1. Định nghĩa
• Phương sai sai số thay đổi sảy ra khi giả thiết:
Var(Ui) = σ2 bị vi phạm
Khi giả thiết phương sai sai số đồng đều bị vi phạm thì mô hình hồi quy gặp phải hiện tượng này.
2. Nguyên nhân
• Do bản chất của vấn đề kinh tế
• Do kỹ thuật thu thập và sử lý số liệu
• Con người rút được kinh nghiệm từ quá khứ
• Có các quan sát ngoại lai (quan sát khác biệt rất nhiều với các quan sát khác trong mẫu)
• Mô hình định dạng sai, bỏ sót biến thích hợp hoặc dạng giải tích của hàm là sai.
7 trang |
Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 2506 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem nội dung tài liệu Hiện tượng phương sai thay đổi, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI
I – Lý thuyết
1. Định nghĩa
Phương sai sai số thay đổi sảy ra khi giả thiết:
Var(Ui) = σ2 bị vi phạm
Khi giả thiết phương sai sai số đồng đều bị vi phạm thì mô hình hồi quy gặp phải hiện tượng này.
2. Nguyên nhân
Do bản chất của vấn đề kinh tế
Do kỹ thuật thu thập và sử lý số liệu
Con người rút được kinh nghiệm từ quá khứ
Có các quan sát ngoại lai (quan sát khác biệt rất nhiều với các quan sát khác trong mẫu)
Mô hình định dạng sai, bỏ sót biến thích hợp hoặc dạng giải tích của hàm là sai.
3. Hậu quả
Các ước lượng bình phương nhỏ nhất β^ là ước lượng tuyến tính không chệch nhưng không hiệu quả.
Các ước lượng của các phương sai là các ước lượng chệch
=> Làm giá trị của thông kê T& F mất ý nghĩa.
Các bài toán về ước lượng & kiểm định dự báo khi sử dụng thông kê T&F là không đáng tin cậy
4. Phương pháp phát hiện
Phương pháp đồ thị phần dư
Sử dụng tiêu chuẩn kiểm định
Kiểm định Park
Kiểm định Glejser
Kiểm định White No cross terms (Kiểm định White không lát cắt)
Phương pháp đồ thị phần dư
Ta hồi quy mô hình hồi quy gốc
Yi=β1+ β2X2i+β3X3i+….+βkXki+Ui
Ta thu được phần dư ei
Vẽ đồ thị phần dư ei(ei2) đối với Xi(hoặc với Ŷi trong trường hợp hồi quy nhiều biến)
Nếu độ rộng của biểu đồ phần dư tăng hay giảm khi X tăng thì giả thiết về phương sai hằng số có thể không thỏa mãn
Kiểm định Park
Hồi quy mô hình gốc để thu được phần dư ei
Ước lượng mô hình hồi quy sau:
lnei2 = β1+ β2ln Xi +νi
Trường hợp có nhiều biến giải thích thì ước lượng hồi quy này với từng biến giải thích hoặc với Ŷi
Kiểm định giả thiết Ho : β2 = 0 . Nếu giả thiết Ho bị bác bỏ thì có thể kết luận về sự tồn tại của hiện tượng phương sai sai số thay đổi
Kiểm định Gleijser
Đầu tiên cũng hồi quy mô hình gốc để thu phần dư ei
Hồi quy một trong các mô hình sau
| ei | = β1 + β2Xi + vi
| ei | = β1 + β21/Xi + vi
| ei | = β1 + β2√Xi +vi
| ei | = β1 + β21/√Xi +vi
Tương tự như kiểm định Park, ta cũng kiểm định giả thiết Ho : β2 = 0 . Nếu giả thiết này bị bác bỏ thì có thể kết luận có hiện tượng phương sai sai số thay đổi
Kiểm định white
Ước lượng bằng OLS . Từ đó thu được các phần dư ei
Ước lượng mô hình sau :
ei2=α1+α2X2+α3X3+α4X22+α5X32+α6X2X3+vi
Với H0 : Phương sai của sai số không đổi , có thể chỉ rằng nR2 có phần xấp xỉ χ2 (df) , df bằng số hệ số của mô hình không kể hệ số chặn
Nếu nR2 không vượt qua giá trị χ2 (df) ,thì giả thiết H0 không có cơ sở bị bác bỏ. Trong trường hợp ngược lại thì giả thiết Ho bị bác bỏ.
