thể giải bằng phương pháp vector. ................ 5 1. Sơ lược chung. ...................................................................................... 5 2. ................................................................................................................ 6 2.1 - Các kiến thức cần nhớ. ..................................................................... 6 2.1.1 - Tổng, hiệu của hai vector .......................................................... 6 2.1.1.1 - Khái niệm ........................................................................... 6 2.1.2 - Tích của một vector với một số ................................................. 6 2.1.2.1 - Khái niệm ........................................................................... 6 2.1.2.2 - Tính chất ............................................................................. 7 2.1.3 - Tích vô hướng của hai vector .................................................... 7 2.1.3.1 - Khái niệm ........................................................................... 7 2.1.3.2 - Tính chất ............................................................................. 7 2.1.3.3 - Một số công thức tọa độ thường dùng ................................ 8 2.1.4 - Tích có hướng của hai vector .................................................... 8 2.1.4.1 - Khái niệm ........................................................................... 8 2.1.4.2 - Một số tính chất .................................................................. 8 2.1.4.3 - Ứng dụng của tích có hướng .............................................. 8 2.2 - Các kĩ thuật thường dùng ................................................................. 8 2.3 - Một số dạng bài tập .......................................................................... 9 2.3.1 - Tính độ dài của đoạn thẳng. ...................................................... 9 2.3.1.1 - Phương pháp ....................................................................... 9 2.3.1.2 - Bài tập áp dụng ................................................................... 9 2.3.2 - Tính số đo góc. ........................................................................ 11 2.3.2.1 - Phương pháp ..................................................................... 11 2.3.2.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 11 Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2.3.3 - Tính diện tích, thể tích ............................................................. 13 2.3.2.1 - Phương pháp ..................................................................... 13 2.3.2.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 13 2.3.4 - Tính khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian. ........ 14 2.3.4.1 - Phương pháp ..................................................................... 14 2.3.4.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 15 3. Hệ thống các bài tập về tính chất - chứng minh. .................................... 15 3.1 - Các kiến thức cần nhớ .................................................................... 15 3.1.1 - Các phép toán về vector .......................................................... 15 3.1.2 - Một số tính chất khác cần lưu ý ............................................... 15 3.2 - Một số dạng bài tập ....................................................................... 16 3.2.1 - Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức hình học. .............. 16 3.2.1.1 - Phương pháp ..................................................................... 16 3.2.1.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 16 3.2.2 - Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song, đồng quy hoặc vuông góc. ........................................................................... 