Khảo sát ổn định hệ thống

Chương 4 KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH HỆ THỐNG ThS. NGUYỄN XUÂN NGUYÊN Khảo sát ổn định hệ thốngChương 4 I. Khái niệm về ổn định 1. Thế nào là ổn định? Có thể minh hoạ một cách trực quan các trạng thái của hệ thống như sau: Không ổn định Biên giới ổn định Ổn định 2. Mối liên hệ giữa ổn định và hàm truyền Xét hệ thống có hàm truyền: I. Khái niệm về ổn định Ổn định là khả năng trở về trạng thái cân bằng của hệ thống sau khi kết thúc các tác động bên ngoài làm cho nó rời khỏi trạng thái cân bằng đó. 1 0 1 1 1 0 1 1 ..( )( ) ( ) .. m m m m n n n n b s b s b s bC sG s R s a s a s a s a − − − − + + + += = + + + + Định nghĩa: Ta đặt: 9 Nghiệm phương trình B(s) = 0 gọi là các zero. Có m zero, ký hiệu là zi , i = 1,…,m. I. Khái niệm về ổn định 9 Nghiệm phương trình A(s) = 0 gọi là các cực. Có n cực, ký hiệu là pj , j = 1,…,n. 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) .. ( ) .. m m m m n n n n B s b s b s b s b A s a s a s a s a − − − − = + + + + = + + + + I. Khái niệm về ổn định Các cực và zero của hàm truyền có thể là thực hay phức. Vị trí của chúng biểu diễn trên mặt phẳng phức gọi là giản đồ cực-zero. Ims Res Giản đồ cực-zero x x x xO O O x: cực o: zero I. Khái niệm về ổn định - Có thể phân tích hàm truyền dưới dạng: 0 1 2 0 1 2 ( )( )...( )( ) . ( )( )...( ) − − −= − − − m n b s z s z s zG s a s p s p s p - Khi tín hiệu vào là hàm nấc thì đáp ứng sẽ là: ( ) 0 0 1 1 2 0 1 2 ( )( )...( )1( ) ( ). ( ) . . ( )( ).. ( ) ) .( n i i m n i b s z s z s zC s R s G s s a s p s p C s s p s p s= = + − − −= = − − − ⇒ −∑α α I. Khái niệm về ổn định ⇒ Đáp ứng thời gian của hệ thống: 0 1 ( ) α α = = +∑ in p ti i c t e Tuỳ theo trị số các cực pi, đáp ứng có 3 dạng sau: ƒ Tất cả các cực có phần thực âm⇒ Hệ ổn định. ƒ Tồn tại cực có phần thực bằng không, các cực còn lại có phần thực âm⇒ Hệ ở biên giới ổn định. ƒ Tồn tại ít nhất một cực có phần thực dương⇒ Hệ không ổn định. I. Khái niệm về ổn định c(t) t O α0 Ổn định c(t) t O α0 Biên giới ổn định c(t) t O α0 Không ổn định Kết luận: Hệ thống ổn định nếu tất cả các cực của hệ đều có phần thực âm. I. Khái niệm về ổn định Vì vị trí các cực quyết định tính ổn định của hệ thống nên phương trình A(s) = 0 gọi là phương trình đặc trưng, đa thức A(s) gọi là đa thức đặc trưng của hệ thống. Đối với hệ hồi tiếp: ⇒ Phương trình đặc trưng là: 1+ G(s)H(S) = 0. C(s)G(s) H(s) R(s) II. Tiêu chuẩn ổn định đại số 1. Điều kiện cần để ổn định Điều kiện cần để hệ thống ổn định là các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác không và cùng dấu. s s s s s s s s s + − + = + + = + + + + = 3 2 3 4 3 2 3 2 1 0 2 5 0 4 5 2 1 0 ⇒ Hệ không ổn định ⇒ Hệ không ổn định ⇒ Chưa kết luận được Ví dụ áp dụng Xét ổn định hệ thống tự động có PTĐT sau: II. Tiêu chuẩn ổn định đại số 2. Tiêu chuẩn ổn định Routh Cho hệ thống có phương trình đặc trưng : n n n na s a s ... a s a − −+ + + + =10 1 1 0 Để xét ổn định, ta lập bảng Routh như sau : II. Tiêu chuẩn ổn định đại số - Bảng Routh gồm n+1 hàng - Hàng 1 gồm các hệ số có chỉ số chẵn - Hàng 2 gồm các hệ số có chỉ số lẻ - Phần tử hàng i cột j ( i ≥ 3 ) xác định như sau: i , i , j ij i , j i , c .c c c c − − + − + − = − 2 1 1 12 1 1 1 Tiêu chuẩn Routh: Điều kiện cần và đủ để hệ ổn