Không dùng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Mở đầu Trong chương trình giải tích lớp 12, để vẽ đồ thị của hàm số chúng ta trước hết phải khảo sát sự biến thiên và các tính chất của nó rồi mới vẽ đồ thị. Tuy nhiên khi có các dạng đồ thị của hàm số rồi nhưng học sinh chúng ta không biết vận dụng chiều ngược lại để nghiên cứu các tính chất của nó. Cũng trong chương trình giải tích lớp 12, ta gặp rất nhiều bài toán liên quan đến khảo sát hàm số như về tính đơn điệu, tính cực trị của hàm số, để giải các bài toán loại này rõ ràng chúng ta phải sử dụng đến công cụ đạo hàm. Tuy nhiên có rất nhiều bài toán dạng đó chúng ta biết phương pháp để giải nhưng khi thực hiện tính toán rất phức tạp. Trong quá trình dạy học phần hàm số bậc hai trên bậc nhất tôi cũng rút ra được đôi điều kinh nghiệm về việc dùng đồ thị hàm số để giải ngắn gọn một số bài toán liên quan đến tính đồng biến nghịch biến và cực trị của hàm số loại này. Dù kinh nghiệm còn ít nhưng tôi cũng coi là đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình với tên gọi "Không dùng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số" với đề tài tuy nhỏ nhưng tôi cũng đã trình bày trước tổ chuyên môn và triển khai khi dạy học sinh lớp 12 của mình phụ trách, cũng đã ít nhiều đem lại hiệu quả. Nội dung I. Giải bài toán tổng quát: Bài toán: Cho hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất (có chứa tham số) (1) (ad ¹ 0) Tìm điều kiện để: 1. Hàm số (1) đồng biến (hay nghịch biến) trên mỗi khoảng xác định của nó. 2. Hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu. 3. Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của trục hoành. 4. Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về cùng một phía của trục hoành. R Sơ lược cách giải: Với bài toán quen biết này thì đường lối (phương pháp) giải rất rõ ràng Để giải quyết cả 4 ý trên chúng ta đều phải tính đạo hàm Ở ý 1. điều kiện là: F'(x) > 0 "x ¹ ( hay F'(x) < 0 "x ¹ ) Ở ý 2. điều kiện là phương trình F'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Ở ý 3. điều kiện là phương trình F'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và Ở ý 4. điều kiện là phương trình F'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và R Nhận xét: Khi giải theo phương pháp truyền thống trên thì với hai ý 1 và 2 không có khó khăn gì. Tuy nhiên với hai ý 3 và 4 thì nói chung gặp rất nhiều khó khăn khi tính (tính toán rất dài và cồng kềnh) thậm chí không kiên trì sẽ không đi đến kết quả. Liệu có phương pháp nào khác dễ hơn để giải bài toán trên ? Ở bài viết này qua kinh nghiệm của bản thân, tôi sẽ đưa ra phương pháp giải ngắn gọn hơn, không phải tính đạo hàm và sẽ không gặp khó khăn gì. Trước khi giải bài toán trên, ta nói qua về cơ sở khoa học của phương pháp tôi sẽ giải. *) Xét hàm số (1) Với các điều kiện (ad ¹ 0) và (với ; ) Trong chương trình giải tích lớp 12 ta đã khảo sát hàm số (1) và đồ thị của hàm số (1) sẽ là 1 trong 4 dạng sau: (tùy theo các dữ kiện a, b, c, d, e) â Đồ thị sẽ có dạng hình 1 khi a.d > 0 và y' = 0 có hai nghiệm phân biệt. â Đồ thị sẽ có dạng hình 2 khi a.d < 0 và y' = 0 có hai nghiệm phân biệt. â Đồ thị sẽ có dạng hình 3 khi a.d > 0 và y' = 0 vô nghiệm. â Đồ thị sẽ có dạng hình 4 khi a.d < 0 và y' = 0 vô nghiệm.· Các hình 1 và 2 minh họa đồ thị hàm số có điểm cự đại và điểm cực tiểu. · Các hình 3 và 4 minh họa hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên mỗi khoảng xác định của nó. y x O x0 Hình 2 x y O x0 Hình 1 x y O x0 Hình 3 y O x x0 Hình 4 (Chú ý: Ở đây tùy theo các số a, b, c, d, e mà hệ trục Oxy có thể tịnh tiến lên xuống hay sang trái sang phải) Từ 4 dạng đồ thị của hàm số (1) ta có nhận xét sau: a) Trường hợp 1 hàm số (1) luôn đồng biến hay luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó (hình 3, 4) khi và chỉ khi đồ thị của nó cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía khác nhau của tiệm cận đứng x = x0 tức là phương trình F(x) = 0 hay phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 có hai nghiêm phân biệt x1 , x2 sao cho x1 0 b) Trường hợp 2 hàm số (1) sẽ có cực đại và cực tiểu (hình 1, 2) khi và chỉ khi đồ thị của nó không cắt trục hoành hoặc cắt trục hoành tại hai điểm (có thể hai điểm không phân biệt) nằm cùng bên trái hoặc cùng bên phải đường thẳng tiệm cận đứng x = x0 tức là phương trình phương trình F(x)=0 hay phương trình f(x)= ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm hoặc có hai nghiêm x1 , x2 đều lớn hơn hoặc đều nhỏ hơn x0. Vậy trường hợp 2 này xảy ra khi và chỉ khi af(x0) > 0 c) Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi phương trình F(x)=0 hay phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm (hình 1, 2) d) Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về cùng một phía của trục hoành khi và chỉ khi đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ở hai điểm phân biệt cùng nằm bên trái hay cùng nằm bên phải đối với đường thẳng tiệm cận đứng x = x0 tức là phương trình F(x)=0 hay phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 có hai nghiêm x1 , x2 đều lớn hơn hoặc đều nhỏ hơn x0. Lưu ý: từ các nhận xét trên ta còn rút ra được kết luận. Đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của đường thẳng có phương trình y = k khi và chỉ khi đồ thị của nó không cắt đường thẳng y = k hay phương trình F(x) = k vô nghiệm tức là phương trình f(x) = ax2 + bx + c = k(dx + e) vô nghiệm (hình 5, 6) x y y = k O x0 Hình 5 x O y x0 Hình 6 y = k Từ các nhận xét trên ta rút ra phương pháp mới để giải bài toán tổng quát ban đầu đó là: 1. * Để hàm số (1) luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó thì điều kiện là * Để hàm số (1) luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó thì điều kiện là (Trường hợp f(x0) = 0 hàm số (1) suy biến, không phải là hàm phân thức ta xét riêng thêm, trường hợp này đơn giản) 2. Để hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu thì điều kiện là af(x0) > 0 3. Điều kiện để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của trục hoành là phương trình F(x) = 0 hay phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm. 4. Điều kiện để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về cùng một phía của trục hoành là phương trình F(x) = 0 hay phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn hoặc đều nhỏ hơn x0 tức là phải có điều kiện II. Một vài ví dụ cụ thể để minh họa Bài 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số (2) luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó Giải: cách 1: (theo phương pháp truyền thống) Khoảng xác định của hàm số (-¥; m)È(m; +¥) hàm số (2)có đạo hàm ta thấy g(x) = x2 - 2mx + 2m2 + m + 2 > 0 "x (vì a=1>0 ; ) suy ra Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Cách 2: Ta thấy hàm số đã cho là hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất thật sự (vì x0 = m không là nghiệm của tử thức f(x) = x2 - (m + 2)x - m2 + m - 2 với mọi m) Theo kết quả ở phần trước ta tính: a.d = 1.1 = 1 > 0 af(x0) = af(m) = 1.[m2 - (m + 2)m - m2 + m - 2] = -m2 - m - 2 < 0 "m Chứng tỏ hàm số (2)đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Bài 2: Tìm m để hàm số (3) Có điểm cực đại và điểm cực tiểu. Giải: Bằng phương pháp dùng đạo hàm ta đi đến kết quả m 3. Bây giờ ta dùng kiến thức đã trình bày ở phần đầu để giải Đặt tử thức là f(x) = mx2 + x - 2; x0 = 1 (nghiệm của mẫu thức) ta thấy hàm số (3) triệt tiêu khi f(-1) = 0 hay m = 3. Dễ thấy khi m = 0 hoặc m = 3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Xét m ¹ 0 và m ¹ 3 hàm số (3) là hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất. Để hàm số (3) có điểm cực đại và điểm cực tiểu thì điều kiện là af(x0) > 0 hay m[m.(-1)2 + (-1) - 2] > 0 Û m(m - 3) > 0 Û m 3. Ta vẫn đi đến đáp số m 3. Bài 3: Cho hàm số (4) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (4) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành. Giải: *) Xét trường hợp m = 0 và ( thì hàm số suy biến) dễ thấy không thỏa mãn yêu cầu bài toán *) Xét trường hợp m ¹ 0 và hàm số (4) thực sự là hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất, khi đó điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục Ox là: phương trình y = 0 hay phương trình mx2 + 3mx + 2m + 1 = 0 vô nghiệm suy ra điều kiện là D = (3m)2 - 4m(2m + 1) < 0 Û 0 < m < 4 Vậy các giá trị của m phải tìm là 0 < m < 4. Nhận xét: Rõ ràng phương pháp giải này rất đơn giản, ngắn gọn. Nếu bài tập này ta giải theo phương pháp truyền thống thì rất khó khăn, đặc biệt ở khâu tính rất cồng kềnh phức tạp, tất nhiên vẫn đi đến kết quả 0 < m < 4. Đối với hàm số (4) bằng phương pháp tương tự, ta cũng giải rất nhanh câu hỏi: tìm m để đồ thị hàm số (4) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y = 2 (theo lưu ý ở phần I). Kết luận Qua một vài kinh nghiệm nhỏ tôi đã đưa ra ở trên, chúng ta thấy việc dùng tính chất của đồ thị hàm số kết hợp với kĩ năng toán học nói chung vào giải toán đã đem lại một số kết quả thật tốt đẹp, nó giúp học sinh biết sáng tạo trong học tập và đã đưa các công việc giải toán đáng lẽ rất khó khăn, phức tạp trở nên đơn giản hơn. Đối với bản thân tôi cũng rút ra được nhiều điều bổ ích như: Kiểm tra nhanh được hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất có cực đại và cực tiểu hay không, và vị trí của những điểm cực trị so với trục hoành. Ra các đề toán liên quan tới khảo sát hàm số cho học sinh có tính chất theo ý muốn cho trước của thầy một cách nhanh chóng. Kiểm tra nhanh chóng các kết quả khi giải toán của học sinh đã đúng hay sai. Vài kinh nghiệm nhỏ tôi đã nêu, ở trong sách giáo khoa chưa đề cập tới, nhưng có thể nó đã được đề cập ở một vài tài liệu tham khảo nào đó. Tuy nhiên đối với học sinh của tôi, các em chưa được biết, nên tôi cũng đã đưa vấn đề này truyền thụ cho các em và mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm này, có thể nó còn hạn chế mong các đồng chí lãnh đạo và đồng nghiệp góp ý. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Phổ yên ngày 10 tháng 04 năm 2007 Người viết Nguyễn Quốc Hải