5. Phương pháp khắc phục
Như chúng ta đã biết phương sai của sai số thay đổi làm cho các ước lượng không còn là ước lượng hiệu quả nữa. Vì thế biện pháp khắc phục là hết sức cần thiết. Việc chữa chạy căn bệnh này phụ thuộc chủ yếu vào liệu , được biết hay chưa. Ta phân biệt hai trường hợp.
đã biết
Khi đã biết, chúng ta có thể dễ dàng khắc phục căn bệnh đó bằng cách sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số đã trình bày ở trên.
chưa biết
Trong nghiên cứu kinh tế việc biết trước nói chung là hiếm. Vì vậy nếu chúng ta muốn sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số thì chúng ta cần có những giả thiết nhất định về và biến đổi mô hình gốc sao cho mô hình đã được biến đổi này thoả mãn giả thiết phương sai của sai số không đổi. Phương pháp bình phương nhỏ nhất sẽ được áp dụng cho mô hình đã được biến đổi như đã chỉ ra trước đây, phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số là phương pháp bình phương nhỏ nhất áp dụng cho tập số liệu đã được biến đổi.
Chúng ta sẽ minh hoạ cho các phép biến đổi này qua việc sử dụng mô hình hồi quy 2 biến mà ta gọi là mô hình gốc:
Yi = + Xi + Ui
Giả sử mô hình này thoả mãn các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển trừ giả thiết phương sai của sai số không đổi. Chúng ta xét 1 số giả thiết sau về phương sai của sai số. Những dạng này tuy chưa bao quát được tất cả nhưng phổ biến.
Giả thiết 1: Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của biến giải thích:
E() = (1)
Nếu bằng phương pháp đồ thị hoặc cách tiếp cận Park hoặc Glejser… chỉ cho chúng ta rằng có thể phương sai Ui tỉ lệ với bình phương của biến giải thích X thì chúng ta có thể biến đổi mô hình gốc theo cách sau:
Chia 2 về của mô hình gốc cho Xi (Xi ≠ 0)
= ++ = + + Vi (2)
Trong đó vi = là số hạng nhiễu đã được biến đổi, và rõ ràng rằng E(vi)2 = , thực vậy:
E(vi)2 = E= E(Ui)2 = =
Như vậy tất cả các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển được thoả mãn đối với (2) vậy ta có thể áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất cho phương trình đã được biến đổi (). Hồi quy theo .
Giả thiết 2: Phương sai của sai số tỉ lệ với biến giải thích X
E(Ui)2 =Xi
Nếu sau khi ước lượng hồi quy bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường, chúng ta vẽ đồ thị của phần dư này đối với biến giải thích X và quan sát thấy hiện tượng chỉ ra phương sai của sai số liên hệ tuyến tính với biến giải thích thì mô hình gốc sẽ được biến đổi như sau:
Với mỗi i chia cả 2 vế của mô hình gốc cho (với Xi >0)
= + + = + + vi (3)
Trong đó vi = và có thế thấy ngay rằng E(vi) =
Giả thiết 3: Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của giả trị kỳ vọng của Y, nghĩa là E() =
Khi đó thực hiện phép biến đổi biến số như sau:
= + +
= + + Vi (4)
Trong đó Vi = , Var(Vi) = .
Nghĩa là nhiễu Vi có phương sai không đổi. Điều này chỉ ra rằng hồi quy (4) thoả mãn giả thiết phương sai không đổi của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển.
Tuy nhiên phép biến đổi (4) vẫn chưa thực hiện được vì bản chất E(Yi) phụ thuộc vào và trong đó và lại chưa biết.