định là tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đều dương. II. Tiêu chuẩn ổn định đại số Ví dụ áp dụng Xét ổn định hệ thống tự động sau: C(s)G(s) H(s) R(s) Cho biết các hàm truyền G(s) s(s )(s s ) H(s) s = + + + = + 2 50 3 5 1 2 II. Tiêu chuẩn ổn định đại số Bài giải Phương trình đặc tính của hệ thống: 1+G(s).H(s) = 0 5 4 3 2 26 16 31 50 11 0 3 5 2 30 50 0 ⇔ + =+ + + + ⇔ + + + + + =s s s s s . s( s )( s s ) s Lập bảng Routh: S5 1 16 30 S4 6 31 50 S3 10.83 21.67 0 S2 18.99 50 S1 -6.84 S0 50 Xem xét Cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên hệ không ổn định. II. Tiêu chuẩn ổn định đại số CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CỦA BẢNG ROUTH Trường hợp 1 Có một phần tử ở cột 1 là zero, các phần tử khác cùng hàng với nó khác zero. Phương pháp: Thay phần tử zero bởi số dương ε nhỏ tùy ý. Ví dụ áp dụng Xét ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng: 4 3 2 5 4 3 2 4 3 2 2 2 4 3 0 2 2 4 6 8 0 2 4 8 3 0 + + + + = + + + + + = + + + + = s s s s s s s s s s s s ( i ) s ( ii ) ( iii ) II. Tiêu chuẩn ổn định đại số Trường hợp 2 Có tất cả các phần tử trên một hàng là zero. Phương pháp: Lập đa thức phụ P(s) từ các phần tử của hàng trước đó. Thay hàng zero bởi các hệ số của đạo hàm đa thức phụ. Ví dụ áp dụng Xét ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng: 5 4 3 2 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 2 6 12 8 16 0 4 7 16 12 0 4 8 8 7 4 0 2 24 48 25 50 0 + + + + + = + + + + = + + + + + = + + + − − = ( i ) ( ii ) ( iii ) s s s s s s s s s s s s s s s s) s s( i sv II. Tiêu chuẩn ổn định đại số 3. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz Cho hệ thống có phương trình đặc trưng : n n n na s a s ... a s a − −+ + + + =10 1 1 0 Để xét ổn định, ta lập ma trận Hurwitz như sau : II. Tiêu chuẩn ổn định đại số Tiêu chuẩn Hurwitz: Điều kiện cần và đủ để hệ ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận đều dương. Ví dụ áp dụng Xét ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng: s3 + 4s2 + 3s + 2 = 0 II. Tiêu chuẩn ổn định đại số Bài giải Lập ma trận Hurwitz: H = 4 2 0 1 3 0 0 4 2 Các định thức : ∆1 = 4 > 0 ∆2 = 10 > 0 ∆3 = 20 > 0 ⇒ Hệ thống ổn định II. Tiêu chuẩn ổn định tần số 1. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Cho hệ thống có sơ đồ khối như dưới đây : C(s) G(s) R(s) Cho biết đặc tính tần số của hệ hở, bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ kín. II. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn Nyquist: Hệ kín Gk(s) sẽ ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (-1, j0) một góc kπ theo chiều dương khi ω thay đổi từ 0 đến +∞. Trong đó, k là số cực của hệ hở nằm bên phải mặt phẳng phức. jQ(ω) P(ω) -1 ω = 0 ω→ ∞ K=1 Hệ ổn định P(ω) jQ(ω) -1 ω = 0ω→ ∞ K=2 Hệ không ổn định Ví dụ áp dụng Xét ổn định hệ thống có đặc tính tần số hệ hở dưới đây: II. Tiêu chuẩn ổn định tần số II. Tiêu chuẩn ổn định tần số 2. Tiêu chuẩn ổn định Bode Cho hệ thống có sơ đồ khối như dưới đây : C(s) G(s) R(s) Cho biết đặc tính tần số của hệ hở, bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ kín. II. Tiêu chuẩn ổn định tần số Giả sử đặc tính tần số hệ hở biểu diễn dạng biểu đồ Bode. Ta định nghĩa các thông số quan trọng sau đây. # Tần số cắt biên, ωc L(ωc ) = 0 dB # Tần số cắt pha, ω-π ψ (ω-π ) = -π # Độ dự trữ biên, GM GM = -L(ω-π ) # Độ dự trữ pha, ΦM ΦM = 180 0 + ψ (ωc ) II. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Bode: Hệ kín Gk(s) sẽ ổn định nếu hệ hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha đều dương. GM > 0 ΦM > 0 ⇒ Hệ kín ổn định II. Tiêu chuẩn ổn định tần số Ví dụ áp dụng 1 2 3 1 1 110 100 100010 = = = =K , T , T ,T 1 2 3 1 1 1 += + + K (T s )G( s )H ( s ) s(T s )(T s ) 1. Tìm tần số cắt biên, tần số cắt pha của hệ thống 1 21 1 = + + KG( s )H ( s ) s(T s )(T s ) 21 1 1100 10 100 = = =K ,T ,T (i) (ii) Cho biết Cho biết II. Tiêu chuẩn ổn định tần số 3. Tìm tần số cắt pha của hệ thống sau đây 1 2 31 1 1 = + + + KG( s )H ( s ) (T s )(T s )(T s ) 1 2 31 1 1 = + + + KG( s )H ( s ) s(T s )(T s )(T s ) (i) (ii) 2. Tìm tần số cắt biên, tần số cắt pha của hệ thống 20 3 = +G( s )H ( s ) s( s ) II. Tiêu chuẩn ổn định tần số 4. Cho hệ thống có hàm truyền hở như sau 10 1 10 = + +G( s )H( s ) s( s )( s ) (i) Tìm tần số cắt biên (ii) Tìm tần số cắt pha (iii) Tìm các độ dự trữ ổn định và kết luận về tính ổn định của hệ thống. III. Phương pháp quỹ đạo nghiệm 1. Định nghĩa 2. Vẽ quỹ đạo nghiệm số C(s)G(s) H(s) R(s) Xét hệ thống có sơ đồ khối như như sau : Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng khi có một thông số nào đó trong hệ thống thay đổi từ 0 đến +∞ III. Phương pháp quỹ đạo nghiệm Phương trình đặc trưng là: Biến đổi phương trình về dạng : 1 0+ =N ( s )K D( s ) , 1 0+ =G ( s ).H ( s ) K là thông số thay đổi Ta đặt : 0 = N ( s )G ( s ) K D( s ) 01 0⇒ + =G ( s ) 0 0 1 2 1 ⎧ =⎪⇔ ⎨∠ = +⎪⎩ G ( s ) G ( s ) ( l )π III. Phương pháp quỹ đạo nghiệm Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm: 1. QĐNS đối xứng qua trục thực. 2. Số nhánh QĐNS bằng số cực của G0(s). 3. - Khi K=0 : n nhánh xuất phát tại n cực. - Khi K→∞ : m nhánh tiến đến m zero, n-m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận. - Một điểm trên trục thực thuộc QĐNS nếu tổng số cực và zero bên phải nó là một số lẻ. 4. Điểm tách nhập là nghiệm phương trình: 0=dK ds III. Phương pháp quỹ đạo nghiệm 6. Giao điểm giữa QĐNS và trục ảo: 7. Góc xuất phát của QĐNS tại các cực phức: 5. Xác định tiệm cận: θj = 1800 + Σ Góc từ các zero đến cực pj -Σ Góc từ các cực khác đến cực pj Thay jω vào PTĐT ⇒ cân bằng phần thực và ảo. 2 1 πα += − ( l ) n m 1 1= = − = − ∑ ∑n mj i j i p z O A , n m III. Phương pháp quỹ đạo nghiệm G(s).H (s)+ =1 0 Ví dụ áp dụng Vẽ QĐNS của hệ thống có hàm truyền hở là: KG(s) s(s s ) = + +2 8 20 Bài giải - Phương trình đặc tính của hệ thống: K s(s s ) ⇔ + =+ +21 08 20 III. Phương pháp quỹ đạo nghiệm ( l ) n m π ππα π −⎧+ ⎪= = +⎨− ⎪⎩ 3 3 2 1 - Các cực và zero: n m j i j i p z O A n m = = − = = −− ∑ ∑ 1 1 8 3 -Các cực : p1 = 0, p2,3 = -4+j2 -Các zero: không có - Tiệm cận: III. Phương pháp quỹ đạo nghiệm dKK (s s s) ( s s ) ds s .dK ds s . = − + + ⇒ = − + + = −⎧⎪⇒ = ⇔ ⎨ = −⎪⎩ 3 2 2 1 2 8 20 3 16 20 33 0 20 - Điểm tách-nhập: - Góc xuất phát tại các cực phức: Tại cực phức p2 = -2 + j4 0 0 2 1 2180 634= − + = −( ) .θ β β -4 p2 p1 Res Ims β2β1 j2 -j2 III. Phương pháp quỹ đạo nghiệm Ims Res Quỹ đạo nghiệm số x x x K=0 K=0 K→∞ K→∞ - Giao với trục ảo: PTĐT: s3 + 8s2 + 20s + K = 0 Thay s = jω Cân bằng phần thực và ảo, ta có: ω = ±√20 K = 160 s = ±j√20