Đại số là một ngành toán học nghiên cứu một cách trừu tượng hệ thống số đếm và các
phép tính giữa chúng, bao gồm cả một số chủ đề cao cấp như lý thuyết nhóm, vành,
trường, lý thuyết bất biến.
Đại số được xem như là ngành toán học mởrộng hóa và trừu tượng hóa của bộmôn số
học.
Đại số giảng dạy trong trường phổ thông chủ yếu liên quan đến các phép tính trên số
thực, các hàm số, phương trình và đồ thị sơ cấp. Các nhà toán học gọi môn này là đại số
sơ cấp. Xem thêm mục phân loại bên dưới.
7 trang |
Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 2562 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem nội dung tài liệu Khái niệm hình học và đại số, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Đại số
Đại số là một ngành toán học nghiên cứu một cách trừu tượng hệ thống số đếm và các
phép tính giữa chúng, bao gồm cả một số chủ đề cao cấp như lý thuyết nhóm, vành,
trường, lý thuyết bất biến ...
Đại số được xem như là ngành toán học mở rộng hóa và trừu tượng hóa của bộ môn số
học.
Đại số giảng dạy trong trường phổ thông chủ yếu liên quan đến các phép tính trên số
thực, các hàm số, phương trình và đồ thị sơ cấp. Các nhà toán học gọi môn này là đại số
sơ cấp. Xem thêm mục phân loại bên dưới.
Lịch sử
Nguồn gốc của đại số được tìm thấy trong các nền văn minh của người Ai Cập và
Babylon cổ đại, là những người sử dụng đại số để giải các phương trình tuyến tính,
phương trình bậc hai và phương trình vô định hơn 3.000 năm trước.
Khoảng năm 300 TCN nhà toán học Hy Lạp Euclid (đọc là Ơclit) trong tập 2 của cuốn
sách Những nguyên lý (Στοιχεία) gồm 13 tập đã nhắc tới phương trình bậc hai.
Khoản năm 100 TCN các phương trình đại số được giải trong cuốn sách toán học của
người Trung Quốc Jiuzhang suanshu, (Cửu chương toán học).
Khoảng năm 150 nhà toán học Hy Lạp Hero ở Alexandria đã giải các phương trình đại số
trong 3 quyển tuyển tập toán học của mình.
Khoảng năm 200 nhà toán học Hy Lạp Diophantus, thường được nhắc tới như là "cha đẻ
của đại số", đã viết cuốn sách nổi tiếng của mình Arithmetica, là một công trình đưa ra lời
giải của các phương trình đại số và về lý thuyết số.
Từ algebra trong một số ngôn ngữ nước ngoài để chỉ đại số có nguồn gốc từ tên của luận
văn được viết bởi nhà toán học Ba Tư Al-Khwarizmi năm 820 với tiêu đề: Kitab al-
mukhtasar fi Hisab Al-Jabr wa-al-Moghabalah có nghĩa là Cuốn sách tóm tắt liên quan
đến tính toán bằng đổi chỗ và rút gọn. Từ al-jabr (từ đó mà có từ algebra) có nghĩa là
"hợp nhất", "liên kết" hay "hoàn thiện".
hân loại
Đại số sơ cấp
Môn học này nghiên cứu thuộc tính của các phép tính trên số thực, sử dụng các ký
hiệu thế chỗ để biểu diễn các hằng số và biến số, vận dụng các quy tắc biến đổi
các biểu thức toán học và các phương trình chứa những ký hiệu này.
Đại số đại cương
Trong môn học này các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường được định nghĩa
như các tiên đề và được nghiên cứu.
Đại số tuyến tính
Môn học này nghiên cứu các thuộc tính đặc trung của không gian vectơ.
