Khảo sát các hàm nhiệt động đặc trưng của khí bose lí tưởng trong bẫy điều hòa ba chiều

TÓM TẮT Trong báo cáo này, chúng tôi trình bày quy trình giải tích toán học để chỉ ra sự phụ thuộc của các hàm nhiệt động lực học, bao gồm thế hóa học, năng lượng toàn phần và nhiệt dung của khí Bose lí tưởng bị giam trong thế năng của dao động tử điều hòa ba chiều vào nhiệt độ tuyệt đối. Tiếp theo, các kết quả giải tích này được so sánh với các kết quả thu được từ việc lập trình giải số chính xác để đánh giá độ chính xác và xác định khoảng áp dụng của từng công thức gần đúng. Ngoài ra, công thức hiệu chỉnh cho thế hóa học lân cận nhiệt độ tới hạn lần đầu tiên được đưa ra trong công trình này. Cuối cùng, sự khác biệt giữa khí lượng tử và khí cổ điển trong bẫy điều hòa ba chiều tại vùng nhiệt độ thấp được thảo luận trong báo cáo này.

pdf12 trang | Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 266 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Khảo sát các hàm nhiệt động đặc trưng của khí bose lí tưởng trong bẫy điều hòa ba chiều, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 72 KHẢO SÁT CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG ĐẶC TRƯNG CỦA KHÍ BOSE LÍ TƯỞNG TRONG BẪY ĐIỀU HÒA BA CHIỀU Trần Dương Anh Tài (Sinh viên năm 3, Khoa Vật lí) GVHD: TS Phạm Nguyễn Thành Vinh TÓM TẮT Trong báo cáo này, chúng tôi trình bày quy trình giải tích toán học để chỉ ra sự phụ thuộc của các hàm nhiệt động lực học, bao gồm thế hóa học, năng lượng toàn phần và nhiệt dung của khí Bose lí tưởng bị giam trong thế năng của dao động tử điều hòa ba chiều vào nhiệt độ tuyệt đối. Tiếp theo, các kết quả giải tích này được so sánh với các kết quả thu được từ việc lập trình giải số chính xác để đánh giá độ chính xác và xác định khoảng áp dụng của từng công thức gần đúng. Ngoài ra, công thức hiệu chỉnh cho thế hóa học lân cận nhiệt độ tới hạn lần đầu tiên được đưa ra trong công trình này. Cuối cùng, sự khác biệt giữa khí lượng tử và khí cổ điển trong bẫy điều hòa ba chiều tại vùng nhiệt độ thấp được thảo luận trong báo cáo này. Từ khóa: khí Bose lí tưởng, BEC, bẫy điều hòa, hàm nhiệt động lực học. 1. Giới thiệu Trong vật lí thống kê lượng tử, các hạt được phân loại thành fermions (tập hợp các hạt có spin bán nguyên) và bosons (tập hợp các hạt có spin nguyên), lần lượt tuân theo các phân bố Fermi-Dirac và Bose-Einstein, do đó dẫn đến những biểu hiện khác nhau của các họ hạt này trong những hệ vật lí. Sự khác biệt rõ rệt nhất đó là các hạt boson được phép tồn tại ở cùng một trạng thái lượng tử, trong khi đó các hạt fermion do tuân theo nguyên lí Pauli nên việc này không thể xảy ra. Chính vì sự khác biệt này đã dẫn đến hiện tượng vật lí vô cùng quan trọng được dự đoán trên lí thuyết vào năm 1924 bởi Einstein, khi hạ nhiệt độ của hệ khí loãng (dilute gas) tạo bởi các hạt boson đến dưới một nhiệt độ tới hạn xác định, ngay lập tức một số hạt boson sẽ cùng tồn tại ở trạng thái lượng tử đơn (single quantum state) có năng lượng thấp nhất, các hiệu ứng lượng tử trở nên rõ ràng, và có thể quan sát được ở cấp độ vĩ mô [6]. Hiện tượng này, ngày càng được biết đến rộng rãi với tên gọi là ngưng tụ Bose – Einstein (Bose Einstein Condenstate - viết tắt là BEC). Nhờ vào sự phát triển của các kĩ thuật làm lạnh bằng laser (laser cooling) và bẫy nguyên tử bằng từ trường (magnetical traping) từ những năm 1970, các nhà vật lí tại Phòng thí nghiệm JILA - Đại học Colorado