Hình giải tích trong mặt phẳng Oxy

11 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG: 1. Véctơ ( )1 2;v a a=
là véc tơ chỉ phương (VTCP) của (∆) ⇔ (∆) // giá của v
2. Véctơ ( );n a b=
là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của (∆) ⇔ (∆) ⊥ giá của n
3. Nhận xét: (∆) có vô số véctơ chỉ phương và vô số véctơ pháp tuyến đồng thời v n⊥

. II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Phương trình tham số: PT đt (∆) đi qua M0(x0, y0) và có VTCP ( )1 2;v a a=
: ( )0 1 0 2 x x a t t y y a t = + ∈ = +  2. Phương trình chính tắc: PT đt (∆) đi qua M0(x0, y0) và có VTCP ( )1 2;v a a=
: 0 0 1 2 x x y y a a − − = 3. Phương trình hệ số góc: PT đt (∆) với hệ số góc a là: y = ax + b. 4. Phương trình tổng quát: PT đt (∆) tổng quát: 0Ax By C+ + = với 2 2 0A B+ > Nhận xét: (∆): 0Ax By C+ + = với 2 2 0A B+ > có VTCP ( );v B A= −
và VTPT ( );n A B=
5. Phương trình đt (∆) đi qua M0(x0, y0) với hệ số góc k là: ( )0 0y k x x y= − + 6. Phương trình đt (∆) đi qua M0(x0, y0) với VTPT ( );n A B=
là: ( ) ( )0 0 0A x x B y y− + − = 7. Phương trình đt (∆) đi qua M0(x0, y0) với VTCP ( );v A B=
là: ( ) ( )0 0 0B x x A y y− − − = 8. Phương trình đt (∆) đi qua 2 điểm M1(x1, y1), M2(x2, y2): 1 1 2 1 2 1 x x y y x x y y − − = − − 9. Phương trình đoạn chắn đi qua A(0; a), B(0; b) là: 1yx a b+ = 10. Phương trình chùm đường thẳng: Cho 2 đường thẳng cắt nhau ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2: 0; : 0a x b y c a x b y c∆ + + = ∆ + + = với I = ( ) ( )1 2∆ ∆∩ . Đường thẳng (∆) đi qua I là: ( ) ( )1 1 1 2 2 2 0p a x b y c q a x b y c+ + + + + = với 2 2 0p q+ > www.laisac.page.tl  H  Ì  N  H  G  I  Ả  I  T  Í  C  H  T  R  O  N  G  M  Ặ  T  P  H  Ẳ  N  G  O  X  Y   Thầy Trần Phương Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 12 III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG 1. Dạng tham số: (∆1) đi qua M1(x1; y1): ( )1 1 1 1 x x a t t y y b t = + ∈ = +  , (∆2) đi qua M2(x2; y2): ( )2 2 2 2 x x a t t y y b t = + ∈ = + 
Nếu ( )1 1 1; //v a b= 
( )2 2 2;v a b= 
⇔ 1 2 2 1 0a b a b− ≠ thì ( ) ( )1 2∆ ∆∩ = điểm I.
Nếu ( ) ( )1 1 1 2 2 2; // ;v a b v a b= = 

// 1 2M M ⇔ ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 a b a b a y y b x x − =  − − − ≠ thì (∆1) // (∆2).
Nếu ( ) ( )1 1 1 2 2 2; // ;v a b v a b= = 

1 2// M M ⇔ ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 a b a b a y y b x x − =  − − − = thì (∆1) ≡ (∆2). 2. Dạng tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 : 0; ; : 0; ; a x b y c n a b a x b y c n a b  ∆ + + = =   ∆ + + = = 

; 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ; ;x y a b b c c a D D D a b b c c a = = =
Nếu D ≠ 0 ⇔ 1 2 2 1 0a b a b− ≠ thì ( ) ( )1 2∆ ∆∩ = điểm ; yx DDI D D      
Nếu D = 0 và 2 2 0x yD D+ > ⇔ 1 2 1 1 2 2 a a c b b c= ≠ thì (∆1) // (∆2).