Các chủ đề chính
Dưới đây là một số chủ đề chính của đại số:
• Các bất biến đại số
• Các đa thức
• Các đại số mang tên người
• Các đẳng thức đại số
• Các đường cong đại số
• Các đường cong elíp
• Các nhân thức
• Các nhóm sóng
• Các phép biến đổi đại số
• Các phương trình đại số
• Các tính chất đại số
• Các tổng đại số
• Cyclotomy
• Dạng bình phương
• Đại số đồng điều
• Đại số không giao hoán
• Đại số phổ dụng
• Đại số tuyến tính
• Đại số tổng quát
• Đại số véctơ
• Đại số vô hướng
• Hình học đại số
• Lý thuyết giá trị
• Lý thuyết mã hoá
• Lý thuyết nhóm
• Lý thuyết nửa nhóm
• Lý thuyết số
• Lý thuyết trường đại số
• Lý thuyết vành
Các loại phương trình đại số
Có nhiều loại phương trình đại số. Một số được liệt kê dưới đây:
• Phương trình tuyến tính
• Phương trình bậc hai
• Phương trình bậc ba
• Phương trình mũ
Tam thức
Linh tinh
Từ đại số còn được sử dụng cho các cấu trúc đại số khác:
• Đại số trên trường (K-algebra)
• Đại số trên tập hợp
• Đại số Bool
• Đại số sigma (σ-algebra)
Hình học
Hình học là ngành toán học nghiên cứu liên hệ không gian. Dùng kinh nghiệm, hay có lẽ
bằng trực giác, người ta nhận ra không gian theo những đặc điểm cơ bản, thuộc hình học
gọi là hệ tiên đề. Hệ tiên đề bao gồm các khái niệm nguyên thủy không định nghĩa và các
tiên đề (còn được gọi là các định đề) không chứng minh quy định mối quan hệ giữa các
khái niệm ấy.
Hình học Euclid
Hệ tiên đề hình học đầu tiên được tập hợp hệ thống và công bố trong tác phẩm Cơ sở của
Euclid. Hệ tiên đề này lấy mô hình từ không gian vật lý theo nhận thức của thời đó. Các
khái niệm nguyên thuỷ trong hệ tiên đề này là điểm,đường thẳng và mặt phẳng. Từ ba
khái niệm cơ bản này và một số rất ít các tiên đề, Euclid đã xây dựng thành nội dung toàn
bộ môn hình học ở phổ thông hiện nay, mà sau này các nhà toán học gọi là hình học
Euclid.
Tuy nhiên, các tiên đề/định đề và một số khái niệm do Euclid xây dựng chưa đủ chặt chẽ
do chưa có sự hoàn thiện về lý thuyết tập hợp. Sau này David Hilbert đã hoàn chỉnh lại
thành một hệ tiên đề chặt chẽ và hoàn chỉnh. Môn hình học dạy trong chương trình phổ
thông hiện nay thường chia ra hình học phẳng và hình học không gian.
Hình học là một trong những môn học xuất hiện khá sớm. Hàng ngàn năm trước Công
nguyên, con người đã phải đo đạc các thửa ruộng, đong thóc gạo khi thu hoạch, xây dựng
những kim tự tháp khổng lồ. Môn hình học lúc đầu ra đời có ý nghĩa là là một khoa học
về đo đạc. Nhưng rồi, con người không phải chỉ cần đo đất, mà cần nghiên cứu nhiều
điều phức tạp hơn. Tuy nhiên, hình học chỉ trở thành môn khoa học thực sự khi con
người nêu lên các tính chất hình học bằng con đường suy diễn chặt chẽ, chứ không phải
từ đo đạc trực tiếp.
Định đề thứ 5 của Euclid và Hình học phi Euclid
Định đề thứ năm của Euclid gây nhiều sự chú ý của các nhà toán học vì nội dung của nó
khá dài. Theo ngôn ngữ hiện nay thì định đề này có nội dung là:
"Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng luôn có và chỉ có đúng một đường thẳng
song song với đường thẳng đã cho".
Nhiều nhà toán học nghi ngờ rằng nó là một định lý, nghĩa là có thể suy ra từ các tiên đề
khác và loay hoay tìm cách chứng minh nó. Nhưng không một ai thành công. Đến thế kỷ
thứ 19, hầu như đồng thời và độc lập với nhau, ba nhà toán học ở Nga (Nikolai Ivanovich
Lobachevsky), Đức (Carl Friedrich Gauss), và Hungary (János Bolyai) đã đặt ra một tư
duy mới mẻ: "Chứng minh rằng nó không thể chứng minh được". Điều đó có nghĩa là ta
có thể xây dựng một thứ hình học khác, trong đó tiên đề thứ năm là không đúng. Cả ba
người đều đạt được kết quả. Từ đó ra đời hình học phi Euclid.