Lúc này ta làm theo 2 bước sau:
Bước 1: Ước lượng hồi quy ban đầu bằng phương pháp bình phương bé nhất thông thường, thu được . Sau đó sử dụng để biến đổi mô hình gốc thành dạng như sau:
= + + Vi (5)
Trong đó Vi =
Bước 2: Ước lượng hồi quy (5), dù không chính xác là E(Yi), chúng chỉ là ước lượng vững nghĩa là khi mẫu tăng lên vô hạn thì chúng hội tụ đến E(Yi).
Giả thiết 4: Hạng hàm sai
Đôi khi thay cho việc dự đoán về người ta định sạng lại mô hình. Chẳng hạn thay cho việc ước lượng hồi quy gốc có thể chúng ta sẽ ước lượng hồi quy:
InYi = (6)
Việc ước lượng hồi quy (6.46) có thể làm giảm phương sai của sai số thay đổi do tác động của phép biến đổi loga. Một trong ưu thế của phép biến đổi loga là hệ số góc là hệ số co dãn của Y đối với X.
II – Bài tập
Bài 1.
Bảng số liệu gồm 3 biến
obs
Y
X
Z
1
66.00000
6.000000
7.000000
2
72.00000
7.000000
6.000000
3
78.00000
7.000000
5.000000
4
82.00000
8.000000
5.000000
5
74.00000
8.000000
6.000000
6
90.00000
10.00000
6.000000
7
102.0000
11.00000
5.000000
8
108.0000
12.00000
5.000000
9
112.0000
12.00000
4.000000
10
118.0000
13.00000
4.000000
(Nguồn: Tổng cục thống kê)
Yêu cầu: Hãy phát hiện phương sai thay đổi và tìm cách khắc phục
Bài 2. Sử dụng số liệu dưới đây
Bảng số liệu gồm 3 biến
obs
Y
X
Z
1
500.0000
300.0000
0.000000
2
700.0000
200.0000
1.000000
3
800.0000
400.0000
0.000000
4
1000.000
700.0000
0.000000
5
1000.000
400.0000
1.000000
6
1200.000
500.0000
1.000000
7
1500.000
700.0000
0.000000
8
2000.000
800.0000
1.000000
9
2500.000
1500.000
0.000000
10
2500.000
1000.000
1.000000
11
3000.000
1500.000
1.000000
12
5000.000
3000.000
0.000000
13
6000.000
3000.000
0.000000
14
8000.000
4000.000
1.000000
15
10000.00
3000.000
1.000000
Bài 3
Bảng số liệu gồm 3 biến
obs
Y
X
Z
1
5.170000
1.000000
7.000000
2
4.600000
2.000000
4.000000
3
5.370000
3.000000
0.000000
4
5.640000
3.000000
5.000000
5
4.270000
4.000000
1.000000
6
5.260000
6.000000
0.000000
7
7.140000
7.000000
7.000000
8
8.740000
8.000000
5.000000
9
7.110000
9.000000
0.000000
10
6.530000
9.000000
2.000000
11
6.530000
9.000000
6.000000
12
6.360000
11.00000
1.000000
13
9.730000
12.00000
7.000000
14
6.850000
14.00000
0.000000
15
7.880000
16.00000
1.000000
16
8.170000
16.00000
2.000000
17
11.80000
16.00000
7.000000
18
6.060000
19.00000
0.000000
19
14.69000
20.00000
7.000000
20
9.010000
22.00000
1.000000
21
18.13000
22.00000
2.000000
22
8.850000
24.00000
2.000000
23
7.200000
25.00000
0.000000
24
18.72000
25.00000
5.000000
25
9.800000
25.00000
3.000000
26
13.80000
26.00000
2.000000
27
6.200000
26.00000
0.000000
28
9.120000
28.00000
5.000000
29
18.54000
29.00000
7.000000
30
22.52000
29.00000
4.000000