19 3.2.2.1 - Phương pháp. .................................................................... 19 3.2.2.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 20 3.2.3 - Các bài toán hình học khác có thể giải bằng phương pháp vector. ............................................................................................................. 26 3.2.3.1 - Phương pháp ..................................................................... 26 3.2.3.2 - Bài tập áp dụng. ................................................................ 26 4. Hệ thống các bài tập về tìm tập hợp điểm. ............................................. 28 4.1 - Các kiến thức cần nhớ .................................................................... 28 4.1.1 - Các phép toán về vector .......................................................... 28 4.1.2 - Bổ sung .................................................................................... 28 4.1.3 - Phương pháp. ........................................................................... 28 4.2 - Bài tập áp dụng ............................................................................... 28 5. Hệ thống các bài tập đại số - giải tích có thể giải bằng phương pháp vector ..................................................................................................................... 29 5.1 - Các kiến thức cần nhớ .................................................................... 29 Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 5.1.1 - Các phép toán trên vector ........................................................ 29 5.1.2 - Một vài kiến thức khác ............................................................ 30 5.2 - Một số dạng bài tập ........................................................................ 30 5.2.1 - Chứng minh đẳng thức lượng giác .......................................... 30 5.2.1.1 - Phương pháp. .................................................................... 30 5.2.1.2 - Bài tập áp dụng. ................................................................ 30 5.2.2 - Chứng minh bất đẳng thức ...................................................... 31 5.2.2.1 - Phương pháp ..................................................................... 31 5.2.2.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 31 5.2.3 - Giải phương trình, hệ phương trình ......................................... 33 5.2.3.1 - Phương pháp ..................................................................... 33 5.2.3.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 33 II - Đối chiếu và nhận xét với hệ thống bài tập sách giáo khoa. .................... 36 1. Hệ thống bài tập sách giáo khoa ............................................................. 36 2. Một vài nhận xét ......................................................................................... III. PHỤ LỤC ...................................................................................................... Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Thực hành 2: 1. Hệ thống hóa những dạng toán có thể giải bằng PPVT.Kiến thức cần thiết để giải quyết?VD minh họa. 2. Đối chiếu với hệ thống bài tập trong SGK. Nhận xét ? Bài làm I. Hệ thống những dạng toán có thể giải bằng phương pháp vector. 1. Sơ lược chung. Những bài toán có thể giải bằng phương pháp vector thường xuất phát từ những đặc trưng về vector ( khái niệm - tính chất - phép toán). Phân tích những đặc trưng này, ta có thể thống kê hệ thống các bài tập như sau 1/ Hệ thống các bài tập tính toán. 1.1 - Tính các đại lượng hình học. (độ dài của đoạn thẳng, góc giữa hai vector, giữa hai đường thẳng, giữa hai mặt phẳng) 2/ Hệ thống các bài tập về tính chất - chứng minh. 2.1 - Chứng minh đẳng thức vector, đẳng thức hình học. 2.2 - Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song nhau. 2.3 - Chứng minh các đường thẳng đồng quy. 2.4 - Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. 