Hình học fractal
Fractal là một thuật ngữ do nhà Toán học Mandelbrot đưa ra khi ông khảo sát những
hình hoặc những hiện tượng trong thiên nhiên không có đặc trưng về độ dài. Mandelbrot
là nhà toán học vĩ đại của thế kỷ 20. Ông nó rằng: “Các đám mây không phải là hình cầu,
các ngọn núi không phải là hình nón”. Theo ông Fractal là chỉ những đối tượng hình học
có hình dáng ghồ ghề, không trơn nhẵn trong thiên nhiên. Cụ thể hơn đó là những vật thể
có tính đối xứng sắp xếp trong một phạm vi nhất định, có nghĩa là khi ta chia một vật thể
fractal, với hình dáng ghồ ghề, gãy góc ra thành những phần nhỏ thì nó vẫn có được đặc
tính đối xứng trong một cấu trúc tưởng như hỗn đoạn. Hình dáng các đám mây, đường đi
của các tia chớp là những ví dụ mà ta dễ nhìn thấy được.
Rất nhiều người, khi có dịp làm quen với hình học fractal đã nhanh chóng thích thú có
khi đến say mê, bởi nhiều lý do: Một là, hình học fractal ra đời và phát triển với nhiều ý
tưởng mới lạ, độc đáo, gợi cho ta một cách nhìn thiên nhiên khác với cách nhìn quá quen
thuộc do hình học Euclid đưa lại từ mấy nghìn năm nay. Hai là, hình học fractal thường
được xây dựng với quy tắc khá đơn giản, nhưng đưa đến những hình ảnh rất lạ mắt, rất
đẹp. Ba là, hình học fractal có nhiều ứng dụng phong phú, đa dạng, có khi rất bất ngờ vào
rất nhiều lĩnh vực khác nhau, từ các ngành xây dựng, khai thác dầu khí, chế tạo dụng cụ
chính xác… đến sinh lý học, ngôn ngữ học, âm nhạc. Bốn là, hình học fractal là một
ngành toán học cao cấp, hiện đại nhưng một số ý tưởng của nó, một số kết quả đơn giản
của nó có thể trình bày thích hợp cho đông đảo người đọc.
Hình học Euclid được giới thiệu ở trường trung học với việc khảo sát các hình đa giác,
hình tròn, hình đa diện, hình cầu, hình nón…Hơn hai nghìn năm qua hình học Euclid đã
có tác dụng to lớn đối với nền văn minh nhân loại, từ việc đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án
xây dựng nhà cửa, chế tạo vật dụng và máy móc, từ việc mô tả quỹ đạo của các hành tinh
trong hệ mặt trời đến mô tả cấu trúc của nguyên tử. Tuy nhiên, qua hình học Euclid ta
nhìn mọi vật dưới dạng “đều đặn”, ”trơn nhẵn”. Với những hình dạng trong hình học
Euclid ta không thể hình dung và mô tả được nhiều vật thể rất quen thuộc xung quanh
như quả núi, bờ biển, đám mây, nhiều bộ phận trong cơ thể như mạch máu… là những
vật cụ thể cực kỳ không đều đặn không trơn nhẵn mà rất xù xì, gồ ghề. Một ví dụ đơn
giản: bờ biển đảo Phú Quốc dài bao nhiêu? Ta không thể có được câu trả lời. Nếu dùng
cách đo hình học quen thuộc dù thước đo có nhỏ bao nhiêu đi nữa ta cũng đã bỏ qua
những lồi lõm giữa hai đầu của thước đo ấy, nhất là chỗ bờ đá nhấp nhô. Và với thước đo
càng nhỏ ta có chiều dài càng lớn và có thể là… vô cùng lớn.