dưới sự dẫn dắt của Wieman và Cornell, lần đầu tiên quan sát được sự hình thành BEC đối với nguyên tử 87 Rb trong khoảng 15 giây vào năm 1995 [1]. Đây là lần đầu tiên BEC được tạo ra và quan sát trong phòng thí nghiệm, kết quả này là bằng chứng quan trọng nhằm chứng minh rằng những tiên đoán trên lí thuyết của Einstein hoàn toàn chính xác. Từ đó, nhiều thí nghiệm khác được thực hiện thành công cho các nguyên tử khác nhau như Li [2], Na [5], và hiện nay BEC đã được quan sát đối với khoảng mười hai hệ nguyên Năm học 2016 - 2017 73 tử khác nhau. Thành công của những thí nghiệm này đã mở ra thời kì phát triển mạnh mẽ của ngành nghiên cứu về hệ các nguyên tử siêu lạnh (ultra-cold atom) và vật chất ngưng tụ (condensed matter). Không chỉ dừng lại ở hệ các nguyên tử, hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein còn xảy ra đối với các hệ phân tử [16] và hệ exciton [6]. Thêm vào đó, nguyên tử BEC khi được đặt trong mạng quang học (Optical Lattice - OL) có nhiều tính chất tương tự như electron tương tác với mạng tinh thể chất rắn và tạo ra nhiều hiệu ứng phi tuyến quan trọng trong vật lí, điều này được chứng minh trong công trình [12]. Qua đó, ta có thể thấy rằng hiện tượng ngưng tụ Bose-Eistein và vấn đề liên quan có ý nghĩa vật lí vô cùng quan trọng do đó hiện tượng này đang được nghiên cứu bằng cả lí thuyết và thực nghiệm bởi nhiều nhóm nghiên cứu trên thế giới. Trong các nghiên cứu thực nghiệm về BEC, khí Bose cần khảo sát được giam trong bẫy điều hòa ba chiều vì hai tính chất sau. Thứ nhất, các nguyên tử sẽ chịu tác dụng của thế năng do bẫy điều hòa gây ra sẽ giúp quá trình làm lạnh hệ khí dễ dàng hơn. Thứ hai, việc đặt hệ khí Bose trong bẫy giúp giảm số lượng nguyên tử cần thiết để tạo ra BEC từ đó tiết kiệm kinh phí cho mỗi thí nghiệm. Do đó, khí Bose trong bẫy điều hòa ba chiều có nhiều ý nghĩa vật lí hơn so với khí Bose tự do. Tuy nhiên, trong các tài liệu [10,14], các tác giả chỉ dừng lại ở việc mô tả các hàm nhiệt động lực học đặc trưng cho khí Bose tự do mà chưa đề cập đến các khí Bose trong bẫy điều hòa. Tuy có một số công trình trình bày về vấn đề này [8,9], nhưng chỉ dừng lại ở việc đưa ra các công thức giải tích gần đúng mà thiếu đi những tính toán số để đánh giá độ chính xác và xác định phạm vi áp dụng của các công thức giải tích gần đúng. Do đó, việc đưa ra quy trình toán học chặt chẽ chứng minh các công thức giải tích mô tả các hàm nhiệt động lực học đặc trưng cho khí Bose lí tưởng trong bẫy điều hòa và tiến hành giải số chính xác để đánh giá độ tin cậy của các công thức giải tích này là hoàn toàn cần thiết. Xuất phát từ tích phân tổng số hạt 0 ) ( , , )(N f T dg        và hàm mật độ trạng thái của dao động tử điều hòa ba chiều ( )g  , chúng tôi đưa ra công thức giải tích mô tả sự phụ thuộc của thế hóa học vào nhiệt độ tuyệt đối, với kết quả này các hàm nhiệt động lực học còn lại được tính toán và giới thiệu báo cáo này. Trong đề tài này, chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối của các hàm nhiệt động lực học của khí Bose lí tưởng trong bẫy điều hòa ba chiều cụ thể gồm thế hóa học (chemical potential), năng lượng toàn phần (total energy), nhiệt dung riêng (specific heat capacity). Ở vùng nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ tới hạn, ta có thể tìm được lời giải giải tích chính xác mô tả các hàm nhiệt động lực đã đề cập ở trên. Trong khi đó, ở vùng nhiệt độ cao, lời giải chính