2.5 - Các bài toán hình học khác có thể giải bằng phương pháp vector. 3/ Hệ thống bài tập về tìm tập hợp điểm. 3.1 - Tìm tập hợp điểm mà giả thiết có liên quan đến tích vô hướng hoặc độ dài đoạn thẳng. Nhận xét: Nhìn chung, hệ thống bài tập phần này đa dạng, phong phú và cách giải rất phức tạp đòi hỏi tư duy và sự phân tích rất tinh tế. 4/ Hệ thống các bài tập đại số - giải tích có thể giải bằng phương pháp vector 4.1 - Đẳng thức lượng giác. 4.2 - Bất đẳng thức. 4.3 - Phương trình. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Nhận xét: Việc chuyển từ ngôn ngữ đại số sang hình học và giải bằng vector rất khó khăn, cần có sự đầu tư suy nghĩ, nghiên cứu rất nghiêm túc cùng việc rèn luyện trên một hệ thống bài tập đa dạng mới có thể đạt được những thành tựu cần thiết. 2. Hệ thống các bài tập tính toán. 2.1 - Các kiến thức cần nhớ. 2.1.1 - Tổng, hiệu của hai vector 2.1.1.1 - Khái niệm Tổng của hai vector: Cho hai vector ,a b . Lấy 1 điểm A tùy ý và dựng hai điểm B, C thỏa ,AB a BC b  . Khi đó, a b AC  Hiệu của hai vector: Hiệu của vector a với vector b là tổng của a với vector đối của b hay a b a b   2.1.1.2 - Tính chất - quy tắc Quy tắc 3 điểm: Cho 3 điểm A, B, C. Khi đó ta có AB AC CB  . Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, khi đó AB AC AD  . Tính chất: Với , ,a b c bất kì ta có 1. Giao hoán : a b b a   2. Kết hợp:    a b c a b c     3. Tính chất của vector - không: 0 0a a a    Lưu ý: 1. Điểm I là trung điểm AB khi và chỉ khi 0IA IB  2. Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi 0GA GB GC   2.1.2 - Tích của một vector với một số 2.1.2.1 - Khái niệm - Tích của vector a với một số thực k được kí hiệu là .k a , được xác định như sau: 1. Nếu 0k  thì vector .k a cùng hướng vector a và ngược lại. 2. Độ dài vector .k a là .k a Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2.1.2.2 - Tính chất - Với hai vector bất kì ,a b và mọi số thực k, l ta có: 1. ( ) ( )k la kl a 2. ( ). . .k l a k a l a   3. ( )k a b ka kb   4. . 0k a  khi và chỉ khi 0 0k a   2.1.3 - Tích vô hướng của hai vector 2.1.3.1 - Khái niệm - Góc giữa hai vector: cho hai vector ,a b đều khác vector - không, lấy một điểm O bất kì và dựng ,OA a OB b  . Khi đó, góc 0 00 180OAB  gọi là góc giữa hai vector ,a b và kí hiệu là ( , )a b . - Tích vô hướng giữa hai vector: cho hai vector ,a b , khi đó, tích vô giữa chúng được xác định như sau . . . cos( , )a b a b a b 2.1.3.2 - Tính chất Với 3 vector , ,a b c tùy ý và số thực k. Ta có các tính chất sau 1.   0. . , 0a b a b a b   2.   0. . , 180a b a b a b    3.   0. 0 , 90a b a b   3.   2 2 a a 4. . .a b b a 5.    . . . . . ( . )k a b a k b k a b  6. .( ) . .a b c a b a c   7. 2 2 22 .AB AC AB AC BC   với 3 điểm A, B, C bất kì. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2.1.3.3 - Một số công thức tọa độ thường dùng 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vector ( , ), ( ', ')a x y b x y  . . ' . 'a b x x y y   2 2 2 2 . ' . ' cos( , ) ' . ' x x y y a b x x y y     (với 0a b,  ) 2. Trong không gian Oxyz cho hai vector 1 2 3 a a a a( , , ) , 1 2 3 b b b b( , , )  1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b. . . .    1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a b a b a ba b a b a b a a a b b b . cos( , ) . .         (với 0a b,  ) 2.1.4 - Tích có hướng của hai vector 2.1.4.1 - Khái niệm - Tích có hướng giữa hai vector 1 2 3a a a a( , , ) , 1 2 3b b b b( , , ) được xác định bởi công thức    2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b , ; ; ; ;                2.1.4.2 - Một số tính chất 1.  