Nếu 0x yD D D= = = ⇔ 1 2 1 1 2 2 a a c b b c = = thì (∆1) ≡ (∆2). IV. GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG: 1. Dạng hệ số góc: Cho ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 : : y a x b y a x b  ∆ = +  ∆ = + . Góc ( ) [ ] 1 21 2 1 2 , 0;90 : tg 1 a a a a −∆ ∆ = α∈ ° α = + 2. Dạng tổng quát: Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 : 0; ; : 0; ; a x b y c n a b a x b y c n a b  ∆ + + = =   ∆ + + = = 

; 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos a a b b a b a b + α = + + Bài 2. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 13 V. KHOẢNG CÁCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHẦN GIÁC 1. Khoảng cách từ M0(x0, y0) đến (∆): 0ax by c+ + = là: ( )( ) 0 0 2 2 , ax by c d M a b + + ∆ = + 2. Cho ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 : 0 a x b y c a x b y c  ∆ + + =  ∆ + + = cắt nhau thì phương trình 2 đường phân giác 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a x b y c a x b y c a b a b + + + + = ± + + VI. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;−2). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( )3;1M và cắt trục Ox, Oy tại B và C sao cho tam giác ABC cân Giải Gọi ( );0B b Ox= ∆ ∩ và ( )0;C c Oy= ∆ ∩ suy ra (∆): ( )1 0yx bcb c+ = ≠ (3;1) ( )M ∈ ∆ ⇒ 3 1 1b c+ = , (1). Tam giác ABC cân tại A 2 2AB AC⇔ = ( ) ( )2 2 2 2 42 4 4 2 2 2 b c b c b c b c b c − = + = +  ⇔ − + = + + ⇔ ⇔  − = − − = −  Với 4b c= + : ( ) 2 1 2 2, 6 1 4 ( ) : 1; ( ) : 16 2 2 22, 2 c b y yx xc c b = = ⇔ = ⇔ ⇒ ∆ + = ∆ + = −= − = Với b c= − : ( )1 2 2b c⇔ = ⇒ = − (loại, do trùng với ( )2∆ ) Bài 2. Cho tam giác ABC có đỉnh A(–1; –3) a. Giả sử hai đường cao (BH): 5 3 25 0x y+ − = , (CK): 3 8 12 0x y+ − = . Hãy viết phương trình cạnh BC. b. Giả sử đường trung trực của AB là (∆): 3 2 4 0x y+ − = và G(4; – 2) là trọng tâm của tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh B và C . Dấu hiệu Phân giác góc nhọn Phân giác góc tù 1 2 1 2 0a a b b+ > 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a x b y c a x b y c a b a b + + + + = + + 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a x b y c a x b y c a b a b + + + + = − + + 1 2 1 2 0a a b b+ < 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a x b y c a x b y c a b a b + + + + = − + + 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a x b y c a x b y c a b a b + + + + = + + Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 14 Giải a. (AB) ⊥ (CK) nên (AB) có phương trình là 8 3 0x y c− + = Điểm ( ) ( )1 :8 3 1 0A AB c AB x y∈ ⇔ = − ⇒ − − = . ( ) ( )AC BH⊥ nên ( )AC có phương trình 3 5 0x y m− + = Điểm ( ) ( )12 :3 5 12 0A AC m AC x y∈ ⇒ = − ⇒ − − = ( ) ( )B BH AB≡ ∩ ⇒ Tọa độ của B thỏa mãn hệ: ( )8 3 1 0 2;5 5 3 25 0 x y B x y − − = ⇒ + − = ( ) ( )C CK AC≡ ∩ ⇒ Tọa độ của C thỏa mãn hệ: ( )3 5 12 0 4;0 3 8 12 0 x y C x y − − = ⇒ + − = Phương trình cạnh BC là (BC): 52 5 2 20 0 4 2 0 5 yx x y−− = ⇔ + − = − − b. (AB) ⊥ ( ) : 3 2 4 0x y∆ + − = và chứa A(−1;−3) ⇒ ( ) : 2( 1) 3( 3) 0AB x y+ − + = hay ( ) : 2 3 7 0AB x y− − = . Gọi M là trung điểm AB suy ra tọa độ của M thỏa hệ: ( )3 2 4 0 2; 1 2 3 7 0 x y M x y + − = ⇒ − − − = , khi đó: ( )2 5 5;1 2 1 B M A B M A x x x B y y y = − = ⇒ = − = Điểm G(4;−2) là trọng tâm ∆ABC nên: 3 3 A B C G A B C G x x x x y y y y + + =  + + = ( )1 5 12 8 8; 4 3 1 6 4 C C C C x x C y y − + + = =   ⇔ ⇔ ⇒ −  − + + = − = −   . Vậy ( ) ( )5;1 , 8; 4B C Bài 3. Cho 1 2( ) : 5 0; ( ) : 2 7 0d x y d x y+ + = + − = và điểm ( )2;3A . Tìm 1B ( )d∈ và 2C ( )d∈ sao cho ∆ABC có trọng tâm ( )2;0G . Giải Đặt ( )1 1 1B ; 5 ( )t t d− − ∈ và ( )2 2 2C 7 2 ; ( )t t d− ∈ Điểm G(2; 0) là trọng tâm ∆ABC nên: 3 3 A B C G A B C G x x x x y y y y + + =  + + = 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 7 2 6 2 3 1 3 5 0 2 1 t t t t t t t t t t + + − = − = − = −   ⇔ ⇔ ⇔   − − + = − = − =   . Vậy ( ) ( )1; 4 , 5;1B C− Bài 2. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 15 Bài 4. Cho 1 2( ) : 1 0 ; ( ) : 2 1 0x y x y∆ − + = ∆ + + = và điểm M(2;1). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt 1 2( ), ( )∆ ∆ lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Giải Điểm ( ) ( )1 1 1A A ; 1t t∈ ∆ ⇒ + ; Điểm ( ) ( )2 2 2B B ; 2 1t t∈ ∆ ⇒ − − M(2; 1) là trung điểm AB nên: 1 2 1 2 2 4 2 2 2 A B M A B M x x x t t y y y t t + = + =  ⇔  + = − =  1 2 10 2 ,3 3t t⇔ = = . Suy ra ( ) ( ) ( )10 13 72 4; , ; AB 2;53 3 3 3 3A B − ⇒ = − (d) qua M và nhận AB  làm VTCP có PT là: 12 5 2 8 02 5 yx x y−− = ⇔ − − = Bài 5. Cho 1 2( ) : 2 5 0 ; ( ) : 3 0x y x y∆ − + = ∆ + − = và điểm M(–2; 0). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt 1 2( ), ( )∆ ∆ lần lượt tại A và B sao cho MA 2 MB=   Giải Điểm ( ) ( )1 1 1A A ; 2 5t t∈ ∆ ⇒ + ; Điểm ( ) ( )2 2 2B B ;3t t∈ ∆ ⇒ − Suy ra: ( ) ( )1 1 2 2MA 2; 2 5 , MB 2;3t t t t= + + = + −   ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 MA 2 MB 2 5 2 3 t t t t  + = + = ⇔  + = −   ⇔ ( )11 2 1 2 2 12 2 MA 3;712 2 1 2 tt t t t t = − =  ⇔ ⇒ =  + = = −   (d) qua M và nhận MA  làm VTCP có PT là: 2 7 3 14 03 7 yx x y+ = ⇔ − + = Bài 6. Cho ∆ABC có đỉnh A(2;−7) phương trình một đường cao và một trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác nhau lần lượt là: 3 11 0, 2 7 0x y x y+ + = + + = . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Giải Nhận xét: Do A(2; −7) có tọa độ không thỏa mãn phương trình một trong hai đường thẳng đã cho nên các đường cao và trung tuyến không đi qua A(2; −7). Đặt (BH): 3 11 0x y+ + = và (CM): 2 7 0x y+ + = . Ta có: ( ) ( )B BH B ; 3 11t t∈ ⇒ − − . Gọi M là trung điểm AB khi đó tọa độ M là Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 16 A C B H M 2 2 2 3 18 2 2 A B M A B M x x tx y y ty + + = =  + − − = =  ( ) ( )2 3 18M CM 2 7 02 2t t+ − −∈ ⇒ + + = ( )4 B 4;1t⇔ = − ⇒ − Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là: 72 4 3 13 04 2 1 7 yx x y+− = ⇔ + + = − − + (AC) ⊥ (BH): 3 11 0x y+ + = và (AC) đi qua điểm A(2; −7) nên phương trình (AC) là: ( 2) 3( 7) 0x y− − + = ⇔ ( )AC : 3 23 0x y− − = Điểm C (AC) (CM)≡ ∩ suy ra tọa độ C thỏa hệ: ( )3 23 0 5; 6 2 7 0 x y C x y − − = ⇒ − + + = Phương trình cạnh BC là (BC): 14 7 9 19 05 4 6 1 yx x y−+ = ⇔ + + = + − − Bài 7. Cho ∆ABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến (BM): 2 1 0x y+ + = và phân giác trong (CD): 1 0x y+ − = .Viết phương trình đường thẳng BC. Giải Điểm C∈(CD): 1 0x y+ − = ⇒ ( );1C t t− ⇒ trung điểm M của AC là ( )1 3;2 2t tM + − Điểm M∈(BM): 2 1 0x y+ + = ⇒ ( ) ( )1 32 1 0 7 7;82 2t t t C+ −+ + = ⇔ = − ⇒ − Từ A(1;2) kẻ (AK) ⊥ (CD): 1 0x y+ − = tại I (điểm ( )K BC∈ ) Suy ra (AK): ( 1) ( 2) 0x y− − − = ⇔ 1 0x y− + = Tọa độ của I thỏa hệ: ( )1 0 0;1 1 0 x y I x y + − = ⇒ − + = . Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK ⇒ Tọa độ của K: ( )2 1 1;0 2 0 K I A K I A x x x K y y y = − = − ⇒ − = − = Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 1 4 3 4 0 7 1 8 yx x y+ = ⇔ + + = − + A B C D M K I Bài 2. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 17 Bài 8. Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua M(4; 1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B theo các trường hợp sau: a. Diện tích ∆OAB nhỏ nhất. b. Tổng OA + OB nhỏ nhất. Giải Giả sử (∆) cắt tia Ox tại A(a; 0) và Oy tại B(0; b) (với a, b > 0) suy (∆): 1yx a b+ = . Do M(4; 1) ∈(∆) nên 4 1 1 a b+ = ⇒ 4 ab a = − ⇒ a > 4 a. Ta có: 4 1 4 41 2 a b ab ab = + ≥ = ⇒ 1 . 8 2 2OAB abS OA OB= = ≥ Dấu bằng xảy ra ⇔ 4 1 1 8; 2 2 a b a b= = ⇔ = = ⇒ (∆): 4 8 0x y+ − = b. 44 5 4 4 aOA OB a b a a a a + = + = + = − + + − − ( ) 42 4 5 9 4 a a ≥ − ⋅ + = − Dấu bằng xảy ra ⇔ 44 2 64a aa− = = ⇔ =− ⇒ b = 3 ⇒ ( ) : 2 6 0x y∆ + − = Bài 9. Lập phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M(2; 1) và tạo với đường thẳng (d): 2 3 4 0x y+ + = một góc o45 Giải Phương trình (∆) đi qua điểm M có dạng: ( ) ( ) ( )2 22 1 0 0A x B y A B− + − = + ≠ 2 0Ax By A B⇔ + − − = và có vectơ pháp tuyến ( )1 ;n A B=  Đường thẳng (d) có VTPT là ( )2 2;3n =  . Để (∆) hợp với (d) một góc o45 thì: 1 2 o 2 2 1 2 . 2 3 2 cos 45 2 . . 4 9 n n A B n n A B + = ⇔ = + +     ( ) ( )2 2 22 2 3 13A B A B⇔ + = + 2 25 24 5 0B AB A⇔ + − = 1 2 ( ) : 5 11 05 5 ( ) : 5 3 0 x yA B B A x y ∆ + − ==  ⇔ ⇒  = − ∆ − + =  Vậy có hai đường thẳng cần tìm là 1 2( ) :5 11 0 ; ( ) : 5 3 0x y x y∆ + − = ∆ − + = Bài 10. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1; 0), B(0; 2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y x= . Tìm tọa độ đỉnh C và D. Giải Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 18 Ta có: ( )1; 2 5AB AB= − ⇒ = Phương trình (AB) là: 2 2 0x y+ − = ( ) ( ): ;I d y x I t t∈ = ⇒ I là trung điểm của AC và BD nên ta có: ( ) ( )2 1; 2 , 2 ; 2 2C t t D t t− − Mặt khác: . 4ABCDS AB CH= = (CH: chiều cao) 45 CH⇒ = Ngoài ra: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 8 84 2; , ;6 4 4 3 3 3 3 3, 3 2 2 5 5 0 1;0 , 0; 2 t C Dtd C AB CH t t C D  = ⇒ −  = ⇔ = ⇔ − = ⇔  = ⇒ − − Vậy tọa độ của C và D là ( ) ( )5 8 8 2; , ;3 3 3 3C D hoặc ( ) ( )1;0 , 0; 2C D− − Bài 11. Cho ( ) ( )0;6 , 2;5A B . Tìm trên ( ) : 2 2 0d x y− + = điểm M sao cho: a. MA + MB có giá trị nhỏ nhất. b. MA MB− có giá trị lớn nhất. Giải Đặt ( ), 2 2f x y x y= − + . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 10 . 0 6 f A f A f Bf B  = − ⇒ > = − Suy ra hai điểm A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng (d) 1. Gọi A′ là đối xứng của A qua (d) Ta có: MA MB MA MB A B′ ′+ = + ≥ (cố định) ( )min MA MB A B′+ = , đạt được khi ba điểm , ,A M B′ thẳng hàng ( ) ( )M A B d′⇔ = ∩ ( ) ( ) ( ) : 2 0AA d AA x y C′ ′⊥ ⇒ + + = ( ) ( )6 : 2 6 0A AA C AA x y′ ′∈ ⇒ = − ⇒ + − = Gọi ( ) ( )H AA d′= ∩ thì tọa độ của H thỏa mãn hệ: ( )2 6 0 2; 2 2 2 0 x y H x y + − = ⇒ − + = A′ đối xứng với A qua (d) nên ta có: ( )2 4 4; 2 2 2 A H A A H A x x x A y y y ′ ′ = − = ′⇒ − = − = − A A′ H M (d) B M0 C H B A D y = x I Bài 2. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 19 Phương trình đường thẳng ( )A B′ là 24 7 2 24 0 2 4 5 2 yx x y+− = ⇔ + − = − + Tọa độ của M thỏa hệ: ( )112 2 0 9 1911;4 8197 2 24 0 8 x x y M x y y  = − + =  ⇔ ⇒  + − =  =  2. Ta có: MA MB AB− ≤ (cố định) max MA MB AB⇒ − = , đạt được khi ba điểm M, A, B thẳng hàng ( ) ( )M AB d⇔ = ∩ . Phương trình đường thẳng (AB) là: 2 12 0x y+ − = Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: ( )52 2 0 75;7 22 12 0 2 xx y M yx y = − + =  ⇔ ⇒  =+ − =  Bài 12. Cho ( )1 : 0D kx y k− + = và ( ) ( ) ( )2 22 : 1 2 1 0D k x ky k− + − + = a. Chứng minh khi k thay đổi ( )1D luôn luôn qua một điểm cố định. b. Tìm giao điểm của ( )1D và ( )2D suy ra quỹ tích giao điểm này khi k thay đổi. Giải a. Ta có ( )1D t: ( )1 0k x y+ − = . Tọa độ điểm cố định mà ( )1D luôn đi qua là nghiệm của 1 0 1, 0 0 x x y y + = ⇒ = − = = . Vậy ( )1D luôn qua điểm A(–1, 0). b. Tọa độ giao điểm của ( )1D và ( )2D là nghiệm của hệ phương trình ( ) 2 21 2 1 kx y k k ky k − = −  − + = + giải hệ ta được 2 2 2 1 2 , 1 1 k kx y k k − = = + + Vậy ( )1D ∩ ( )2D = 2 2 2 1 2 , 1 1 k kM k k   −   + +  để ý 2 22 2 2 2 2 1 2 1 1 1 k kx y k k   −  + = + =    + +    Do đó quỹ tích của M là đường tròn tâm O bán kính R = 1. Bài 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(0; 1), B(2; 1) và các đường thẳng ( ) ( ) ( ) ( )1 2: 1 2 2 0 ; : 2 1 3 5 0d m x m y m d m x m y m− + − + − = − + − + − = a. Chứng minh 1d và 2d luôn cắt nhau. b. Gọi P là giao điểm của 1d và 2d , tìm m sao cho PA + PB lớn nhất. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 20 Giải a. Xét ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 0 2 1 3 5 0 m x m y m m x m y m  − + − + − =  − + − + − = có: 2 1 2 2 6 5 2 1 m m D m m m m − − = = − + − − 2 22 2 2 14 14 12 ; 2 4 1 1 3 5 3 5 2x y m m m m D m m D m m m m m m − − − − = = − + = = − + − − − − − Do ( ) 23 12 0,2 2D m= − + > ∀∈ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Vậy 1d và 2d luôn luôn cắt nhau tại điểm P (đpcm) b. Tìm m để PA + PB lớn nhất Tọa độ của P là: 2 2 2 2 2 2 4 14 12 2 22 2 6 5 2 6 5 2 4 1 4 21 2 6 5 2 6 5 x y D m m mx D m m m m D m m my D m m m m  − + − = = = + − + − +   − + − − = = = − + − + − + Ta có: 22 2 2 2 2 2 4 42 ; 2 8 2 6 5 2 6 5 2 6 5 m mPA PA m m m m m m − −  = − + + ⇒ = −  − + − + − +   2 2 2 2 2 2 2 4 4; 2 6 5 2 6 5 2 6 5 m mPB PB m m m m m m − −  = ⇒ =  − + − + − +   Suy ra: 2 2 8PA PB+ = . Theo bất đẳng thức Bunhiacôpski, ta có: ( ) ( )2 2 22 16 4PA PB PA PB PA PB+ ≤ + = ⇒ + ≤ ( )max 4PA PB⇒ + = , đạt được 2 2 2 2 2 14 48 3 2 0 22 6 5 2 6 5 m PA PB PA PB m m mm m m m = = ⇔ = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔  =− + − +  Cách 2: 1d và 2d có vectơ pháp tuyến là: ( ) ( )1 21; 2 , 2 ; 1n m m n m m= − − = − −   Ta có ( ) ( ) ( ) ( )1 2. 1 2 2 1 0n n m m m m= − − + − − =   nên 1 2d d⊥ tại điểm P. Để ý rằng 1 2,A d B d∈ ∈ và 2 2AB = nên theo bất đẳng thức Bunhiacôpski thì ( ) ( )2 2 2 22 2 16 4PA PB PA PB AB PA PB+ ≤ + = = ⇒ + ≤ ( )max 4PA PB⇒ + = , đạt được khi PA PB PAB= ⇒ ∆ vuông cân tại P ( ) o1 , 45d AB⇒ = Ta có: ( ) ( ) ( )( )1o 2 2 1 . 2 3 1cos 45 ; 1,1 2. 2. 1 2 AB AB AB n n m n n n m m − = ⇔ = = − + −      ( ) 2 2 22 3 2 6 5 3 2 0 1 2m m m m m m m⇔ − = − + ⇔ − + = ⇔ = ∨ = Bài 3. Đường tròn 21 ĐƯỜNG TRÒN I. PHƯƠNG TRÌNH: 1. Dạng chính tắc: ( ) ( ) ( )22 2:C x a y b R− + − = ⇒ Tâm I(a, b) ; bán kính R. 2. Dạng khai triển: ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = ⇒ Tâm I(a, b) ; bán kính 2 2R a b c= + − với 2 2 0a b c+ − > II. TIẾP TUYẾN: 1. ( ) ( ) ( )22 2:C x a y b R− + − = ⇒ Tiếp tuyến tại ( ) ( )0 0 0,M x y C∈ : ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0x a x x y b y y− − + − − = 2. ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = ⇒ Tiếp tuyến tại ( ) ( )0 0 0,M x y C∈ : ( ) ( )0 0 0 0 0x x y y a x x b y y c+ − + − + + = 3. ( ) : 0D Ax By C+ + = tiếp xúc (I, R) ⇔ ( )( ),d I D R= III. PHƯƠNG TÍCH: ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = ; Điểm M(m, n) ⇒ ( )( ) ( ) 2 2 0 : 2 2 0 : 0 : M M m n am bn c MC M C >  = + − − + <  = ∈ n»m ngoµi n»m trongP IV. TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 : , 2 2 0 : , 2 2 0 C f x y x y a x b y c C g x y x y a x b y c  = + − − + =    = + − − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 11 2 , , 2 2 0M M f x y g x y a a x b b y c cC C= ⇔ = ⇔ − + − + − =P P V. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN A. XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN THEO CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CHO TRƯỚC 1. VPT đường tròn đường kính AB biết A(4, −1); B(3, 5) 2. VPT đường tròn đi qua A(2, 0); B(0, 1); C(−1, 2) 3. VPT đường tròn đi qua A(2, 3); B(−1, 1) và tâm ∈ 3 11 0x y− − = 4. VPT đường tròn tâm I(1, 2) và tiếp xúc ( ) : 2 2 0D x y− − = 5. VPT đường tròn đi qua A(1, 2) và tiếp xúc ( ) :3 4 2 0D x y− + = tại (−2, −1) Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 22 6. VPT đường tròn đi qua A(6, 3); B(3, 2) và tiếp xúc ( ) : 2 2 0D x y+ − = 7. VPT đường tròn tâm ∈ ( ) : 5 0x y∆ + − = ; 10R = và tiếp xúc ( ) :3 3 0D x y+ − = 8. VPT đường tròn tâm I(3, 1) và cắt ( ) : 2 4 0x y∆ − + = một đoạn có độ dài = 4 9. Viết phương trình đường tròn tâm ∈ ( ) : 4 3 2 0x y∆ + − = và tiếp xúc với ( )1 : 4 0D x y+ + = và ( )2 : 7 4 0D x y− + = 10. Viết phương trình đường tròn đi qua O(0, 0) và tiếp xúc với 2 đường thẳng ( ) ( )1 2: 2 1 0; : 2 2 0D x y D x y+ − = − + = 11. Viết phương trình đường tròn đi qua A(4, 2) và tiếp xúc với 2 đường thẳng ( ) ( )1 2: 3 2 0; : 3 18 0D x y D x y− − = − + = 12. Viết phương trình đường tròn đi qua A(1, −2) và các giao điểm của ( ) : 7 10 0D x y− + = với ( ) 2 2: 2 4 20 0C x y x y+ − + − = B. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1. ( ) ( ) 2 2: 2 4 0 : 1 0 C x y x y D x y  + − − =   + − = 2. ( ) ( ) 2 2: 6 4 9 0 : 2 0 C x y x y D x y  + + + + =   − + = 3. ( ) ( ) 2 2: 8 2 1 0 : 2 1 0 C x y x y D x y  + − − + =   − + = C. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA 2 ĐƯỜNG TRÒN ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ( ) : , ( ) : , C I R C I R     1 2d I I= ⇒ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 : ( ), ( ) : : : : R R d R R C C d R R d R R d R R d R R  − < < +   = +   = −  > +  < − c¾t nhau tiÕp xóc ngoµi tiÕp xóc trong ngoµi nhau trong nhau 1. 2 2 1 2 2 2 ( ) : 4 6 4 0 ( ) : 10 14 70 0 C x y x y C x y x y  + − − + =   + − − + = 2. 2 2 1 2 2 2 ( ) : 2 6 15 0 ( ) : 6 2 3 0 C x y x y C x y x y  + − − − =   + − − − = 3. 2 2 1 2 2 2 ( ) : 6 10 24 0 ( ) : 6 4 12 0 C x y x y C x y x y  + + − + =   + − − − = 4. 2 2 1 2 2 2 ( ) : 2 4 5 0 ( ) : 5 4 0 C x y x y C x y x y  + + − − =   + − − + = Bài 3. Đường tròn 23 D. QUỸ TÍCH TÂM ĐƯỜNG TRÒN 1. ( ) 2 2: 4 2 2 3 0mC x y mx my m+ + − + + = 2. ( ) 2 2 2: 2e 4e 1 e 0m m mmC x y x y− −+ − + − + = 3. ( ) ( ) ( )2 2: 2 cos 2 2sin 1 0C x y x yα α