xác có thể được biểu diễn thông qua hàm polylogarithm, tuy nhiên việc này chỉ có ý nghĩa về mặt toán học chứ không thể hiện rõ ý nghĩa vật lí vì nó không thể hiện một cách tường minh sự phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối [4]. Do đó, chúng tôi sử dụng công thức khai triển Taylor-Maclaurin để tính toán gần đúng sự phụ thuộc các hàm nhiệt động này vào nhiệt độ tuyệt đối. Để đánh giá độ tin cậy và phạm vi áp dụng của các công thức giải tích gần đúng, chúng tôi tiến hành Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 74 lập trình giải số chính xác các hàm nhiệt động này bằng ngôn ngữ lập trình Fortran 77. Ngoài ra, trong quá trình đánh giá phạm vi áp dụng của các công thức giải tích, chúng tôi phát hiện ra rằng công thức mô tả thế năng hóa học cho kết quả kém chính xác khi nhiệt độ của hệ lân cận nhiệt độ tới hạn (critical temperature). Bên cạnh đó, sự khác biệt giữa khí lượng tử (quantum gases) và khí cổ điển (classical gases) trong bẫy điều hòa ba chiều tại vùng nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ tới hạn [11] cũng được trình bày cụ thể trong bài báo cáo này. Với đánh giá ở trên, đề tài “Khảo sát các hàm nhiệt động của khí bose lí tưởng bị bẫy trong thế điều hòa ba chiều” được thực hiện nhằm đưa ra quy trình toán học chặt chẽ quá trình tính toán các công thức giải tích gần đúng của các hàm nhiệt động của khí Bose lí tưởng trong bẫy điều hòa ba chiều, và hiệu chỉnh công thức giải tích cho thế hóa cT học tại lân cận nhiệt độ tới hạn. Đây là cơ sở cho những nghiên cứu tiếp theo về hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein của chúng tôi trong tương lai. Bài báo cáo được trình bày với ba mục chính. Mục hai trình bày các kết quả nghiên cứu về sự phụ thuộc của các hàm nhiệt động lực học đặc trưng cho khí Bose trong bẫy điều hòa ba chiều vào nhiệt độ tuyệt đối. Trong mục ba, chúng tôi trình bày kết luận và hướng phát trển của đề tài. Nhiệt độ tới hạn cT và tích số ckT với k là hằng số Boltzmann được chọn làm đơn vị cho nhiệt độ và năng lượng. 2. Kết quả nghiên cứu 2.1. Thế hóa học Thế hóa học là một hàm nhiệt động lực học đặc trưng cho lượng năng lượng tiêu tốn khi ta thêm một hạt vào hệ đang khảo sát nhưng vẫn giữ entropy và thể tích không đổi hoặc có thể định nghĩa là năng lượng tự do Gibbs trên mỗi hạt [10,14]. Việc xác định biểu thức tường minh của thế hóa học vào nhiệt độ tuyệt đối đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán các hàm nhiệt động khác. Thế hóa học được xác định bởi biểu thức tổng số hạt trong hệ được khảo sát 0 ) ( , , )(N f T dg        , (1) với ( )g  được gọi là hàm mật độ trạng thái đặc trưng cho số trạng thái khả dĩ trong khoảng năng lượng từ E đến E+dE, hàm này phụ thuộc vào dạng của thế năng, và ( , , )f T  là hàm phân phối số chiếm đóng phụ thuộc vào năng lượng , nhiệt độ tuyệt đối T và thế hóa học . Trong báo cáo này, chúng tôi khảo sát hệ khí Bose trong thế năng do bẫy điều hòa ba chiều gây ra, do đó, hàm mật độ trạng thái và hàm phân phối có dạng: Năm học 2016 - 2017 75 2 3( ) ,2( ) 1( , , ) , exp 1 g f T kT                 (2) trong đó, k là hằng số Boltzmann. Theo công trình [3], khi nhiệt độ tiến về “không” độ tuyệt đối, các hạt boson bắt đầu ngưng tụ về trạng thái BEC, chúng có cùng trạng thái cơ bản có mức năng lượng thấp nhất, 0  , điều này xảy ra là do các hạt boson không tuân theo nguyên lí loại trừ Pauli. Tại 0K, tất cả các hạt đều