i j k j k i k i j, ; , ; ,         2. a b a a b b[ , ] ; [ , ]  3.  a b a b a b[ , ] . .sin , 4. a b, cuøng phöông 0a b[ , ]  2.1.4.3 - Ứng dụng của tích có hướng 1. Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô: a b, vaø c ñoàng phaúng  0a b c[ , ] .  2. Dieän tích hình bình haønh ABCD: ABCDS AB AD,     3. Dieän tích tam giaùc ABC: 1 2ABC S AB AC,     4. Theå tích khoái hoäp ABCD.ABCD: ABCD A B C DV AB AD AA. ' ' ' ' [ , ]. ' 5. Theå tích töù dieän ABCD: 1 6ABCD V AB AC AD[ , ] . 2.2 - Các kĩ thuật thường dùng 1. Thu gọn biểu thức vector. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2. Phân tích một vector theo các vector cơ sở. 3. Xác định góc giữa hai vector và tính tích vô hướng giữa chúng. 4. Đặt hệ tọa độ thích hợp để sử dụng công thức tích có hướng và các công thức tọa độ có liên quan đến vector khác. 2.3 - Một số dạng bài tập. 2.3.1 - Tính độ dài của đoạn thẳng. 2.3.1.1 - Phương pháp Chọn 1 hệ vector cơ sở (biết độ dài và góc giữa các vector), phân tích vector cần tính độ dài theo các vector cơ sở đó rồi bình phương hai vế và thu gọn. 2.3.1.2 - Bài tập áp dụng Nói chung, dạng bài tập này không khó. Đòi hỏi sự biến đổi khéo léo và tính toán cho thật cẩn thận. Để tránh đi việc sử dụng ngôn ngữ vector cũng như tăng tính phức tạp cho bài toán, tôi sẽ chuyễn tất cả các đề bài theo ngôn ngữ thuần túy hình học và khi giải quyết cần đưa về ngôn ngữ vector. Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3 và góc A là 300.Lấy 2 điểm X, Y trên tia AB, AC sao cho AX = 3AB và AY = 4AC, dựng hình bình hành AXDY. Lấy điểm M là trung điểm AD. Tính độ dài đoạn AM, và GM với G là trọng tâm tam giác ABC. Điểm M cho như trên sẽ thỏa đẳng thức 2 3 4 0MA MB MC   . Bài toán này thuần túy áp dụng phương pháp đã nêu trên: biểu diễn 2 vector ,AM GM theo hai vector ,AB AC rồi bình phương hai vế. Với lưu ý là đã biết độ dài AB, AC và góc A. Ta sẽ giấu bớt đi tính cơ bản bằng cách thay đổi giả thiết một chút Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Lấy điểm M sao cho khi lấy D trên tia MB thỏa MD = 3MB và dựng hình bình hành MAKD thì C là trung điểm MK. Tính độ dài AM và IM với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.  Với yêu cầu như vậy thì điểm M sẽ thỏa đẳng thức 3 2MA MB MC  . Ở đây, có hai vấn đề: 1. Chọn 2 vector cơ sở nào khi chưa biết góc nào cả? Ta có thể giải quyết bằng cách sử dụng công thức: 2 2 22 .AB AC AB AC BC   và cần nhớ là yếu tố góc cũng chỉ để tính tích vô hướng và ta hoàn toàn có thể tính .AB AC khi chưa biết góc giữa chúng bằng công thức trên. 2. I là tâm đường tròn nội tiếp thì biểu diễn IM như thế nào? Việc này cần nhắc lại kiến thức cũ: Nếu I là tâm đường tròn nội tiếp thì ta có 0aIA bIB cIC   và kĩ thuật tách khá khéo léo IM IA AM  . Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Nhận xét 1: Các đẳng thức vector đã cho hoàn toàn có thể đổi các hệ số và ta có thể mở rộng ra trên đa giác, miễn là tìm được một cơ sở thích hợp. Có thể thấy rằng, chỉ cần biến đổi khéo léo và vận dụng các kiến thức cơ bản ta hoàn toàn có thể giải quyết các bài toán tương tự như vậy. Nhưng từ đây, cũng nảy ra ý tưởng về các bài toán ngược Bài 3: Cho tam giác ABC với AB = 2, AC = 4. Lấy điểm M thỏa yêu cầu như bài 2 . Biết AM = 5, tính BC?  Đầu tiên, cần đưa điều kiện của điểm M về thỏa một đẳng thức vetor: 3 2MA MB MC  Thực chất, đây là một bài toán giải phương trình. Ta chỉ cần là tương tự như bài toán 1, 2 đến khi thu được đẳng thức cuối chỉ gồm AM, AB, AC và .AB AC thì thay số vào và dùng công thức 2 2 22 .AB AC AB AC BC   để có được đáp số. Tuy nhiên, sự thay đổi này cũng gây khá nhiều khó khăn cho học sinh nếu các em chỉ học theo kiểu “học 1 biết 1”. Có thể nâng tầm bài toán lên thêm một chút nữa Bài 4: Cho tam giác ABC với AB = 2, góc A là 450. Lấy điểm M thỏa yêu cầu như bài 2. Biết AM = 5, tính số đo góc A?  