ở trạng thái cơ bản, do đó, số trạng thái vi mô khả dĩ 1  dẫn đến entropy của hệ ln 0S k   . Khi thêm một hạt boson mới vào hệ, hạt đó phải ở trạng thái cơ bản để đảm bảo 0S  , 0  , suy ra thế hóa học 0  . Khi nhiệt độ tuyệt đối xấp xỉ “không” độ tuyệt đối, một lượng nhỏ hạt boson sẽ ở trạng thái kích thích, khi này entropy và năng lượng toàn phần nhận giá trị khác “không”. Lúc này, khi ta thêm một hạt boson vào hệ, mặc dù hạt ở trạng thái cơ bản nhưng entropy của hệ vẫn sẽ tăng nhẹ do số trạng thái vi mô khả dĩ tăng. Để entropy của hệ không tăng, ta cần làm giảm năng lượng toàn phần của hệ hay nói cách khác là hệ lạnh đi khi ta thêm vào hệ một hạt mới, điều này yêu cầu thế hóa học phải nhận giá trị âm và có độ lớn gần bằng “không” do lúc này entropy và năng lượng toàn phần có giá trị không quá lớn. Thế hóa học sẽ có độ lớn gần “không” cho đến khi nhiệt độ vượt qua nhiệt độ tới hạn cT (critical tempereture), khi đó tất cả các hạt sẽ ở trạng thái kích thích, trạng thái BEC không còn tồn tại. Nhiệt độ tới hạn được định nghĩa là là nhiệt độ thấp nhất sao cho tất cả các hạt boson đều ở trạng thái kích thích với thế hóa học có độ lớn cực đại, 0  . Từ phương trình (1), thay 0  và thực hiện đổi biến số mới / cx kT , tích phân (1) được viết lại thành 3 2 0 1 , 2 exp( ) 1 ckT x dxN x         (3) tích phân xuất hiện trong phương trình (3) là tích số của hàm Rieman bậc ba (3) , và Gamma bậc ba (3) 2  [14], từ đó suy ra biểu thức xác định nhiệt độ tới hạn 3 (3)c NkT     (4) Tại vùng nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ tới hạn, số lượng hạt ở trạng thái kích thích được tính từ công thức sau 3 3 1 (3)( ) ( )ex N kT    , (5) Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 76 biểu thức trên có thể được biễu diễn nhiệt độ rút gọn / cT T  , khi này số lượng hạt boson đạt trạng thái BEC được xác định bởi 3 0 (1 )exN N N N    . (6) Ta thấy rằng do tỉ lệ với bậc ba theo nhiệt độ rút gọn nên khi nhiệt độ rút gọn giảm nhẹ thì tỉ lệ ngưng tụ sẽ tăng đáng kể và tiến nhanh về 1. Khi nhiệt độ lớn hơn hoặc bằng nhiệt độ tới hạn, các hạt chỉ tồn tại ở trạng thái kích thích, ta không thu được BEC. Do sự khác biệt của các hàm nhiệt động học trong pha ngưng tụ và pha thường nên ta sẽ khảo sát các hàm này theo hai miền nhiệt độ tương ứng với hai pha. Trong pha ngưng tụ, các hạt boson ở trạng thái cơ bản tuân theo phân phối Bose-Einstein với 0  0 1 exp( ) 1 N     . (7) Kết hợp biểu thức (6) và (7), công thức mô tả thế hóa học theo nhiệt độ rút gọn được chỉ ra  3 1ln 1 1ckT N             . (8) Biểu thức (8) không những chỉ ra sự phụ thuộc vào nhiệt độ của thế hóa học mà còn vào số lượng hạt trong hệ được khảo sát do đó đây là bằng chứng quan trọng để chứng minh độ tụ của chương trình tính toán số của chúng tôi trong đề tài này, nhưng biểu thức (8) thường không được đề cập đến trong các giáo trình vật lí thống kê cũng như các công trình nghiên cứu khác. Trong thực tế, tổng số hạt N được dùng trong các thí nghiệm vào cỡ 510 nên ta có thể qua sự ảnh hưởng của số hạng thứ hai, do đó thế hóa học có giá trị 0 ckT   , (9) trong pha ngưng tụ. Kết quả này phù hợp với phần thảo luận ở trên. Ở pha thường, chúng tôi giả thiết rằng nhiệt độ đủ cao để  nhỏ từ đó có thể áp dụng khai triển gần đúng phương trình (1) theo công thức Taylor-Maclaurin. Do sự phức tạp khi giải phương trình cao hơn bậc ba nên chúng tôi chỉ dừng lại ở khai triển đến bậc hai, lúc này (1) được viết lại thành 2 2 3 0 1 2exp exp exp exp 2( ) N d kT kT kT kT                                       . (10) Năm học 2016 - 2017 77 Các tích phân trong (10) có thể được tính bằng cách áp dụng công thức sau 1 0 !exp( )nn n nI x px dx p      với biến số /x kT . Thực hiện các phép tính tích phân và giải phương trình bậc hai theo ẩn số  , ta thu được biểu thức mô tả thế hóa học ở pha thường theo nhiệt độ rút gọn  3 8 (3)ln 4 16 ckT              . (11) Như đã đề cập ở trên, chúng tôi tiến hành tính toán số chính xác phương trình (1) nhằm đánh giá độ chính xác của kết quả thu được từ công thức giải tích. Tần số góc và tổng số hạt có giá trị lần lượt là 200 /rad s  , 510N  , đây là các thông số được sử dụng phổ biến trong các nghiên cứu thực nghiệm về BEC. Trong báo cáo này, chúng tôi sử dụng sai số tương đối để đánh giá trực tiếp sự trùng khớp giữa hai kết quả, công thức sai số tương đối được cho bởi công thức num approx num a a a    , (12) với numa , approxa theo thứ tự là kết quả giải số chính xác và giải tích gần đúng. Hình 1 bên trái thể hiện các kết quả giải số chính xác và kết quả giải tích của các công thức (9), (11) tương ứng với các đường màu đen, màu đỏ và màu xanh với khoảng nhiệt độ rút gọn là [0;2,5] . Hình bên phải thể hiện sai số tương đối giữa giải số chính xác và giải tích để đánh giá khoảng áp dụng của các công thức giải tích (9), (11). Ta có thể thấy rằng trong miền nhiệt độ rút gọn thấp hơn 1, như đã đề cập ở trên, có sự trùng khớp hoàn toàn giữa hai hướng tiếp cận. Trong khi đó, tại nhiệt độ cao hơn nhiệt độ tới hạn ( 1  ), công thức giải tích chỉ mô tả chính xác cho vùng có nhiệt độ tương đối lớn, còn trong lân cận nhiệt độ tới hạn thì sai số rất lớn. Điều này có thể được giải thích như sau: chúng tôi giả thiết nhiệt độ đủ cao ( nhỏ) để có thể áp dụng khai triển Taylor- Maclaurin, và do sự phức tạp trong việc giải phương trình bậc cao hơn hai nên chuỗi được ngắt ở bậc hai do đó dẫn đến công thức giải tích mô tả thế hóa học ở pha thường chưa tốt. Đây có thể là lí do mà trong các giáo trình, công thức của thế hóa học thường bị lược bỏ hoặc chỉ trình bày kết quả giải số. Để khắc phục điều này, chúng tôi tiến hành hiệu chỉnh lại công thức thế hóa học tại lân cận nhiệt độ tới hạn xuất phát từ điều kiện tổng số được giữ không đổi nên vi phân của nó theo thế hóa học và nhiệt độ bằng 0. Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 78 Hình 1. Đồ thị mô tả sự phụ thuộc thế hóa học của khí Bose lí tưởng trong bẫy điều hòa ba chiều vào nhiệt độ rút gọn và sai số tương đối giữa kết quả giải số chính xác và kết quả giải tích gần đúng. Đường màu đen liền nét mô tả kết quá giải số chính xác. Đường nứt nét màu đỏ thể hiện kết quả gần đúng ở miền nhiệt độ cao và đường gạch chấm màu xanh đại diện cho kết quả ở vùng nhiệt độ thấp. 0N NdN d dT T          , (13) do đó, 1 .d N N dT T                . (14) Thực hiện hai phép tính đạo hàm phương trình (1), ta được 3 , (3) , (2) c c N N T T N N kT          (15) thay các kết quả này vào biểu thức (14), ta thu được công thức hiệu chỉnh cho thế hóa học khi 1  với giả thiết rằng c cT T T   (3)3 1 (2)ckT        . (16) Với công thức hiệu chỉnh này, chúng tôi tiến hành so sánh lại các kết quả và xác định từ khoảng áp dụng cho công thức này. Kết quả chi tiết được chỉ ra trong hình 2. Từ hình bên phải, ta thấy rằng sai số đã giảm rất nhiều so với khi chưa hiệu chỉnh, sai số tối đa lúc này chỉ còn khoảng 15%. Bằng việc thay đổi điều kiện trong chương trình tính toán, chúng tôi chỉ ra rằng khoảng nhiệt độ rút gọn để công thức hiệu chỉnh này cho kết quả tốt nhất là [1:1,1]. Tuy nhiên, sai số tương đối vẫn còn khá lớn. Do đó trong những nghiên cứu sắp tới, chúng tôi sẽ tiếp tục hiệu chỉnh để thu được công thức mô tả tốt nhất thế hóa học tại vùng nhiệt độ này. Năm học 2016 - 2017 79 Hình 2. Đồ thị mô tả thế hóa học theo nhiệt độ rút gọn sau hiệu chỉnh 2.2. Năng lượng toàn phần Trong mục này, năng lượng toàn phần của hệ khí Bose lí tưởng trong bẫy điều hòa ba chiều được xây dựng hoàn toàn tương tự như tiếp cận ở trên. Năng lượng toàn phần của hệ được định nghĩa 0 ( ) ( , , )E g f T d        . (17) Tương tự như thế hóa học, ta khảo sát năng lượng toàn phần với hai miền nhiệt độ khác nhau. Trong pha ngưng tụ, thế hóa học có giá trị 0  như đã trình bày trong mục 2.1, do đó kết quả tích phân (17) là tích số của hàm Gamma bậc 4, (4) 6  , và hàm Rieman bậc 4, (4) , từ đó năng lượng toàn phần trung bình trên một nguyên tử trong hệ đơn vị cNkT theo nhiệt độ rút gọn được xác định bởi 4(4)3 (3)c E NkT     . (18) Đối với miền nhiệt độ cao, chúng tôi cũng áp dụng khai triển Taylor-Maclaurin đến bậc hai phương trình (17), công thức giải tích năng lượng toàn phần 2 3 (3)3 16c E NkT      . (19) Trong (19), số hạng 3 trùng khớp với kết quả của hệ khí cổ điển trong bẫy điều hòa ba chiều [10], số hạng thứ hai được gọi là hiệu chỉnh lượng tử cho năng lượng toàn phần. Hiệu chỉnh lượng tử này chỉ tồn tại ở nhiệt độ không quá lớn, khi nhiệt độ đủ lớn, (19) sẽ tiến về giá trị cổ điển. Lưu ý năng lượng ở đây được tính trên mỗi hạt, do đó các công thức (18) và (19) là tổng quát cho khí Bose lí tưởng trong bẫy điều hòa ba chiều. Hình 3 thể hiện năng lượng trên mỗi hạt theo nhiệt độ rút gọn và sai số tương đối giữa hai hướng tiếp cận. Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 80 Hình 3. Đồ thị bên trái biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của khí bose lí tưởng trong bẫy điều hòa ba chiều vào nhiệt độ rút gọn. Đồ thị bên phải thể hiện sai số tương đối giữa kết quả giải số chính xác và giải tích gần đúng. Đường chấm màu đen thể hiện giới hạn cổ điển [11] Kết hợp với kết quả giải số phương trình (1), nghiệm chính xác của phương trình (17) được thể hiện bằng đường liền nét màu đen. Kết quả giải tích mô năng lượng của mỗi hạt ờ pha ngưng tụ và pha thường lần lượt được biểu diễn bằng đường gạch chấm màu xanh dương và đứt nét màu đỏ. Khi 1  công thức giải tích cho kết quả chính xác với sai số chỉ 3%, còn khi 1  thì kết quả hoàn toàn trùng khớp. Từ hình 3, ta có thể thấy rằng, ở pha ngưng tụ năng lượng toàn phần cho kết quả hoàn toàn khác với kết quả khi khảo sát dưới quan niệm khí cổ điển [11]. Đây chính sự khác biệt giữa khí lượng tử và khí cổ điển tại vùng nhiệt độ thấp. Tại vùng nhiệt độ cao, năng lượng toàn phần tiến về kết quả cổ điển khi này các hiệu ứng lượng tử trở nên mờ nhạt, khí hành xử như khí cổ điển. 2.3. Nhiệt dung Theo nhiệt động lực học, nhiệt dung được định nghĩa là năng lượng cần cung để nhiệt độ của hệ tăng lên 1 độ, và được cho bởi công thức EC T    . (20) Sử dụng công thức (20), ta tính đạo hàm trực tiếp các biểu thức (18), (19), các công thức mô tả sự thuộc của nhiệt dung vào nhiệt độ rút gọn ở pha ngưng tụ và pha thường lần lượt được thể hiện lần lượt qua các biểu thức: 3(4)12 (3) C Nk     , (21) 3 3 (3