Cách làm vẫn tương tự như bài 3, chỉ khác là phải giải một phương trình bậc 2. Đối với bài sau, việc giải sẽ không còn đơn giản nữa dù cách làm vẫn là bắt chước hai bài trên nhưng ta đưa về việc giải hệ phương trình đẳng cấp. Đây không phải là vấn đề mà em nào cũng nghĩ ra được. Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A là 600. Lấy điểm M sao cho C đối xứng với trung điểm AB qua M. Lấy điểm N thỏa 3 5 0NA NB NC   . Biết rằng AM = 2 và AN = 3. Tính độ dài AB, AC.  Điểm M thỏa hệ thức 2 0MA MB MC   Nhận xét 2: Với công cụ vector, ta có thể đưa ra những lời giải nhẹ nhàng và tinh tế hơn so với việc dùng các phương pháp khác. Bài toán có thể chuyển đổi linh hoạt từ tính toán đơn thuần trở về giải các phương trình, hệ phương trình đại số. Ta đưa thêm một bài toán của dạng này, đây là bước ngoặt khá hay cho sự liên kết hình học - đại số mà tiêu biểu là chuyển từ một bài hình về một bài bất phương trình. Có thể nói rằng, việc giải bài toán này bằng phương pháp hình học thuần túy là bất khả thi. Bài 6: Cho tam giác ABC có góc A là 600. Trên các đường thẳng AB, AC lấy hai điểm M, N sao cho AM + AN = 5. Dựng hình bình hành AMDN. Tìm điều kiện của đoạn AM để D luôn nằm trong đường tròn tâm A, bán kính 3. Nhận xét 3: Không lí do gì ngăn cản việc mở rộng phương pháp này cho các bài toán trong không gian với cách làm hoàn toàn tương tự. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có các góc ở đỉnh đều là 600 và SA = 2, SB = SC = 3. Lấy G là trọng tâm tam giác, M thỏa điều kiện như bài 5. Tính độ dài đoạn SG, SM và MG. Nhận xét 4: Hệ thống bài tập về việc tính độ dài đoạn thẳng ở chương trình SGK rất ít, tập trung chủ yếu ở phần “hệ thức lượng trong tam giác” và phương pháp giải là dùng các hệ thức lượng giác. Tuy nhiên, các bài tập vừa nêu rất khó khăn khi giải bằng những hệ thức lượng quen thuộc. 2.3.2 - Tính số đo góc. 2.3.2.1 - Phương pháp Cách 1: Chủ yếu sử dụng công thức: 1. . cos( , ) . a b a b a b  (một hệ quả thường dùng: . cos . AB AC ABC AB AC  ) 2. . cos( , ') . a b d d a b  ( với ,a b là các vector chỉ phương của 2 đường thẳng d và d’) Cách 2: Lập một hệ tọa độ phù hợp và sử dụng các công thức tọa độ được thiết lập từ tích vô hướng của hai vector. (mặc dù đây không hẳn là dùng phương pháp vector, nhưng về cơ bản: Những công thức được dùng vốn được thiết lệp từ các phép toán trên vector. Hơn nữa lại rất thuận lợi cho việc tính góc trong không gian) 2.3.2.2 - Bài tập áp dụng Nối tiếp các dạng bài tập về tính độ dài đoạn thẳng, ta thấy để là được dạng này thì việc cơ bản là tính độ dài và tích vô hướng. Các dạng bài về góc thường mang tính khái quát cao, không phụ thuộc nhiều vào số liệu ( tức là cho như thế nào vẫn được). a/ Các bài tập về góc trong tam giác. Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và góc A là 300. Lấy điểm M thỏa.. ( một điều kiện hình học có thể chuyển về một đẳng thức vector nào đó phù hợp, ví dụ 3 2 0MA MB MC   ). Tính góc MAB.  Chỉ đơn thuần dùng công thức . cos . MA MB AMB MA MB  , việc tính tích vô hướng .MA MB hay tính độ dài MA, MB đã được luyện tập thuần thục ở dạng trước. Tất nhiên, với cách làm tương tự ta có thể giải quyết bài toán sau Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và góc A là 300. Lấy điểm M, N thỏa ( một điều kiện hình học thuần túy nào đó cò thể chuyển về một đẳng thức vector nào đó phù hợp, ví dụ 3 2 0MA MB MC   , 2 0NA NB MC   , vấn đề chuyển đổi qua lại này không khó, nên sẽ không trình bày quá chi tiết ở đây). Tính góc MAN. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Các bài toán trên vẫn chưa hay vì các điểm được cho dưới dạng đẳng thức vector, điều này khiến việc biểu diễn the